Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej i nierozciągliwej nici o pomijalnej masie. Punkt wykonuje wahania wokół najniżej położonego punktu O, zwanego środkiem wahań. Ruch odbywa się po łuku okręgu o promieniu l. Przyjmujemy, że w chwili początkowej wahadło jest odchylone od położenia równowagi o kąt ϕ < π i ma prędkość 2 początkową równą zero. rys.1 Na wahadło działa siła ciężkości Q = mg skierowana pionowo w dół oraz siła napięcia nici N. Wtedy siła wypadkowa F wprawiająca punkt materialny w ruch ma wartość równą (z drugiego prawa dynamiki Newtona) ma = mg sin x. Znak minus wynika z tego, że zwrot F jest w kierunku malejącego wychylenia. Ponieważ a = d2 s, gdzie s jest drogą przebytą przez punkt po łuku PA, tj. s = lx, zatem x = g l sin x (1) z warunkami początkowymi x(0) = ϕ, x (0) = 0. Jest to równanie wahadła matematycznego. Wprowadzając ω(t) = x (t) równanie (1) można zapisać w postaci { x = ω ω = k sin x, (2) gdzie k = g l oraz x(0) = ϕ, ω(0) = 0. Uwaga 1. Ponieważ w (1) nie występuje zmienna niezależna t można przyjąć, że u(x) = x. Wtedy x = du dx = du u i równanie (1) przyjmuje postać dx dt dx du dx u = k sin x, k = g l. Zatem 1 2 u2 = k cos x + c. Z warunku początkowego x(0) = ϕ mamy u(x(0)) = x (0), czyli u(ϕ) = 0, a więc k cos ϕ + c = 0. Stąd c = k cos ϕ. Mamy zatem u = (cos x cos ϕ) (znak minus wynika z tego, że gdy rośnie t maleje kąt x, więc pochodna x (t) = u(x) też maleje). Ostatecznie dx dt = (cos x cos ϕ), dx (cos x cos ϕ) = ale całka po lewj stronie nie wyraża się przez funkcje elementarne - jest całką eliptyczną. W ten sposób nie da się efektywnie wyznaczyć funkcji x(t). dt,

Uwaga 2. W przypadku małych drgań (x bliskie 0) równanie (1) można zastąpić równaniem przybliżonym wykorzystując sin x x. Otrzymujemy wtedy równanie opisujące ruch wahadła w postaci x = g l x (3) lub układ zlinearyzowany które bez trudu można rozwiązać. { x = ω ω = kx, (4) Uwaga 3. Rozważmy pola wektorowe układu zlinearyzowanego (4) i układu (2). Układ zlinearyzowany ma jeden punkt krytyczny (0, 0). Wektor kierunków stycznych u = [u 1, u 2 ] ma składowe u 1 = x 2, u 2 = kx 1. Mamy więc Układ (2) ma punkty krytyczne (kπ, 0), k Z. Jego pole ma wektory u o składowych u 1 = x 2, u 2 = k sin x 1. Mamy więc Jeśli np. wahadło wychyli się od położenia równowagi (położenie (π, 0)), to dotrze do punktu ( π, 0) położonego pionowo nad punktem zaczepienia (czyli formalnie tego samego punktu w przestrzeni) i osiągnie położenie równowagi (niestabilnej - dowolnie mały impuls może wytrącić je w lewo lub prawo).

2 Drgania mechaniczne. 2.1 Drgania swobodne nietłumione. Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Opór powietrza i masę sprężyny pomijamy. rys.2 Przyjmijmy, że początek układu współrzędnych jest w poożeniu równowagi (punkcie, w którym ciężar odważnika jest zrównoważony siłą reakcji sprężyny), oś ox jest skierowana pionowo w dół. Niech λ będzie wydłużeniem sprężyny w danej chwili, λ st - wydłużeniem statycznym sprężyny, tj. odległością od końca sprężyny nierozciągniętej do położenia równowagi. Wtedy λ = λ st + x. Siła F wprawiająca odważnik w ruch jest wypadkową siły napięcia sprężyny i siły ciężkości. Z drugiej strony z prawa Hooke a siła napięcia sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia, czyli jest równa cλ, gdzie c jest współczynnikiem sprężystości sprężyny. Mamy więc m d2 x = Q cλ. W położeniu równowagi siła napięcia sprężyny jest zrównoważona siłą ciężkości, więc Q = cλ st. Stąd i z równości λ = λ st + x mamy m d2 x = Q c(λ st + x) = Q Q cx i stąd d 2 x dt + 2 k2 x = 0, gdzie k 2 = c m. (5) Jest to równanie drgań własnych odważnika lub równanie oscylatora harmonicznego (por. równanie zlinearyzowane wahadła (3)). Równanie to jest jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Jego równanie charakterystyczne r 2 + k 2 = 0 ma dwa pierwiastki r = ±ik, zatem rozwiązanie ogólne równania (5) jest postaci lub po przekształceniach x(t) = x(t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt ( ) c c 12 + c 2 1 2 c12 + c cos kt + c 2 2 2 c12 + c sin kt 2 2 gdzie Ostatecznie A = x(t) = A (sin α cos kt + cos α sin kt), c 12 + c 2 2, sin α = c 1 c12 + c 2 2, cos α = c 2 c12 + c 2 2. x(t) = A sin(kt + α). (6)

Sens fizyczny rozwiązania: A - amplituda drgań własnych kt + α - faza drgań własnych α - faza początkowa drgań własnych (wartość fazy w chwili t = 0) k = c/m - częstość drgań własnych T = 2π k = 2π m c - okres drgań własnych.1 Ponadto v = dx = Ak cos(kt + α). dt Jeśli uwzględnić warunki początkowe: x(0) = x 0, v(0) = v 0, to x 0 = A sin α, v 0 = Ak cos α. Zatem A = x 02 + v 0 2, α = arctg kx 0. k 2 v 0 Wniosek. Amplituda i faza początkowa zależą od początkowego stanu układu. Częstość i okres nie zależą od początkowego stanu układu. W szczególnym przypadku, jeśli v 0 = 0, to A = x 0, α = π i x = x 2 0 sin(kt + π ), czyli 2 1 Ze wzorów Q = cλ st i Q = mg mamy m c = λst λst g, więc T = 2π g. x(t) = x 0 cos kt. (7)

Przykład. Załóżmy, że Q = 2N, l = 40cm, λ st = 4cm, x 0 = 2cm, v 0 = 0. Wtedy c = Q czyli c = 1 λ st 2 c g k = m = czyli k = 1 g λ st 2 A = x 0 czyli A = 2cm α = π 2 ( ) 1 x = 2 cos gt 2 T = 2π k czyli T = 4π g 0.4s 2.2 Drgania tłumione. λ max = λ + A czyli λ max = 6cm Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Siła oporu powietrza jest wprost proporcjonalna do prędkości ruchu. Uwzględniając działające siły otrzymujemy równanie m d2 x = cx µdx dt. (8) lub inaczej d 2 x dt + 2ndx 2 dt + k2 x = 0, gdzie k 2 = c m, 2n = µ m. (9) Jest to równanie drgań tłumionych. Równanie to jest jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Jego równanie charakterystyczne r 2 + 2nr + k 2 = 0 ma dwa pierwiastki r = n ± n 2 k 2. A. n 2 k 2 < 0 (opór ośrodka jest niewielki). Ponieważ r = n ± ik 1, gdzie k 1 = k 2 n 2, zatem równanie ruchu jest postaci lub po przekształceniach x(t) = e nt (c 1 cos k 1 t + c 2 sin k 1 t) (10) x(t) = Ae nt sin(k 1 t + α), (11) v(t) = Ak 1 e nt cos(k 1 t + α) Ane nt sin(k 1 t + α). (12)

Z warunków początkowych: x(0) = x 0, v(0) = v 0 mamy x 0 = A sin α, v 0 = Ak 1 cos α An sin α, skąd v 0 x 0 = k 1 ctg α n. Zatem Wniosek. A = 1 k k 12 x 02 + (v 0 + nx 0 ) k 2 1 x 0, α = arctg. 1 v 0 + nx 0 amplituda drgań tłumionych Ae nt dąży do 0 gdy t, okres drgań tłumionych T = 2π k 1 = 2π k 2 n 2 nie zależy od początkowego stanu układu, częstość drgań tłumionych k 1 = k 2 n 2 nie zależy od początkowego stanu układu, ponadto k 1 < k. B. n 2 k 2 > 0 (opór ośrodka jest duży). Ponieważ r = n ± k 2, gdzie k 2 = n 2 k 2 (k 2 < n), zatem równanie ruchu jest postaci i nie ma charakteru oscylacyjnego. x(t) = c 1 e (n+k 2)t + c 2 e (n k 2)t (13) Z warunków początkowych: x 0 = c 1 + c 2, v 0 = (n + k 2 )c 1 (n k 2 )c 2, skąd a zatem x(t) = e nt [( 1 2 x 0 1 2 c 1 = x 0(k 2 n) v 0 2, c 2 = x 0(k 2 + n) + v 0 2, ) ( x 0 n + v 0 1 e k2t + k 2 2 x 0 + 1 2 [ = e nt e k2t + e k 2t x 0 2 C. n 2 k 2 = 0 Ponieważ r = n, więc równanie ruchu jest postaci i również nie ma charakteru oscylacyjnego. ) ] x 0 n + v 0 e k 2t k 2 e k2t e k2t ] + x 0n + v 0 k 2 2 = e nt [ x 0 cosh(k 2 t) + x 0n + v 0 k 2 sinh(k 2 t) ] (14) x(t) = e nt (c 1 + c 2 t) (15)

Z warunków początkowych mamy c 1 = x 0, c 2 = x 0 n + v 0 i w konsekwencji 2.3 Drgania wymuszone. x(t) = e nt (x 0 + (x 0 n + v 0 )t). (16) Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Na odważnik działa okresowo siła wymuszająca 2 W sin βt, gdzie W, p - stałe. Opór powietrza i masę sprężyny pomijamy. Uwzględniając działające siły otrzymujemy równanie m d2 x = cx + W sin βt. (17) dt2 lub inaczej d 2 x dt + 2 k2 x = q sin βt, gdzie k 2 = c m, q = W m. (18) Jest to równanie drgań wymuszonych (z wymuszeniem harmonicznym). Równanie to jest niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Odpowiada mu równanie jednorodne postaci m d2 x + k 2 x = 0 (czyli równanie opisujące drgania swobodne). Rozwiązania równania (18) jest postaci x(t) = x (t) + x(t), gdzie x (t) jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego zaś x(t) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego. A. Załóżmy, że β k. Poszukujemy x w postaci x = M cos βt + N sin βt. Wstawiając ww. funkcję do (18) otrzymujemy i stąd M = 0, N = x(t) = q k 2 β 2 q sin βt. (19) k 2 β2 Funkcja x opisuje drgania wymuszone przez siłę W sin βt. Ruch ciała poddanego drganiom wymuszonym jest ostatecznie postaci x(t) = A sin(kt + α) + 2 Wymuszenie to dowolna siła, tu rozważamy jedynie wymuszenie harmoniczne q sin βt. (20) k 2 β2

Jest to kombinacja (superpozycja) drgań wymuszonych x przez zewnętrzną siłe zaburzającą oraz drgań własnych x zależnych jedynie od wewnętrznych parametrów układu tj. masy odważnika i współczynnika sprężystości sprężyny. Przy warunkach początkowych x(0) = x 0, v(0) = v 0 otrzymujemy x 0 = A sin α, v 0 = Ak cos α, skąd i ostatecznie (po przekształceniach) A = x02 + 1 (v k 2 0 qβ ) 2 kx 0, α = arctg k 2 β 2 v 0 x(t) = qβ. k 2 β 2 qβ k 2 β 2 + q k 2 β sin βt + 1 ( v 2 0 qβ ) sin kt + x k k 2 β 2 0 cos kt. (21) B. Załóżmy, że β = k. Poszukujemy x w postaci x = t(m cos βt+n sin βt). Wstawiając ww. funkcję do (18) otrzymujemy M = q, N = 0 i stąd x(t) = q t cos kt. (22) Funkcja x opisuje drgania wymuszone przez siłę W sin βt. Ruch ciała poddanego drganiom wymuszonym jest ostatecznie postaci x(t) = A sin(kt + α) q t cos kt. (23) Z warunków początkowych otrzymujemy x 0 = A sin α, v 0 = q + Ak cos α, skąd A = x 02 + 1 ( v k 2 0 + q ) 2, α = arctg kx 0 v 0 + q. i ostatecznie (po przekształceniach) x(t) = q t cos kt + 1 ( v 0 + q ) sin kt + x 0 cos kt. (24) k

Wniosek. W przypadku gdy β = k amplituda drgań wymuszonych q t może rosnąć nieograniczenie. Inaczej mówiąc przy małych siłach zaburzających można uzyskać dowolnie duże amplitudy drgań. Zjawisko to nazywa się rezonansem. Pojawia się ono tylko wtedy gdy częstość siły zaburzającej jest równa częstości drgań własnych układu. q W przypadku gdy β k amplituda drgań wymuszonych może być bardzo duża, ale jest zawsze k 2 β 2 ograniczona. Ogólnie występowanie dużych amplitud jest zjawiskiem szkodliwym - może prowadzić do zniszczenia konstrukcji. 3 Drgania w obwodach elektrycznych. Zjawiska fizyczne zachodzące w obwodach elektrycznych opisuje się równaniami różniczkowymi analogicznymi do równań drgań w układach mechanicznych. Weźmy obwód, w którym źródło prądu, kondensator o pojemności C, opornik o oporności R i cewka indukcyjna o indukcyjności L są połączone szeregowo. rys.3 Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy związek między napięciami prądu U r = U L + U R + U C. Ze wzorów I = dq dt = C du, U = L di, U = IR, dt dt gdzie I oznacza natężenie prądu a Q - ładunek elektryczny, można otrzymać zależności dla poszczególnych odcinków obwodu U L = L di dt = Q Ld2, U R = IR = R dq dt Stąd i z drugiego prawa Kirchoffa mamy L d2 Q, U C = 1 C Idt = 1 C Q. + RdQ dt + 1 Q = U(t). (25) C Jeśli obwód, w którym źródło prądu, kondensator o pojemności C, opornik o oporności R i cewka indukcyjna o indukcyjności L są połączone równolegle ( rys.4 ), to z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy związek I r = I L + I R + I C.

który prowadzi do równania różniczkowego C d2 Φ + 1 dφ R dt + 1 Φ = I(t). (26) L Oba równania (25) i (26) są równaniami analogicznymi do równania drgań mechanicznych (konkretnie: drgań wymuszonych tłumionych) postaci d 2 x + 2ndx dt + k2 x = f(t). Jeśli f(t) = q sin pt, to rozwiązaniem tego równania jest funkcja x(t) = Ae kt sin(k 1 t + α) + B sin(pt δ).