Metoda odbić zwierciadlanych

Transkrypt

1 Metoa obić zwiecialanych Pzyuśćmy, że łaunek unktowy (Rys ) umieszczony jest w oległości o nieskończonej owiezchni zewozącej, umiejscowionej na łaszczyźnie X0Y Piewsze ytanie, jakie o azu się nasuwa jest nastęujące: Jaki jest otencjał V oaz natężenie E w obszaze na łaszczyzną? Nie mogą one ochozić tylko o łaunku, onieważ wyinukuje na owiezchni zewonika ewien łaunek o znaku zeciwnym W związku z tym całkowity otencjał oaz natężenie bęą sumą otencjałów i natężeń ochozących bezośenio o i o łaunku inukowanego Ale jak można obliczyć te wielkości, skoo nie wiaomo jak uży jest wyinukowany łaunek i jaki jest jego ozkła? Z X Rys Łaunek w oległości na owiezchnią zewozącą Y Z omocą zychozi nam metoa obić zwiecialanych Metoa ta olega na zastąieniu owiezchni zewozącej ównoważnymi jej łaunkami ozonymi (tzw uojonymi lub zwiecialanymi) Muszą one wytwozyć takie samo ole jak to, któe zostało wytwozone zez łaunki zeczywiste, wyinukowane na owiezchni zewozącej Po wyznaczeniu ozkłau łaunków zwiecialanych zaganienie ozwiązujemy alej tak, jakby w ukłazie nie wystęowała owiezchnia zewoząca, a ole było wytwazane zez łaunki iewotne i zwiecialane Klasyczna oceua znajowania ozkłau ola w takim ukłazie olegałaby na naisaniu oowienich ównań Maxwella i ozwiązaniu ich zy uwzglęnieniu waunków bzegowych zaganienia Jest to bazo tune, onieważ nieznany jest ozkła łaunków na owiezchni zewozącej Funkcję oisującą ozkła ola i sełniającą ównania Maxwella oaz waunki bzegowe, sóbujemy znaleźć kozystając z twiezenia o jenoznaczności Twiezenie to mówi, że jeżeli znajziemy jakąkolwiek funkcję sełniającą ównania Maxwella oaz waunki bzegowe ostawione w zaaniu to funkcja ta jest jeynym słusznym ozwiązaniem Tutaj waunkiem bzegowym jest zeowanie się skłaowej stycznej E na owiezchni zewozącej Fakt zeowania się skłaowej stycznej wektoa natężenia ola elektycznego wynika z tego, iż w zaganieniach elektostatyki, na owiezchni zewozącej istnieje otencjał o stałej watości owiezchnia zewonika jest owiezchnią ekwiotencjalną Wystęuje tylko skłaowa nomalna wektoa natężenia ola elektycznego Waunek zeowania się skłaowej stycznej wektoa E na łaszczyźnie X0Y bęzie sełniony także wtey, gy ziałanie zewozącej owiezchni zastąimy fikcyjnym łaunkiem = umieszczonym w oległości o łaszczyzną X0Y, zy założeniu że zenikalność elektyczna całej zestzeni jest ówna ε (zob Rys na nastęnej stonie) W takim zyaku, na łaszczyźnie X0Y natężenie ola elektycznego o wóch łaunków unktowych jest sueozycją natężeń ól o każego łaunku i wynosi: () E = E + E = + g Skłaowa styczna wektoa E g o łaszczyzny X0Y ówna się: () Egstycz = Estycz + Estycz = E cosα + E cosα

2 Z ε I P II 0 α α E E g E Y X Rys Łaunek zeczywisty oaz łaunek uojony obity wzglęem owiezchni zewozącej, umiejscowionej na łaszczyźnie X0Y Obywie skłaowe twozą z łaszczyzną X0Y taki sam kąt α ( =, bo łaunek jest tak samo oalony o łaszczyzny jak łaunek ) Z oobieństwa tójkątów możemy naisać: () x + y cosα = Bioąc owyższe zależności oaz uwzglęniając, że skłaowa styczna wektoa E g = 0 otzymamy: (4) a stą: x + y x + y + = 0, (5) = Wykazaliśmy więc sełnienie waunków zaania Zastąienie zewozącej łaszczyzny łaunkiem nie zmienia ostawionych waunków bzegowych, a tym samym nie zmienia ozkłau ola na tą łaszczyzną W owolnym unkcie zestzeni na łaszczyzną X0Y, tj w obszaze, w któym umieszczony jest łaunek natężenie ola elektostatycznego można oisać: (6) E = 4 πε Potencjał oisany jest: (7) V = Watość otencjału w unkcie P(x, y, z) wynosi: (8) V ( x, y, z) = 4 πε x + y + ( z ) x + y + ( z + )

3 Kozystając z () wyznaczymy watość skłaowej nomalnej na owiezchni X0Y: (9) Egnom = Enom + E nom = E sinα + E sinα Analogicznie jak la skłaowej stycznej można naisać: (0) sinα = Uwzglęniając, że = x + y + oaz =, otzymamy: () Egnom = = πε x + y + Wyznaczone owyżej zależności wykozystamy o obliczeń w ogamie MATLAB W tym celu naiszemy funkcję, któa umożliwi nam obliczenie otencjału z ównania (8): function V = metoa_obic(,,esilon,x,y,z) V = /(4*i*esilon)* (/sqt(x^+y^+(z-)^) -(/sqt(x^+y^+(z+)^))); Do obliczenia natężenia ola elektycznego bęziemy wykozystywać ównież ozenio zaisane funkcje: ochona oaz natezenieola Jeśli nie ma ich na ysku twaym komutea, to należy je onownie zaisać (można obać ze stony: kszuteul/mmwe/nazwafunkcjim) function = ochona(x,y) Lx = length(x); x = x(:lx)-x(:lx-); y = y(:lx)-y(:lx-); = [NaN y/x NaN]; function [Ex,Ey] = natezenieola(x,y,v) fo k=:length(y) Ex(k,:) = -ochona(x,v(k,:)); fo k=:length(x) Ey(:,k) = -ochona(y,v(:,k)'); ZADANIE Łaunek = 6 C znajuje się w ielektyku o zenikalności elektycznej ε = ε 0 w oległości o łaszczyzny zewozącej (Rys ) Wyznacz ole w ielektyku Pzestaw otencjał V i natężenie ola E na ysunku, na łaszczyźnie X0Z (la y = 0) Wyznacz gęstość owiezchniową łaunków, któe owstaną na owiezchni ozielającej wa śoowiska i siłę ziałającą na łaunek

4 ROZWIĄZANIE W oknie Comman Winow wowazamy ane o zaania oaz efiniujemy obsza obliczeń: clea, % usuwa wszystkie zaamiętane zmienne close all % zamyka wszystkie ysunki x = -9:0:; % watości x obszau obliczeń [mm] y = 0; % watość y obszau obliczeń [mm] z = 0:0:7; % watości z obszau obliczeń [mm] [X,Z] = meshgi(x,z); % twozy obsza obliczeń łaszczyzna XZ = 6; % watość łaunku = 5; % oległość w osi Z esilon = 8854e-; % zenikalność elektyczna la owietza a nastęnie obliczamy watości otencjału: fo w = :length(z), % ętla o w: la każego z fo k = :length(x), % ętla o k: la każego x V(w,k) = metoa_obic(,,esilon,x(k),y,z(w)); % obliczenia % koniec ętli o k % koniec ętli o w i ysujemy wykes otencjału za omocą funkcji colo: colo(x,z,v) axis equal axis tight shaing flat % ysuje watości V na łaszczyźnie X0Z % ustawia ówne skale na osiach % oasowuje ozmia ukłau wsółzęnych % cieniowanie wykesu bez inteolacji Na ysunku wizimy ozkła otencjału wokół łaunku Pzyjmijmy teaz, że łaunek jest umieszczony nieco alej o łaszczyzny X0Y (w oległości = ) i la takiej sytuacji ozwiążemy zaanie o końca: = ; fo w = :length(z), % ętla o w: la każego z fo k = :length(x), % ętla o k: la każego x V(w,k) = metoa_obic(,,esilon,x(k),y,z(w)); % koniec ętli o k % koniec ętli o w colo(x,z,v) % ysuje watości V na łaszczyźnie X0Z axis equal % ustawia ówne skale na osiach X i Z axis tight % oasowuje ozmia ukłau wsółzęnych shaing flat % ustawia koloowanie wykesu bez inteolacji hol on % otzymuje bieżący wykes [Ex,Ey] = natezenieola(x,z,v); h = quive(x,z,ex,ey); set(h,'autoscalefacto',5,'colo',[ ]); Znając ozkła E i V można wyznaczyć gęstość owiezchniową łaunków, któe owstaną na owiezchni ozielającej wa śoowiska Z waunków ciągłości wektoa E zy zejściu zez łat łaunku owiezchniowego z obszau I o II wynika, że gęstość łaunku owiezchniowego jest oocjonalna o nieciągłości skłaowej nomalnej E: () ε(e IIn E In ) = σ 4

5 Ponieważ w obszaze II ole nie istnieje (E IIn = 0), to owiezchniowa gęstość łaunku wyaża się nastęująco: () σ = εeng = = π π x + y + Łaunek zyciągany jest zez łaszczyznę, onieważ znajuje się na niej inukowany łaunek o znaku zeciwnym Siłę tego zyciągania można obliczyć: (4) F = z 4 πε ( ) Ponieważ wekto siły jest skieowany ównolegle o osi Z ze zwotem zeciwnym, to jej watość: (5) F = = 4 πε( ) 6πε Naisz funkcje: launek oaz sila, któe bęą obliczać wielkości wyażone wzoami () oaz (5) Pamiętaj o zaeklaowaniu w nawiasie agumentów funkcji, wystęujących we wzoach function sigma = launek( ) function F = sila( ) Wykonaj obliczenia za omocą tych funkcji Pzestaw wyniki obliczania gęstości owiezchniowej łaunku na ysunku, na łaszczyźnie X0Y (la z = 0) ZADANIE Zmoyfikuj wzó (8) oaz zaisane o obliczeń funkcje tak, aby ziałały oawnie la sytuacji, gy ojeynczy łaunek umieszczony jest na łaszczyzną zewozącą w owolnym unkcie, o wsółzęnych (x 0, y 0, z 0 ) Wykonaj obliczenia za omocą zmienionych funkcji la ołożenia łaunku w unkcie (-,, ) Pzestaw wyniki obliczania otencjału na łaszczyznach zecinających osie ukłau wsółzęnych w óżnych unktach (la wybanej osi ustalamy unkt zecięcia n y = 0 jak w zaaniu, i wykonujemy obliczenia la wybanego zakesu ozostałych zmiennych) ZADANIE Zaisz ównanie la otencjału w sytuacji, gy łaunek znajuje się w obliżu wóch zewozących łaszczyzn, stykających się o kątem ostym Naisz funkcję obliczającą otencjał w takim ukłazie i wykonaj obliczenia oaz zestaw je na wykesie 5