KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium Mechaniki technicznej

Transkrypt

1 KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki technicznej Ćwiczenie 1 Badanie kinematyki czworoboku przegubowego metodą analitycznonumeryczną. 1

2 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości i przyspieszenia wybranego punktu ogniwa czworoboku przegubowego metodą analityczno-numeryczną i sprawdzenie wyników przy użyciu programu komputerowego oraz za pomocą dodatkowych równań ruchu płaskiego. 1 Metoda analityczno-numeryczna Na rysunku 1 przedstawiono schemat badanego czworoboku przegubowego. Ogniwem napędowym jest pręt AB i jego położenie, prędkość kątowa = oraz przyspieszenie = są wielkościami zadanymi. Dane są również stałe długości odcinków: =, =, =, =, = i = h. Pozostałe wielkości kinematyczne położenia ( i ), prędkości ( = i = ) i przyspieszenia kątowe pozostałych ogniw oraz współrzędne położenia ( i ), składowe prędkości ( = i = ) i przyspieszenia ( = i = ) punktu F - są niewiadomymi, które należy wyznaczyć. 1.1 Położenia. Schemat czworoboku przegubowego Do wyznaczenia położeń poszczególnych ogniw oraz punktów wykorzystana zostanie metoda wektorowa. Dla mechanizmu przedstawionego na rys. 1 można zapisać następujące równanie wektorowe (zob. rys. 2): lub + = +, + =. (1) 2

3 Wyznaczenie położeń mechanizmu Rzutując równanie wektorowe (1) na osie układu współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań skalarnych: 1 cos cos 2 3 cos 3 4 = 0, 1 sin sin 2 3 sin 3 = 0. (2) Powyższe równania stanowią nieliniowy układ dwóch równań algebraicznych z dwiema niewiadomymi położeniami kątowymi ogniw. Należy zwrócić uwagę, że układ ten posiada dwa rozwiązania (dwa możliwe położenia mechanizmu dla jednego położenia korby AB). Odpowiednie rozwiązanie zostanie uzyskane numerycznie przy użyciu skryptu programu Scilab opisanego w rozdziale 1.4). 3

4 Wyznaczenie położenia punktu F W celu wyznaczenia położenia punktu F mechanizmu tworzymy następujące równanie wektorowe (zob. rys. 3): = + +. (3) Po zrzutowaniu równania wektorowego (3) na osie układu współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań skalarnych: = 1 cos 1 + h cos 2 h sin 2, = 1 sin 1 + h sin 2 + h cos 2, (4) pozwalający na wyznaczenie współrzędnych i punktu F, jeśli wcześniej zostały wyznaczona niewiadoma Prędkości W celu uzyskania prędkości kątowych poszczególnych ogniw należy zróżniczkować po czasie układ równań (2). Otrzymuje się wtedy następujące wyrażenia: 1 sin 1 2 sin sin 3 = 0, 1 cos cos 2 3 cos 3 = 0, które są układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:. Układ ten możemy zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób: (5) oraz 2 sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3 = 1 sin 1 1 cos 1 (6) 4

5 lub =, (7) gdzie: = 2 sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3, =, = 1 sin 1 1 cos 1. Rozwiązanie równania (7) można zatem zapisać = =. (8) W celu wyznaczenia prędkości punktu F mechanizmu różniczkujemy układ równań (4): = 1 sin 1 h sin 2 h cos 2, = 1 cos 1 + h cos 2 h sin 2. (9) 1.3 Przyspieszenia W celu wyznaczenia przyspieszeń mechanizmu różniczkujemy po czasie równania (5): 1 cos 1 1 sin 1 2 cos 2 2 sin cos sin 3 = 0, 1 sin cos 1 2 sin cos sin 3 3 cos 3 = 0. Powyższe równania stanowią liniowy układ równań z dwiema niewiadomymi. Układ ten sprowadzamy do postaci macierzowej: (10) oraz 2 sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3 = = 1 cos sin cos 2 3 cos 3 1 sin 1 1 cos sin 2 3 sin 3, (11) lub =, (12) gdzie: = 2 sin 2 3 sin 3 2 cos 2 3 cos 3, =, 5

6 = 1 cos sin cos 2 3 cos 3 1 sin 1 1 cos sin 2 3 sin 3. Rozwiązanie równania (12) można zatem zapisać = =. (13) W celu wyznaczenia przyspieszenia punktu F mechanizmu różniczkujemy układ równań (9): = 1 cos 1 1 sin 1 h cos 2 h sin 2 + +h sin 2 h cos 2, = 1 sin cos 1 h sin 2 + h cos 2 + h cos 2 h sin 2. (14) 1.4 Skrypt obliczeniowy programu Scilab Na wydruku 1 przedstawiony jest skrypt obliczeniowy programu komputerowego Scilab służący do numerycznego wyznaczenia poszukiwanych wielkości kinematycznych mechanizmu przedstawionych w rozdziałach Wydruk 1. Skrypt obliczeniowy. // WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO l1 = 40; l2 = 50; l3 = ; l4 = ; //WPROWADZANIE KATA POCZATKOWEGO ALFA 1 W STOPNIACH alfa1deg=50; //ZAMIANA KATA ALFA 1 ZE STOPNI NA RADIANY alfa1 = alfa1deg/360*2*%pi; //DEFINIOWANIE FUNKCJI fun function y=fun(x) y=[ l1*cos(alfa1)+l2*cos(x(1))-l3*cos(x(2))-l4 l1*sin(alfa1)+l2*sin(x(1))-l3*sin(x(2)) ]; endfunction //ROZWIAZYWANIE FUNKCJI NIELINIOWEJ [xres]=fsolve([1;1],fun); //SPROWADZANIE KATOW ALFA DO PRZEDZIALU (-2PI,2PI) alfa2 = pmodulo(xres(1),2*%pi); alfa3 = pmodulo(xres(2),2*%pi); //PRZELICZENIE KATOW ALFA Z RADIANOW NA STOPNIE alfa2deg=alfa2/2/%pi*360; alfa3deg=alfa3/2/%pi*360; /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // WPROWADZANIE DLUGOSCI RAMION CZWOROBOKU PRZEGUBOWEGO lh = 20; h = 20; 6

7 // OBLICZANIE POLOZENIA PUNKTU F xf = l1*cos(alfa1) + lh*cos(alfa2) - h*sin(alfa2); yf = l1*sin(alfa1) + lh*sin(alfa2) + h*cos(alfa2); /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // WPROWADZANIE PREDKOSCI KATOWEJ OMEGA 1 omega1 = ; //OBLICZENIA PREDKOSCI KATOWYCH ALFA 2 I ALFA 3 A = [-l2*sin(alfa2) l3*sin(alfa3) l2*cos(alfa2) -l3*cos(alfa3) ]; b = [ l1*sin(alfa1)*omega1 -l1*cos(alfa1)*omega1 ]; xres = (A^-1)*b; omega2 = xres(1); omega3 = xres(2); //OBLICZENIA SKLADOWYCH PREDKOSCI PUNKTU F vfx = -l1*sin(alfa1)*omega1 - lh*sin(alfa2)*omega2 - h*cos(alfa2)*omega2; vfy = l1*cos(alfa1)*omega1 + lh*cos(alfa2)*omega2 - h*sin(alfa2)*omega2; fivdeg = atan(vfy,vfx)/2/%pi*360; /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //WPROWADZANIE PRZYSPIESZENIA KATOWEGO EPSILON 1 epsilon1 = 0; //OBLICZENIA PRZYSPIESZEN KATOWYCH EPSILON 2 I EPSILON 3 c = [ l1*cos(alfa1)*omega1^2+l2*cos(alfa2)*omega2^2-l3*cos(alfa3)*omega3^2+l1*sin(alfa1)*epsilon1 l1*sin(alfa1)*omega1^2+l2*sin(alfa2)*omega2^2-l3*sin(alfa3)*omega3^2-l1*cos(alfa1)*epsilon1 ]; yres = (A^-1)*c; epsilon2 = yres(1); epsilon3 = yres(2); //OBLICZENIA SKLADOWYCH PRZYSPIESZENIA PUNKTU F afx = -l1*cos(alfa1)*omega1^2-lh*cos(alfa2)*omega2^2+h*sin(alfa2)*omega2^2-l1*sin(alfa1)*epsilon1-h*cos(alfa2)*epsilon2-lh*sin(alfa2)*epsilon2; afy = -l1*sin(alfa1)*omega1^2-lh*sin(alfa2)*omega2^2-h*cos(alfa2)*omega2^2+l1*cos(alfa1)*epsilon1-h*sin(alfa2)*epsilon2+lh*cos(alfa2)*epsilon2; fiadeg = atan(afy,afx)/2/%pi*360; 7

8 2 Równania sprawdzające 2.1 Prędkości W celu wyznaczenia prędkości punktu F można posłużyć się metodą bieguna, wybierając za biegun punkt B: gdzie = + /, (15) = 1, / = 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 4 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy < 0). Prędkość punktu F (biegun w punkcie B) Prędkość punktu F można również wyznaczyć, obierając za biegun punkt C: gdzie = + /, (16) = 3, / = 2. 8

9 Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rysunku 5 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy < 0). Prędkość punktu F (biegun w punkcie C) Układ równań (15-16) pozwala na wyznaczenie wszystkich niewiadomych składowych prędkości liniowych i kątowych, niezależnie od metody podanej w rozdziale 1. Jednak w tym ćwiczeniu równania te posłużą jedynie do obliczenia prędkości punktów B i C oraz odpowiednich składowych prędkości punktu F, przy wykorzystaniu wartości prędkości kątowych obliczonych metodą podaną w rozdziale 1, w celu ich zobrazowania na rysunku wykonanym w skali i sprawdzenia wcześniej otrzymanych wyników. 2.2 Przyspieszenia Przyspieszenie punktu F można również określić posługując się metodą bieguna. Wybierając za biegun punkt B otrzymuje się gdzie = + / + /, (17) = +, = 2 1, = 1, / = 2 2, / = 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 6 (uwaga: dotyczy ona szczególnego przypadku, gdy = 0). 9

10 Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie B) Natomiast przyjmując za biegun punkt C otrzymuje się: gdzie = + / + /, (18) = +, = 2 3, = 3, / = 2 2, / = 2. Odpowiednia konstrukcja geometryczna wektorów jest przedstawiona na rys. 7. Przyspieszenie punktu F (biegun w punkcie C) 10

11 Podobnie jak w przypadku prędkości przedstawionych w rozdziale 2.1, układ równań (17-18) pozwala na wyznaczenie wszystkich niewiadomych składowych przyspieszeń liniowych i kątowych (jeśli wcześniej zostały wyznaczone odpowiednie prędkości przy użyciu równań (15-16)), niezależnie od metody podanej w rozdziale 1. W tym ćwiczeniu równania te posłużą jedynie do obliczenia odpowiednich składowych przyspieszeń punktów B, C i F, przy czym zostaną wykorzystane wartości prędkości i przyspieszeń kątowych obliczone metodą podaną w rozdziale 1, w celu ich zobrazowania na rysunku wykonanym w skali i sprawdzenia wcześniej otrzymanych wyników. 3 Program komputerowy w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel Do weryfikacji otrzymanych wyników można posłużyć się gotowym programem wykonanym oprogramowaniu Microsoft Excel, którego widok przedstawiony jest na rys. 8. Widok programu w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel W programie, w prawym górnym rogu w polach zaznaczonych kolorem zielonym, należy wpisać odpowiednie parametry czworoboku dla liczonego przypadku (zob. rys. 9). Wpisywanie parametrów czworoboku Dla podanych parametrów program rysuje zadany czworobok wraz z obliczonymi prędkościami oraz przyspieszeniem, co zostało przedstawione na rys. 10 (kolorem zielonym oznaczono ramiona czworoboku, kolorem niebieskim wektor prędkości oraz kolorem żółtym wektor przyspieszenia). 11

12 Czworobok w programie w Excelu Program rysuję daną konfigurację dla zadanego kąta początkowego (zob. rys. 8). Przy użyciu skrótów klawiszowych możemy zmieniać zadany kąt początkowy: CTRL + Q zwiększa kąt początkowy 1 o 5 stopni CTRL + A zmniejsza kąt początkowy 1 o 5 stopni Obliczone wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia podane są w odpowiednich polach programu, poniżej rysunku czworoboku (zob. rys. 11). 4 Przebieg ćwiczenia Wartości wektorów prędkości oraz przyspieszenia czworoboku Każda grupa odrabiająca ćwiczenie powinna posiadać przynajmniej jeden zestaw przyrządów kreślarskich odpowiednie ołówki, linijkę, zestaw ekierek i cyrkiel. Podczas wykonywania ćwiczenia należy wykonać następujące polecenia: Zapisać parametry podane przez prowadzącego w tabeli Obliczyć wszystkie wielkości przy użyciu skryptu w programie Scilab (,,,,,,,,,,, ) Wykonać rysunek mechanizmu w skali oraz narysować (w skali) wektor prędkości i przyspieszenia punktu F (wszystko na dwóch rysunkach oddzielnie dla prędkości i przyspieszeń) Sprawdzić wyniki przy użyciu programu w Excelu Sprawdzić wyniki przy użyciu równań podanych w rozdziale drugim: o Zapisać równania o Obliczyć odpowiednie składowe wektorów prędkości i przyspieszeń punktów B, C i F, wykorzystując wartości odpowiednich prędkości i przyspieszeń kątowych obliczonych wcześniej numerycznie o Zrobić odpowiednie rysunki w skali (nanieść odpowiednie składowe prędkości i przyspieszeń na wcześniejszych rysunkach w celu sprawdzenia wyników) Zapisać wnioski 12

13 5 Wymagania wstępne Do przystąpienia do wykonywania ćwiczenia niezbędna jest znajomość równań podanych w rozdziałach oraz 2, a także równań ruchu płaskiego poznanych na przedmiocie Mechanika techniczna I. Przykładowe pytania: Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć położenia kątowe mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek. Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć prędkości kątowe mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek. Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć położenie punktu F mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek. Podaj równania metody analityczno-numerycznej pozwalające wyznaczyć prędkość punktu F mechanizmu oraz sporządź odpowiedni rysunek. Zapisz wektorowe równania ruchu płaskiego pozwalające wyznaczyć metodą bieguna prędkość punktu F i sporządź odpowiednie rysunki. Zapisz wektorowe równania ruchu płaskiego pozwalające wyznaczyć metodą bieguna przyspieszenie punktu F i sporządź odpowiednie rysunki. Ponadto, na sprawdzianie wstępnym może zostać podane do rozwiązania dowolne proste zadanie dotyczące ruchu płaskiego (zgodnie z programem Mechaniki Technicznej I). 13