Analiza matematyczna (27/28) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. dr Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literą(p) oraz symbolem(*). Zadania oznaczone literą są proste i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką są trudniejsze. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy zadań umieszczono zestawy zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminu podstawowego i poprawkowego, a także z egzaminu na ocenę celującą. Ambitnych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej http://wmat.pwr.edu.pl/studenci/kursy-ogolnouczelniane/egzaminy-na-ocene-celujaca Lista pierwsza. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: (a) Wrocław był stolicą Polski ; (b) liczba 333333 jest podzielna przez 9 ; (c) a 2 +b 2 =c 2 ; (e) 2 5 32 ; 2. Napisać zaprzeczenia zdań: (a) jem śniadanie i słucham»trójki«; (b) kwadrat nie jest pięciokątem ; (d) trójkątobokach9,9,2jestrównoramienny ; (f) =b 2 4ac. (c) przez Poznań przepływa Odra lub Warta ; (d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; (e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzez2orazprzez3. 3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych: (a) nieprawda,żefunkcjaf()= 2 jestrosnącana R ; (b) ( ) 44 = lub28jestliczbąparzystą ; (c) funkcjag()=sin+cos(π/2)jestokresowa,afunkcjaf()=3 3 nieparzysta ; (d) jeżeli Piotr jest ojcem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; (e) liczba 26 jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z końcowych trzech cyfr jest podzielna przez 8. Zadaniazaczerpniętozksiążek:Analizamatematyczna(Definicje,twierdzenia,wzory;Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy), Wstęp do analizy i algebry oraz Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą.
4.Używająctylkokwantyfikatorów,spójnikówlogicznychorazrelacji=,,<, zapisaćstwierdzenia: (a)funkcjafniejestrosnącanaprzedziale[a,b]; (b) [p,q); (c) układ równań { 2 +y 2 =4, +y= nie ma rozwiązań; (d)równanie 7 +3 5 +=matylkojednorozwiązanierzeczywiste; (e) liczba 27 jest pierwsza. 5. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: (a) =27; (b) 2 +4+3>; (c) 2 +y 3 =; R (d) y R R R y=; (e) R R (y ) (y>); (f) y R R y R 6.DlaparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c : y R sin+cos(+y)=. (a)a=(,5), B=[,7]; (b)a=(,3), B=[, ); (c)a={,2}, B={,2,3,4}. WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B. 7.(P) Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej(jeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: (a)f()= 2 +; (b)f()=2 2 +; (c)f()= 2 ++ 4 ; (d)f()= 2 +2 3; (e)f()= 2 2 2+ 3 2 ; (f)f()= 2 3 9 4. Lista druga 8. Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: (a)f()= 2 2 3 ; (b)f()= 4 2 +2 ; (c)f()= 6 4 ; (d)f()= 3 +. 9. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych przedziałach: (a)f()=3+2,(, ); (b)f()= 2,(,].. Niech f na przedziale będzie funkcją monotoniczną i dodatnią. Określić monotoniczność funkcji /f. Korzystając z powyższego naszkicować wykresy podanych funkcji na wskazanych przedziałach: (a) + 4,(,); (b) +2,(, ); (c) 2+cos,(,π); (d),(4, ). 2. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych przedziałach: (a)f()= 3, (, ); (b)f()=, (, ). 2.Podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: (a)f()=, g()=3+2; (b)f()=, g()=2 ; (c)f()=, g()= 4 ; (d)f()=, g()= +. 3. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: (a)f()= + ; (b)f()=3 4 2,( 2 ); (c)f()=2 ; (d)f()=log(+2); (e)f()= 4,( ); (d)f()= 2 4,( 2). 2
4.(P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: (a)log 6 3+log 6 2; (b)log 3 8 log 3 2; (c)9log 6 3 36; (d)3log 2 3 log 3 4; (e)3log 4 3 2 log 43+3log 4 2 log 4 6; (f) log 254 log 2 6 log 2 27 log 2 9. Lista trzecia 5. Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji y = f(). y y=f() 2 Narysować wykresy funkcji: (a)y=f() 5; (b)y=f( ); (c)y= f(); (d)y=f( ); (e)y=f()/2; (f)y=f(3); (g)y= f() ; (h)y=f( ). 6. Naszkicować wykresy funkcji: (a)y=(+) 4 ; (b)y= 2; (c)y= ( ) 2 (d)y=2 + ; (e)y= ; (f)y=4 ; 3 (g)y=5+log 2 ; (h)y= log ; (i)y=log 3 (+3) 2; 7.(P) Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: (a)y=sin3; (b)y=sin ( 2 ; (c)y=sin + π ) ; 4 (d)y=+sin; (e)y= ( 2 sin ; (f)y=sin2 π ). 6 9. 8. Narysować wykresy funkcji: (a)y= cos ; (b)y=sin sin 2 ; (c)y= tg ctg. 9. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: (a) +tgα +ctgα =tgα; (b)sin4 α+cos 4 α= 2 sin2 2α; (c)tgα+ctgα= 2 sin2α ; (d)sin= 2tg(/2) +tg 2 (/2) ; Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? (e)cos= tg2 (/2) +tg 2 (/2) ; 2. Podane funkcje wyrazić za pomocą sinusa i cosinusa wielokrotności kąta α: (a)sin 2 α; (b)cos 2 α; (c)sin 4 α; (d)cos 4 α. (f)cos4 α sin 4 α=cos2α. 3
2.(P) Podaj wartości wyrażeń: ( 2 (a)arcsin 2 +arccos ) 3/2 ; (b)arcctg arctg; (c)arcsin ; (d)arctg 3 arcctg 3. 2 arcsin 22. Wyznaczyć dziedziny funkcji: ( ) (a)f()=arcsin(2+); (b)f()=arccos 2 +3/4 ; (c)f()=arctg + ; (d)f()=arcctg2. Lista czwarta 23. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: (a)a n = 2+cosn 3 2sinn ; (b)a n= n 2 n ; (c)a n = n; (d)a n = n+8 n+3; (e*)a n = 4 + + 4 2 +2 +...+ 4 n +n. 24. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: (a)a n = 2n+ n+2 ; (b)a n= n n 2 + ; (c)a n= n! n; (d)a n = n 2 6n+ ; (e)a n= 4n 2 n +3 n; (f)a n= n 2 + n. 25. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n (a) lim = ; (b) lim n+4 n 2=; (c) lim 2n =. 26. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: (a) lim (d) lim (g) lim 3n n+ ; (b) lim n+4 2n 2 + ; ( n 2 +2 ) 3 +3+...+(2n ) (n 3 +) 2; (e) lim 2+4+...+2n ( n 2 + ) n!+ ; (h) lim (2n+)(n+)! n 3 +2n 2 + (c) lim n 3n 3 ; 5 n+ 4 n ; (f) lim 5 n 4 n+2; ( n 2 +4n+ n +2n) 2 2n n+ ; (i) lim n 3 +. 27. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: 2n+( ) n n 2 (a) lim ; (b) lim 3n+2 n ; (c) lim n 3+sinn; 3 n (d) lim n + 2 3 n 2+ n3 n3; (e) lim n +2 n ( 5 n +4n; lim n 2 + + n 2 +2 +...+ ) n 2. +n 28. Obliczyć granice z liczbą e: (a) lim (c) lim (g) lim ( + n) 3n 2 ; (b) lim ( ) 2n+ n ( 5n+ 5n ( +lnn lnn 2n ) n ; (e) lim ( 5n+2 5n+ ( 3n+ 3n ) 5n ; (c) lim ) n ; (f) lim ) lnn 2 (n+) n (n+2) n ; (h) lim (n+2) n (n+3) n. 4 ( ) n+4 5 2n ; n+3 ( ) 3n n ; 3n+
29. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n 2 + ( ) (a) lim n ; (b) lim n 4 3n 3 2n 2 ; (c) lim (+2n 3 n ); ( (d) lim n 2 (n+)! arctgn + n) ; (e) lim ; (f) lim n!+2 arcctgn. Lista piąta 3. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: (a) lim( 2) 5 2 =; (b) lim 3 =; (c) lim 2 + 2 =. 3. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć: 2 2 + (a) lim 2 ; (b) lim + 2 ; (c) lim ; +4+3 + 2 5+4 2 2 ( (e) lim ; (f)lim ; (g) lim ( 5) 6 6 2 2 ++) + ; (h) lim 3 +2 ; tg 2 + (i) lim π tg 2 +5 ; (j)lim sin 2 ; (k) lim 2 ++2 ; (l)lim cos + 2 32. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: 2 (a) lim sgn; (b)lim ; (c)lim 2 2 4 2 ; (d)lim arctg. 33. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: (a) lim cos + 2=; (b)lim 2 arctg 2+sin =; (c) lim 2 =. 34. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć: (a) lim sin 2 3 2 ; (d) lim 2 arctg ; ln(+ 3 ) (g) lim sin( 4) (b)lim ; 4 2 (e) lim π 2 ; (h) lim 2 cos5 cos3 ; ln ( 2 3 ) +2 (j) lim(+2) ; (k)lim[+tg(2)] ctg ; 35. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: (a)f()= 3 + 2 2 4 ; (b)f()= + ( ) ; (c)lim arcsin2 arctg ; (f)lim e 3 sin2 ; ; (i)lim π e ; (l)lim (d)lim 2 3 8 4 6 ; ( 3 3 3 + 6 ; 3 (c)f()= 2 9 ; (d)f()= +2 3 +sin ; (e)f()= + 3 2 ; (f)f()=22 ; (g)f()= cos sin2 e ; (h)f()= arctg; (i)f()= sin. ). 5
Lista szósta 36.Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: dla<, a + dla<, a 2 +dla<, (a)f()= a+bsindla π/2, (b)f()= (c)f()= 2 dla, b 2dla ; dla>π/2; 3 +bdla>. Naszkicować wykres funkcji z przykładu(a). 37. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: +2 (a)f()= 2 ++2 dla,2 arctg dla=, (b)f()= dla, dla=; dla=2; (c)f()= ln( 2 ) ln( 2 +) dla, cos (d)f()= dla, dla=; dla=. 38. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ (a) 3 +6 2=,[,]; (b)sin=7, 2π, 5π ] ; (c)ln(+2)+=,[,]; 2 (d) ( + ) 7 =2,[,]; (e)3 +=3,[,]; (f)2 +8 =,[,2]. Wyznaczyć rozwiązania równania(a).25. (*)Dlaczegojedynymrozwiązaniemrównania+log 2 +3 =jest=2? 39. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: (a)f()= 3 ( R); (b)f()= 2( ); (c)f()= (>); (d)f()=cos( R). Lista siódma 4. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: { } (a)f()= 2, =; (b)f()=sin sgn(), =; (c)f()=ma 2,4, =2. Naszkicować wykresy tych funkcji. 4. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: ( (a)y=f (b)y= ); f( 2) ; (c)y=e f(e ); (d)y=f()cosg(); (e)y= f 2 () g 2 (); (f)y=arctg[f()g()]; ). (g)y=ln f() g() ; (h)y=tgf() g() ; 6 (i)y=f()g (
42. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: (a)3cos+tg; (b)e ( 2 3+ ); (c) 2 + ; (d)e (5+) 2 ; ( ) (e)ln 4 + tg ( ) ; (f)e / arctg(4 ); (g)ln sin 2 + ; (h) arcsin 2 ; (i) 4 ( 5; ( 2 +) 3; (j)2sin2 3 cos2 ; (k) e +) 2 (l)(sin) (<<π); (m)(arcsin+arccos) 2 ; (n)ln(2)+ln 3 ; (o)ln27 2 + ; 43.* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (a)f()=+ln, y =e+; (b)f()=cos 3, y =; (c)f()= 3 + 5 + 7, y =3; (d)f()= 3 +3, y =4. (p)e5 sin2+ πcos3. ( f ) (y ),jeżeli: 44.(P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a)f()=arcsin ) ( ( π π ( 2,(,f()); (b)f()=ln 2 +e,(,f()); (c)f()=e tg, 4 4)),f ; (d)f()= 2 +,(3,f(3)); (e)f()= 2 + 2, ( 2,f ( 2 )) ; (f)f()=e +,(,). 45.(a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 4 2+5,którajestrównoległado prostejy=2+3. (b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif()=,któratworzykąt π 4 zosiąo. (c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=ln,którajestprostopadładoprostej 2+6y =. (d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y. (e)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=sin2 cos3wpunkciejegoprzecięciaz osią Oy. 46.*(a) Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 2 m. Kąt przy wierzchołku tego trójkata, zmierzony z dokładnością. rad wynosi π/3. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu? (b)objętośćkulkimetalowej,wyznaczonazdokładnościącm 3,wynosi36πcm 3.Zjakąwprzybliżeniu dokładnośścią można obliczyć średnicę tej kuli? (c) Do szybu puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością. s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł4.s?przyjąćg=9.8m/s 2. (d)wbiegunamczasmierzysięzdokładnością.s.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożna obliczyć średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzyskała ona czas 2.5 s? 47. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln(2 +) lnsin (a) lim ; (b)lim 2 ln +9 (d) lim 5 5+4 ; (e)lim lncos lncos3 ; (g) lim +ln; (j) lim ( ctg ) ; (k)lim (h) lim π (π )tg 2 ; ( ln + 7 ; (c)lim arctg 2 ; (f) lim arcctg; ( (i) lim + cos 2 ) ; (l) lim +( ln) ; ) ;
( ) 2 (m) lim π arctg ; (n) lim ; +(+)ln (o) lim ( π 2) (tg)cos. Lista ósma 48. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: (a)f()= 3 3 2 +225; (d)f()= 3 3 2; (g)f()=ln 2 ; 49. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: (b)f()= 4 4 3 3 2 ; (c)f()=4+ ; (e)f()= 2 ; (f)f()=e 3 ; (h)f()= ln ; (i)f()= ln. (a)f()= 3 4 2 ; (b)f()=+ ; (c)f()=2 ; (d)f()=(+)e ; (e)f()= + 2 + ; (f)f()= 2 5 6 ; (g)f()=ln; (h)f()= ( 3 3 ; (i)f()=2arctg ln + 2). 5. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach w ich dziedzinach naturalnych: (a)f()=2 3 5 2 +36,[,5]; (b)f()= 2 2+2,[ 2,2]; (c)f()= + 9 ; (d)f()=( 3) 2 e,[,4]; (e)f()= 9 2,[ 5,]; (f)f()=sin 3 6sin,[ π/2,π/2]; (g)f()= 3+2 2 ; 5.(P)Obliczyćf,f funkcji: (h)f()=arcsin+arccos( ). (a)f()=4 7 5 3 +2; (b)f()= 3 2 ; (c)f()=e ; (d)f()=arctg; (e)f()=sin 3 +cos 3 ; (f)f()= 3 ln. 52. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: (a)f()=( )( 3); (b)f()=e ; (c)f()= 3 2 +2 ; (d)f()=ln (+ 2) ; (e)f()= 2; (f)f()= 2 3 3 4ln ; (g)f()=sin+ 8 sin2; (h)f()=earctg ; (i)f()= ln. Lista dziewiąta 53. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: 8
(a)f()=( ) 2 (+2); (b)f()= 3 ; (c)f()= ; (d)f()=3 4 4 2; (e)f()= 2 ; (f)f()= ln ; (g)f()=e 2 ; (h*)f()=sin+sin3; (i)f()= 2 ln. 54. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od prostoliniowego brzegu. Ropa z platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia km rurociągu na dnie morza wynosi 2 euro, a na lądzie euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria 55.Prostopadłościennykontenermamiećpojemność22.5m 3 ikwadratowąpodłogę.kosztm 2 blachypotrzebnejdowykonaniapodłogiipokrywywynosi2zł,aścianbocznych 3zł.Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 56. Jaki powinien być kąt α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 57. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego naturalnym bokiem jest prostoliniowy brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka S a b 58.Wparabolęorównaniuy=4 2 wpisanoprostokąt,wsposóbprzedstawionynarysunku. Znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole. y y=4 2 9
Lista dziesiąta 59.NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: (a)f()= 3, =,n=4; (b)f()= 2, =,n=2; (c)f()=sin2, =π,n=3; (d)f()=e, =,n=5. 6. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: (a)f()=sin 3 ; (b)f()=cosh; (c)f()=cos; (d)f()= e. 6. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: (a)tg, π 2 ; (b)cos2 2,.; (c) + + 2 2,.25; (d)ln( ) 2 8 2 3 3, <.. 62. Stosując wzór Maclaurina obliczyć: (a) e zdokładnością 3 ; (b) 3.997zdokładnością 3 ; (c)ln.zdokładnością 4 ; (d)sin.zdokładnością 5. Lista jedenasta 63. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: (a) (2 ); (b) 3 2 2 Wskazówka. Zastosować odpowiednio wzory 2 2. (a) +2+...+n= n(n+) 2 64. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: 2( ) + (a) ; (b) (d) ( + 3) ; (e) 2, (b) 2 +2 2 +...+n 2 = n(n+)(2n+). 6 9 ; (c) + ( 2 ) 3 2+ 4 ; (f) π/3 2 + ; tg 2. 65. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: 3 +2 3 +...+n 3 (a) lim n 4 = ( ; (b) lim cos 4 [ π )] n 2n +cos2π 2n +...+cosnπ = 2 2n π ; [ (c) lim n +n+ 2+n+...+ n+n n( )] = 2 ( 2 ) 2. 3
66. Obliczyć podane całki nieoznaczone: ( (a) 3 + 4 ) 3 ; (b) (d) cos2 cos sin ; ( ) + ; (c) 4 2 + ; (e) 3 + 3 2 ; 67.* Znaleźć wielomian najniższego stopnia, który: (f) e 3 2. (a)wpunkcie=maminimumlokalnewłaściwe,awpunkcie=3maksimumlokalne,aponadto wpunkcie=przyjmujewartość2; (b)dla=2mapunktprzegięciawykresu,przyczymwartośćwielomianuijegopochodnasąwtym punkcie równe odpowiednio i 2. 68. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: (a)y=2 2,+y=; (b)y= 2,y= 2 2,y=3; (c)y= 2,y=,y=4; (d)y=,y= 4 2 + ; (e)y=2,y=2,=; (f)y=+sin,y=,( 2π); (g)y= 2,=y 2 ; (h)y 4 =,y=,y=6; (i)y 2 =,y= 6,y=,y=4. Lista dwunasta 69. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg (a) e 3 ; (b) (+) 2 e ; (c) ; (d) cos 2 ; arccos (e) 2 sin; (f) ; (g) ln(+); (h) arccos; + (i) e 2 sin; (j) sinsin3; (k) sin3cos; (m) sin 2 ; (n) cos 4 ; (o) 7. Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: (a) (d) π 4 e ; (b) sin2; (e) π 2 e 2 ; (c) (+cos); (f) e ( ln + 2) ; (p*) e ln 2 ; arcsin. 7. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: (a) (e) (i) cos +4 ; (b) ; (c) ch ; ln ; (j) cos ; (d) +sin (f) (5 3) ; (g) 2 5 5 3 +; (h) e 5sin e 2 + ; (k) 3 2cos ; (l) (l) coscos5; ( ) sin 2 +4 ; 2+ ; 3 e 2. sine.
72. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: (a) (c) (e) π 4 sine cos,cos=t; (b) +, +=t; (d) ( ),=t 2 ; (f) 3 e 3 +,+=t; ln,ln=t; 9 2,=3sint; (g) 73.(P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: (a) ( 3) 7; (b) +5 ; (c) 5 (2 7) 3; (d) 8 9+2. 2 ln3 e +e 2,e =t. Lista trzynasta 74. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: (6+3) (a) 2 +4+29 ; (b) 2 ++4 ; (c) (4+2) 2 +29 ; (d) 75. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: (+2) 2 (a) ( 2) ; (b) + ; (c) (4+) (e) ( 2 +)( 2 +4) ; (f) 2 2 ++ ; (g) (5 4) (i) 2 4+2 ; (j) 2 2 +2+5 ; (k) ( ) 9 2 +6+2. 4 ( ) 2; (d) 2 9 ; 2 2 +6+8 ; (h) ( 2 +4) ; (l) 76. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: (a) sin 3 ; (b) sin 4 cos 3 ; (c) cos 4 ; ( 2 4) ; 4. (d) sin 3 cos 6 ; (e) cos 2 cos2; (f*) sin 2 2sin 2. 77. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: +tg (a) sin+tg ; (b) cos ; sin 2 (d) +cos ; (e) tg ; (g) cos ; (h) (c) sin+cos ; (i) +2cos 2 ; (f) sin 5 cos 3 ; 3sin+4cos+5. 2
Lista czternasta 78. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: (a) + y=,=,y=; (b)4y= 2,y= 8 2 +4 ; (c)y=ln,=e,y= ; (d)y=tg,y=ctg(<<π/2); (e)y= 9 2,y=,y=2; (f)y=2,y=4,y=6. 79. Obliczyć długości krzywych: (a)y=ln e + e, 2 3; (b)y=2, ; (c)y=2 3, ; (e)y=e, 2 ln2 ln3; (g)y=5 2 + 6 3, 2; (h)y= lncos, π 4. 8. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: (a)t: 2, y 2 2,O; (b)t: 2 5, y 2 +4,Oy; (c)t: π 4, y tg,o; (d)t:,2 y,oy; (e)t:, y 3,Oy; (f)t: 3, y,oy; 4 (g)t: 4, y 5,O; (h)t: π 2, y sin+cos,o; (i)t: π, y sin,y=2; (j)t:, y 2,=2. 8. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji f wokół wskazanych osi: (a)f()=cos, π 2,O; (b)f()= 4+, 4 2,O; (c)f()=ln, 3,Oy; (d)f()= +, 2,Oy; (e)f()= 4 2,,O; (f)f()= ( ), 3,O; 3 (g)f()=,,oy; (h)f()= 2 9 2, 3,Oy. 82.(a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L. (b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomej.średnicawalcad=2m,adługośćl=6m.obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęści.masawłaściwawodyγ=kg/m 3. 83.(a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =2m/s 2.Poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s 2.Znaleźćpołożeniepunktupoczasiet 2 =2sodchwilirozpoczęciaruchu. (b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov (t)=t+t 3,v 2 (t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek? 3
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Ikolokwium Zestaw A.Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif()= 5 5 25. 2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= arctg wpunkcie = 3. ( sin 2 4 ) 4. Obliczyć granicę lim 2 2 3+2. Zestaw B n 3 n+ +2 2n+. (. Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n 2). 2. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji f() = e 2 2. Następnie obliczyć jej pochodną. 3.SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie2 +=5matylkojednorozwiązanie. 4. Obliczyć granicę lim [(ln(+) ln)]. Zestaw C +a dla, e.dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf()= dla<, b 2 2dla< byłaciągłana R. ( ) 3n+2 2n 5 2. Obliczyć granicę lim. 3n+ 3.Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e,którajestrównoległadoprostej y=e 2. ( ln 2 8 ) 4. Obliczyć granicę lim. 3 3 Zestaw D.Znaleźćdziedzinęnaturalnąfunkcjif()=arcsin ( 2 3 ) iobliczyćf (). n 2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +2n 2 +3. 3.Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif()= 24 3 3 +. 4.Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()=e 3 wpunkcie (,e 7). 4
II kolokwium Zestaw A. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim arctg 2. 2. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = 3. Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną 2π cos 2. 2 + naprzedziale[,2]. 4.ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini prostąy=2/π( π/2). Zestaw B. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f() = / + ln. 2. Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole. 3.Przezpodstawienie=t 2 2 + (t )obliczyćcałkę.następniewyznaczyćfunkcję + pierwotną F funkcji podcałkowej spełniającą warunek F() = 2/3. 4.Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif()=sin 4. Zestaw C.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig()=arctg 3 /3. 2. Oszacować dokładność wzoru przybliżonego + 2 +3 8 2 dla.. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y=2 2 iprostą=.sporządzić rysunek. ( ) 4. Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f() = / 3 +4. Sprawdzić otrzymany wynik. Zestaw D.Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif()= ln. 2. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim e 3 +e 3 2 2. 3.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y 2 =,+y=2.sporządzićrysunek. 4. Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctg. Egzamin podstawowy Zestaw A.ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e 2, y=.sporządzić rysunek. 5
2. Metodą podstawiania obliczyć całkę +. 3. Obliczyć granicę lim n 2 +9 n n 2 +4 n. 4.Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif()= 25 2. 5. Obliczyć granicę lim. ( )sinπ { e 6.Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcjaf()= + dla, 2 +p+qdla< miałapochodnąw punkcie =.Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji. Zestaw B.Znaleźćasymptotywykresufunkcjif()= ( 2) 3. 2. Obliczyć całkę (4+6) 2 +4+3. 3. Wyznaczyć granicę lim sin(2 2 )sin(3 3 ). sin ( 5 5 ) 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f() = sin( π)wokółosio. 5.Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif()= 3 ln. 6. Wyznaczyć granicę lim (3n+2)(n+)! n 2. (n!+4) Zestaw C. Obliczyć całkę 2 sin. 2.Znaleźćekstremafunkcjif()=( 3)e. 3.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 2 6,y=6+3 3 2.Sporządzić rysunek. 4.Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif()= 3 + 2,którajestprostopadłado prostej+2y 3=. 5.Obliczyćgranicęciągu n = n 2 +5n+2 n 2 +3n+. 6. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim +( ln). Zestaw D.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin( π)orazprostą y = /2. Sporządzić rysunek. 2.Wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif()=(2 )e 2. 3. Obliczyć całkę 2 2 6+25. 6
4.Pokazać,żerównanie+ln 2=matylkojednorozwiązanie. (2 n +) ( 3 n+ +2 ) 5. Obliczyć granicę lim 6 n. +5 6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f() = 3. Egzamin poprawkowy Zestaw A.Obliczyćgranicęciągua n =n ( n ) n 2. 2.Wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= ( ) 2. 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = wypukła. ( ) 2 +2 e jestjednocześnierosnącai 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= 2 +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3.Sporządzićrysunek. 5. Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? ln(2arctg) 6. Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę + 2. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Zestaw B.Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej 2 ++4 3 +4.Sprawdzićotrzymanywynik. 2.Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif()= 22 +2+ 2 naszkicować. oraz starannie go 3.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf()= lnjestjednocześnierosnąca iwypukła. 4.Obliczyćgranicęciągu n = 5. Obliczyć granicę lim +tg2ln. 2 n ( 2 2n + 2 n ). 6.Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln( ). Zestaw C.Wyznaczyćdziedzinęnaturalną,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif()= (+) +2. 2.Obliczyćgranicęciągua n = n(n+) n. 3. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f() = wklęsła. 7 ( ) 2 6+2 e jestjednocześniemalejącai
4.NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3. 5. Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki. Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze. 6. Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsin. Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku. Zestaw D. Obliczyć granicę lim +ln(tg). 2.Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig()= 32 +4 5 2 3 naszkicować. ) 3.Obliczyćgranicęciąguy n =3n( 4n 2 2n. oraz starannie go 4.Wyznaczyćprzedział(jeżeliistnieje),naktórymfunkcjag()= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła. 5.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln 2. 6. Obliczyć całkę z funkcji wymiernej Egzamin na ocenę celującą(luty 26 r.) 6 4 9 2.Sprawdzićotrzymanywynik..Pokazać,żedlapewnejliczbynaturalnejnrozwinięciedziesiętne nzaczynasięukłademcyfr 26, a bezpośrednio po przecinku ma 7 siódemek. Pozostałe cyfry rozwinięcia mogą być dowolne. f ( 2) 2. Jakie wartości może przyjąć granica lim + f(),gdyfjestfunkcjąciągłąnaprzedziale[,) idodatniąna(,)? 3. Znaleźć wielomian, który tylko w i 2 ma ekstrema lokalne właściwe(odpowiednio minimum imaksimum),aponadtotylkowmapunktprzegięcia. 4.Niechfunkcjafbędzieciągłainieujemnanaprzedziale[a,b](a ).Wyprowadzićwzórna objętośćbryłypowstałejzobrotuobszaru{(,y):a b, y f()}wokółosioy.korzystając z niego obliczyć objętość torusa, tj. bryły powstałej z obrotu koła o promieniu r wokół osioddalonejor(r>r)odjegośrodka. R r 8