Zachowanie energii. W Y K Ł A D VI. 7-1 Zasada zachowania energii mechanicznej.

Transkrypt

1 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 56 W Y K Ł A D VI Zachowane energ. Energę potencjalną układu moŝna zdenować w następujący sposób: praca wykonana nad układem przez wewnętrzne sły zachowawcze jest równa zmnejszenu energ potencjalnej. JeŜel sła zachowawcza jest jedyną słą, która wykonuje pracę, to praca ta jest równa przyrostow energ knetycznej. PonewaŜ zmnejszene energ potencjalnej jest równe wzrostow energ knetycznej to suma energ knetycznej potencjalnej, lub naczej; całkowta energa mechanczna ne ulegne zmane. Jest to zasada zachowana energ mechancznej. Zasada ta wynka z zasad dynamk Newtona jest uŝyteczną alternatywą dla praw dynamk podczas rozwązywanu szeregu problemów z mechank. Zasada zachowana energ mechancznej ma jednak ogranczone zastosowane z powodu występowana sł nezachowawczych takch jak na przykład, tarce. JeŜel w układze występuje tarce, to energa mechanczna układu maleje. PonewaŜ energa mechanczna często ne jest zachowana, to z waŝnośc energ ne zdawano sobe sprawy aŝ do weku dzewętnastego, kedy to odkryto, Ŝe znkanu makroskopowej energ mechancznej zawsze towarzyszy pojawene sę nnego rodzaju energ, na przykład energ ceplnej, której wzrost sygnalzowany jest przez wzrost temperatury. Obecne wemy, Ŝe z punktu wdzena mkroskopowego ta energa ceplna składa sę z energ knetycznych potencjalnych cząsteczek (atomów) układu. Istneją równeŝ nne ormy energ, take jak energa chemczna zawarta na przykład w naszym cele, energa al dźwękowych czy teŝ energa al elektromagnetycznych. Za kaŝdym razem, gdy energa układu zmena sę o pewną wartość, moŝemy być pewn, Ŝe gdześ ndzej, taka sama lość energ pojawa sę lub znka. Ta dośwadczalna obserwacja została nazywana prawem zachowana energ, jest jednym z podstawowych najbardzej waŝnych praw w całej nauce. Pommo tego, Ŝ energa zmena sę przechodząc z jednej ormy w drugą, to ngdy ne powstaje z nczego ne znka. 7-1 Zasada zachowana energ mechancznej. Rozpatrzmy układ, w którym jedynym dzałającym słam są wewnętrzne sły zachowawcze Przykładem takego układu moŝe być układ narcarz - Zema (patrz wykład V). Całkowta praca wykonana nad kaŝdym punktem materalnym układu jest równa przyrostow energ knetycznej danego punktu materalnego, zatem całkowta praca wykonana przez wszystke sły jest równa całkowtemu przyrostow energ knetycznej układu: W = K = K ca 7-1 PonewaŜ kaŝda sła wewnętrzna jest słą zachowawczą, to praca, jaką ona wykonuje prowadz do zmnejszena energ potencjalnej zwązanej z tą słą. W rezultace, całkowta praca wykonana przez wszystke sły wewnętrzne jest równa całkowtemu zmnejszenu energ potencjalnej układu:

2 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 57 W ca Porównując wdać, Ŝe = U = U 7- K = U lub ( K + U ) 0 K + U = = 7-3 Suma energ knetycznej K energ potencjalnej U układu nazywa sę całkowtą energą mechanczną E mech : E mech K + U = 7-4 Dencja Całkowta energa mechanczna Z równana 7-3 wynka, Ŝe jeŝel praca nad układem dwu lub węcej cząstek jest wykonana tylko przez wewnętrzne sły zachowawcze, to całkowta energa mechanczna układu ne zmena sę: ( K + U ) = Emech = 0 E = K + U = cons tan s 7-5 Zasada zachowana energ mechancznej Jest to zasada zachowana energ mechancznej. JeŜel E + = K U jest początkową energą mechanczną układu, a E = K + U jest końcową energą mechanczną, wtedy z zasady zachowana energ mechancznej wynka, Ŝe E K = E + U = K + U 7-6 Szereg zadań z mechank rozwązuje sę poprzez porównane początkowej energ mechancznej układu z jego końcową energą mechanczną. Mgawkowe zdjęce wahadła prostego. W marę jak w energę knetyczną, a co za tym dze, wzrasta mędzy kolejnym połoŝenam kulk. W marę jak kulka a energa knetyczna maleje. kulka opada energa potencjalna zamena sę prędkość. Przejawa sę to wzrostem odległośc porusza sę do góry energa potencjalna rośne,

3 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 58 Zastosowane. RozwaŜmy narcarza, który z werzchołka góry o wysokośc h zaczyna zjeŝdŝać w dół bez prędkośc początkowej. Zakładamy, Ŝe ne ma tarca. Jaka jest prędkość narcarza na wysokośc y powyŝej podstawy góry? Energa mechanczna układu narcarz Zema jest zachowana, ponewaŝ jedyną słą wykonującą pracę jest wewnętrzna zachowawcza sła grawtacj. JeŜel wybrać U = 0 przy podstawe góry, to początkowa energa potencjalna wynese mgh. Jest to równeŝ całkowta energa mechanczna, ponewaŝ początkowa energa knetyczna jest równa zeru. Tak, węc E = K + U = 0 + mgh = mgh Na wysokośc y energa potencjalna wynos mgy a prędkość narcarza jest równa v. Stąd 1 E = K + U = mv + mgy Podstawając to do E = E otrzymamy: lub 1 mv v = + mgy = mgh g ( h y) MoŜna łatwo sprawdzć, Ze prędkość narcarza jest taka sama jak w przypadku gdyby spadał bez prędkośc początkowej z wysokośc h y. P R Z YK Ł A D Dwa klock są przymocowane cenką lnką przerzuconą przez bloczek, którego masę moŝemy zanedbać. Zakładamy, Ŝe ne ma tarca. Klock mają masę m 1 m początkowo znajdują sę w spoczynku. Znajdź prędkość klocków gdy cęŝszy z nch przebędze Rysunek 7-1 odległość h. Analza zadana. Energa mechanczna jest zachowana. Wypadkowa praca wykonana przez słę napęce lnk jest równa zero; sła napręŝene lnk wykonuje dodatną pracę podnosząc lŝejszy klocek

4 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 59 równą co wartośc bezwzględnej, ale ujemną pracę podczas opuszczana cęŝszego klocka na tę samą odległość, ale w przecwnym kerunku (Rysunek 7-1). JeŜel przyjąć U = 0 w punkce, w którym klock są w spoczynku, to całkowta energa jest równa zero. PonewaŜ lnka ne rozcąga sę, to oba klock w kaŝdej chwl poruszają sę z tą samą prędkoścą v. 1. Zapsz całkowtą energę knetyczną układu gdy cęŝark poruszają sę z prędkoścą v:. Zapsz całkowtą energę potencjalną układu, gdy masa m 1 przebyła do dołu drogę h, a masa m wznosła sę na tę samą odległość: 3. Dodaj U K aby otrzymać energę całkowtą: 4. Zastosuj zasadę zachowana energ: 5. Znajdź v : Uwaga. Spróbuj, jeŝel ne zrobłeś tego wcześnej, rozwązać to zadane korzystając z drugej zasady dynamk. PowyŜsze zadane pokazuje, Ŝe do rozwązywana określonych problemów w mechance moŝna stosować zasadę zachowana energ mechancznej zamenne z prawam dynamk. Kedy ne nteresuje nas czas, zastosowane zasady zachowana energ mechancznej, często znaczne upraszcza oblczena. 7- Prawo zachowana energ. Z punktu wdzena mkroskopowego sły nezachowawcze występują praktyczne zawsze. Jednym z najbardzej rozpowszechnonych rodzajów sł nezachowawczych są sły tarca, które powodują zmnejszene całkowtej energ mechancznej układu. Jednak to zmnejszene energ mechancznej okazuje sę być równe wzrostow energ ceplnej wytworzonej przez sły tarca. Innym przykładem sł nezachowawczych są sły powstające podczas deormacj cał. Kedy przez pewen czas wygnać metalowy pręt, wtedy zostane wykonana określona praca nad prętem. Jednak praca ta ne przejaw sę w postac energ mechancznej. Zamast tego pręt stane sę cepły. Praca włoŝona w wygnane pręta została rozproszona w postac energ ceplnej. Podobne, jeŝel kulka ktu spadne z pewnej wysokośc na podłogę, to ulegne ogrzanu, czyl jej początkowa energa potencjalna zamen sę w energę ceplną. JeŜel zsumować energę ceplną energę mechanczną, to okaŝe sę, Ŝe energa całkowta jest zachowana nawet, jeŝel występują sły tarca lub sły zwązane z deormacją cała. Trzec typ sł nezachowawczych to sły zwązane z reakcjam chemcznym. JeŜel wyberzemy tak układ, w którym zachodz reakcja chemczna, to suma energ mechancznej ceplnej ne będze zachowana. Na przykład załóŝmy, Ŝe rozpoczynamy beg startując z mejsca. Początkowo ne posadamy energ knetycznej. Kedy

5 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 60 rozpoczynamy beg wewnętrzna energa chemczna w naszych męśnach jest zamenana na energę knetyczną naszego cała jednocześne wytwarzana jest energa ceplna. MoŜlwe jest określene zmerzene energ chemcznej, która została do tego uŝyta. W tym przypadku suma energ mechancznej, ceplnej chemcznej jest stała. Nawet jednak, jeŝel uwzględnć energę chemczną ceplną, to energa całkowta układu ne zawsze pozostaje stała. MoŜe sę ona zmenać z powodu róŝnych orm promenowana, takch jak ale dźwękowe lub ale elektromagnetyczne. Jednak, wzrostow lub ubytkow całkowtej energ układu zawsze mus towarzyszyć pojawene sę lub znknęce energ w nnym mejscu. Ten akt dośwadczalny znany jest jako prawo zachowana energ. Nech E uk będze energą całkowtą układu, E wch energą dostarczaną do układu, a E wych energą opuszczającą układ. Prawo zachowana energ stwerdza: E wch Ewych = Euk 7-7 Prawo zachowana energ Lub alternatywne: Całkowta energa wszechśwata jest stała. Energa moŝe być przekształcona z jednej ormy w nną lub przekazana z jednego obszaru do drugego, ale energa ngdy ne moŝe być stworzona lub znszczona. Prawo zachowana energ Całkowtą energę E uk welu typowych układów moŝna polczyć, jeŝel uwzględnć energę mechanczną E mech, energę ceplną E cep energę chemczną E chem. Aby jednak być ścsłym, naleŝy pamętać o nnych ormach energ, takch jak energa elektromagnetyczna, energa jądrowa ( oznaczmy je umowne E nne ). W rezultace moŝemy zapsać ogólne: E E E E + E uk = mech + cep + chem nne 7-8 Twerdzene o pracy energ. Powszechnym sposobem przekazywana energ z do układu jest wykonywane z zewnątrz pracy nad układem. JeŜel jest to jedyny sposób przekazywana energ, to prawo zachowana energ moŝna zapsać: W zew = E uk 7-9 Twerdzene o pracy energ gdze W zew jest pracą wykonaną nad układem przez sły zewnętrzne, a Euk jest zmaną energ całkowtej układu. Równane 7-9 jest bardzo przydatnym narzędzem do badana róŝnych układów. NaleŜy zwrócć uwagę, Ŝe jeŝel układem jest po prostu jeden punkt materalny posada on tylko energę knetyczną, wtedy równane 7-9 jest take same jak równane opsujące twerdzene o pracy energ knetycznej z poprzednego wykładu. Energa jest przekazywana równeŝ wtedy, gdy stneje wymana cepła mędzy układem, a otoczenem. Taka wymana energ ceplnej moŝe zachodzć, jeŝel stneje róŝnca temperatur mędzy układem, a otoczenem.

6 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 61 P R Z YK Ł A D Kulka plastelny o mase m jest puszczona z wysokośc h upada na twardą podłogę. Przedyskutuj zastosowane prawa zachowana energ, gdy (a) układ składa sę tylko z kulk ( b), gdy układ składa sę z zem kulk. Analza zadana. Na kulkę dzałają dwe sły: sła grawtacj sła oddzaływana podłog. PonewaŜ podłoga sę ne porusza, to sła jaką wywera ona na kulkę ne wykonuje pracy. Ne występują, równeŝ, zmany energ chemcznej, czy nnej energ, czyl E chem E nne moŝemy zanedbać. JeŜel zanedbać, równeŝ, energę al dźwękowej powstającej w momence uderzena kulk o podłogę, to jedyną energą przekazywaną do lub od kulk jest praca wykonana przez słę grawtacj. MoŜemy zatem zastosować twerdzene o pracy energ. (a) 1. Zapsz twerdzene o pracy energ:. Dwe zewnętrzne sły dzałają na układ: sła grawtacj sła wywerana przez po- dłogę. Podłoga ne porusza sę, czyl jej praca równa sę zero. Jedyną pracę wykonuje sła grawtacj: 3. PonewaŜ tylko płka stanow układ, to jej energa mechanczna jest równa energ knetycznej. Początkowa końcowa wartość energ knetycznej wynos zero. W rezultace zmana energ mechancznej wynos teŝ zero: 4. Podstawając mgh do W zew 0 do E mech otrzymamy: (b) 1. W tym przypadku ne ma sł zewnętrznych dzałających na układ (sła grawtacj sła oddzaływana podłog są słam wewnętrznym układu). Zapsz twerdzene o pracy energ podstawając W zew = 0 układ (obe wyŝej wyme- 3. Początkową energą mechanczną układu jest równa początkowej energ potencjalnej, a mechanczna energa końcowa wynos zero: none sły są słam wewnętrznym) 4. Zmana energ mechancznej tego układu wynos zatem: 5. Twerdzene o pracy energ daje, węc ten sam wynk jak w (a): praca zewnętrzna nad układem wynos zero

7 Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 6 E E, Esys Euk, Wext Wzew ) ( ther cep Uwaga. W przypadku (a) energa jest przekazywana do kulk poprzez pracę wykonaną nad ną przez słę grawtacj. Energa ta przejawa sę w postac energ knetycznej bezpośredno przed uderzenem kulk o podłogę, w postac energ ceplnej po uderzenu. Kulka ogrzewa sę lekko w ostatnm etape energa jest przekazywana do otoczena w postac cepła. W przypadku (b) początkowa energa potencjalna układu kulka Zema jest zamenana na energę knetyczną kulk przed uderzenem, a następne w energę ceplną. Zagadnena zwązane z tarcem knetycznym. v Sły tarca knetycznego wywerane przez jedną powerzchnę na drugą, w przypadku, gdy obe powerzchne ślzgają sę po sobe, powodują zmnejszene całkowtej energ mechancznej układu zwększają energę ceplną. RozwaŜmy klocek, który porusza sę z prędkoścą początkową v po szorstkm stole aŝ do momentu zatrzymana (Rysunek 7-). Wyberzmy klocek stół jako rozpatrywany układ. Wtedy Echem = Enne = 0 ne jest wykonywana Ŝadna zewnętrzna praca nad układem. Z twerdzena o pracy energ otrzymamy: Rysunek 7-0 E mech + E cep = 7-10a Ubytek energ mechancznej klocka jest równy początkowej energ knetycznej: 1 Emech = mv 7-10 MoŜemy znaleźć zwązek mędzy tym ubytkem energ mechancznej, a słą tarca. JeŜel jest wartoścą sły tarca to z drugej zasady dynamk mamy: = ma MnoŜąc obe strony równana przez s otrzymamy: