.GAWITACJA.. Wielkości chaakteyzujące ole awitacyjne. iły Centalne C F ˆ Dla oddziaływań awitacyjnych stała C: C Gm m Nm dzie G 6,67* - k Dla oddziaływań elektostatycznych stała C: q q C 4πε o Oddziaływanie mas unktowych m F m F F siła działająca na masę ochodząca od masy F Zależność watości siły centalnej od odlełości od źódła ola Natężenie ola awitacyjneo F Gm m
neia otencjalna i otencjał W W Δ F o d Gmm Fd Gmm Gmm Gmm Gm V V m ad F F m V m V dzie iˆ ˆj y kˆ z Pzykład zastosowania związku między natężeniem ola a otencjałem ola awitacyjneo masy unktowej. Wyznaczyć składowe, y, z : Dane: [ ( G( )( G odobnie y y G z y z ) ] z Gy y Gz z skąd: G G ( i ˆ ˆjy kz ˆ ) G Gdzie watość wektoa ) V () G V z, y, z y w zybliżeniu masa unktowa
.. Pawo Gaussa i zykłady jeo zastosowań. tumień linii sił ola wektooweo o natężeniu Φa a o d Δs a deiniujemy nastęująco: Δs Δs nˆ a n n ΔΦ a ożna nastęująco somułować awo Gaussa dla ola awitacyjneo: Całkowity stumień ola awitacyjneo zechodzący zez dowolna owiezchnię zamkniętą (tzw. owiezchnię Gaussa), jest oocjonalny do masy będącej źódłem teo ola tej, któa jest zamknięta wewnątz owiezchni Gaussa. Zaisujemy to nastęująco: Φ 4 πg dzie Φ o d czyli ostatecznie o d 4πG Pzykłady zastosowania Pawa Gaussa do unktoweo, linioweo i objętościoweo ozkładu masy. tumień ola awitacyjneo wytwazaneo zez źódło unktowe. Powiezchnia Gaussa Φ Φ o ds ds 4π ds cos8 ds
Uwaa! Znak - związany jest z zeciwnym zwotem wektoów oaz d. Zodnie z umową wekto koo: skieowany jest w stonę masy (siły zyciąające). Φ 4 πg a jak obliczono Φ 4π więc stąd: G ˆ watość G ~/ tosując awo Gaussa dla ładunku unktoweo q > ε Φ q ε o ds q ε A więc ds ε 4π ε 4π q skąd: q kq ˆ ˆ dzie k 4πε 4πε kq watość q jeśli w odlełości od źódła q umieszczę ładunek unktowy q > to: qq F q czyli F k ˆ qq F 4πε q q jest to siła Coulomba Zastosowanie awa Gaussa dla zestzenneo ozkładu masy. ) eyczny ozkład masy - owłoka kulista o masie i omieniu. ęstość owiezchniowa masy: σ 4π ozatujemy iewszy obsza >
Na odstawie awa Gaussa można zaisać: 4 πg o ds dzie jest masą owłoki zawatej wewnątz owiezchni Gaussa. Uwaa na zeciwne zwoty wektoów i d, dyż ich iloczyn skalany da watość ujemną. G 4πG 4π ˆ Gσ 4π G ostatecznie G V ~/ o d d cos8 Dla duieo obszau < o ds dyż żadna masa nie jest zawata wewnątz wybanej owiezchni Gaussa. Zależność otencjału V() zedstawia oniższy wykes. V G ) Objętościowy ozkład masy kula o masie, omieniu i ęstości ρ. Założenie kula jednoodna tzn. ρ V 4 π const ozatujemy iewszy obsza > (cała masa kuli zawata jest wewnątz owiezchni Gaussa). ożna więc zaisać: 4 πg o ds
G 4πG 4π 4 Gρ π ostatecznie Znając można obliczyć otencjał i eneię otencjalną masy óbnej m znajdującej się w odlełości od źódła ola awitacyjneo. V G o d V stąd V m Gm Z kolei dla duieo obszau < tylko część masy kuli znajduje się wewnątz wybanej owiezchni Gaussa ' ' ' V V 4 4 π π skąd ' Na odstawie awa Gaussa: ' 4πG o d ' ' G 4πG 4π skąd ostatecznie: ' G G Dla obu obszaów otzymujemy ten sam wynik dy : G G ~/ V G G ~ ~/
Obliczmy acę wykonaną zez siłę zewnętzną odczas zbliżania ciała o masie m do ciała o masie i omieniu. ozatzmy dwa obszay: - na zewnątz masy : < oaz wewnątz: < < Tak więc W ostatecznie F o d F o d 44 44 > < Gm d Gm Gm Gm W Gm Gm d Gm Pzykład: tunel zez Ziemię. (t. Halliday, esnick, Walke 4.5 st. 6 lub obliczenie okesu uchu ciała w tunelu: stae wydanie t. esnick, Halliday 6.6 st.484) m TUNL PZZ ZII neia awitacyjna jednoodnej kuli. Aby obliczyć eneię własną kuli o omieniu i ęstości ρ obliczamy eneię oddziaływania omiędzy ełną kulą o omieniu a otaczającą ja owłoką kulistą o ubości d i masie dm. Budowanie kuli będzie oleać na doklejaniu kolejnych zewnętznych owłok doóki omień kuli nie osiąnie watości. Paca otzebna na doklejenie owłoki zeniesienie jej z : Gdm dw masa tak twozonej kuli i owłoki jest ówna odowiednio: 4 π ρ 4 dm π ρd Całkowita aca otzebna do utwozenia kuli: 4 π ρ4π ρd 4 W 6 dw G Gπ ρ d 6 W Gπ ρ 5 5 G 5 W ten sosób obliczamy eneię awitacyjną wiazd i lanet. Pzykładowo, awitacyjna eneia własna łońca:
s lonca k s 7 8 m 6,67 ( 8 5 (7 ) ) J Jest to badzo duża ilość eneii i jest oczywiste, że w ocesie awitacyjneo zaadania się wiazdy (do stadium białeo kała o omieniu ok., obecneo omienia łońca) wyzwoli się oomna ilość eneii. Pawa Kelea. Δ Δ I Wszystkie lanety kążą o elisach. W onisku elisy znajduje się łońce. II Pola zakeślane zez wekto wodzący (od łońca) w jednakowych odstęach czasu są ówne. Zakeślane ole: Δ ( Δ ) d s dt d dt ( m v) m tzw. ędkość olowa jeżeli nie działają siły zewnętzne: d s dt L L const m d s dt const III Kwadaty okesów obieów óżnych lanet dookoła słońca są oocjonalne do sześcianów dużych ółosi elisy. Powodem uchu o obicie jest siła dośodkowa jest nią siła awitacji: a m a m Gm mω π ω T G 4π T T a 4π T G( m) T a a
.. Pzysieszenie ziemskie. neia otencjalna ciała o masie m znajdująceo się w odlełości od owiezchni Ziemi jest: Gm Gm ) ( Zakładając że możemy wyażenie w nawiasie ozwinąć w szee clauina (zyadek szeeu Tayloa): m ziemi 6,48 6 << ) ( bo '()! () ()!... ''()! '()! () ) ( n l n n dla () ' bo () ''! l dla '() ' zatem: K na odstawie założenia widać, że już tzeci wyaz szeeu jest zaniedbywalnie mały, a więc: m Gm Gm Gm Gm
Wływ szeokości eoaicznej na watość zysieszenia ziemskieo. m m W związku z uchem obotowym Ziemi, należy uwzlędnić działanie siły odśodkowej bezwładności. Cięża ciała na szeokości eoaicznej ϕ: Gm mφ mω cosφ G 4π φ cosφ T o G Na bieunie: φ 9 b o G 4π Na ówniku φ T Wahadło Foucaulta cosφ φ Kula wahadła Foucaulta wykonuje wahania nad ieścieniem o omieniu, a łaszczyzna wahań obaca się w kieunku uchu wskazówek zeaa. Ziemia w swoim uchu obotowym stanowi nie inecjalny układ odniesienia, ędkości wzlędne kańcowych unktów ieścienia ółnocneo i ołudnioweo są óżne. zybciej ousza się unkt leżący dalej od osi obotu. Obliczamy ędkości liniowe odowiednio ółnocneo i ołudnioweo unktu ieścienia: v v N s ω cosφ ω sinφ ω cosφ ω sinφ óżnica omiędzy każdą z tych ędkości a ędkością śodka ieścienia wahadła Foucaulta:. Δ v ω sinφ koo obwód ieścienia wynosi π więc ełny obót łaszczyzny wahań jest: T ( ω sinφ) Π tąd okes obieu: π T 4h T π sinφ sinφ sinφ T Na bieunie, dy φ o T Obsewacja wahadła Foucaulta stanowi dowód na nieinecjalność Ziemi.
Twiedzenie o wiiale w zastosowaniu do ola awitacyjneo. C F c dzie stała cgm c c czyli a { a c a mnożąc obustonnie zez wynika stąd, że a d v dt v v jeśli oliczymy d v k dt (*) k a czyli: skoo v const onieważ dy ośnie to maleje v (ędkość obitalna satelity). Cząstka będąca w olu siły oocjonalnej do stanie związanym otencjałem zyciąającym. jest cząstką w Wówczas lewa stona ównania (*) jest ówna zeo. A więc: k k tabilny układ awitacyjny ma, musi więc mieć (zodnie z owyższymi ównaniami) eneię kinetyczną ( k ) czyli jest w uchu. Na zykład zaadająca się wiazda zwiększa zejawia się wzostem temeatuy!, więc ośnie jej eneia kinetyczna, któa
Temeatua łońca Jak wyliczono wcześniej: G 5 lonca Z temodynamiki wiadomo, że śednia eneia kinetyczna cząstki (He,H) jest: k NkT dzie k stała Boltzmana; całkowita eneia N-atomów: k NkT ś Z twiedzenia o wiiale otzymano, że: śednia eneia kinetyczna G Nk T dzie A zatem G atomów lonca czyli: jest śednią masą atomu na łońcu. N G T ś 5k na łońcu są zjonizowane atomy He i H czyli a zatem odstawiając dane otzymamy: m 7 T ś K ev