Przedmiot: Fizyka. Przedmiot: Fizyka. Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika. Wykład 5, 2011/2012. Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika

Transkrypt

1 PRACA I ENERGIA 1 ENERGIA A PRACA Enegia jest to wielkość skalana, chaakteyzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Enegia kinetyczna jest związana ze stanem uchu ciała. Paca jest to enegia zekazana ciału lub od niego odebana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy enegia jest zekazana ciału,,aca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, aca jest ujemna. Paca jest ówna zmianie enegii. Jednostką acy i enegii w układzie SI jest 1J. 1

2 PRACA STAŁEJ SIŁY W = F o s = Fscosϕ F φ φ A v A v B B v B > va Wekto zesunięcia s = AB Wskutek wykonanej nad ciałem acy wzasta jego ędkość od v A do v B czyli ośnie enegia kinetyczna 3 Pzykład 1: Koalik może się ślizgać (bez tacia) o żyłce ozciągniętej wzdłuż oziomej osi OX. Stała siła F, skieowana od kątem φ do żyłki owoduje uch jednostajnie zysieszony y koalika wzdłuż żyłki. y Jaki jest związek ą acy wykonanej zez siłę F z enegią kinetyczną koalika? F φ F F v B v A F v B Oś OX Pacę wykonuje tylko składowa F. Zatem W = F s = ma s 4

3 F φ F F v A F v B Oś OX v B = v A + a s W AB = m a s a = v B v s A W AB 1 = mv B 1 mv A = E kb E ka 5 Paca wykonana zez siłę nad cząstką swobodną jest ówna zmianie enegii kinetycznej cząstki W = ΔE k Im większa ędkość ciała, tym większa jego enegia kinetyczna. Gdy ciało ozostaje w soczynku jego enegia kinetyczna jest ówna zeu. E = k 1 mv ale = mv E k = m 6 3

4 Zadanie domowe 5.1 Chłoiec ciągnie sanki o masie m=5kg, ze stałą ędkością, o oziomej owiezchni, na dodze d=9 m. Jaką acę wykona on zy ciągnięciu, jeżeli wsółczynnik tacia kinetycznego wynosi μ k =0,0 a sznuek twozy kąt φ=45 o z oziomem? Diagam sił Q 7 PRACA SIŁY ZMIENNEJ Załóżmy, że siła F zależy od ołożenia czyli F() Dzielimy zedział < 1, > na odcinki, na któych można zyjąć, że siła jest stała. Obliczamy yacę ę W wykonaną ą zez siłę stałą na odcinku Pace cząstkowe W sumujemy W = F W = 1 F Δ 8 4

5 PRACA JAKO CAŁKA Gdy 0 W = lim F Δ = Fd Δ PRACA JAKO CAŁKA W = dw = 1 Fd Paca elementana dw wykonana zez siłę stałą na odcinku d dw = F d Elementane ace dw sumujemy 10 5

6 UOGÓLNIENIE NA PRZYPADEK 3D Definicja acy wykonanej B WAB = F od zez dowolną siłę zy A zesunięciu od A do B Z definicji ędkości: Zatem acę można wyazić: d v = dt Moc jest definiowana : P = dw/dt t W = B AB Fo vd t W t A t = B AB ta Pdt P = F o v 11 Wiemy z doświadczenia, że aca wykonana nad ciałem może zmienić nie tylko enegię kinetyczną lecz ównież lub tylko enegię otencjalną ciała ZADANIE DOMOWE 5. Podnosimy ciało o masie m na wysokość h działając siłą zewnętzną ównoważącą siłę ciężkości. Jaką acę wykonała siła zewnętzna, a jaką siła ciężkości? Jaką acę wykonają te siły zy ouszczaniu ciała na ziemię? 1 6

7 Pytanie: Co to jest enegia otencjalna? Czy jest związana wyłącznie z olem gawitacyjnym czyli E =mgh? Czy znamy inne niż gawitacyjna, odzaje enegii otencjalnej? 13 PRACA SIŁY ZALEŻNEJ OD POŁOŻENIA SIŁY HARMONICZNEJ k F = k( 1) k k k k-wsółczynnik sężystości Pzyjmując 1 =0 F = k lub ogólnie F = k 14 7

8 W = dw = 1 Fd = W = k d = k 1 ( k)d 1 1 k k W = k ( 1 ) W = ΔE k Enegia otencjalna sężystości E = k k 15 Kittel, Mechanika 16 8

9 ENERGIA POTENCJALNA Enegia otencjalna E jest to enegia związana z konfiguacją układu ciał, działających na siebie siłami. Aby móc wowadzić ojęcie enegii otencjalnej, ole sił musi mieć okeśloną własność, taką, że aca wykonana w tym olu nie może zależeć od dogi, wzdłuż któej zachodzi zemieszczenie Takie ola i siły nazywamy zachowawczymi 17 Doga 1 Paca wykonana zez siłę zachowawczą nie zależy od dogi lecz zależy jedynie od B ołożeń ł ż ń unktów A i B. Doga 3 Doga A W AB doga1 = W AB doga = W AB doga3 Paca wykonana zez siłę zachowawczą nad cząstką ouszającą się o dodze zamkniętej jest ówna zeu. W AA = W AB + W BA =

10 ISTOTNE SIŁY RZECZYWISTE: Siła ciężkości (siła gawitacji) Siła oddziaływania elektostatycznego (siła Coulomba) są siłami zachowawczymi Siła tacia to zykład siły, któa nie jest zachowawcza 19 g F Q PRACA W JEDNORODNYM POLU GRAWITACYJNYM W = F 1 s = Q s h / sinα ale Q s = Q sin α i Q = mg h aca siły zewnętznej W = E czyli W = mgh α zmiana enegii otencjalnej F 1 Q Q s 0 10

11 g JEDNORODNE POLE GRAWITACYJNE JEST ZACHOWAWCZE F Q h C B W AC Paca siły zewnętznej ównoważącej siłę ciężkości nie zależy od sosobu zemieszczania ciała lecz od ołożeń unktów oczątkowego i końcowego α AC = W AB + W BC = E 0 F 1 Q A 1 SIŁA CENTRALNA JEST SIŁĄ ZACHOWAWCZĄ Siła centalna F = f () ˆ Pzykłady sił centalnych: Mm siła gawitacji F( ) = G ˆ siła Coulomba 1 F( ) = 4π Qq ˆ ( ε 0 siła sężystości F( ) = kˆ 11

12 JAK OBLICZAĆ ENERGIĘ POTENCJALNĄ? Według definicji, óżnica enegii otencjalnej cząstki w unktach A i B jest ówna acy wykonanej zez siłę zyłożoną do cząstki zy jej j zesunięciu ę od A do B Watość enegii otencjalnej w unkcie jest okeślona z dokładnością do stałej E (A), któą można obać umownie. Sens fizyczny ma jedynie óżnica enegii otencjalnej omiędzy dwoma unktami. E (B) E (A) = W(A B) E ( ) = E (A) A F o d siła oddziaływania (siła ola) Umowa: A leży w nieskończoności czyli E ( )=0 E ( ) = F o d 3 Siła zachowawcza Enegia otencjalna układu: F = mg E () = mg masa m - Ziemia Mm F( ) = G ˆ () E Mm = G masa m masa M 1 Qq F( ) = ˆ 4πε 0 E () = ± 1 4π ε 0 Qq ładunek q ładunek Q F( ) = kˆ 1 k E () = masa m sężyna k 4 1

13 F = F ˆi + F ˆj y + SIŁY ZACHOWAWCZE B WAB = F od A kˆ F d = dˆ i + dyˆ j + dzkˆ z WAB = F d + Fydy + Fz dz Jest to całka kzywoliniowa, któa może zależeć od dogi całkowania a nie tylko od ołożenia unktów A i B. Gdy aca nie zależy od dogi całkowania, siłę nazywamy zachowawczą Paca wykonana o dodze zamkniętej jest ówna zeu WAA = Fod = 0 L 5 Pzykład : Na cząstkę działa siła F = (3 N)ˆi + (4y N) ˆj gdzie i y są wyażone w metach. W wyniku działania siły cząstka zemieszcza się z unktu A( m, 3 m) do unktu B( m, 0). Zakładamy, że cząstka w unktach A i B soczywa względem zyjętego układu odniesienia. Jaką acę wykonuje ta siła nad cząstką? Jaki jest skutek enegetyczny wykonanej acy? Rozwiązanie: WAB = F d + Fydy + Fz dz F = 3 Fy = 4y Fz = 0 WAB = 3 d + 0 4ydy 3 Zmalała enegia otencjalna 0 WAB = 0 + y 3 = 18J 6 13

14 ZADANIE DOMOWE 5.3 (dla ambitnych) Pole sił dane jest wzoem: F = ( y - )ˆi + 3yˆj Obliczyć całkę kzywoliniową od unktu (0,0) do unktu ( 0,y 0 ) wzdłuż dogi składającej się dwóch ostych odcinków od (0,0) do ( 0,0) i ( 0,0) do ( 0,y 0 ). Poównać z wynikiem otzymanym zy zyjęciu dwóch innych boków ostokąta jako dogi całkowania. Czy siła jest zachowawcza? 7 ZWIĄZEK POMIĘDZY SIŁĄ A ENERGIĄ POTENCJALNĄ Pzyadek jednowymiaowy E () = F d Uogólnienie na 3D E ( ) = F o d F de d E ˆ E E = = i j k = gad E = E F y ˆ z ˆ Oeato nabla ˆ i ˆ = + j+ kˆ y z 8 14

15 Pzykład 3: Enegia otencjalna układu masa-sężyna dana jest wzoem: 1 E () = k Sawdzić, stosując oznany wzó: F = gad E czy siła oddziaływania sowadza się do znanej ostaci: F( ) = k 9 1 E (, y,z) = k Rozwiązanie: 1 1 E () = k = k( + y + z Wsółzędne oeatoa gadientu: ( + y + z ) k = E y E z 1 = k y ( + y + z ) ky = 1 = k + y + z z ( ) kz = ) gad E k ˆi ky ˆj kz kˆ = + + zatem: F = gad E = k(ˆi + yˆj + zkˆ ) = k 30 15

16 POŁOŻENIE RÓWNOWAGI Waunek ównowagi F=0 czyli de /d=0 31 Równowaga nietwała, E wykazuje maksimum Równowaga twała, E wykazuje minimum Równowaga obojętna, enegia otencjalna E jest stała, niezależna od ołożenia 3 16

17 ZADANIE DOMOWE 5.4 Enegia otencjalna cząsteczki ą dwuatomowej j( (tzn. układu złożonego z dwóch atomów w odległości, jak H lub O ) jest dana wzoem: A B E() = 1 6 gdzie di AiB są stałymi ł dodatnimi. d i Znaleźć odległość ł ównowagową dla atomów twozących cząsteczkę. Czy jest to ównowaga twała czy nietwała? Wykonać wykes E () 33 ZWIĄZEK PRACY I ENERGII MECHANICZNEJ W = E k+ E Paca siły zewnętznej Zmiana enegii kinetycznej Zmiana enegii otencjalnej Paca siły zewnętznej wykonanej nad układem owadzi do zmiany enegii mechanicznej W= E mech = E k + E 34 17

18 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ W układzie izolowanym, w któym zmiany enegii ochodzą jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i otencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna E mech nie może ulegać zmianie. 0 = E k + E 0 = E k -E k1 + E -E 1 E k1 +E 1 = E k + E d dt E k +E = const (E + E ) 0 k = 35 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ DLA OSCYLATORA HARMONICZNEGO k v E k = m E = k Układ masa m-sężyna k d dt (Ek + E) = 0 d v ( m + k ) = 0 dt m v dv dt k + d dt = 0 d m + k = 0 dt Równanie ogólne, óżniczkowe oscylatoa hamonicznego 36 18

19 Zmiany enegii w układzie wahadło-ziemia E k +E =const 37 ZADANIE DOMOWE 5.5 Z jakiej najmniejszej wysokości h musi się stoczyć klocek aby nie odewał się od tou w najwyższym unkcie ętli kołowej? 38 19

20 ZWIĄZEK PRACY I ENERGII W = E h + E t + E E mech mech + E tem tem + E wew Paca siły zewnętznej Pzyost enegii mechanicznej Pzyost enegii temicznej Pzyost wszystkich innych fom enegii wewnętznej 39 PODSUMOWANIE Istnieje ścisły związek omiędzy acą a enegią O enegii otencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych Zasada zachowania enegii mechanicznej ozwala ozwiązywać zagadnienia, któe są tudne lub niemożliwe do ozwiązania ą na guncie zasad dynamiki Całkowita enegia jest wielkością stałą. Enegia może być zekształcana z jednej fomy w inną, ale nie może być wytwazana ani niszczona 40 0

21 TEST 5P 1. Ciało o masie 1g ousza się o okęgu o omieniu ównym 0.5 m w łaszczyźnie ionowej ze stałą ędkością liniową m/s. Paca wykonana nad tym ciałem odczas jednego ełnego ł obotu wynosi : A) 0 B) 1 J C) J D) 4 J E) 16 J. Ciało o masie kg ousza się z ędkością 3 m/s. Siła zewnętzna o watości 4N działa na ciało w kieunku jego uchu i zostaje usunięta ę o zebyciu zez ciało dogi 5m. Paca wykonana zez tę siłę wynosi: A) 1 J B) 15 J C) 18 J D) 0 J E) 38 J Sanie ważą 5000 N łącznie z obciążeniem. Sanie są ciągnięte o śniegu zez sy, któe działają siłą oziomą na sanie. Wsółczynnik tacia kinetycznego omiędzy saniami i śniegiem wynosi Jaką acę wykonają sy ciągnące sanie ze stałą ędkością na dodze 1000 m? A) J B) J C) J D) JE) J 4. Pzyczea kemingowa o ciężaze 6000 N jest ciągnięta o zamazniętym jezioze za omocą oziomej liny. Wsółczynnik tacia kinetycznego wynosi Jaka aca została wykonana zez siłę ciągnącą zyczeę na dodze 1000 m, jeżeli wiadomo, że ędkość zyczey wzastała ze stałą szybkością 0.0 m/s? A) J D) J B) J E) J C) J 4 1

22 5. Człowiek oycha cięża 80 N o góę ówni ochyłej, któa twozy kąt 30 o z oziomem. Siła jaką człowiek działa na ciało jest ównoległa do owiezchni ówni ochyłej a odległość na jaką zesuwa cięża wynosi 5.0 m. Tacie można zaniedbać. Jeżeli ędkość, z jaką zesuwany jest cięża jest stała, to aca wykonana zez człowieka wynosi: A) -00 J B) 61 J C) 140 J D) 00 J E) 60 J 6. Cząstka jest zemieszczana wzdłuż osi OX (zgodnie z dodatnim zwotem osi) na odległość 5 m od wływem siły stałej danej wzoem F = ( 4 N ) iˆ + ( N ) ˆ j (4 N ) kˆ Paca wykonana zez tę siłę wynosi: A) 0J B) 10J C) -0J D) 30J E) nie można jej obliczyć bez znajomości ozostałych sił Kiedy gumowa linka jest ozciągana do długości, działa siła o watości F=A, zywacająca ównowagę; A jest wielkością stałą. Paca wykonana zez osobę ozciągającą linkę od =0 do =L wynosi: A) AL B) A+L C) A+L D) A/L E) AL / 8. Samochód ważący 8000 N ousza się wzdłuż oziomej dogi z ędkością 1 m/s w chwili gdy ozoczyna hamowanie. Samochód zatzymuje się o 4.0 s. Ile enegii kinetycznej taci samochód w tym czasie? A) J B) J C) J D) J E) J 44

23 9. W chwili t=0 ciało o masie kg ma ędkość ( 4 m / s) iˆ (3 m / s) W chwili t=3s jego ędkość wynosi ( m / s) iˆ + (3 m / s) ˆj ˆj Paca wykonana nad ciałem w tym czasie wynosi: A) 4J B) -4J C) -1J D) -40J E) (4J)i+(36J)j 10. Cząstka statuje ze stanu soczynku w chwili t=0 i ousza wzdłuż osi. Jeżeli siła wyadkowa działająca na cząstkę jest oocjonalna do t, to jej enegia kinetyczna jest oocjonalna do: A) t B) t C) t 4 D) 1/t E) żadna odowiedź nie jest awidłowa 45 TEST 5A 1. An object moves in a cicle at constant seed. The wok done by the centietal foce is zeo because: A) the dislacement fo each evolution is zeo B) the aveage foce fo each evolution is zeo C) thee is no fiction D) the magnitude of the acceleation is zeo E) the centietal foce is eendicula to the velocity. Which of the following is NOT a coect unit fo wok: A) eg B) ft lb C) watt D) newton mete E) joule 3. Which of the following gous does NOT contain a scala quantity? A) velocity, foce, owe D) enegy, wok, distance B) dislacement, acceleation, foce E) essue, weight, time C) acceleation, seed, wok 46 3

24 4. The amount of wok equied to sto a moving object is equal to the: A) velocity of the object B) kinetic enegy of the object C) mass of the object times its acceleation D) mass of the object times its velocity E) squae of the velocity of the object 5. The weight of an object on the moon is one-sith of its weight on the Eath. The atio of the kinetic enegy of a body on the Eath moving with the seed v to that of the same body moving with the seed v on the moon is: A) 6:1 D) 1:6 B) 36:1 E) 1:36 C) 1: In aising an object to a given height by means of an inclined lane as comaed with aising the object vetically, thee is a eduction in: A) wok equied D) foce equied B) distance ushed E) value of the acceleation due to C) fiction gavity 7. Which of the following five units is NOT the same as the othe fou? A) joule B) eg C) watt D) foot ound E) newton mete 8. Which of the following five quantities is NOT an eession fo enegy? Hee m is a mass, g is the acceleation due to gavity, h and d ae distances, F is a foce, v is a seed, a is an acceleation, P is owe, and t is time: A) mgh B) Fd C) ½ mv D) ma E) Pt 48 4