Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 4 Pochodne funkcji Zadanie 1. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) u() = 2, 0 = 0; b) v() = sin, 0 = 0; 2 dla 2, sin dla π c) w() = 2 0 = 2; d) z() = 2, dla > 2, 1 dla > π 2, 0 = π 2 ; e) f() = 1, 0 = 1; f) g() = π 3 sin, 0 = π; 2 arctg 1 g) h() = dla 0, 2 dla 1, 0 = 0; h) p() = 0 = 1; 0 dla = 0, dla > 1, +1 ln +1 dla 1, i) q() = 0 = 1; 0 dla = 1, e dla Q, j) r() = 0 = dla Q, Zadanie 2. Korzystając z definicji obliczć pochodne podanych funkcji: a) u() = 1 +1, gdzie 1; b) v() =, gdzie > 0; c) w() = tg, gdzie π 2 + kπ dla k Z; d) z() = sh, gdzie R; e) f() = 2 3, gdzie R; f) g() = 3 1, gdzie 0; g) h() = 4, gdzie R; h) p() = sin 1, gdzie 0; i) q() = ctg, gdzie kπ dla k Z; j) r() = , gdzie R. Zadanie 3. Napisac równania stycznych do wykresów podanych funkcji we 1

2 wskazanych punktach: a) f() = arc sin π 2, (1, f(1)); b) f() = ln(2 + e), (0, f(0)); c) f() = e tg, ( π 4, f ( )) π 4 ; d) f() = 2 + 1, (3, f(3)); e) f() = 2 1+, ( 2, f( 2) ) ; f) f() = arctg, 2, (0, f(0)); 2 g) f() =, (e, f(e)); h) f() = e +1, (1, f(1)); i) f() = ln, (e, f(e)); j) f() = arctg 1 1+, (1, f(1)). Zadanie Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji: a) f() = 2, g() = 3, c > 0; b) f() = 4, g() = 4 2 2, > 0; c) f() = 1, g() =, > 0; d) f() = tg, g() = ctg, 0 < < π Dla jakich wartości parametru a R, wykresy funkcji y = e a, y = e przetną się pod kątem prostym? Zadanie Na wykresie funkcji y = e znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej y = e Tory kolejowe biegnące równolegle trzeba połączyć rozjazdem składającym się z dwóch jednakowych łuków parabol (rysunek). Odległość między osiami torów wynosi d = 8m, a rozjazd ma mieć długość l = 40m. Należy go zaprojektować w ten sposób, aby ruch pociągów przebiegał w sposób gładki, tzn. aby w punktach A, B, C istniały styczne do krzywych rozjazdu. Podać równania łuków parabol w układzie współrzędnych 3. Punkt materialny porusza się po prostej y = 3 2 w kierunku osi Oy. Wyznaczyć tor tego punktu po odbiciu sprężystym (kąt padania równa się kątowi odbicia) od łuku paraboli o równaniu y = Zadanie Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwadratem o boku 4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda z prędkością 1 m 3 /min. Z jaką prędkością będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on napełniony do połowy głębokości? 2. Gumowy balon ma kształt kuli o objętości V 0 = 40 m 3. Do balonu wtłacza się powietrze z prędkością p = 1 m 3 /s. Obliczyć, z jaką prędkością powiększać się będzie średnica balonu po 24 s. Założyć, że ciśnienie powietrza w balonie jest stałe. 3. Drabina składa się z dwóch ramion o długości l = 2.5 m. Podstawy ramion są przysuwane do siebie z prędkością v = 5 cm/s. Obliczyć, z jaką prędkością będzie podnosił się wierzchołek drabiny w chwili, gdy podstawy ramion będą oddalone o d = 3 m.

3 Zadanie 7. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) u() = 2, 0 = 1; b) v() = sin sgn, 0 = 0; c) w() = ctg 3, 0 = π 2 ; d) z() = tg dla π 2 < 0, sin dla 0 < π 2, 0 = 1; ( 1) e) f() = 5, 0 = 0; f) g() = 2 dla < 0, 0 = 1; 1 dla 0 < 1, g) h() = sin, 0 = π; h) p() = 3 cos 1 dla 0, 0 dla 0 < = 0, 0 = 0. Zadanie 8. Znaleźć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na R : + 1 dla 0, ae + e dla < 0, a) u() = b) v() = a sin + b cos dla > 0; ch dla 0; 1 dla < 0, c) f() = a sin + b cos + c dla 0 π, 1 dla > π; d) g() = ae + b dla 0, 2 dla > 0. Zadanie 9. Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie 0 = 0 : a) u() = 3 5 ; b) v() = tg 3 ; c) w() = sin ; d) f() = + ; e) g() = 3 dla 0 sin ; f) h() = 1 dla = 0. Zadanie 10. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji: a) y = ( ) e ; b) y = sin 4 +4 ; c) y = 3 arc sin( 3 ); d) y = tg ; e) y = arc sin e ; f) y = (1 + 4 )tg( ); g) y = ; h) y = 2sin2 3 cos2 i) y = e arctg; j) y = sin 6 + cos 6 ; k) y = ln(sin 2 + 1); l) y = e e. Zadanie 11. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f 1 ) (y) dla: a) f() = 3, gdzie R; b) f() = cos, gdzie 0 < < π; c) f() = tgh, gdzie R; d) f() = ln, gdzie > 0;

4 Zadanie 12. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć: a) (f 1 ) (e + 1), gdzie f() = + ln ; b) (g 1 ) (1), gdzie g() = cos 3; c) (h 1 ) (3), gdzie h() = d) (k 1 ) (4), gdzie k() = Zadanie 13. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na wspólnym przedziale, obliczyć pochodne podanych funkcji: a) y = f() cos g(); b) y = e f() g() ; c) y = arctg[f()g()]; d) y = ln ( f() g() + 1 ) ; e) y = sin[f()g()]; f) y = [f()] g() ; g) y = tg f() g() ; h) y = f()arc tg g(). Zadanie 14. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: a) ; b) e 0.04 ; c) ln ; 1 d) arc cos 0.499; e) 3.98 ; f) tg ; g) arc sin 0.51; h) e 0.07 ; i) ln Zadanie Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy wierzchołku tego trójkąta, zmierzony z dokładnoscią rad wynosi π 3. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu? 2. Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm 3, wynosi 36π cm 3. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli? 3. Do sztolni wpuszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością 0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć g = 9.8 m/s Średnica kuli zmierzona z dokładnością 0.1 mm wynosi 21.7 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość tej kuli? 5. Przekątna sześcianu zmierzona z dokładnością 1 mm wynosi 14.3 cm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu? 6. W biegu na 100 m czas mierzy sie z dokładnością 0.01 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzyskała ona czas s? Zadanie 16. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oraz z

5 różniczki funkcji znaleźć przybliżone rozwiązania podanych równań: a) = 2005; b) = 8.70; c) sin + arc tg = 0.008; d) + ln = 3.71; e) = 2.83; f) = 28; g) = 7.1; h) 4 = Zadanie 17. Obliczyć f, f, f podanych funkcji: a) f() = 3 2 ; b) f() = sin ; c) f() = e ; d) f() = arc tg ; e) f() = ; f) f() = sin 3 + cos 3 ; g) f() = 3 ln ; h) f() = ctg 2 + sh 2. Zadanie 18. Zbadać, czy istnieje f (n) ( 0 ) dla podanych funkcji i punktów: (e 1) 2 dla 0, a) f() = 3, 0 = 0, n = 3; b) f() = 3 dla > 0, 0 = 0, n = 2; 2 dla < 0, 4 arc tg 1 dla 0, c) f() = 3 dla 0, d) f() = 0 dla = 0, 0 = 0, n = 2; 0 = 0, n = 3. Zadanie 19. Funkcja f ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć y, y podanych funkcji złożonych: a) y = e f() ; b) y = f(tg ); c) y = f(3; d) y = f(f( 2 )); e) y = f( ); f) y = f(3 ); g) y = f(sin ); h) y = f(arc tg ). Zadanie 20. Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji: a) u() = 1 ; b) v() = sin 2 ; c) w() = e ; d) z() = ln(1 + 2); e) f() = cos 3 ; f) g() = 2 ; g) h() = e ; h) k() = e sin 5. Zadanie 21.

6 1. Punkt materialny porusza się po krzywej y = 2 w ten sposób, że jego rzut na oś O ma stałą prędkość v = 3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza się ten punkt w chwili, gdy jest na wysokości 4? 2. Stacja orbitalna porusza się prostoliniowo na wysokości h = 400 km nad Ziemią z predkością v = 500 km/godz. Antena odbierająca sygnały znajduje się bezpośrednio pod trajektorią stacji (rysunek). W każdej chwili jest ona skierowana na stację. Obliczyć prędkość kątową anteny w chwili, gdy stacja znajdzie się w odległości d = 200 km od anteny. 3. Punkt materialny porusza się ze zmienną prędkością wzdłuż osi O. Położenie tego punktu w chwili t jest opisane wzorem (t) = 3 2 t + 2 3t. Oliczyć przyśpieszenie punktu w chwili, w której jego prędkość jest równa 0. Zadanie Złożona drabina strażacka ma długość 10 m i jest pozioma. Przy rozkładaniu podnosi się ona z predkością kątową ω = π 12 rad/min i jednocześnie wysuwa z prędkością w = 5 m/min. Z jaką prędkością będzie się poruszał strażak w koszu na końcu drabiny po 3 minutach wznoszenia? 2. Położenie cząstki w chwili t opisuje wektor wodzący r = (e t cos t, e t sin t, e t ). Znaleźć przyśpieszenie cząstki w chwili, gdy wektor prędkości miał długość Wskazówka minutowa zegara na ratuszu ma długosć 3 m, a godzina 2 m. Obliczyć prędkość, z jaką zbliżają sie od siebie końce wskazówek zegara o godzinie 6 : 00.