Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3

Transkrypt

1 Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1

2 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 2

3 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 3

4 Dlaczego w ogóle zajmować się sacjonarnością zmiennych? Założenie o sacjonarności zmiennych w modelu jes niezbędne przy wyprowadzaniu rozkładów ypowych saysyk esowych używanych przy esowaniu hipoez. Jeśli zmienne w modelu są niesacjonarne o rozkłady asympoyczne saysyk esowych są niesandardowe, co może prowadzić do błędnych wyników wnioskowania saysycznego. Przykładem jes problem regresji pozornej. 4

5 Wysępuje gdy część zmiennych w modelu nie jes sacjonarna (najczęściej I(1)). W akim przypadku saysyki dla zmiennych I(1) okazują się częso isone nawe jeśli między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi nie ma żadnego związku. 5

6 Generujemy obserwacje dwóch niezależnych zmiennych niesacjonarnych: u ~ ~ N(0,1) N(0,1) y x y x 1 1 Nasępnie przeprowadzamy regresję y na, zapisujemy saysykę i DW. u x 6

7 Nasępnie powarzamy całość 1000 razy zapisując za każdym razem wynik. Mając serię saysyk obliczamy średnią, odchylenie sandardowe, skośność, kurozę i porównujemy z paramerami esu -Sudena. Przy poziomie isoności 5% powinniśmy uzyskać isony wynik w mniej więcej 5% przypadków. 7

8 Teoreyczne Regresja y na x Średnia 0,000 0,048 Odch.sand. 1,021 4,849 Skośność 0,000-0,214 Kuroza 3,125 3,845 5% percenyl 1,677 8,294 % isonych wyników 5,000 64,200 Saysyka DW Średnia 2,000 0,313 8

9 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 9

10 Funkcja auokorelacji (Auocorrelaion Funcion) o współczynnik korelacji między dwoma realizacjami y oddalonymi w czasie o k okresów. k ( y, y Cov Var ( y ) k ) [1,1] 10

11 Funkcja auokorelacji cząskowej (Parial Auocorrelaion Funcion) mierzy korelację między obserwacjami y oddalonymi od siebie o k okresów bez uwzględnienia wpływu yk 1, yk 2,..., y 1 Funkcja a jes równa wyesymowanemu współczynnikowi w modelu auoregresyjnym k ego rzędu: k y 1y 1... k y k 11

12 ACF dla białego szumu 12

13 PACF dla białego szumu 13

14 ACF i PACF dla białego szumu 14

15 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] H 0 proces jes białym szumem 15

16 ACF dla AR(1) gdy 1 16

17 PACF dla AR(1) gdy 1 17

18 ACF i PACF dla AR(1) gdy 1 18

19 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

20 ACF dla błądzenia przypadkowego 20

21 PACF dla błądzenia przypadkowego 21

22 ACF i PACF dla błądzenia przypadkowego 22

23 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

24 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 24

25 Najwcześniejszy i najpopularniejszy es, za pomocą kórego badamy czy zmienna jes sacjonarna. Mamy model: y ~ y 1 IID(0, 2 ) H0 : 1 H1 : 1 y - błądzenie przypadkowe (zmienna niesacjonarna) - jes procesem AR(1) (zmienna sacjonarna) y 25

26 Odejmując od obu sron : - jes niesacjonarne - jes sacjonarne 26 y y y y y y y y ) ( 0 : 0 H 2,0) ( : 0 H y y y 1

27 Problem: nie można używać sayski do esowania isoności parameru ponieważ rozkłady saysyk esowych są niesandardowe jeśli w modelu zmienne niesacjonarne. Specjalne ablice z warościami kryycznymi dla esu DF. Uwaga echniczna: wielkości kryyczne rozkładu sayski DF są zawsze ujemne. 27

28 Tes DF przeprowadzamy w nasępujący sposób: 1. regresja y na y 1 2. porównujemy saysykę dla y 1z warościami kryycznymi esu DF: a) warość saysyki jes mniejsza od warości kryycznej - odrzucamy H 0 o niesacjonarności y i przyjmujemy H 1 o sacjonarności ; y b) warość saysyki jes większa od warości kryycznej nie ma podsaw do odrzucenia H 0 28

29 Tes DF dla białego szumu: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

30 Tes DF dla białego szumu: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

31 Tes DF dla białego szumu: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 19998) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

32 Tes DF dla białego szumu: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 19998) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

33 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 33

34 Tes DF dla błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

35 Tes DF dla błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

36 Tes DF dla błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 998) = 0.08 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

37 Tes DF dla błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 998) = 0.08 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

38 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 38

39 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] drw L

40 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] drw L

41 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 997) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw LD

42 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 997) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw LD

43 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 43

44 Równanie regresji: y 1 y 1 H0 : 0, błądzenie przypadkowe H : ( 2,0) - model AR(1) ze sałą 1 44

45 Równanie regresji: y 1 2 y 1 H0 : 0, błądzenie przypadkowe z dryfem H : ( 2,0) - model AR(1) z rendem liniowym 1 45

46 Częso reszy z regresji: y y 1 wykazują silną auokorelację, co jes problemem. Rozszerzony es Dickey-Fullera (es ADF) różni się od sandardowego esu DF rozszerzeniem regresji o dodakowe elemeny, kórych celem jes eliminacja auokorelacji resz. 46

47 Przeprowadzamy regresję: gdzie: - rozszerzenie Liczbę opóźnień k dobieramy ak aby z resz wyeliminować auokorelację. 47 k i i i y y y 1 1 i i y

48 Saysyka esowa dla esu ADF : saysyka oszacowania parameru przy y 1 policzona dla Dla dużych prób ablice warości kryycznych dla esu ADF są akie same jak w eście DF. Dla małych prób, małopróbkowe warości kryyczne esu DF są jedynie aproksymacją prawdziwych warości kryycznych esu ADF. 48

49 Tes ADF przeprowadzamy w nasępujący sposób: 1. regresja y na y 1 2. badamy wysępowanie auokorelacji za pomocą esu Breuscha-Godfreya (nie Durbina-Wasona): a) jeśli auokorelacja nie wysępuje o porównujemy saysykę dla z warościami kryycznymi esu ADF: y 1 i. warość saysyki jes mniejsza od warości kryycznej - odrzucamy 0 o niesacjonarności y i przyjmujemy H o sacjonarności ; H 1 y 49

50 ii. warość saysyki jes większa od warości kryycznej nie ma podsaw do odrzucenia b) jeśli auokorelacja wysępuje o dodajemy sopniowo rozszerzenia do momenu aż się jej pozbędziemy a nasępnie porównujemy saysykę dla y 1 z warościami kryycznymi esu ADF i. warość saysyki jes mniejsza od warości kryycznej - odrzucamy H0 o niesacjonarności y i przyjmujemy o sacjonarności ; y H 0 H 1 50

51 ii. warość saysyki jes większa od warości kryycznej nie ma podsaw do odrzucenia H 0 51

52 W przypadku błądzenia przypadkowego: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 998) = 0.08 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

53 W przypadku błądzenia przypadkowego: Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 53

54 1. Wyjaśnić na czym polega zjawisko regresji pozornej. 2. Dlaczego przed przysąpieniem do weryfikacji hipoez o isoności zmiennych w modelu szacowanym na szeregu czasowym powinniśmy przeesować ich rząd inegracji? 3. Opisać procedurę esowania sacjonarności za pomocą rozszerzonego esu Dickey-Fullera (ADF). 4. Opisać jak dla różnych modeli rendów formułujemy hipoezę zerową i alernaywną w rozszerzonym eście Dickey-Fullera (ADF).

55 Dziękuję za uwagę 55