Kartografia matematyczna

Transkrypt

1 Wykład II Katogafia matematyczna Odwzoowania azymutalne Kystian Kozioł Kaków 0 0 9

2 Klasyfikacja odwzoowań Ze względu na chaakte zniekształceń odwzoowawczych: ównokątne zachowują bez zniekształceń kąty, ównoolowe zachowują bez zniekształceń ole owiezchni, ównoodległościowe - zachowują bez zniekształceń długość w jednym z kieunków głównych, dowolne w któych wystęują zaówno zniekształcenia kątów jak i ól owiezchni, wśód nich wystęują odwzoowania: ównoodległościowe - zachowują bez zniekształceń długość w jednym z kieunków głównych a lub b, zniekształcenia ól są w tych odwzoowaniach mniejsze niŝ w odwzoowaniach ównokątnych a zniekształcenia kątów mniejsze niŝ w odwzoowaniach ównoolowych

3

4 Klasyfikacja odwzoowań Ze względu na kształt nomalnej siatki ołudników i ównoleŝników: łaszczyznowe (azymutalne) - obazami ównoleŝników są wsółśodkowe okęgi, któych śodek znajduje się w śodku bieguna, obazami ołudników są oste zbiegające się w biegunach. ( ϕ) δ x y sin walcowe - obazami ównoleŝników są odcinki ostych wzajemnie ównoległych, obazami ołudników są oste lub odcinki wzajemnie ównoodległe, ostoadłe do obazu ównoleŝników. x x( ϕ) y C

5 stożkowe-obazami ównoleżników są łuki wsółśodkowych okęgów a obazami ołudników są odcinki lub ółoste ostoadłe do obaz ównoleżników ( ϕ) δ C x q δ y sinδ Klasyfikacja odwzoowań seudoazymutalne, seudowalcowe, seudostoŝkowe, wielostoŝkowe, koliste, ochodne. Odwzoowanie gwieździste Petemana Odwzoowanie czwoościenne Batolomewa Odwzoowanie ównoolowe Goode a

6 Klasyfikacja odwzoowań Odwzoowania Mollweidego seudowalcowe, ównoolowe nomalne ukośne

7 Klasyfikacja odwzoowań Dodatkowe kyteia: Ze względu wzajemne ułoŝenie osi obotu owiezchni oyginału i obazu: nomalne - oś obotu łaszczyzny, walca, stoŝka okywa się z osią obotu kuli (elisoidy), ukośne - oś obotu łaszczyzny, walca, stoŝka zecina oś obotu kuli (elisoidy) od ewnym kątem, ozeczne - oś obotu łaszczyzny, walca, stoŝka jest ostoadła do osi obotu kuli (elisoidy), Ze względu na wzajemne ołoŝenie owiezchni oyginału i obazu: styczne - łaszczyzna, walec stoŝek stykają się z kulą (elisoidą) w unkcie lub wzdłuŝ ewnej linii, sieczne - łaszczyzna, walec, stoŝek zecinają owiezchnię kuli (elisoidy), chaakteyzuje je dodatkowa skala m 0 <.

8 Odwzoowania azymutalne

9 Chaakteystyka łaszczyznowe (azymutalne) - odwzoowania na łaską owiezchnię, Styczne unkt zyłożenia dobany dla danego Państwa Położenie ukośnie względem łaszczyzny ównika.

10 Odwzoowania azymutalne R Z R Y R X q sin sin 0 sin Z R Y R X q DLA KULI:

11 Odwzoowania azymutalne ) sin sin ( R R Z Y X q q E 0 ) sin sin sin R R Z Z Y Y X X q q F R R R Z Y X q q G sin ) sin sin sin sin d R d R ds I foma kwadatowa dla kuli sin ) ( ) ( y x q ) ( )sin ( y x q DLA PŁASZCZYZNY: 0 z 0 ) ( z y q ) ( ) ( )sin ( z y x q q E 0 )sin ( ) ( )sin ( ) ( z z y y x x q q F ) ( ) ( )sin ( z y x q q G ) ( d d ds I foma kwadatowa dla łaszczyzny

12 Rzut otogaficzny Aoloniusz z Pegii n.e. lub Hiach ok. 30..n.e. Jeśli zutowanie owiezchni kuli na łaszczyznę zealizujemy wzdłuż ostych ostoadłych do łaszczyzny zutów, to otzymamy zut otogaficzny. ( ) R sin skócenie w kieunku ołudników d a R R d R zachowanie długości w kieunku ównoleżników b R sin Rsin Rsin x y Rsin Rsin sin zniekształcenie kąta ω sin sin tg kąty ulegają owiększeniu 0 skala ola f a b ola owiezchni zmniejszeniu Obaz ółkuli mieści się w kole o omieniu R, wszystkie ównoleżniki zachowują swoją długość

13

14 Rzut śodkowy (gnomiczny, centalny) Tales z Miletu n.e. W tym odwzoowaniu nie zakładamy z góy waunku na zniekształcenia. Obaz owiezchni kuli otzymujemy jako zut, któego śodek jest w śodku kuli. wydłuŝenie w kieunku ównoleŝników. d a R R d R wydłuŝenie w kieunku ołudników R tg x y R tg R tg sin R tg b Rsin Rsin ω sin tg kąty ulegają zmniejszeniu skala ola będzie ówna 0 f a b 3

15

16 Rzut steeogaficzny (wienokątny) Hiach ok. 30..n.e. Waunkiem wienokątności odwzoowania jest ówność skal w kieunkach głównych a b d R d d R sin d sin sin tg d d ln sin C sin d d d ln ln tg lnc C tg Stałą C wyznaczymy z waunku by ównik odwzoował się jako koło o omieniu R o ( 90 ) R o C tg 45 R C R a b f R d d R R R tg x R tg y R tg R tg tg R sin R sin sin a b 4 sin

17

18

19

20 Odwzoowanie ównoodległościowe Postela (Postel50-58, Vesucci 54, Mecato 569) W tym zyadku założymy, że długości w kieunku ołudników nie ulegają zniekształceniu d a R d d Rd R C Dla 0 stała C0, stąd R x y R Rsin a d b R d Rsin sin ω sin sin sin 0 f a b sin W tym odwzoowaniu można zedstawić całą kulę ziemską, obaz ółkuli mieści się w kole o omieniu πr

21

22

23 Odwzoowanie ównoolowe Lambeta (Lambet w 77.) Zakładamy w tym zyadku, że skala ola jest ówna jedności a b R d d Rsin d R C R sin d R C Stałą C wyznaczymy z waunku, że 0dla 0 0 R C C R R ( ) 4R sin Rsin skócenie w kieunku ołudników d a R R d R wydłużenie w kieunku ównoleżników R sin b R sin R sin kąty owiększają się ω sin 0 β β 0 x y Rsin R sin sin W tym odwzoowaniu można zedstawić całą kulę ziemską, obaz ółkuli mieści się w kole o omieniu

24

25

26

27 Maksymalne zniekształcenia liniowe w odwzoowaniach łaszczyznowych w [m/km] Zniekształcenie a-otogaf a-śodkowe b-śodkowe a,b-steeogaf b-postel a-lambet b-lambet Odległość od unktu styczności w [st]

28 Maksymalne zniekształcenia kątów w odwzoowaniach azymutalnych 5 Zniekształcenia w [mi] otogaficzne śodkowe Postela Lambeta -5 Odległość od unktu styczności w [st]

29 Odwzoowanie azymutalne Maksymalny obsza odwzoowania Max. znieksz. dla ółkuli a- / b- ω f- Cecha chaakteystycz. Najczęstsze zastosowanie Rzut otogaficzny ółkula - / Obaz ółkuli w kole o omieniu R Do zedstawienia Ziemi jako lanety, may KsięŜyca Rzut śodkowy ółkula / 80 Łuki kół wielkich (otodomy) odwzoowują się na linie oste May nawigacyjne, adionawigacyjne, may nieba, do konstukcji zegaów słonecznych Rzut steeogaficzny Cała kula bez zeciwległego bieguna / 0 3 Odwzoowuje koło na koło Obszay ółkoliste, odbiegunowe, odległość sfeyczna ±0 Odwzoowanie Postela Odwzoowanie Lambeta cała kula cała kula 0 / / Obaz całej kuli w kole o omieniu πr Obaz całej kuli w kole o omieniu R May adiofoniczne, sejsmiczne May ółkul Ziemi, may kontynentów, tematyczne

30 Odwzoowania azymutalne chaakteystyka ogólna Pod względem zastosowania odwzoowania azymutalne nie są zóżnicowane. Zastosowanie tych odwzoowań oganicza szybki wzost zniekształceń waz z oddalaniem się od unktu styczności (sieczności). Dlatego odwzoowania azymutalne stosuje się do zedstawiania niewielkich obszaów o kształcie zbliżonym do okęgu (maksymalnie jednej ółkuli Ziemi). Zmianę ozkładu zniekształceń uzyskuje się zez zastosowanie ołożenia siecznego zamiast stycznego. Bioąc od uwagę wielkości zniekształceń długości ola owiezchni i kątów, najkozystniej wyadają odwzoowania: ównokątne, ównoodległościowe i ównoolowe. Równokątne odwzoowania stosuje się na maach geodezyjnych, ównoolowe często na maach tematycznych. Zdecydowanie największe zniekształcenia wystęują w odwzoowaniu otogaficznym. Odwzoowanie to jak się okazuje ma jednak cenną właściwość; odwzoowuje koła wielkie na linie oste. Znalazło zatem zastosowanie do soządzania ma nawigacyjnych.

31 Odwzoowania azymutalne ukośne i ozeczne Omawiane wyżej odwzoowania nomalne są szczególnym zyadkiem odwzoowania ukośnego. Punkt główny (G) w odwzoowaniu ukośnym nie okywa się z biegunem (B) lecz znajduje się w dowolnym unkcie na owiezchni kuli. Wyowadzone wzoy odwzoowań nomalnych można wykozystywać w zyadku odwzoowania ukośnego od waunkiem zastąienia wsółzędnych(,) wsółzędnymi azymutalnymi(α,δ) Związek między wsółzędnymi azymutalnymi (α,δ)i geogaficznymi (ϕ,)wynika z tójkąta sfeycznego GBP δ sinα sinϕ sinϕ ϕ 0 sin( )ϕ 0 sinδ 0 ϕ ( ) 0

32 Odwzoowania azymutalne ukośne i ozeczne Po uwzględnieniu wsółzędnych azymutalnych wzoy kolejnych (omawianych wyżej) odwzoowań azymutalnych zaiszemy jako: x y ( δ ) α ( δ )sinα x y Rsin Rsin δ δ α sinα gdzie funkcja (δ) odowiada funkcji () z odwzoowań nomalnych n. dla odwzoowania azymutalnego, ukośnego Lambeta skócenie w kieunku ołudników ω sin wydłużenie w kieunku ównoleżników a δ b δ kąty owiększają się δ δ 0 β f a b β ola owiezchni nie ulegną zniekształceniu W zyadku odwzoowania ozecznegounkt główny znajduje się na ówniku kuli (ϕ 0 0 )

33 Odwzoowania azymutalne sieczne W odwzoowaniach azymutalnych siecznych łaszczyzna zecina kulę stykając się z nią wzdłuż tzw. okęgu sieczności (ys. 8). Sieczność uzyskuje się ozez nadanie odwzoowaniu dodatkowej skali liniowej mniejszej od jedności. Między skalami liniowymi w odwzoowaniu siecznym i stycznym zachodzi związek m m m siecz. 0 stycz. gdzie m 0 jestdodatkową skalą owodującą sieczność. Zowyższegozwiązku wynikają zależności dotyczące zniekształceń w odwzoowaniach siecznych. Niezależnie od odzaju odwzoowania, odwzoowania sieczne chaakteyzują się badziej ównomienym ozkładem zniekształceń liniowych w stosunku do odwzoowań stycznych. Odowiednio dobana skala m 0 dla danego obszau odwzoowania umożliwia uzyskanie najmniejszych (co do watości bezwzględnych) zniekształceń liniowych. Z ównania wynika ównież związek między wsółzędnymi X, Y w odwzoowaniu stycznym i siecznym ( X, Y ) siecz. m0 ( X, Y ) stycz.

34 TEMAT : Maa w odwzoowaniu azymutalnym ukośnym wienoolowym (Lambeta)

35 Raot Sawozdanie techniczne Teoia odw. Azymutalnych Wsółzędne unktów w ukł. Geogaficznym Obliczenie unktu zyłożenia łaszczyzny Wsółzędne azymutalne Wsółzędne na łaszczyźnie Maa