MAP 1143 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B. Listy zadań

Transkrypt

1 MAP ANALIZA MATEMATYCZNA. B Zadania z listy oznaczone gwiazdką są nieco trudniejsze albo mają charakter teoretyczny. Jednak nie wychodzą one poza ramy programu kursu. Odpowiedzi do zadań z listy można zweryfikować za pomocą programów komputerowych. Istnieje wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te można wykorzystać np. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, wyznaczania całek i pochodnych, rozwiązywania równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych. Polecamy stronę internetową Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maima, Microsoft Mathematics, Octave, pakiet R, Sage, Scilab, a także programy płatne: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPalce. Uzdolnionych studentów zachęcamy do udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów można znaleźć na stronie internetowej Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Wrocław, wrzesień 0 Listy zadań Lista.. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a AmsterdamjeststolicąHolandii b liczba888jestpodzielnaprzez8 c a +b =c d trójkątobokach,,5jestostrokątny e 5 f =b ac... Napisać zaprzeczenia zdań: a jem śniadanie i słucham radia b kwadrat nie jest pięciokątem c stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław d jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen e liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzez... Ocenić prawdziwość zdań złożonych: a nieprawda,żefunkcjaf= jestrosnącana R b = lub008jestliczbąparzystą c funkcjag=sinjestokresowa,afunkcjaf= nieparzysta d jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra e liczba579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma jestpodzielnaprzez9... Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi: a p q= [ p q] bp= [q q= r] cp= q [ p q] d[p q] [ p q]?.5. Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci: a { R: = } b { n N:liczban njestparzysta } c{ R:< 5} d{n N:njestpodzielneprzez5} e { R:>0= >0 } f{,y,z:,y,z N <y<z yz=6}..6. Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów: a[,7] b{trójkątrównoboczny,kwadrat} c{,,6,...} { } d,, 5, 7,,... e{} [,] f{,,,, 5,5, 5,5}..7. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: a sin= R d y R R y=0 b R ++>0 c R e Ry Ry y> f y R y R y =0! R π,π tg=y.

2 .8. DlapodanychparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c,a B: aa=0,5, B=[0,7] ba=,, B=[, ca={,}, B={,,,} da=n, B={n:n N}. WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B..9. Wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru{,, }..0*.KtórazrelacjiA B,czyB Azachodzi,gdy: aa B=A ba B A ca\b=a db A B? Lista.. Określić i narysować dziedziny funkcji: af= df= + bf= + cf= 6 ef= ff= 8+6..*. Wyznaczyć zbiory wartości funkcji: af= + bf= + cf= + df=+ + ef= + ff= 9... Na podanych przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji: af=,,0] bf=, [, cf= +, [0, d*f=+, R... Wyznaczyćwspółczynnikkierunkowyaorazwyrazwolnybfunkcjiliniowychy=a+b: ay= by =0 cy= + dy+= e+y =0 f 5y=..5. W podanych przedziałach uprościć wyrażenia: a+ +,gdzie, b + +,gdzie, c +,gdzie, d,gdzie 0,..6. Korzystając z interpretacji geometrycznej a zaznaczyć na osi liczbowej R rozwiązania nierówności: a b < c 5 > d..7. Sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje funkcje kwadratowe i naszkicować ich wykresy: af= + bf= + cf= ++ df= + ef= + ff= Wyznaczyć współczynniki oraz określić stopień funkcji wielomianowych: aw=+ bw= + + cw=+ dw=+ +.

3 .9*. Naszkicować przykład wykresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności oraz znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej : a = krotny, =0, =,a >0 b =, = krotny, =,a 5 <0 c = krotny, =0 krotny, = krotny,a 8 >0 d = krotny, =0 krotny, = krotny,a 8 >0..0. Rozwiązać równania wymierne: a d 6 + =0 b 6 + = = e.. Rozwiązać nierówności wymierne: a <0 b++ 0 c > d +5 > Lista e + ++ >0.. Określićfunkcjezłożonef f,f g,g f,g g,jeżeli c 9 = + + = + f + + = + 6. f ++ af=, g= bf=, g= cf= +, g= + df=, g= +. Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych..*. Uzasadnić, że złożenie funkcji: a rosnących jest funkcją rosnącą b rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą c malejących jest funkcją rosnącą... Znaleźćfunkcjefigtakie,żeh=f g,jeżeli: ah= + ++ bh= + ch= *Czy funkcje f i g są wyznaczone jednoznacznie?.. Korzystając z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku. + dh= +. A y y=f B y y=f naszkicować wykresy funkcji: af+ bf cf+ d f+ e f ff..5. Przekształcającwykresyfunkcjiy=,y=,y= naszkicowaćfunkcje:

4 ay=, y=, y=+, y= +7 by=, y=, y= +, y= cy=, y=, y=, y= Podanyjestwykresfunkcjiy=f y y=f Naszkicować wykresy funkcji: ay=f+ by=f cy=f + dy= f ey=f fy= f gy=f hy= f iy=f. Lista.. Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a0 b c5 d5 e50 f Kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach: a b π c7π dπ e5 π fπ 6... Na płaszczyźnie narysować w położeniu standardowym kąty: a π 8 b0 c π 5 d 70 e 7π f 7π... Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać podane wyrażenia w postaci funkcji trygonometrycznych kąta α 0, π : π 5π π asin α bcos +α ctgπ α dctg +α..5. Zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta z pierwszej ćwiartki wyrażenia: asin π bcos 9 π ctg 95 π dctg 9 π..6. Obliczyć wartości wyrażeń: acos 9 +cos 6 π 5π6 bcos π sin π ctg 7 π ctg 5 π dctg 6 π+ctg 7 6 π.

5 .7. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a +tgα +ctgα =tgα bsin α+cos α= sin α ctgα+ctgα= sinα dtg α = cosα sinα esin α cos α=sin α cos α f Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe?.8*. Wyprowadzić wzory: cosα cosα=sinαtgα. asinα= tg α bcosα= tg α ctgα= tg α dctgα= tg α. +tg α +tg α tg α tg α.9. Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować w przedziale[ π, π] wykresy funkcji: ay=sin by=sin cy=sin + π [ dy=sin π ] ey=+sin fy= 6 sin..0. Naszkicować wykresy funkcji: ay=cos π by=sin sin + cy=+ctg π dy=tg+ tg ey=sin+cos fy= tg ctg... Rozwiązać równania trygonometryczne: asin= sin bcos=sin π ccos =cos + π π d sin 6 =cos etg π π =tg 6 fctg=tg gctg + π =ctg htg + π =ctg.. Rozwiązać równania trygonometryczne: + π + π. 6 asin +cossin=0 bsin =cos ctg tg+=0 dtg+tg=tg esin =0 fcos =... Rozwiązać nierówności trygonometryczne: π asin bcos 6 π < ctg +π.. Rozwiązać nierówności trygonometryczne: acos sin [, π ],π bcos+sin cctg ctg <0 dtgtg, π,π. Lista 5 > d ctg + π. 5.. Rozwiązać równania wykładnicze: a =8 b = c 5 5=0 8 d9 + + = e5 = f + =0. 5

6 5.. Rozwiązać nierówności wykładnicze: a <9 b0.5 + <0.065 c > + d i e < e + j + <. 5.. Rozwiązać równania logarytmiczne: alog =log 8 blog + log = clog +log= dlog 6 =+log. 5.. Rozwiązać nierówności logarytmiczne: alog 5 5 > blog log >log c log log dln+ ln > Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: af=, R\{0} bf=, [0, cf=, [0, d*f=, [, Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: af= + bf= + c*f= 6 sgn { dla<0, d*f= ef= ff= +dla 0 gf=log+ ef=log ff=log *. Obliczyć wartości wyrażeń: atg arccos bctg arcsin csin arcsin 5 +arcsin8 dsinarctg+arctg *. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π af=sin,,π bf=cos, [π,π] cf=tg, π, π df=ctg, π,π. Lista Uzasadnić, że podane ciągi są ograniczone: aa n = +cosn sinn ba n= n n + ca n = n n + da n = n+8 n+ e*a n = n +n fa n= n n. 6.. Zbadać, czy od pewnego miejsca są monotoniczne ciągi: aa n = n+ n+ ba n= n n + ca n= n! 0 n da n = n 6n+0 ea n= n n + n fa n= n + n. 6.. awciąguarytmetycznymdanesąa 5 =oraza = 9.Wyznaczyćpierwszywyrazorazróżnicęciągu. bpierwszywyrazciąguarytmetycznegojestrównya =000,aróżnicajestrównar=.Obliczyćsumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu. 6

7 cliczby,, +tworząciągarytmetyczny.obliczyć. d Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, w którym suma trzech pierwszych wyrazów jest równa-6, a suma ich kwadratów 0. e Ile liczb, będących wielokrotnością 9, można znaleźć w przedziale[0, 90]. frozwiązaćrównanie n= a Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi, a suma kwadratów tych wyrazów wynosi. Znaleźć sumę wartości bezwzlędnych wyrazów tego ciągu. bwciągugeometrycznymsiódmymwyrazemjest,apiętnastym6.obliczyćsumęa +a +a a 0. cwciągugeometrycznymdrugiwyrazjestrówny,aszósty9.ilewyrazówtegociągujestmniejszychod 00? dobliczyćsumę+a+a +a +...+na n dladowolnegon Noraza R. erozwiązaćrównanie = Sprawdzić,któryzpodanychciągówowyrazieogólnyma n jestciągiemarytmetycznym,aktórygeometrycznym: n aa n = n+ ba n =+n ca n = da n =n Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej uzasadnić równości: n n+ a lim = b lim n+ n =0 c lim lnn 5= Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: a lim d lim g lim j lim n b lim n+ n 0 + n 0 e lim + n + n!+ h lim n+n+! n +6 n k lim n+ n n f lim n n +n+ n +n i lim n + n5 ++ n +n + c lim n n l lim 6.8*. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice: a lim n n +5 n n sinn b lim n + n+ n c lim d lim n+ n + + n n +n log n+ log n +n+ n+6 n+ n 8 n+ + n Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: a lim + n b lim n n + n n+ 5n n 5n+ n c lim d lim 5n+ n Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: a lim b lim n n n c lim +n n d lim n n e lim n+! f lim n!+ arctgn n+ g lim h* lim arcctgn n [ ] i lim lnn+ lnn π n cos n arctg n n. 5 n n+. n+ 7

8 Lista Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: alim 5 = b lim π + = c lim + =. 7.. Wskazując odpowienie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją: alim dlim 0 sgn sgn+ blim elim πsin c lim sin f lim 0 cos. 7.. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: alim 0 + blim clim + 0 dlim glim 6 6 elim 6 h lim 6 j lim ++ k lim m lim π tg + tg nlim sin 0 cos f lim ilim l lim + o lim π 7.. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice funkcji: alimsgn blim 0 clim sin dlim Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki: a lim u=, lim 0 u=,u=0, lim u= b limv=e, lim v=0,funkcjavjestparzysta c lim f=0, limf=, lim f= d lim g=, lim 0 g=, lim +g=, lim g=5 0 e lim h=, lim h=, lim h= f limp=, limp=0,funkcjapjestokresowaimaokrest= Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki. tg cos 7.6. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice funkcji:. alim 0 sin cos5 b lim π cos sin clim 0sin d lim tg tg tg g lim π tg5 e lim 0 sin sin 7 sin sin 6 h*lim cos cos7 0 ilim 0 tg f lim

9 Lista Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: af= + bf= 9 sin cf= π + df= ef= + ff= Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: { a + dla <, a + dla <, af= bf= dla 0, b dla +b dla >0 sin dla π, { +a+b dla <, cf= a+b dla < π df= dla asin+bcos dla > π, b dla <π, ef= +tg dla π ff= sin dla π. a 8.. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + ++ dla, { af= 0 dla=, bf= arctg dla 0, 0 dla=0 dla= + dla 0,,, cf= df= dla 0, dla= 0 dla=0 e*f=sgn [ ] ff= cos dla 0, 0 dla= Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: a +6 =0,0, bsin=7, π, 5π c= sin +, 0, π d 00 + =0,,. Wyznaczyć rozwiązanie równania a z dokładnością 0.5. Lista Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: af= +,gdzie bf=,gdzie>0 cf=tg,gdzie π +kπdlak Z ef=,gdzie R. 9.. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: ay= + + sin by= + cy= + tg dy=sin 6 +cos 6 ey= sin + fy=cos ctg gy= + e hy= sin cos iy= + jy=e e ky=e ly= +9 my= arcsin e ny=ln sin + oy=e arctg py= arcsin. 9

10 9.. Zbadać,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie 0 =0: af= 5 bf=tg cf= sin d*f= Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy we wskazanych punktach istnieją pochodne funkcji: af=,0 = b*f=sin sgn, 0 =0 cf= ctg,0 = π df= 5,0 = Obliczyćf,f,f funkcji: af= bf=sin cf=7 5 + df=sin +cos. Lista Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: af=,,f bf= +,,f cf= sin +,0,f0 df= +,,f. 0.. anapisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif= +5,którajestrównoległadoprostejy=+. bznaleźćstycznądowykresufunkcjif=,któratworzykąt π zdodatniączęściaosio. cwyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif=ln,którajestprostopadładoprostej+6y = 0. dznależćrównaniestycznejdowykresufunkcjif=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostąπ=y. ewyznaczyćrównanieprostej,którajestwspólnąstycznąwykresówfunkcjif= ig= a Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: if=,g=,>0 iif=,g=,>0 iiif=,g=,>0 ivf=tg,g=ctg,0<< π. bdlajakichwartościparametrua R,wykresyfunkcjiy=e a,y=e przetnąsiępodkątemprostym? 0.. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: a b cln dln0.999 ee 0.0 farccos0.99 g h +sinπ 00 +e i*ln Metodą Newtona wyznaczyć przybliżone rozwiązania równań: a +5= b = ccos= dsin= Korzystając z metody Newtona obliczyć przybliżone wartości pierwiastków: a 0 b c Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice: π ln + lnsin a lim b lim c limcos ln 0 d lim arcctg elim arctg flim

11 Lista.. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granicecd.: g lim 0 + ln h lim 0 ctg lncos i lim 0 lncos j lim π arctg k lim 0 ++ln l lim 0 + sin... Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: af= bf=e + cf= df=ln ef= 0 +5 ff=e... Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: af= bf=ln cf= df= 5 6 ef= ff= gf=sin+cos hf= 5e if=arctg ln +... Zbadać przebieg zmienności funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: af=ln bf= cf= df= ef= ff= ln. Lista.. Znaleźć wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach: af= 5 +6,[,5] bf=arctg +,[0,] cf= e,[,] df= 9,[ 5,]... Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 0 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Kosztułożeniakmrurociągunadniemorzawynosi00000euro,analądzie 00000euro.Doktórego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza 0km 6km Rafineria.. Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkościpomijamy opór powietrza. W czasie spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia kinetyczna kropli będzie największa?..prostopadłościennykontenermamiećpojemność.50m ikwadratowąpodłogę.kosztm blachy potrzebnejdowykonaniajegopodłogiipokrywywynosi0zł,aścianbocznych 0zł.Jakiepowinnybyć wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?.5. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?

12 rzeka S a b Lista.. Obliczyć podane całki nieoznaczone: a + d d b c d + d cosd cos sin e + 5 d f 0 d... Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg a e d b d c d d d cos e sind f arccosd + g ln+d h arccos d i e sind j sinsind k sincosd l coscos5d... Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: a e i cos + d b d c +sin ++ d d d ch f 5 0 d g ln d j 5 5 +d h e d 5sind e + k cos l cosd +sin d + e d..*. Obliczyć całki nieoznaczone: a +d b min {, } d c d d e d. Lista.. Obliczyć podane całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d d a 7 b +5 c 5d 8d 7 d Obliczyć podane całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+d a ++9 b ++ c +d 0+9 d d e* d 5d f* +5 +.

13 .. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych: +d a b d + c +d d e ++ f + g 5 d i +0 j d ++5 k Lista 5 dodatkowa d d d ++8 h +d ++ l 5.. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: d + + d +6+8 d +. af=e bf=ln + cf= ln df=sin+ 8 sin ef= ff=cos. 5.. Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówności: a arctga arctgb a b dlaa,b R c arcsin dla 0 < bln b <b a dla a<b a de >e dla >. 5..NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów 0 orazn: af=, 0 =,n= bf=, 0=,n= cf=sin, 0 =π,n= df=e, 0 =0,n=5 ef=, 0=,n= ff=ln, 0 =e,n=.