Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)
|
|
- Janusz Jasiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania Wyjątkiem są zadania oznaczone literąp) oraz symbolem*) Zadania oznaczone literąp) są proste i należy je rozwiązać samodzielnie Z kolei zadania oznaczone gwiazdką*) są trudniejsze Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów Dodatkowo na końcu listy zadań umieszczono po 4 przykłady zestawów zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych Programy te można wykorzystać min do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp Polecamy stronę internetową Wolfram Alpha Wiele kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych przez studentów na sprawdzianach z matematyki skoczylas/typowe bledy studentowpdf Lista Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a) Amsterdam jest stolicą Holandii ; b) liczba 3888 jest podzielna przez 8 ; c) a +b =c ; e) 5 3 ; Napisać zaprzeczenia zdań: a) jem śniadanie i słucham radia ; b) kwadrat nie jest pięciokątem ; c) stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław ; d) trójkątobokach3,4,5jestostrokątny ; f) =b 4ac d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzezorazprzez3 Zadaniazaczerpniętozksiążekautorów:AnalizamatematycznaDefinicje,twierdzenia,wzory; Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy) oraz Wstęp do analizy i algebry
2 3 Ocenić prawdziwość zdań złożonych: a) nieprawda,żefunkcjaf)= jestrosnącana R ; b) ) 44 = lub8jestliczbąparzystą ; c) funkcjag)=sinjestokresowa,afunkcjaf)=3 nieparzysta ; d) jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; e) liczba3579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma jestpodzielna przez9 4Używająctylkokwantyfikatorów,spójnikówlogicznychorazrelacji=,,<, )zapisaćstwierdzenia: a)punkta,b)leżypodwykresemfunkcjiy=4 ; b) punktp, q) nie należy do wnętrza pierwszej ćwiartki; { c) układ równań +y =4, nie ma rozwiązań; +y= d)równanie =matylkojednorozwiązanierzeczywiste; e) liczba 7 jest pierwsza; f)funkcjafniejestrosnącanaprzedziale[,]; ) g)skorodlapewnego Rzachodzirówność + 3)=,arównanie +=niema rozwiązańrzeczywistych,to 3= 5 Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: a) =7; b) +4+3>; c) +y =; R d) y R R R y=; e) R R y ) y>); f) y R R y R 6DlaparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c : y R +) 4 +y ) 4 = a)a=,5), B=[,7]; b)a=,3), B=[, ); c)a={,}, B={,,3,4} WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B 7P) Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: a)f)= +; b)f)= +; c)f)= ++ 4 ; d)f)= + 3; e)f)= + 3 ; f)f)= Lista 8 Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: a)f)= 3 ; b)f)= 4 + ; c)f)= 6 ; d)f)= Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a)f)= 4+5, R; b)f)= 3,,3] Podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: a)f)=, g)=+; b)f)=, g)= ; c)f)=, g)= 4 ; d)f)=, g)= +
3 Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a)f)= 3, R; b)f)=,, ) P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: a)log 6 3+log 6 ; b)log 3 8 log 3 ; c)9log ; d)3log 3 log 3 4; e)3log 4 3 log 43+3log 4 log 4 6; f) log 54 log 6 log 7 log 9 3 Naszkicować wykresy funkcji: a)y=+) 4 ; b)y= ; c)y= ) d)y= + ; e)y= ; f)y=4 ; 3 g)y=5+log ; h)y= log ; i)y=log 3 +3) ; 4 Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: a)f)= + ; b)f)=3 3 +; c)f)= ; d)f)=4 e)f)=log+); f)f)= ; g)f)= 4 3 3) Lista 3 9 ; 5Narysunkuprzedstawionowykresfunkcjiy=f) Narysować wykresy funkcji: a)y=f)+3; b)y=f+); c)y= f); e)y= f); g)y= f) ; d)y=f ); f)y=f3); h)y=f ) y y=f) 6P) Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: a)y=sin; b)y=sin 3 ; c)y=sin + π ) ; 4 d)y=+sin; e)y= sin ; f)y=sin π ) 6 7 Naszkicować wykresy funkcji: a)y= cos ; b)y=sin sin ; c)y= tg ctg 8 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a) +tgα +ctgα =tgα; b)sin4 α+cos 4 α= sin α; c)tgα+ctgα= sinα ; d)tg α = cosα sinα ; e)sin4 α cos 4 α=sin α cos α; f) Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? cosα cosα=sinαtgα 9P) Podaj wartości wyrażeń: a)arcsin +arccos ) 3/ ; b)arcctg arctg; c)arcsin ; d)arctg 3 arcctg 3 arcsin 3
4 Określić dziedziny funkcji: a)f)=arcsin+); b)f)=arccos + ) ; c)f)=arctg + ; d)f)=arcctg * Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π a)f)=sin,,3π ; b)f)=cos, [π,π]; c)f)=tg, 3π ), π ; d)f)=ctg, π,π) Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych Lista 4 Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: a)a n = +cosn 3 sinn ; b)a n= n n ; c)a n = n; d)a n = n+8 n+3; e*)a n = n +n 3 Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: a)a n = n+ n+ ; b)a n= n n + ; c)a n= n! n; d)a n = n 6n+ ; e)a n= 4n n +3 n; f)a n= n + n 4 Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n a) lim = ; b) lim n+4 n =; c) lim n = 5 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: a) lim d) lim g) lim 3n n+ ; b) lim n+4 n + ; n + ) n ) n 3 +) ; e) lim +4++n n + ) n!+ ; h) lim n+)n+)! n 3 +n + c) lim n 3n 3 ; 5 n+ 4 n ; f) lim 5 n 4 n+; n +4n+ n +n) ; i) lim 6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: a) lim d) lim n+ ) n nπ ; b) lim ; c) lim 3n+ n n n + 3 n + n3 n3; e) lim n + n 5 n +4n; f) lim n n 4n 3 + n 3+sinn; n + + n + ++ ) n +n 7 Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: a) lim + 3n ) 5n+ 5n ) 3n n ) n+4 5 n ; b) lim ; c) lim ; d) lim n) 5n+ 3n+ n+3 8 Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ) a) lim n ; b) lim n 4 3n 3 n ) n+ n n+)! d) lim ; e) lim ; f) lim n n!+ 4 ; c) lim +n 3 n ); arctgn arcctgn
5 9Będziemymówili,żeciągia n ),b n )ododatnichwyrazach,zbieżnedogranicywłaściwejlubniewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy lim a n/b n =Zbadać,czypodaneciągisąasymptotycznie równe: a)a n =n +,b n = n 4 +; b)a n =n 4 n 3,b n =n 4 ; c)a n = n + n +3 n,b n =3; d)a n = 3 n +5 n,b n= n +6 n; e)a n=n+)!,b n =n n!; f*)a n =n!,b n =a n,a>) Jeżeli zaś granica lim a n/b n jestliczbądodatnią,tomówimy,żeciągia n ),b n )sątegosamegorzędu Które z podanych par ciągów są tego samego rzędu? Lista 5 3 Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: a) lim ) 5 =; b) lim 3 =; c) lim + = 3 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: a) lim + ; b)lim 4 ; c)lim + ; 5+4 e) lim ; f)lim ; g) lim ++) 5) 6 6 tg + i) lim π tg +5 ; j)lim sin ; k) lim ++ cos + 3 Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: a) lim sgn; b)lim 3 ; c)lim 4 ; d)lim arctg 33 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: a) lim cos + =; b)lim 3 arctg +sin =; c) lim = d)lim 3 4 ; ; h) lim 34 Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice: sin 3 sin 5+4 ) arcsin a) lim ; b)lim 4 ; c)lim 6 arctg ; d) lim arctg ; ln+ 3 ) g) lim e) lim π ; h) lim cos5 cos3 ; ln 3 ) + j) lim+) ; k)lim[+tg)] ctg ; 35 Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: a)f)= ; 3 b)f)= +) ; + d)f)= g)f)= cos e + Lista 6 f)lim e 3 sin ; ; i)lim π ; l)lim 3 c)f)= 9 ; ; e)f)= 3 3 ; f)f)=sin 3 ; ; ; ; h)f)= arctg; i)f)=+) 36Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: 5
6 dla<, a + dla<, a)f)= a+bsindla π/, b)f)= b dla ; dla>π/; Naszkicować wykres funkcji z przykładua) a +dla<, c)f)= dla, 3 +bdla> 37 Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + a)f)= ++ dla, arctg dla=, b)f)= dla, dla=; dla=; c)f)= ln ) ln +) dla, cos d)f)= dla, dla=; dla= 38 Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ a) 3 +6 =,[,]; b)sin=7, π, 5π ] ; c)= sin [ +,, π d) + =, [, ] ; e)3 +=3,[,]; f) =,[,] Wyznaczyć rozwiązania równaniaa) 5 39 Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: a)f)= 4 R); b)f)= ); c)f)= >); d)f)=tg π ) +kπdlak Z Lista 7 4 Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: { } a)f)=, =; b)f)=sin sgn), =; c)f)=min,, = Naszkicować wykresy tych funkcji 4Zbadaćzdefinicji,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: a)f)=3 5 ; b)f)= sin 4 Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: a)y=f ); b)y= f ) ; c)y=e fe ); d)y=f)cosg); e)y= f ) g ); f)y=arctg[f)g)]; ) g)y=ln f) g) ; h)y=tgf) g) ; i)y=f)g 43 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: a)y= + ; b)y=3cos+tg; c)y=e+ sin ; d)y= 3 + ) e ; e)y= + 4 ) tg ; f)y=e arctg; g)y=ln sin + ); h)y= 3 arcsin ); i)y=e e ; 6 ] ;
7 j)y= sin 3 cos ; k)y= e +) 3; l)y=sin) <<π) 44* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć a)f)=+ln, y =e+; b)f)=cos 3, y =; c)f)= , y =3; d)f)= 3 +3, y =4 f ) y ),jeżeli: 45P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a)f)=arcsin ) π,,f)); b)f)=ln +e,,f)); c)f)=e tg, 4,f d)f)= +,3,f3)); e)f)= +,,f )) 46a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 4 +5,którajestrównoległado prostejy=+3 b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif)=,któratworzykąt π 4 zosiąo c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=ln,którajestprostopadładoprostej +6y = d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y 47 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln +) lnsin a) lim ; b)lim ln +9 d) lim ; e)lim lncos lncos3 ; g) lim +ln; j) limcos) ; h) lim π π )tg ; k) lim ; c)lim arctg ; f) lim arcctg; i) lim ctg ) ; π arctg ) ; l) lim ++)ln 48 Czy warto stosować regułę de L Hospitala, aby obliczyć granice: 3 + ) a) lim ) ; b)lim sin ) sin 5) sin 3 )sin 4 )? Lista 8 49 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: a)f)= ; d)f)= 3 3 ; g)f)=ln ; 5 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: π 4 b)f)= ; c)f)=4+ ; e)f)= ; f)f)=e 3 ; h)f)= ln ; i)f)= ln a)f)= 3 4 ; b)f)=+ ; c)f)= ; d)f)=+)e ; e)f)= + + ; f)f)= 5 6 ; g)f)=ln; h)f)= 3 3 ; i)f)=arctg ln + ) 7 )) ;
8 5 Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a)f)= ,[,5]; b)f)= + +,[ 4,]; c)f)= 3) e,[,4]; d)f)= 9 [,[ 5,]; f)f)=sin+sin,, 3 ] π 5P)Obliczyćf,f funkcji: a)f)= ; b)f)= 3 ; c)f)=e ; d)f)=arctg; e)f)=sin 3 +cos 3 ; f)f)= 3 ln 53 Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: a)f)= ) 3); b)f)=e ; c)f)= 3 + ; d)f)=ln + ) ; e)f)= ; f)f)= 3 3 4ln ; g)f)=sin+ 8 sin; h)f)=earctg ; i)f)= ln Lista 9 54 Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: a)f)= ) +); b)f)= 3 ; c)f)= ; d)f)=3 4 4 ; e)f)= ; f)f)= ln ; g)f)=e ; h*)f)=sin+sin3; i)f)= ln 55 Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od brzegu Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższegoplatformiekosztułożeniakmrurociągunadniemorzawynosieuro,analądzie euro Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria 56Prostopadłościennykontenermamiećpojemność5m 3 ikwadratowąpodłogękosztm blachypotrzebnejdowykonaniajegopodłogiipokrywywynosizł,aścianbocznych 3złJakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 57 Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 8
9 58 Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka Lista S a 59NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: a)f)= 3, =,n=4; b)f)=, =,n=; c)f)=sin, =π,n=3; d)f)=e, =,n=5 6 Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: a)f)=sin 3 ; b)f)=cosh; c)f)=cos; d)f)= e 6 Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: a)tg, π ; b b)cos, ; c) + +, 5; d)ln ) 8 3 3, < 6 Stosując wzór Maclaurina obliczyć: a) e zdokładnością 3 ; b) 3 997zdokładnością 3 ; c)lnzdokładnością 4 ; d)sinzdokładnością 5 Lista 63 Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: a) )d; b) 3 Wskazówka Zastosować odpowiednio wzory d a) +++n= nn+) 64 Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: ) + a) d; b) d) + 3) d; e), b) + ++n = nn+)n+) 6 d; c) + ) d; f) 9 π π d + ; sin+cos )d 65 Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: n 3 a) lim n 4 = [ ; b) lim cos π )] 4 n n +cosπ n ++cosnπ = n π ; [ c) lim n +n+ +n++ n+n n )] = ) 3 9
10 66 Obliczyć podane całki nieoznaczone: a) ) 3 d; b) cosd 3 d) cos sin ; e) + 3 d; 67 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: )d + ; c) 4 d + ; f) 5 d a)y=,+y=; b)y=,y=,y=3; c)y=,y=,y=4; d)y=,y= 4 + ; e)y=,y=,=; f)y=+sin,y=, π); g)y=π,=πy ; Lista h)y 4 =,y=,y=6; i)y =,y= 6,y=,y=4 68 Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg a) e 3 d; b) d d; c) d; d) cos ; arccosd e) sind; f) ; g) ln+)d; h) arccosd; + i) e sind; j) sinsin3d; k) sin3cosd; 69 Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: a) d) π 4 e d; b) sind; e) π e d; c) +cos)d; f) e e ln d; arcsind 7 Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: a) e) cos +4 d; b) d; c) d ch ; f) 5 3) d; g) d; h) l) coscos5d cosd ) ; d) +) sin ++ d; +sin d + ; ln i) d; j) e d 5sind e + ; k) 3 cos ; l) 3 e d 7 Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: a) c) e) π 4 sine cos d,cos=t; b) +d, +=t; d) d ),=t ; f) 3 e 3 d +,+=t; lnd,ln=t; 9 d,=3sint; g) ln3 e d +e,e =t
11 7P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d a) 3) 7; b) d +5 ; c) 5d 7) 3; d) 8d 9+ Lista 3 73 Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+3)d a) +4+9 ; b) ++4 ; c) 4+)d +9 ; d) 74 Obliczyć całki z funkcji wymiernych: +)d a) ) ; b) d + ; c) d 4+)d d) +) +4) ; e) ++ ; f) 5 4)d g) 4+ ; h) d ++5 ; i) d ) ; d +6+8 ; d +4) 75 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: a) sin 3 d; b) sin 4 cos 3 d; c) cos 4 d; d) sin 3 cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d 76 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: d +tg a) sin+tg ; b) cos d; sin d d) +cos ; e) d tg ; d g) cos ; h) Lista 4 c) d sin+cos ; i) d +cos ; f) sin 5 d cos 3 ; d 3sin+4cos+5 77 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) + y=,=,y=; b)4y=,y= 8 +4 ; c)y=ln,=e,y= ; d)y=tg,y=ctg, << π ) )d Obliczyć długości krzywych: a)y=ln e + e, 3; b)y=, ; c)y= 3, ; e)y=e, ln ln3; g)y= , ; h)y= lncos, π 4 79 Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: a)t:, y,o; b)t: 5, y +4,Oy; c)t: π 4, y tg,o; d)t:, y,oy;
12 e)t:, y 3,Oy; f)t: 3, y,oy; 4 g)t: 4, y 5,O; h)t: π, y sin+cos,o; i)t: π, y sin,y=; j)t:, y,= 8 Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji wokół wskazanych osi: a)f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; c)f)=ln, 3,Oy; d)f)= +,,Oy; e)f)= 4,,O; f)f)= ), 3,O; 3 g)f)=,,oy; h)f)= 9, 3,Oy 8a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużeniawspółczynnik proporcjonalności wynosi k) Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomejśrednicawalcad=m,adługośćl=6mobliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęścimasawłaściwawodyγ=kg/m 3 8a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =m/s Poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s Znaleźćpołożeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov t)=t+t 3,v t)=6t,gdziet Pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek?
13 Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzeniapodać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólnez wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif)= Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= arctg wpunkcie = 3 sin 4 ) 4 Obliczyć granicę lim 3+ Zestaw B Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n ) Wyznaczyć dziedzinę funkcji Następnie obliczyć jej pochodną f) = e n 3 n+ + n+ 3SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie +=5matylkojednorozwiązanie 4 Obliczyć granicę lim [ln+) ln)] Zestaw C +a dla, e Dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf)= dla<, b dla< byłaciągłana R ) 3n+ n 5 Obliczyć granicę lim 3n+ 3Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e,którajestrównoległadoprostej y=e ln 8 ) 4 Obliczyć granicę lim 3 3 Zestaw D Znaleźćdziedzinęfunkcjif)=arcsin 3 ) iobliczyćf ) n Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +n +3 3Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif)= Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e 3 wpunkcie,e 7) 3
14 II kolokwium Zestaw A Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim arctg Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f) = 3 Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną π cos d + naprzedziale[,] 4ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini Zestaw B prostąy= π π/) Wyznaczyćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= +ln Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole + 3Przezpodstawienie=t t )obliczyćcałkę dnastępniewyznaczyćfunkcję + pierwotnąffunkcjipodcałkowejspełniającąwarunekf)= 3 4Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif)=sin 4 Zestaw C Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig)=arctg 3 3 Oszacować dokładność wzoru przybliżonego dla 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y= iprostą=sporządzić rysunek 4 Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f) = Zestaw D 3 +4 Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif)= ln Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim e 3 +e 3 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y =,+y=sporządzićrysunek 4 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctgd 4
15 Egzamin podstawowy Zestaw A ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e, y= Sporządzić rysunek Metodą podstawiania obliczyć całkę n 3 Obliczyć granicę lim +9 n n +4 n d + 4Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif)= 5 5 Obliczyć granicę lim )sinπ 6Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcja Zestaw B f)= { e + dla, +p+qdla< miałapochodnąwpunkcie =Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji Znaleźćasymptotywykresufunkcjif)= ) 3 Obliczyć całkę 4+6)d Wyznaczyć granicę lim sin )sin3 3 ) sin 5 5 ) 4 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f) = sin π)wokółosio 5Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= 3 ln 6 Wyznaczyć granicę lim 3n+)n+)! n n!+4) Zestaw C Obliczyć całkę sind Znaleźćekstremafunkcjif)= 3)e 3Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 6,y=6+3 3 Sporządzić rysunek 4Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 3 +,którajestprostopadłado prostej+y 3= 5Obliczyćgranicęciągu n = n +5n+ n +3n+ 6 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim + ln) 5
16 Zestaw D Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin π)orazprostą y = / Sporządzić rysunek Wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif)= )e 3 Obliczyć całkę d 6+5 4Pokazać,żerównanie+ln =matylkojednorozwiązanie n +) 3 n+ + ) 5 Obliczyć granicę lim 6 n +5 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f) = 3 Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyćgranicęciągua n =n n ) n Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= ) 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wypukła ) + e jestjednocześnierosnącai 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3Sporządzićrysunek 5 Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? lnarctg)d 6 Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę + Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw B Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif)= ++ naszkicować oraz starannie go 3Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf)= lnjestjednocześnierosnąca iwypukła 4Obliczyćgranicęciągu n = 5 Obliczyć granicę lim +tgln n n + n ) 6Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln ) 6
17 Zestaw C Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= +) + Obliczyćgranicęciągua n = nn+) n 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wklęsła ) 6+ e jestjednocześniemalejącai 4NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3 5 Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze 6 Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsind Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw D Obliczyć granicę lim +lntg) Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig)= naszkicować ) 3Obliczyćgranicęciąguy n =3n 4n n oraz starannie go 4Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjag)= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła 5Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln 6 Obliczyć całkę z funkcji wymiernej Sprawdzićotrzymanywynik 7
Ćwiczenia r.
Ćwiczenia 9..8 r.. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane równania: a)sin=?,tg=; b)ctg=?,sin= π ) 7 ; π c)sin5=?,sin + =tg ; d)cos=?,+tg9 tg + π ).. Rozwiązać nierówności: a)+4 +
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 1 MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057
Analiza Matematyczna MAP43, 4, 43, 345, 357 Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 5 jednostek odpowiadających kolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy i algebry (2017/2018) Listazadań
Wstęp do analizy i algebry 07/08 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazadań. Czy podane sformułowania są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a GnieznobyłostolicąPolski
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowot) x 2 a)x 2 4x + 3 < 0 b) 3x 2 21x 30 > 0 c) x > 1 x d)2 x 2x + 3 < 1 e) > 1 < 1 m)3 n)2
Zestaw I - Równania i nierówności kwadratowe logarytmiczne i wyk ladnicze.. Rozwi azać równania: a) 2 + 6 = 0 b) 2 + 3 4 = 0 c) 2 2 + 6 = 0 d) 2 4 = 0 e)2 3 + 2 3 + 6 = 0 f) 4 4 3 + 2 4 = 0 g)2 2 2 = 0
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoMAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań
MAP4 ANALIZA MATEMATYCZNA.A Zdni z listy oznczone gwizdką ) są nieco trudniejsze lbo mją chrkter teoretyczny. Jednk nie wychodzą one poz rmy progrmu kursu. Odpowiedzi do zdń z listy możn zweryfikowć z
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoSYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia
SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 6 Badanie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 4 Pochodne
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTEPNE CELE KURSU
WYDZIAŁ KARTA PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu w języku polskim Nazwa przedmiotu w języku angielskim Kierunek studiów (jeśli dotyczy) Specjalność (jeśli dotyczy) Stopień studiów i forma Rodzaj przedmiotu Kod
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoSylabus - Matematyka
Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Lista zadań
Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3
Bardziej szczegółowoMAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2
MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna Mathematical analysis. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowo