Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x c 0 x c + 0 jeżeli dla każdego > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) g < dla c < x < c (c < x < c + ). Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) > M dla c < x < c (c < x < c + ). 2

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) < M dla c < x < c (c < x < c + ). Są to definicje w sensie Cauchy ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego : Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {x n } zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi x n < c (x n > c), mamy lim f (x n ) = g (+, ). n 3

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g, x c jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x + (x ), co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x + x jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x) g < dla każdej wartości x > K (x < K ). 4

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że funkcja f (x) dąży do + ( ) przy x +, co zapisujemy lim f (x ) = + ( lim f (x ) = ), x + x + jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K. Granice lim f (x ) = + i lim f (x ) = x x określamy podobnie. 5

Granica i ciągłość funkcji Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), to x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x ) 0. x c x c x c Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą. 6

Granica i ciągłość funkcji Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji w punkcie x = 2. f (x ) = (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że 3x 2 5x 2 = 3(x 2)(x + 1/3) i 5x 2 20 = 5(x 2)(x + 2). Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]} {(x 2)/(x 2)} = g (x ) h (x ). Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20. x 2 Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x 2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany. 7

Granica i ciągłość funkcji W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1. x 2 Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy lim (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) = (7/20) 1 = 7/20. x 2 Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3. Mamy natomiast lim [x ] = 3, gdyż dla 3 x < 4 jest [x ] = 3, x 3+0 lim [x ] = 2, bo dla 2 x < 3 jest [x ] = 2. x 3 0 Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje. 8

Granica i ciągłość funkcji Przykład 3. Obliczyć lim (10x )/tg(3x ). x 0 Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie: (10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ). Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim sinx /x = 1 x 0 mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadto x 0 x 0 lim cos(3x ) = cos 0 = 1. x 0 Zatem lim (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ) = (10/3) 1 1 = (10/3). x 0 9

Granica i ciągłość funkcji Przykład 4. Obliczyć lim f (x ) dla f (x ) = {x [x (x 2 1) 1/2 ]} 1/2. x + Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x 2 1) 1/2 ] 1/2 mamy f (x ) = x 1/2 /[x + (x 2 1) 1/2 ] 1/2. Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy f (x ) = 1/[1+(1 1/x 2 )], skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/(1 + 1 1/2 ) 1/2 = 1/2 1/2. x + Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1 x 2 )] w punkcie x = 1. Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1. x + x x + x 10

Granica i ciągłość funkcji Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji g (x ) = 1/(1 x 2 ). Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci g(x ) = 1/(1 + x ) 1/(1 x ). Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne: lim 1/(1 x ) = +, lim 1/(1 x ) =. x 1 0 x 1+0 Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że lim exp(1/(1 x 2 ) = 0, lim exp(1/(1 x 2 ) = +. x 1+0 x 1 0 11

Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x, gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę lim y/ x = lim [f (x + x ) f (x )]/ x. x 0 x 0 Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = x w punkcie x = 0). 12

Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = u v, to y = u v. Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = u v, to y = u v + uv. Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v 0, to y = (u v uv )/v 2. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x 0, funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x 0 oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u 0, gdzie u 0 = g (x 0 ), to (dy/dx) x =x0 = (dy/du) u =u0 (du/dx) x =x0. 13

Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx 0, tj. dx/dy = 1/ (dy/dx ). Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać! 14

Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji y = (3x 2 4x x 2/3 )/(2x 1/2 ). Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2 mamy y = (3/2)x 3/2 2x 7/6, skąd y = (9/4)x 1/2 (7/3)x 1/6. Przykład 2. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (2 x 2 )/(2x 3 + x + 3). Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x 2 + 1. Zatem y = [ 2x (2x 3 + x + 3) (2 x 2 )(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3) 2 = (2x 4 13x 2 6x 2)/(2x 3 + x + 3) 2. 15

Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji y = sin 3 [(1 2x )/x ] 1/2. Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych: y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1 2x )/x. Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2 ), dt/dx = 1/x 2. Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy dy/dx = 3z 2 cosu 1/2t 1/2 ( 1/x 2 ). Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy dy/dx = 3/{2x [x (1 2x )] 1/2 } sin 2 [(1 2x )/x ] 1/2 cos[(1 2x )/x ] 1/2. 16

Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0. Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy y = e x lnx [1 lnx + x (1/x )] = x x (lnx + 1). Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx ) tgx 0 < x < /2. w przedziale Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e ln sinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy y = (sinx ) tgx = e tgx ln sinx. Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x ) f (x ). Zatem y = e tgx ln sinx [(1/cos 2 x )ln sinx + tgx (1/sinx ) cosx ] = (sinx ) tgx [ln(sinx )/cos 2 x + 1]. 17

Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu y = x 5 2x 4 + 4x 2 16x + 15. Mamy y = 5x 4 8x 3 + 8x 16, y = 20x 3 24x 2 + 8, y = 60x 2 48x, y (4) = 120x 48. y (5) = 120, y (6) = 0. Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru. 18

Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx. Mamy y = cosx, y = sinx, y = cosx, y (4) = sinx = y i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y, y (6) = y itd. Ponieważ y = cosx =sin(x + /2), y = sinx = sin(x + 2 /2), y = cosx = sin(x + 3 /2), y (4) = sinx = sin(x + 4 /2), więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx : y (n ) = sin(x + n /2). Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym. 19

Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ), dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza: y (n ) = u (n ) v + ( n 1)u (n 1) v + ( n 2)u (n 2) v + + ( n k)u (n k ) v (k ) + + uv (n ). Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx. Przyjmując u = e x i v = sinx mamy u (n ) = ( 1)ne x, v (n ) = sin(x + n /2) i na podstawie wzoru Leibniza: y (n ) = ( 1) n e x sinx + + ( 1) n k ( n k)e x sin(x + k /2) + + e x sin(x + n /2). 20

Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = f (t ), y = g (t ), pochodną obliczamy z wzoru dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt 0. Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi Mamy Zatem x = sint t cost, y = cost + t sint. dx/dt = cost + t sint cost = t sint, dy/dt = sint + t cost + sint = t cost. dy/dx = t cost /(t sint ) = ctgt. 21

Pochodną rzędu drugiego d 2 y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco: d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)]/(dx/dt), gdzie d/dt (dy/dx) = d/dt [(dy/dt)/(dx/dt )] = (d 2 y/dt 2 dx/dt d 2 x/dt 2 dy/dt )/(dx/dt ) 2 Przykład. Obliczyć d 2 y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint t cost, y = cost + t sint. Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy d 2 y/dx 2 = [d/dt (ctgt )]/(dx/dt ) = ( 1/sin 2 t )/(t sint ) = 1/(t sin 3 t ). 22

Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x 1 + (1 )x 2, gdzie x 1 < x 2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x ) y, gdzie y = f (x 1 )+ (1 )f (x 2 ). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcja f (x ) jest wypukła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f (x ) > 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wypukła. 23

Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x 1 + (1 )x 2, gdzie x 1 < x 2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x ) y, gdzie y = f (x 1 )+ (1 )f (x 2 ). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcja f (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f (x ) < 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wklęsła. 24

Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą. Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f (x ) = 0. 25