Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 9-5 96 Własnośc wektoowe obotów. Aby zaznaczyć keunek obotów względem ustalonej os moŝna wpowadzć plus lub mnus pzed oznaczenem pędkośc kątowej, analogczne jak to mało mejsce w pzypadku pędkośc lnowej cząstk w jednowymaowym pzypadku. JeŜel jednak keunek os w pzestzen zmena sę, wtedy pędkość kątową naleŝy taktować jako wekto. Weźmy na pzykład, obacający sę kąŝek na ysunku 9-3. Keunek obotów opsujemy pzez okeślene keunku os obotów. Dlatego teŝ wybeamy wekto pędkośc kątowej w ten sposób, Ŝeby był on skeowany wzdłuŝ os obotów spełnał egułę pawej dłon, jak Rysunek 9-3 jest to pokazane na ysunku 9-4.W ezultace, jeŝel oboty odbywają sę w keunku pzecwnym do keunku wskazówek zegaa, to wekto jest skeowany na zewnątz; jeŝel zgodne z keunkem uchu wskazówek to jest skeowany do wewnątz. Podobne podejśce moŝemy zastosować do wektoa momentu sły. Rysunek 9-5 pzedstawa słę F dzałającą na cząstkę, któej połoŝene okeślone jest wektoem wodzącym. Moment sły τ wyweany pzez słę F względem punktu początkowego 0 jest Rysunek 9-4 Reguła pawej dłon do okeślena pędkośc kątowej (a) JeŜel palce zakzywają sę w keunku obotu, to kcuk wskazuje zwot wektoa. (b) Inny sposób to tak gdy pawoskętna śuba obaca sę zgodne z keunkem obotu kąŝka, to jej uch postępowy wskazuje zdenowany jako wekto, któy jest postopadły do płaszczyzny utwozonej pzez wektoy wektoy F. F. JeŜel leŝą w płaszczyźne xy, tak jak na ysunku 9-5, to moment sły leŝy wzdłuŝ os z. JeŜel sła Rysunek 9-6 Rysunek 9-5
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 97 F jest pzyłoŝona do obzeŝa kąŝka o pomenu, tak jak jest to pzedstawone na ysunku 9-6, to moment sły ma watość F jest skeowany wzdłuŝ os obotu tak jak pokazano to na ysunku. Iloczyn wektoowy. Moment sły moŝe być matematyczne opsany za pomocą loczynu wektoowego wektoów F : F τ 9-3 Iloczyn wektoowy dwu wektoów A loczyn B jest zdenowany jako C A B, któego watość jest ówna powezchn ównoległoboku utwozonego pzez te dwa wektoy (Rysunek 9-7). Wekto C jest postopadły do płaszczyzny Rysunek 9-7 Rysunek 9-8 któą twozą wektoy A B, a zwot jego jest okeślony egułą pawej dłon tzn. jeŝel palce są skeowane od wektoa A do B wzdłuŝ mnejszego kąta, to kcuk wskazuje zwot C (Rysunek 9-8). JeŜel φ jest kątem mędzy tym dwoma wektoam nˆ jest wektoem jednostkowym postopadłym do kaŝdego z nch, tak jak to opsano wyŝej, to loczyn wektoowy A B jest zdenowany następująco: 9-33 A B AB( snφ )nˆ JeŜel A B są ównoległe, to jak ówneŝ : Dencja - Iloczyn wektoowy A B jest ówny zeo. Wynka to z dencj samego loczynu wektoowego, 9-34 A A 0 A B B A 9-35 Zwóćmy uwagę, Ŝe kolejność w zapse wektoowym jest waŝna. PonŜej pzedstawone są nne własnośc loczynu wektoowego dwu wektoów:. Iloczyn wektoowy spełna pawo ozdzelnośc mnoŝena względem dodawana: A ( B C) A B + A C 9-36
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 98. JeŜel A B są unkcjam pewnej zmennej na pzykład t, to pochodna A B podlega nomalnej zasadze lczena pochodnej loczynu: d db da ( A B) A + B 9-37 3. Wektoy jednostkowe î, ĵ, kˆ (Rysunek 9-9), któe są wzajemne postopadłe spełnają następujące zaleŝnośc. j k, j k, k j j j k k 0 9-38a 9-38b 9-6 Moment pędu. Rysunek 9-9 Rysunek 9-0 pzedstawa cząstkę pouszającą sę z pędkoścą v okeśloną pomenem wodzącym. Pęd cząstk jest ówny p mv. Moment pędu cząstk względem początku układu współzędnych 0 jest zdenowany jako loczyn wektoowy p : p 9-39 Dencja - moment pędu cząstk. Rysunek 9-0 Rysunek 9-
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 99 JeŜel p leŝą w płaszczyźne xy, jak jest to pokazane na ysunku 9-0, wtedy jest połoŝony wzdłuŝ os z dany jest ównanem p mv( snφ )kˆ. Podobne jak moment sły, moment pędu jest okeślony względem punktu w pzestzen. Gdze kˆ jest wesoem. Rysunek 9- pokazuje cząstkę obacającą sę po okęgu w płaszczyźne xy, któej śodek obotu leŝy w początku układu współzędnych. Pędkość v cząstk jej pędkość kątowa są zwązane zaleŝnoścą v. Moment pędu cząstk względem śodka obotu jest ówny: p mv mv 0 ( sn90 ) kˆ mvk m kˆ m Moment pędu ma ten sam keunek co pędkość kątowa. PonewaŜ moŝna zapsać: m jest momentem bezwładnośc pojedynczego punktu matealnego względem os z, to m I Wynk ten ne ma chaakteu ogólnego. Rysunek 9- pzedstawa wekto momentu pędu cząstk pouszającej sę po tym samym okęgu, ale wekto momentu pędu ' dla tej samej ' ne jest lczony względem śodka okęgu. W tym pzypadku wekto momentu pędu ne jest ównoległy do wektoa pędkośc kątowej skeowanego wzdłuŝ os z. Na ysunku 9- został dodana duga cząstka o takej samej mase pouszająca sę po tym samym okęgu. Wektoy momentów pędów ' ' są lczone względem tego samego punktu jak na ysunku 9-. ' ' Całkowty moment pędu + układu tych dwóch punktów matealnych jest ponowne ównoległy do pędkośc kątowej. W tym pzypadku oś obotu ( oś z ) pzechodz pzez śodek masy układu dwu cząstek masa ozłoŝona jest symetyczne wokół tej os. Tak odzaj os nazywa sę osą symet. Dla dowolnego układu cząstek, któy obaca sę wokół os symet całkowty moment pędu ( będący sumą momentów pochodzących od poszczególnych cząstek ) jest ównoległy do pędkośc kątowej moŝe być zapsany: Rysunek 9- Rysunek 9- I 9-40 Moment pędu układu obacającego sę wokół os symet 9-7 Moment sły moment pędu.
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 00 PokaŜemy, Ŝe z dugej zasady dynamk wynka, Ŝ szybkość zman momentu pędu cząstk jest ówna wypadkowemu momentow sły dzałającemu na cząstkę. Dla welu sł dzałających na cząstkę, wypadkowy moment sły wzglądem początku układu współzędnych 0 jest ówny sume momentów sł pochodzących od poszczególnych sł: τ wyp F + F +... F F Zgodne z dugą zasadą dynamk sła wypadkowa jest ówna szybkośc zman pędu wyp dp /. Czyl : v dp F τ 9-4 Poównajmy powyŝsze ównane z szybkoścą zman momentu pędu. W tym celu polczmy kozystając z własnośc pochodnej loczynu : d d ( p) d dp p + Pewsze wyaŝene po pawej stone jest ówne zeo, ponewaŝ d / W ezultace: d p v mv 0 d dp 9-43 Poównując to wyaŝene z ównanem 9-4 otzymamy: d τ wyp 9-44 Wypadkowy moment sły dzałający na układ cząstek jest sumą poszczególnych momentów sł. Uogólnając zatem ównane 9-44 na układ cząstek otzymamy: d d τ d
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 0 W ównanu tym znak sumy moŝe uwzględnać zaówno zewnętzne jak wewnętzne momenty sł. W następnym ozdzale pokaŝemy, Ŝe momenty pochodzące od sł wewnętznych znoszą sę całkowce ( ch wypadkowa ówna sę zeo ). Dlatego teŝ :,zew d τ 9-45 Wypadkowy, zewnętzny moment sły dzałający na układ punktów matealnych jest ówny szybkośc zman całkowtego momentu pędu układu. Duga zasada dynamk dla uchu obotowego Równane 9-45 jest odpowednkem F dp / wyp, zew w uchu postępowym. Równane 9-45 jest pawdzwe dla dowolnego układu cząstek, obacającego sę wokół dowolnej os bez względu na to czy moment bezwładnośc układu pozostaje stały, czy ulega zmane. Dla były sztywnej obacającej sę wokół stałej os moment bezwładnośc ne ulega zmane ównane 9-45 moŝna zapsać w postac : gdze d d( I ) d τ,zew I Iα 9-46 α d / jest wektoem pzyspeszena kątowego. Równane 9-46 jest take samo jak ównane 9-0. 9-8 Zasada zachowana momentu pędu. JeŜel dzałający na układ moment sły jest ówny zeo, to: lub d 0 constans 9-47 Równane 9-47 wyaŝa zasadę zachowana momentu pędu : JeŜel wypadkowy moment sły dzałający na układ jest ówny zeo, to całkowty moment pędu układu pozostaje stały. Zasada zachowana momentu pędu
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 0 Jest to odpowednk zasady zachowana pędu w uchu obotowym. JeŜel układ jest zolowany od otoczena, tzn. sły zewnętzne zewnętzne momenty sł są ówne zeo, to spełnone są tzy zasady zachowana: eneg, pędu momentu pędu. Zasada zachowana momentu pędu jest undamentalną zasadą pzyody. Nawet w skal mkoskopowej, tzn. w zyce atomowej jądowej, kedy nne pawa mechank mogą być nauszone, moment pędu układu zolowanego pozostaje stały cały czas. Fakt dośwadczalny stwedzający, Ŝe moment pędu pozostaje stały jeŝel wypadkowy moment sł zewnętznych jest ówny zeo pocąga za sobą koneczność zeowana sę ówneŝ wypadkowego wewnętznego momentu pędu. RozwaŜmy dwe cząstk pokazane na ysunku 9-3. Nech F, będze słą z jaką cząstka oddzaływa na cząstkę, a F, słą z jaką cząstka oddzaływa na cząstkę. Z tzecej zasady dynamk wynka, Ŝe F F,,. Suma momentów sł dzałających na te cząstk względem początku układu współzędnych O jest ówna: τ +τ F, + F, ( F, ) ( ), F, + F Rysune Wekto leŝy na postej łączącej te dwe cząstk. PonewaŜ F, teŝ leŝy na tej samej postej, to F, są ównoległe w ezultace : ( ) F 0, PonewaŜ jest to pawdzwe dla dowolnej pay sł, to wszystke wewnętzne momenty sł znosą sę wzajemne. MoŜna pzytoczyć szeeg pzykładów zachowana momentu pędu w codzennym Ŝycu. Rysunk 9-4 9-5 lustują zasadę zachowana momentu pędu podczas skakana do wody jazdy guowej. PATRZ: RYSUNKI NA WYKŁADZIE. P R Z Y K Ł A D KąŜek obaca sę bez taca z początkową pędkoścą kątową wokół wałka, jak jest to pokazane na ysunku 9-6 Moment bezwładnośc kąŝka Rysunek 9-6 Bak taca w os wokół tej os wynos I. KąŜek spada następne na dug kąŝek o momence bezwładnośc I znajdujący sę w spoczynku na tym samym wałku. Z powodu taca ch powezchn, kąŝk po pewnym czase W spoczynku
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 03 zaczynają sę pouszać z jednakową pędkoścą kątową. Znajdź tę pędkość. Analza zadana. Końcową pędkość kątową znajdzemy, poównując końcowy moment pędu z początkowym momentem, ponewaŝ ne dzałają w tym pzypadku na układ Ŝadne zewnętzne momenty sł. Zwóćmy uwagę, Ŝe ne stosujemy zasady zachowana eneg mechancznej. Pędkość kątowa gónego kąŝka ulega zmnejszenu, podczas gdy dolny kąŝek zwększa swą pędkość w wynku taca knetycznego tących powezchn kąŝków. W ezultace moŝemy oczekwać, Ŝe całkowta enega mechanczna zmaleje.. Końcowa pędkość kątowa zwązana jest z początkową + I I pędkoścą kątową za pomocą zasady zachowana momentu pędu: ( ) I. RozwąŜ to ównane znajdując końcową pędkość końcową: I + I I Spawdź wynk: JeŜel I << I to zdezene tych kąŝków pownno meć mały wpływ na. Wynk nasz. JeŜel I >> I, wtedy kąŝek pownen zatzymać sę ne wpawając kąŝka zgadza sę w zauwaŝalny uch. Nasze ozwązane, zeczywśce pokazuje, Ŝe 0. Podczas zetknęca sę dwu kąŝków z powyŝszego pzykładu enega mechanczna ne jest zachowana. MoŜemy to zauwaŝyć, jeŝel zapszemy enegę wykozystując moment pędu. Pzedmot obacając sę z pędkoścą kątową posada enegę knetyczną: Stosując K I I otzymamy: ( I ) I K I Poównaj ten wynk ze wzoem na enegę knetyczną w uchu postępowym ( enega knetyczna w naszym pzykładze wynosła: a końcowa : K K p / m ). Początkowa
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 04 PonewaŜ K ( + I ), to końcowa enega knetyczna jest mnejsza I / ( I + ) azy. To opsane I oddzaływane kąŝków jest analogczne do jednowymaowego zdezena dwu dealne nespęŝystych pzedmot. P R Z Y K Ł A D Cenk pęt o mase M długośc d jest pzymocowany do os oboty pzy swom gónym końcu. Kawałek glny o mase m pędkośc v udeza w pęt w odległośc x od os obotu pzykleja sę do pęta ( Rysunek 9-7). Znajdź stosunek eneg końcowej do eneg początkowej. Analza zadana. Zdezene jest nespęŝyste, ne moŝemy węc oczekwać, Ŝe enega mechanczna będze zachowana. W takce zdezena oś wywea na pęt duŝą slę, tym samym pęd układu teŝ ne jest zachowany. Ne ma jednak zewnętznych Rysunek 9- momentów sł dzałających na układ glna-pęt względem os; w ezultace moment pędu jest zachowany. Enegę knetyczną po zdezenu nespęŝystym moŝna zapsać za pomocą momentu pędu momentu bezwładnośc ' I układu składającego sę z glny pęta. Zasada zachowana momentu pędu pozwala powązać z masą m pędkoścą v glny.. Zapsz wzó na enegę knetyczną po zdezenu uwzględnając moment bezwładnośc układu glna- pęt E I. Zastosuj zasadę zachowana moment pędu: mvx 3. Zapsz moment bezwładnośc I : 4. Podstaw te wyaŝena na I do wzou na E I mx ( mvx) + Md 3 E : I mx + 3 m x v 3mx + Md 3 5. Podzel enegę po zdezenu pzez początkową enegę glny: 3 Md
Wykład z zyk, Pot Posmykewcz 05 E E 3 m x v / ( 3mx + Md ) mv 3mx 3mx + Md