KOMPUTEROWO WSPOMAGANA ANALIZA KINEMATYKI MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji D hab. inż. Józef DREWNIAK, pof. ATH Paulina GARLICKA Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej DOI: 10.17814/mechanik.2015.7.226 KOMPUTEROWO WSPOMAGANA ANALIZA KINEMATYKI MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO Steszczenie: W atykule pzedstawiono pzykład wykozystania gafów kontuowych do analizy pędkości i pzyspieszeń elementów mechanizmu dźwigniowego. Zastosowano metodę analizy bez stosowania dekompozycji mechanizmu. Otzymany układ algebaicznych ównań liniowych ozwiązano dla zadanego ozkładu pędkości i pzyśpieszeń ogniwa czynnego (koby) mechanizmu. COMPUTER-AIDED ANALYSIS OF THE KINEMATICS OF LINK MECHANISM Abstact: The aticle pesents an example of using contou gaphs to analyze the speed and acceleation of components of the leve mechanism without the use of decomposition mechanism. The esulting system of algebaic linea equations solved fo a given distibution of velocity and acceleation of the active link (cank) mechanism. Słowa kluczowe: mechanizm dźwigniowy, gafy kontuowe, kinematyka Keywods: link mechanism, contou gaph, kinematics 1. WPROWADZENIE Klasyczna metoda analityczna wyznaczania pędkości i pzyspieszeń członów mechanizmów dźwigniowych polega na jednokotnym óżniczkowaniu względem czasu pomieni wektoów położenia węzłów mechanizmu [1-3]. W atykule tym zostanie pzedstawiony sposób wykozystania metody gafów kontuowych do analizy kinematyki płaskiego mechanizmu dźwigniowego [4-7]. W pzeciwieństwie do metody analitycznej, metoda gafów kontuowych geneuje tylko ównania algebaiczne. Uposzczenie metody uzyskano dzięki pominięciu dekompozycji mechanizmu [5, 8]. Metoda gafów kontuowych może być zastosowana zaówno do płaskich, jak i pzestzennych mechanizmów, któych modelem obliczeniowym jest zamknięty łańcuch kinematyczny [4]. Obliczenia metodą gafów kontuowych bez stosowania dekompozycji układu pzepowadza się zgodnie z następującym skóconym algoytmem [5]: a) wykeślenie analizowanego mechanizmu, pzyjęcie układu współzędnych x0y oaz okeślenie zakesu geometycznego pacy poszczególnych węzłów mechanizmu, b) wykeślenie gafowego schematu kinematycznego mechanizmu o N niezależnych kontuach, 169

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji c) geneowanie wektoowego układu ównań pędkości dla całego kontuu (N zamkniętych pętli) waz z jego ozwiązaniem (po pzekształceniach), d) geneowanie wektoowego układu ównań pzyspieszeń dla całego kontuu (N zamkniętych pętli) waz z jego ozwiązaniem (po pzekształceniach). 2. RÓWNANIA METODY GRAFÓW KONTUROWYCH [4] Na ysunku 1 pzedstawiono zamknięty łańcuch kinematyczny, któy jest modelem mechanizmu dźwigniowego składającego się z n ogniw uchomych. Ogniwa są numeowane w kolejności od 0 do n. Ogniwo o numeze 0 jest najczęściej unieuchomione i wtedy nazywane jest podstawą. Ogniwo o numeze i połączone jest z ogniwem i 1 w punkcie A i, natomiast z ogniwem i 1 w punkcie Ai 1. Każdy z punktów należy więc do dwóch sąsiednich ogniw i oaz i 1. Dla ozóżnienia pzynależności punktu A i np. do ogniwa i 1 ( Ai i 1) można punkt ten zapisać z podwójnym indeksem dolnym jako Ai, i 1. Podobnie punkt Ai i zapisuje się jako A i, i. Analiza pędkości poszczególnych ogniw mechanizmu opiea się na dwóch podstawowych zależnościach kinematycznych uchu złożonego. Piewsza zależność wyażona jest wzoem (1) i dotyczy wyznaczania bezwzględnej pędkości kątowej ogniwa i, gdy znana jest bezwzględna pędkość kątowa ogniwa i 1 oaz względna pędkość kątowa ogniwa i względem ogniwa i 1: (1) i i1 i,i1 gdzie: i i,0 bezwzględna pędkość kątowa ogniwa i, i1 i1,0 bezwzględna pędkość kątowa ogniwa i 1, i,i1 względna pędkość kątowa ogniwa i względem ogniwa i 1. Po ozpisaniu ównania (1) dla zamkniętego łańcucha kinematycznego składającego się z n członów uchomych oaz jednej podstawy 0 i zsumowaniu tak otzymanych ównań otzymuje się piewsze ównanie wektoowe metody gafów kontuowych dla zamkniętych łańcuchów kinematycznych: 0, (2) 1,0 2,1 0,n któe można zapisać w postaci (3): i,i 1 0 (3) i Rys. 1. Łańcuch kinematyczny zamknięty [4] 170

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Dugie ównanie wektoowe metody gafów kontuowych otzyma się z dugiej podstawowej zależności kinematycznej dotyczącej uchu postępowo-obotowego, czyli płaskiego. Zależność ta pozwala na okeślenie wypadkowej pędkości liniowej v ogniwa j w punkcie A k A j w zależności od pędkości unoszenia A j ) i pędkości względnej Ajk A A A ) (jak na ysunku 1): k j v ogniwa k (w tym samym punkcie Ak v ogniwa j względem ogniwa k (we wspólnym punkcie Aj gdzie: v v. Ajk AjAk Aj Ak Ajk v v v (4) Po pzystosowaniu wzou (4) dla zamkniętego łańcucha kinematycznego, gdzie istnieje zależność między pędkością v Ai,i punktu A i,i oaz pędkością v Ai,i1 punktu Ai,i 1, otzymuje się zależność (5): Ai,i Ai,i1 Ai,i1 v v v (5) gdzie v Ai,i1 v Ai,iAi,i 1 jest względną pędkością liniową punktu A i na ogniwie i względem tego samego punktu A i, ale należącego do ogniwa i 1 (ys. 1). Zależność (5) można także zapisać dla dwóch óżnych punktów Ai 1 oaz tego samego ogniwa i (ys. 1): Ai1,i Ai,i i Ai Ai1 A i należących do v v (6) gdzie ω i ω i,0 jest bezwzględną pędkością kątową ogniwa i oaz Ai Ai1 jest pomieniem wektoem między punktami A i i Ai 1. Po dalszych pzekształceniach otzymuje się ównanie (7): A1 1,0 A2 2,1 A0 0,n v A1,0 v A2,1 v A3,2 v A0,n 0, (7) któe zapisane w skóconej postaci (8) stanowi dugie ównanie wektoowe metody gafów kontuowych do wyznaczania pędkości kątowych i,i 1: i Ai i,i1 Ai,i1 i v 0 (8) Analiza pzyspieszeń mechanizmów metodą gafów kontuowych opata jest, podobnie jak metoda analizy pędkości, na pzewodnim ównaniu kinematyki, ale dotyczącym pzyspieszeń ciał sztywnych: gdzie c Aj Ak Aj,k Aj,k a a a a (9) a Aj, a Ak bezwzględne pzyspieszenia liniowe tego samego punktu A, ale az należącego do ciała j, a dugi az do ciała k, czyli A j j oaz Ak k ; a a Aj,k Aj,Ak 171

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji pzyspieszenie względne punktu A j pzyspieszenie Coiolisa punktu A j Bezwzględne pzyspieszenie kątowe i i,0 j względem punktu Ak c c k ; a a Aj,k Aj, Ak c j względem punktu Ak k, gdzie a Aj,k 2 k v Aj,k. ogniwa sztywnego wyaża się wzoem: (10) i i1 i,i1 i i,i1 gdzie i1 i1,0 jest bezwzględnym pzyspieszeniem kątowym ogniwa i 1 oaz i,i 1 jest względnym pzyspieszeniem kątowym ogniwa i względem ogniwa i 1. Po ozpisaniu ównania (10) na n ównań (oddzielnie dla każdego z ogniw) i ich zsumowaniu, otzyma się piewsze ównanie wektoowe dla pzyspieszeń kątowych metody gafów kontuowych:...... 0 1,0 2,1 3,2 n,n1 1 1,0 2 2,1 3 3,2 n n,n1 lub w postaci zwatej: 0 (11) i i,i1 i i,i1 i Liniowe pzyspieszenie punktu A i ogniwa i wynosi: c Ai,i Ai,i1 Ai,i1 Ai,i1 a a a a (12) gdzie a Ai,i1 jest pzyspieszeniem punktu A i ogniwa i 1, a Ai,i1 a Ai,i Ai,i1 względnym pzyspieszeniem punktu A i należącego do ogniwa i względem tego samego punktu A i, ale c należącego do ogniwa i 1 oaz a Ai,i1 jest pzyspieszeniem Coiolisa: c Ai,i1 2 i1 Ai,i1 a v Zależność dla liniowego pzyspieszenia a Ai1,i punktu Ai1 liniowego a Ai,i punktu Ai i (czyli dla dwóch óżnych punktów Ai 1 i samego ogniwa i ) pzedstawia się następująco: Ai1,i Ai,i i AiAi1 i i AiAi1 i w zależności od pzyspieszenia A i należących do tego a a (13) gdzie i i,0 jest bezwzględnym pzyspieszeniem kątowym ogniwa i, oaz Ai Ai1 jest pomieniem wektoem między punktami A i i Ai 1. Podstawiając zależność (12) do wzou (13), otzymuje się wzó na pzyspieszenie liniowe punktu Ai 1,i, czyli punktu Ai 1 należącego do ogniwa i : c Ai1,i Ai,i1 Ai,i1 Ai,i1 i AiAi1 i i AiAi1 a a a a (14) 172

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Po ozpisaniu powyższego ównania dla wszystkich ogniw mechanizmu i następnie ich zsumowaniu oaz wstawieniu zależności na pomień wekto Ai1Ai (15): (15) Ai1Ai Ai Ai1 gdzie Ai OAi i Ai1 OAi1, otzymuje się dugie ównanie wektoowe metody gafów kontuowych do wyznaczania pzyspieszeń kątowych i,i 1 : c c c c a A1,0 a A2,1 a Ai,i1 a A0,n a A1,0 a A2,1 a Ai,i1 a A0,n... 1 1 A1A2 i i AiAi1 0 2 A0 A1 A1 1,0 1 1,0 Ai i,i 1 i i,i 1 A0 0,n 0 0,n 0 (16) któe można zapisać w skóconej postaci (17): c a Ai,i1 a Ai,i1 Ai i,i 1 i i,i1 Ai i,i 1 i i,i1 i i Ai Ai1 i i i i i 3. OPIS PROBLEMU 0 (17) Analizie poddano mechanizm dźwigniowy z kobą 1 jako członem napędzającym i suwakiem 5 jako członem napędzanym (ys. 2). Dane są długości ogniw: OA 80, OB 60, BC 120, CD 250 oaz zakes uchu obotowego koby 1: 38 ;128, pzy czym dla 38 ; 50 ozuch (uch jednostajnie pzyspieszony), dla 50 ;116 uch ustalony jednostajny, dla 116 ;128 hamowanie (uch jednostajnie opóźniony). Rozkład pędkości i pzyspieszeń pzedstawiono na ys. 3 i 4. Rys. 2. Analizowany mechanizm waz z zaznaczonymi pędkościami i pzyspieszeniami 173

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji pędkość kątowa koby 1 [ad/s] 0,425 0,375 0,325 0,275 0,225 0,175 0,125 0,075 0,025-0,025 38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 103 108 113 118 123 kąt obotu koby 1 [ ] Rys. 3. Wykes pędkości kątowej koby 1 w funkcji jej kąta obotu pzyspieszenie kątowe koby 1 [ad/s 2 ] 0,350000 0,150000-0,050000-0,250000-0,450000 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98 104 110 116 122 kąt obotu koby 1 [ ] Rys. 4. Wykes pzyspieszenia kątowego koby 1 w funkcji jej kąta obotu 4. GENEROWANIE UKŁADU WEKTOROWYCH RÓWNAŃ PRĘDKOŚCI Zagadnienie analizy kinematyki zamkniętych mechanizmów dźwigniowych ozwiązuje się tutaj bez stosowania dekompozycji układu. W tym celu wykozystuje się gafowy dwukontuowy schemat kinematyczny analizowanego mechanizmu pzedstawiony na ys. 5. Rys. 5. Gafowy dwukontuowy schemat kinematyczny analizowanego mechanizmu Równaniami wejściowymi metody są ównania wektoowe otzymane z połączenia dwóch układów ównań dla obydwu kontuów gafowych I i II [4-6]: 1,0 2,1 0,3 0 (18a) 174

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji OA 2,1 OB 0,3 A 3,2 v 0 (18b) 3,0 4,3 5,4 0 (18c) OB 3,0 OC 4,3 OD 5,4 D0,5 v 0 (18d) Dana jest pędkość kątowa koby 1 mechanizmu: 1,0 k 6,283 k ad s Poszukiwane są pędkości kątowe pozostałych dźwigni (wg ys. 2): 1,0 2,1 2,1k, 0,3 0,3k, 3,0 3,0k, 0,3 3,0, 4,3 4,3k, 5,4 Ponadto poszukiwane są pędkości liniowe suwaków 2 i 5: A 3,2 A 3,2x A 3,2y A 3,2 A 3,2 v v i v j v cos i v sin j 5,4 k oaz D0,5 v D0,5 x v D0,5 v D5,0 x v D5,0 v i i i i Iloczyny wektoowe w ównaniach (18b) i (18d) można pzekształcić do postaci (zgodnie z ys. 2): OA 2,1 ya 2,1 xa 2,1 OB 3,0 yb 3,0 xb 3,0 i j, OB 0,3 yb 0,3 i xb 0,3 j i j, OC 4,3 yc 4,3 i xc 4,3 j, y i x j, OD 5,4 D 5,4 D 5,4 Następnie zutując ównania (18) na układ osi Oxyz, otzymuje się algebaiczny układ ównań: 1,0 2,1 0,3 0 zut na oś z (19a) zut na oś z (19b) 3,0 4,3 5,4 0 A 2,1 B 3,0 A 3,2 y y v cos 0 zut na oś x (19c) A 2,1 B 3,0 A 3,2 x x v sin 0 zut na oś y (19d) B 3,0 C 4,3 D 5,4 D0,5 y y y v 0 zut na oś x (19e) xb 3,0 xc 4,3 xd 5,4 0 zut na oś y (19f) Jest to układ sześciu ównań zawieający sześć niewiadomych 2,1, 3,0 0,3, 4,3, 5,4 oaz v A 3,2 i v D5,0. 5. GENEROWANIE UKŁADU WEKTOROWYCH RÓWNAŃ PRZYSPIESZEŃ Zagadnienie analizy pzyspieszeń zamkniętych mechanizmów dźwigniowych ównież będzie ozwiązane bez stosowania dekompozycji układu, czyli wykozystuje się gafowy dwukontuowy schemat kinematyczny analizowanego mechanizmu pzedstawiony na ys. 3. Równaniami wejściowymi metody są ównania wektoowe otzymane z połączenia dwóch układów ównań dla obydwu części ozpatywanego mechanizmu [4, 5, 7]: 175

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji c OA 2,1 OB 0,3 A3,2 a A3,2 a c OB 3,0 OC 4,3 OD 5,4 D0,5 D0,5 a a 1,0 2,1 0,3 0 (20a) 2 2 1,0 OA 0,3 AB 0 (20b) 3,0 4,3 5,4 0 (20c) 2 2 3,0 BC 4,0 CD 0 (20d) Dane są pędkości i pzyspieszenia kątowe koby 1 mechanizmu (ys. 3 i 4): 1,0 k 6,283 k ad s 1,0 Poszukiwane są pzyspieszenia kątowe oaz liniowe pozostałych ogniw (wg ys. 2): 2,1 2,1k, 0,3 0,3k, 3,0 3,0k, 4,3 4,3k, 5,4 A 3,2 A 3,2x A 3,2y A 3,2 A 3,2 a a i a j a cos i a sin j 5,4 k oaz D0,5 a D0,5 x a D0,5 a D5,0 x a D5,0 a i i i i Iloczyny wektoowe w ównaniach (20b) i (20d) można pzekształcić do postaci (zgodnie z ys. 2): OA 2,1 ya 2,1 i xa 2,1 j oaz OB 0,3 yb 0,3 xb 0,3 OB 3,0 yb 3,0 i xb 3,0 j, OC 4,3 yc 4,3 xc 4,3 OD 5,4 y D 5,4 i x D 5,4 j i j, i j. c Pzyspieszenie Coiolisa a A3,2 punktu A na ogniwie 3 względem punktu A na ogniwie 2 można zapisać następująco: v 3,0 A 3,2x A 3,2y 3,0 A 3,2 i 3,0 A 3,2 j c A3,2 3,0 A 3,2 a 2 2 k v i v j 2 v sin 2 v cos Następnie zutując ównania (20) na układ osi Oxyz, otzymuje się algebaiczny układ ównań: 1,0 2,1 3,0 0 (21a) (21b) 3,0 4,3 5,4 0 2 2 A 2,1 B 3,0 A3,2 3,0 A 3,2 1,0 A 3,0 B A y y a cos 2 v sin x x x 0, (21c) 2 2 A 2,1 B 3,0 A3,2 3,0 A 3,2 1,0 A 3,0 A x x a sin 2 v cos y y 0, (21d) 2 2 B 3,0 C 4,3 D0,5 3,0 C B 5, 4 D C y y a x x x x 0, (21e) 2 2 x x x y y 0 (21f) B 3,0 C 4,3 D 5,4 3,0 C 5,4 C Jest to układ sześciu ównań zawieający sześć niewiadomych 2,1, 3,0, 4,3, 5,4 oaz a A 3,2 i a D0,50. 176

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji 6. WYNIKI ANALIZY Układy ównań (19) i (21) ozwiązano w akuszu kalkulacyjnym dla całego zakesu pacy mechanizmu, tzn. dla stef ozuchu, uchu jednostajnego oaz hamowania koby czynnej 1 dla danych pzedstawionych na wykesach (ys. 3 i 4). Wyznaczono watości wszystkich niewiadomych wymienionych w ozdziałach 3 i 4. Na ysunku 6 pzedstawiono wykes pędkości liniowej suwaka 5 w funkcji kąta obotu koby 1. pędkość liniowa suwaka 5 [m/s] 0,008-0,003-0,013-0,023-0,033 alfa 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 kąt obotu koby 1 [ ] Rys. 6. Wykes pędkości liniowej suwaka 5 w funkcji kąta obotu koby 1 Natomiast na ys. 7 pzedstawiono wykes pzyspieszenia suwaka 5 w funkcji kąta obotu koby 1 dla tych samych danych (ys. 3 i 4) oaz dodatkowo dla watości pędkości członów wyznaczonych wcześniej z piewszego układu ównań (19). 0,02000 pzyspieszenie liniowe suwaka 5 [m/s 2 ] 0,01500 0,01000 0,00500 0,00000-0,00500 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98 104 110 116 122 kąt obotu koby 1 [ ] Rys. 7. Wykes pzyspieszenia liniowego suwaka 5 w funkcji kąta obotu koby 1 7. WNIOSKI W niniejszym atykule udowodniono, że metoda gafów kontuowych bez stosowania dekompozycji analizowanego mechanizmu na postsze stuktuy jest ównież efektywna, podobnie jak z dekompozycją pzedstawioną w pacy [4]. Na podstawie obliczeń pzepowadzonych w niniejszym atykule można stwiedzić, że metoda gafów kontuowych jest badzo efektywnym nazędziem do analizy kinematyki mechanizmów ze sztywnymi ogniwami. Zalety tej metody uwidoczniają się jeszcze badziej, gdy analizuje się uch mechanizmu składający się np. z okesów ozuchu, uchu ustalonego i hamowania oaz nawotu. Udowodniono więc tutaj, że metoda gafów kontuowych bez stosowania dekompozycji analizowanego mechanizmu na postsze stuktuy jest ównie efektywna, jak z dekompozycją pzedstawioną w pacy [4]. Ponadto dzięki temu, że metoda gafów kontuowych wykozystuje tylko ównania algebaiczne, ozwiązywanie zagadnień odwotnych kinematyki jest badzo ułatwione. Należy tutaj podkeślić, że metoda gafów 177

XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania Pojektowania, Wytwazania i Eksploatacji kontuowych może być także wykozystana do pzepowadzania analiz kinematyki i dynamiki mechanizmów pzestzennych. LITERATURA [1] Fączek J., Wojtya M.: Kinematyka układów wieloczłonowych. Metody obliczeniowe WNT, Waszawa 2008. [2] Adamczyk E., Jucha J., Mille S.: Teoia mechanizmów i maszyn, Politechnika Wocławska, Wocław 1976. [3] Paszewski Z.: Teoia maszyn i mechanizmów, WNT, Waszawa 1967. [4] Maghitu D.B.: Kinematic Chains and Machine Components Design, ELSEVIER 2005. [5] Dobija M.: Analiza kinematyczna zamkniętych mechanizmów dźwigniowych metodą gafów kontuowych, paca dyplomowa inżynieska, ATH, Bielsko-Biała, 2014. [6] Dewniak J., Galicka P.: Metoda analizy pędkości tanspotowego mechanizmu dźwigniowego, Logistyka, n 3/2015. [7] Dewniak J., Galicka P.: Metoda analizy pzyspieszeń tanspotowego mechanizmu dźwigniowego, Logistyka, n 3/2015. [8] Dobija M., Dewniak J., Kopeć J., Zawiślak S., Shingissov B., Algazy Z.: Countou gaph application in kinematical analysis of cane mechanism, Współczesne tendy w teoii maszyn i układów mechatonicznych. XXIV Międzynaodowa Konfeencja Naukowa Teoii Maszyn i Układów Mechatonicznych, Wocław Szklaska Poęba, 2014, s. 135. 178