Wkład z Mateatki stosowanej w inżnierii środowiska, II se. Wkład 4-5 4. CAŁKA POWIERZCHNIOWA 4.. Całka powierzchniowa niezorientowana. 4.. Nektóre zastosowania całek powierzchniowch niezorientowanch. 4.. Eleent teorii pola. 4.4. Całka powierzchniowa zorientowana. 4.5. Nektóre zastosowania całek powierzchniowch zorientowanch. 4.6 Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowch. 4.. Całka powierzchniowa niezorientowana 4A Deinicja (płat powierzchniow) Nich D będzie prostokąte doknięt oraz niech unkcja wektorowa dwóch ziennch r( u, v) ( ( u, v), ( u, v), z( u, v)), gdzie ( u, v) D, będzie ciągła i różnowartościowa na t prostokącie. Płate powierzchniow nazwa zbiór wartości unkcji wektorowej r : { r( u, v): ( u, v) D}. 4A Fakt (o postaci płatów powierzchniowch) Płatai powierzchniowi są wkres unkcji ciągłch postaci: ) z z(, ), (, ) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie O ; ) (, z), (, z) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie Oz ; (, z), (, z) D, gdzie D jest obszare na płaszczźnie Oz. ) Jeżeli unkcje,, z ają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płat powierzchniowe są gładkie. 4A+B Twierdzenie (pole płata powierzchniowego) Jeżeli płat gładki jest wkrese unkcji z z(, ) gdzie (, ) D, to jego pole wraża się wzore z z S dd D Analogicznie wglądają wzor na pola płatów gładkich, które są wkresai unkcji postaci (, z) oraz (, z).
4A4 Uwaga (oznaczenia w deinicji całki powierzchniowej niezorientowanej) Niech { r( u, v), ( u, v) D} będzie gładki płate powierzchniow, gdzie D jest doknięt obszare regularn na płaszczźnie. Niech dalej P { D, D,, D n } podział obszaru D na obszar regularne o rozłącznch wnętrzach; pole obszaru ; ( P) a{ d : k n} średnica podziału P ; d k D k k u v u v un vn {(, ),(, ),,(, )}, gdzie ( uk, v k ) Dk zbiór punktów pośrednich podziału P ; k część płata odpowiadającego obszarowi D k ; k pole płata k ( k, k, zk ) punkt płata paraetrzacji r., gdzie k n ; k odpowiadając punktowi ( u, v ) D w podanej k k k 4A5 Deinicja (całka powierzchniowa niezorientowana) Niech unkcja będzie ograniczona na gładki płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z unkcji po płacie deiniuje wzore (,, z) ds li (,, z ) n ( P) 0 k k k k k o ile granica istnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu wboru punktów pośrednich. 4A6 Fakt (addtwność: całka powierzchniowa po płacie kawałkai gładki) Niech będzie płate złożon z płatów gładkich,,, oraz niech będzie unkcją ograniczoną na płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z unkcji po płacie deiniuje wzore ds ds ds ds o ile całki po prawej stronie istnieją. 4A7 Fakt (linowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
Jeżeli unkcje i g są całkowalne na kawałkai gładki płacie, to a) ( g) ds ds gds, b) ( c ) ds c ds, gdzie c jest dowolną liczbą rzeczwistą. 4A+B8 Twierdzenie (o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli płat gładki, jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) D, oraz unkcja jest ciągła na D, to wzór na zaianę całek przjuje postać z z (,, z) ds (,, z(, )) (, ) (, ) dd D Podobne wzor a dla płatów gładkich opisanch równaniai (, z), (, z). płacie gdzie 4A+B9 Przkład. Obliczć całkę powierzchniową z unkcji powierzchnia (stożka) Rozwiązanie. Płat (,, z) po z odcięta płaszczznai z0 i z. rozważan w zadaniu jest wkrese unkcji (, ) D D {(, ) : }. z z z, D O Ma: z, z,, z ds z z d d d d d d. Korzstając z twierdzenia 4A+B8 o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną i dokonując w tej całce zaian ziennch na współrzędne biegunowe otrza kolejno: z ds dd 4 d r dr d. D 0 0 0 4.. Niektóre zastosowania całek powierzchniowch niezorientowanch
4A0 Fakt (pole płata) Pole kawałkai gładkiego płata. wraża się wzore ds 4A+B Przkład. Obliczć pole części ser iędz płaszczznai zi z. z 9 zawartej Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z (, ) 9, gdzie punkt (, ) należą do pierścienia kołowego o środku w początku układu i proieniach: zewnętrzn 9 8 i wewnętrzn 9 4 5. Wted ds dd 9 9 r 8 dd rdr 8 d 9 6 6. 0 9 0 5 9 r 5 4A+B Fakt (zastosowania w izce).. Masa płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wraża się wzore (,, z) ds... Moent statczne względe płaszczzn układu współrzędnch płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wrażają się wzorai: MS (,, z) ds, MS (,, z) ds, MS z (,, z) ds. z z.. Współrzędna środka ( C, C, z C) as płata o gęstości powierzchniowej MS z MS MS z as wrażają się wzorai: C, C, zc. M M M
.4. Moent bezwładności względe osi oraz względe początku układu współrzędnch płata aterialnego o gęstości powierzchniowej as wrażają się wzorai: I ( z ) (,, z) ds, I ( z ) (,, z) ds, I ( ) (,, z) ds, I ( z ) (,, z) ds. z 0 4A+B Przkład. Obliczć asę płata o równaniu zawartego iędz płaszczznai z0, z., ( ) z i gęstości ( ), Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z gdzie (, ) D D {(, ) : 4}. z O D Korzstając z 4A+B. oraz 4A+B8 otrza kolejno:
( ) ds d d z, z D 5 r t 4 0 0 0 0 4 d r r dr d t t dt 5 5. rdr tdt 5 Praca doowa z całek powierzchniowch niezorientowanch Obliczć pole, asę oraz położenie środka as jednorodnego płata aterialnego, gdzie część płaszczzn z odcięta przez płaszczzne, 0, z 0. Rozwiązanie. Płat jest wkrese unkcji z, gdzie (, ) D {(, ) : 0, [0,]} (zobacz rsunek). z O D Rs.: Powierzchnia oraz jej rzut na płaszczznę O Ma zate: z, z 0 ds ( z ) ( z ) dd dd. Oblicza pole Oblicza asę S ds dd d d.... D 0 0 ds dd.... const Oblicza współrzędne środka as: ds..., ds..., z z ds.... C C C D 4.. Eleent teorii pola 4A4 Deinicja (operator Hailtona nabla) Operator Hailtona (nabla) określa wzore,,. z 4A+B5 Uwaga (gradient unkcji) Dla unkcji (,, z) różniczkowalnej na obszarze D jej gradient grad jest wektore określon wzore grad,,. z własności (jeśli prawe stron równości poniżej są określone): Zachodzą następujące
5.) grad( a bg) agrad bgrad g, gdzie a, b ; 5.) grad( g) g grad grad g; g grad grad g 5.) grad ; g g 5.4) grad h( ) h( ) grad ; 5.5) (grad ) v, gdzie pochodna unkcji w kierunku wektora v ; v 5.6) gradient unkcji w punkcie wskazuje kierunek najszbszego wzrostu tej unkcji w t punkcie i jest prostopadł do odpowiedniej warstwic unkcji. 4A6 Przkład. Obliczć gradient podanch unkcji: z a) (,, z) ( ) ; b) (,, z) arctg. z 4A+B7 Uwaga (rotacja pola wektorowego) Dla różniczkowalnego pola wektorowego F ( P, Q, R) jego rotację rot F określa i j k v R Q P R Q P wzore rot F F,,. z z z Niech dalej P Q R unkcja a gradient na obszarze D. oraz niech pola wektorowe F różniczkowalne na t obszarze. Wted zachodzą własności: 7.) rot( af bg) arot F b rot G, gdzie a, b ; i G będą 7.) rot(grad U) 0 (dla unkcji U dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągł na D ); 7.) * rot( F) grad F rot F. 4A+B8 Przkład. Obliczć rotacje podanch pól wektorowch: a) F(,, z) (, z, z); b) F(,, z) (cos,cos,cos z). 4A+B9 Uwaga (pole wektorowe potencjalne) Pole wektorowe F ( P, Q, R) nazwa potencjaln na obszarze D jeżeli istnieje taka unkcja U U(,, z) (potencjał), że F gradu na t obszarze. Dla pola F różniczkowalnego w sposób ciągł na obszarze doknięt jednospójn poniższe stwierdzenia są równoważne: a) pole potencjalne, b) całka krzwoliniowa z tego pola po dowoln łuku zaknięt w t obszarze wnosi zero; c) całka krzwoliniowa z tego pola w t obszarze nie zależ od kształtu drogi całkowania: d) rot 0 F w t obszarze F U 4A0 Deinicja (dwergencja pola wektorowego) w orie operatorowej: ( ) 0.
Niech F ( P, Q, R) będzie pole wektorow różniczkowaln w sposób ciągł na obszarze. Dwergencję pola wektorowego F określa wzore div F P Q R F. z 4B Fakt (własności dwergencji) Niech unkcja oraz niech pola wektorowe F i G będą różniczkowalne w sposób ciągł na obszarze. Wted.) div( af bg) adiv F bdiv G, gdzie a, b ; D D.) div( F) (grad ) F div F;.) div( F G) G rot F F rot G;.4) div(rot F) 0 lub w orie operatorowej ( F) 0 (pole F dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągł na D ). 4A Przkład. Wznaczć dwergencję podanch pól wektorowch 4 a) F(,, z) ( z,,5 z ); b) F(,, z) ( e,ln( ),cos z). 4.4. Całka powierzchniowa zorientowana 4A Deinicja (płat powierzchniow zorientowan) Płat powierzchniow dwustronn, na któr wróżniono jedną ze stron (będzie ówili, strona dodatnia), nazwa płate zorientowan. Płat powierzchniow zorientowan przeciwnie do płata oznacza przez. Dla płatów zakniętch w przestrzeni za stronę dodatnią płata przjuje z reguł jego stronę zewnętrzną. Dla płatów, które są wkresai unkcji postaci z (, ), za stronę dodatnią przjuje zwkle górną część takiego płata. 4A4 Fakt (postać wersora noralnego płata) Jeżeli płat gładki jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) D to wersor noraln n tego płata wstawion w punkcie ( 0, 0, z 0), gdzie z0 z( 0, 0) wraża się wzore p q n,,, p q p q p q
z z gdzie p ( 0, 0), q ( 0, 0). Wersor noraln ożna przedstawić w postaci wersora n (cos,cos,cos ), gdzie oznaczają kąt iędz wersore, a dodatnii częściai odpowiednio osi O, O, Oz.,, 4A5 Deinicja (całka powierzchniowa zorientowana) Niech F ( P, Q, R) będzie pole wektorow na płacie gładki zorientowan. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie deiniuje wzore P(,, z) ddz Q(,, z) dzd R(,, z) dd ( P(,, z)cos Q(,, z)cos R(,, z)cos ) ds Ostatni wzór oznacza zaianę całki powierzchniowej zorientowanej na całkę niezorientowaną. 4A6 Uwaga Jeżeli jest płate zorientowan zaknięt, to wted pisze... 4A+B7 Twierdzenie (o zaianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli gładki płat zorientowan dodatnio jest wkrese unkcji z z(, ), gdzie (, ) oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) D P(,, z) ddz Q(,, z) dzd R(,, z) dd jest ciągłe na, to z z P(,, z(, )) Q(,, z(, )) R(,, z(, )) dd. D Podobne równości ają iejsce, gd płat jest wkrese unkcji postaci (, z) lub (, z). 4A+B8 Przkład. Obliczć całkę powierzchniową zorientowaną ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd, gdzie jest zewnętrzną stroną czworościanu Q ograniczonego płaszczznai 0, 0, z 0, z.
Rozwiązanie. Powierzchnia czworościanu składa się z czterech płatów,, (zobacz rsunek) o równaniach: 4, AOB : z (, ) 0, gdzie 0, [0,] ( z 0, z 0); AOC : (, z) 0, gdzie 0 z, [0,] ( 0, 0); BOC : (, z) 0, gdzie 0 z, [0,] ( 0, 0); ABC : z (, ), gdzie 0, [0,] ( z, z ). 4 4 z C B z z D O B O A A à ) á) z C z C z z D z D z O â) A O ã) B Rs.: Powierzchnia oraz jej rzut na płaszczznę O, Oz, Oz Wersor do tch płatów (skierowane na zewnątrz) ają odpowiednio postać: n (0,0, ), n (0,,0), n (,0,0), n4 (,,). Korzstając ze wzoru (zobacz 4A5) na zaianę całki zorientowanej na całkę niezorientowaną, otrza: ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd (5 ) ds (5 ) dd 4 7 d (5 ) d (5 ) d ( 4 ) d ; 0 0 6 0 0 0 0 D
( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ds zdd ( ) d zdz z d ( ) d ; 0 0 0 0 0 0 ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ds zddz z ( ) ( ) d zdz d d ; 0 6 0 6 D 4 4 0 0 0 0 ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd ( z) ( z) (5 ) ds z, D z D z ds ( z ) ( z ) dd dd dd d d d 0 (8 6 ) (8 6 ) (8 ) 0 0 0 5 ( 5 ) d. 0 6 0 Korzstając teraz z addtwności całki powierzchniowej względe obszaru całkowania, otrza: ( z) ddz ( z) dzd (5 ) dd............ 4 7 5. 6 6 6 6 4.5. Niektóre zastosowania całek powierzchniowch zorientowanch 4A+B9 Deinicja (struień pola wektorowego) Struień pola wektorowego przez powierzchnię (ze stron ujenej na dodatnią) określan wzore Pddz Qdzd Rdd v(,, z) ds, W szczególności, oznacza ilość ciecz przepłwającej w jednostce czasu przez płat zorientowan (ze stron ujenej na dodatnią), gdzie v P(,, z), Q(,, z), R(,, z) prędkość ciecz w punkcie (,, z ) tego płata. 4A+B0 Przkład. Obliczć struień pola wektorowego F(,, z) (,, z) przez powierzchnię górna wewnętrzna strona półser z, z 0. Rozwiązanie. Płat (zorientowan ujenie) jest wkrese unkcji z, (, ) D {(, ) : }. Ma zate z, z oraz wersor noraln n do powierzchni,
skierowan do wewnątrz, a postać (zobacz 4A4) n (,, z ) (cos,cos,cos ). Korzstając z 4A5 otrza: ddz dzd zdd ( z ) ds ( ) dd D dd rdr d r 6. cos, 0 D sin 0 0 r 0 4A+B Twierdzenie (wzór Gaussa-Ostrogradskiego) Jeżeli jest zaknięt zorientowan dodatnio kawałkai gładki płate, któr jest brzegie obszaru dokniętego D, oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągł na D, to P Q R Pddz Qdzd Rdd dddz z D lub krótko F ds ( div F) dddz. V 4A+B Przkład. Korzstając z twierdzenia 4A+B Gaussa-Ostrogradskiego obliczć całkę powierzchniową która jest bezpośrednio obliczona w przkładzie 4A+B8. Rozwiązanie. Stosując wzór Gaussa-Ostrogradskiego do całki podanej w przkładzie 4A+B8 otrza: z) ddz ( z) dzd (5 ) dd 0 dddz 5 5 dddz 5 D 5. 6 D 4B Twierdzenie (wzór Stokesa) Jeżeli jest płate kawałkai gładki zorientowan, którego brzeg L jest łukie kawałkai gładki zorientowan zgodnie z orientacją płata, oraz pole wektorowe F ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągł na płacie (łącznie z brzegie L ), to R Q P R Q P Pd Qd Rdz ddz dzd dd z z L lub krótko F dr rot F ds. L Wzór Greena jest szczególn przpadkie wzoru Stokesa. 4B4 Przkład. Korzstając z twierdzenia Stokesa obliczć całkę krzwoliniową D
( ) d ( z) d ( z ) dz jeżeli łuk L jest brzegie zorientowan dodatnio L względe płata, gdzie dolna strona stożka z odciętego płaszczzną z 0. Praca doowa z całek powierzchniowch zorientowanch Korzstając z twierdzenia 4A+B Gaussa-Ostrogradskiego oraz bezpośrednio obliczć struień pola wektorowego F ( z,, z) przez zewnętrzną stroną powierzchni, gdzie jest złożona z powierzchni bocznej walca oraz płaszczzn z0, z. Wskazówka. Ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego: zddz ddz zdd ( z ) dddz d rdr ( z r cos r sin ) dz.... G 0 0 0 Z deinicji bezpośrednio: płat jest złożon z płatów : z (, ) 0, gdzie (dolna podstawa walca); : (, z), gdzie (górna podstawa walca); : (, z), gdzie, 0 z ); 4: 4(, z), gdzie, 0 z ). Ma zate zddz ddz zdd................ 4 4.. Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowch Rozważ powierzchnię. Wbierając współrzędne krzwoliniowe u i v (zobacz Rs. ), równanie oże zapisać w postaci r r( u, v), ( u, v) D () z v r u r r u u, v v r u, v O Rs. Współrzędne krzwoliniowe
Niech dalej M, M, M, M będą punktai z wektorai wodząci r( u, v), r( u, v v), r( u u, v), r( u, v) ur ur, gdzie odpowiednio r r ( u u u, v ) r ( u, v ), r r( u, v v) r( u, v) u. Wted pole równoległoboku M, M, M, M wraża się wzore r r S ur ur u v, () u v gdzie unkcje u i v są rosnące. Powierzchnię ożna zorientować, wbierając stronę dodatnią lub uje ną przez odpowiedni wektor noraln n tej powierzchni (stron). Wted całkę powierzchniową deiniuje i bada w zgodnie z jednolit podejście wprowadzania całek krzwoliniowch. 4A+B5 Uwaga (Całka powierzchniowa) Całka niezorientowana Całka zorientowana Ma: a) powierzchnię niezorientowaną a) powierzchnię zorientowaną W obszarze D jest określone b) pole skalarne b) pole wektorowe u u( M) u(,, z) F F( M ) ( P(,, z), Q(,, z), R(,, z)) na przkład, pole as ( na przkład, pole ruchu ciecz u(,, z) jest gęstością powierzchniową ( FM ( ) jest prędkość ciecz w punkcie M (,, z )) w punkcie M (,, z ) ) Wprowadza eleent powierzchni c) skalarn c) wektorow r r r r ds dudv, ds ds n dudv, u v u v r r gzie unkcje uv, są rosnące gdzie uvsą, takie, że kierunek u v jest zgodn z kierunkie wersora n Bada proble d) obliczania as powierzchni d) obliczania struieniu (ciecz) pola wektorowego F przez stronę dodatnią powierzchni Korzstając z powierzchni (płatu ) eleentarnej dla powierzchni niezorientowanej dla powierzchni zorientowanej oblicza różniczki as d i struieniu d : d F( M ) ds ( P( M )cos e) d u( M) u(,, z) ds e) Q( M )cos R( M )cos ) ds Całkując po powierzchni, otrza ) całkę powierzchniową ) całkę powierzchniową niezorientowaną (I rodzaju), zorientowaną (II rodzaju), tzn. tzn. asę powierzchni : struień pola F przez stronę dodatnią powierzchni : S
u( M ) ds F( M ) ds ( P( M )cos u (,, z ) ds Q( M)cos R( M)cos ) ds Ostatni wzór daje przejść od całki zorientowanej F( M ) ds do całki niezorientowanej ( P( M )cos Q( M )cos R( M )cos ) ds. Stąd wnika, że a uieć obliczć całkę niezorientowaną. 4A6 Deinicja (płat gładki) Gładki płate powierzchniow (względe płaszczzno ) będzie nazwać wkres unkcji z (, ), (, ) D, () klas D C ( D), gdzie D jest obszare regularn doknięt o jednospójn wnętrzu. 4A+B7 Twierdzenie (zaiana całki powierzchniowej na całkę podwójną) Niech będzie gładki płate powierzchniow o równaniu (), a unkcja u( M) u(,, z) jest ciągła w D. Wted, u(,, z) ds u(,, z) ( (, )) ( (, )) dd (4) D gdzie są rosnące. Scheat dowodu. Współrzędne krzwoliniowe. Wted a uv, na, ( z) ( z), ds ( z) ( z) dd. oże przjąć za współrzędne i j k r r r r r r r (,, z), (,0, z ), (0,, z ), 0 z z i z j k, u v u v 0 z r r u v Korzstając z 4A, dochodzi do (4), co kończ dowód. 4A8 Uwaga Jeżeli powierzchnia jest zaknięta, to całkę powierzchniową oznacza sbole Zwkle przjuje, że dodatnią stroną powierzchni zakniętej jest strona zewnętrzna.
Wkład z Mateatki stosowanej w inżnierii środowiska, II se. Wkład 5 5. ELEMENTY NUMERYCZNYCH METOD OBLICZENIOWYCH 5.. Wstęp. 5.. Interpolacja. 5.. Aproksacja. 5.. Wstęp Metod nuerczne są ze swojej natur etodai przbliżoni, zate otrzwane w ten sposób wniki są obarczone zwkle pewn błęde. Jest rzeczą bardzo ważną, ab inżnier stosując etod nuerczne iał świadoość tego aktu i b potraił w każd przpadku oszacować popełnion błąd. Wiąże się z t zagadnienie wboru odpowiedniej etod, w szczególności proble szbkości zbieżności etod do rozwiązania dokładnego w przpadku etod iteracjnch. 5.. Interpolacja Interpolacja jest jedn ze sposobów przbliżania danej unkcji (powiedz poocą innej unkcji (oznacz ją ). Może rozpatrwać dwa zasadnicze przpadki: ) unkcja jest przedstawiona wzore, zwkle skoplikowan nie potrai wted wznaczć jej wartości (nawet dla stosunkowo prostej unkcji ( ) sin nie oże obliczć bez użcia tablic lub kalkulatora wartości np. sin(0,5)); ) unkcja jest przedstawiona w postaci tabelki, tzn. zna włącznie jej wartości w pewnch punktach 0,,, k, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Ma to iejsce np. wted, gd dokonuje poiaru pewnej wielkości izcznej co pewien określon czas T, np. odcztuje co T s odległość przebtą przez poruszając się obiekt. W przpadku ) unkcję nazwa unkcją teoretczną, w przpadku ) unkcją doświadczalną. Funkcja (przbliżająca unkcję ) powinna wrażać się prost wzore, ab jej wartość ożna bło łatwo obliczć. Jednocześnie błąd przbliżenia: ( ) ( ) dla każdego punktu D (gdzie D dziedzina unkcji ) powinien bć ożliwie ał, tzn. unkcję wbrać w odpowiedni sposób. Cele interpolacji unkcji doświadczalnej jest wznaczenie jej przbliżonch wartościach w takich punktach, którch nie a w tabelce tej unkcji. 5A Uwaga (interpolacja Lagrange a wzór wieloianu interpolacjnego) Najprostsz sposobe interpolacji jest przbliżenie unkcji za poocą wieloianu -tego stopnia, gd n jest liczbą naturalną. Oznacz n n ( ) Wn ( ) an an a a0, gdzie a0, a,, an, an są liczbai rzeczwisti, jest zienną niezależną. n ) za
Ponieważ chce, ab wieloian nie różnił się zbtnio od unkcji, więc rozsądnie jest przjąć, że wartości wieloianu i unkcji w punktach 0,,, nk są identczne (niestet, zazwczaj tlko w tch punktach), tzn. że Wn ( 0) ( 0), Wn ( ) ( ),, Wn ( n) ( n). Punkt 0,,, nk nazwa węzłai interpolacjni. Z powższego a: n n a0 a0 an 0 an0 ( 0) n n a0 a an an ( ) W n n n a0 an an n ann ( n) 5A+B Fakt (interpolacjn wzór Lagrange a) Wieloian spełniając powższe warunki ożna przedstawić w postaci n ( ) ( k )) Wn ( ), k0 ( k)( k) gdzie jest dowolną różniczkowalną unkcją która a punkt 0,,, nk jako ( ) W n pierwiastki krotności oraz wrażenie ( ) k jest określon w punkcie k w sposób ciągł, w szczególności, dla ( ) ( 0) ( )... ( n ) otrza postać Lagrange a wieloianu interpolacjnego: n 0 n Wn ( ) ( 0) ( ) n n 0 n 0 0 0 0 ( ). n n n n 5B+C Uwaga Interpolacjn wzór Lagrange a pozostaje prawidłow w dziedzinie zespolonej i oże bć uogólnione dla nieskończonej liczb wielokrotnch węzłów (odpowiedni szeregi ają bć zbieżne). 5A+B4 Przkład. Wznaczć wieloian interpolacjn W (stopnia drugiego) dla unkcji ( ) sin i węzłów interpolacji 0 0,,. Obliczć za poocą wieloianu interpolacjnego Lagrange a przbliżoną wartość sin. 8 0 Rozwiązanie: W ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 4 4 ( ). 0 4 4 Stąd sin 0,475 8 64 8, gdzie 0,97. 8 n
5A5 Uwaga Przbliżoną wartość sin oglibś obliczć użwając jednie podstawowch 8 działań artetcznch. Wartość stablicowana różni się od obliczonej i wnosi 0,87. 5.. Aproksacja Aproksacja unkcji dla [ a, b] jest sposobe jej przbliżania za poocą innej unkcji, podobnie jak interpolacja, jednak aproksacja jest pojęcie ogólniejsz inaczej ówiąc, interpolacja jest szczególn przpadkie aproksacji. Stosując aproksację nie usi wagać, b wartości unkcji i bł identczne w pewnch punktach, które nazwaliś węzłai. Powższe waganie oże w przpadku unkcji doświadczalnej nie ieć sensu. Jest tak wted, gd wartości unkcji doświadczalnej, otrzane w wniku poiaru, są obarczone duż błęde. Wówczas żądanie b wkres unkcji przbliżającej przechodził dokładnie przez punkt poiarowe, oznaczałob, że błąd poiaru (którego w praktce nie ożna weliinować) wpłwa na postać unkcji. Ab ten wpłw ograniczć, należ poprowadzić wkres unkcji nie przez punkt poiarowe, ale iędz nii, jednocześnie jednak tak, b dobrze przbliżć wniki doświadczenia. Drugi powode, dla którego nie warto żądać, ab unkcja przbliżająca przjowała w węzłach te sae wartości co, jest akt, że często zależ na na przbliżeniu unkcji jedn wieloiane niskiego stopnia na cał przedziale [ ab, ]. W taki przpadku przeważnie nie wiadoo, jak wbrać węzł interpolacji, ab przbliżenie bło (dla danego stopnia wieloianu) najlepsze. Stosując aproksację nie usi wznaczać węzłów.
5A+B6 (aproksacja liniowa i wierna) Niech 0,,, będą pewni liniowo niezależni unkcjai. Kobinacją liniową tch unkcji nazwa wrażenie ające postać: a0 0( ) a ( ) a ( ), gdzie a0, a,, a są liczbai. Funkcje są liniowo niezależne na pewn przedziale jeżeli żadnej z unkcji nie ożna przedstawić jako kobinacji liniowej pozostałch unkcji, tzn. że tlko ich trwialna kobinacja liniowa jest tożsaościowo równa zeru. Wted ówi, że unkcje 0,,, są unkcjai bazowi (stanowią bazę pewnej przestrzeni liniowej). Na przkład, unkcje ( ), ( ), ( ) są unkcjai bazowi, 0 0 0 ponieważ a a a 0, [0,] a a a 0. Zadanie aproksacji liniowej polega na wznaczeniu unkcji ( ) a0 0( ) a ( ) a ( ). gdzie 0,,, są z gór określoni unkcjai bazowi, natoiast a0, a,, a są liczbai, które trzeba wznaczć w odpowiedni sposób. Funkcja oże bć wieloiane, ale niekoniecznie zależ to od postaci unkcji bazowch. Czasai stosuje też aproksację wierną, która polega na wznaczeniu unkcji: a ( ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) b ( ) 0 0 ( ), 0 0 gdzie powinniś wznaczć liczb a0, a,, a, b0, b,, b k. Może szukać unkcji dla k, k lub k. Z powższch deinicji widać, że aproksacja wierna jest ogólniejsz sposobe przbliżania unkcji niż aproksacja liniowa, gdż w szczególn przpadku (dla k 0 i 0( ) ) aproksacja wierna sprowadza się do liniowej. 5A+B7 Przkład (unkcje bazowe) 7.. Jeżeli jest unkcją okresową o okresie l, to oże przjąć jako unkcje k k bazowe: 0( ), k ( ) cos, k( ) sin, k,,..., n. Prz pewnch l T założeniach dotczącch unkcji wbór powższej baz gwarantuje na dobre przbliżenie tej unkcji dla wszstkich. Funkcja przbliżająca a postać n k k wieloianu trgonoetrcznego: ( ) a0 ak cos aksin. k l l 7.. Jeżeli chce aproksować za poocą wieloianu k k k ( ) a, to oże wbrać bazę: 0( ), ( ), ( ),, ( ). Funkcje bazowe ają w t przpadku bardzo prostą postać, jednak ich zastosowanie do aproksacji powoduje, że współcznniki a0, a,, a unkcji są obliczane z dużi błędai. k0 k
7.. * Obliczenia współcznników a0, a,, a oże przeprowadzić znacznie dokładniej, wbierając bazę złożoną z wieloianów Czebszewa. Jeśli dokonuje aproksacji na przedziale [,], to przjuje: 0( ) T0 ( ), ( ) T ( ),, ( ) T( ), gdzie T0, T,, T wieloian Czebszewa, [,]. Jeżeli jest aproksowana na dowoln przedziale [ ab, ], to 0( ) T0 ( a), ( ) T ( a),, b a b a ( ) T ( a), b a 5A+B8 Uwaga (aproksacja średniokwadratowa i jednostajna) W zależności od tego, jakich własności żąda od przbliżającej unkcji, stosuje różne rodzaje aproksacji. Zawsze oczwiście chce, ab popełnion błąd prz aproksacji bł najniejsz z ożliwch, ale wielkość tego błędu ożna obliczać w różn sposób. Dla unkcji teoretcznej, określonej dla, jeśli chce, ab różnica iędz błąd ze wzoru i średnio na cał przedziale [, ] b a ab w( ) ( ) ( ) d, [ a, b] bła jak najniejsza, oblicza gdzie jest tzw. unkcją wagową (wagą) jest to unkcja z gór określona, w ( ) 0, którą dobiera w zależności od postaci unkcji bazowch i przedziału [ ab, ]. W przpadku unkcji doświadczalnej całkę zastępuje suą po wszstkich węzłach tzn. w() n i0 0 0 0 w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ) i i i n n n Powższ sposób przbliżania unkcji (teoretcznej lub doświadczalnej) za poocą nazwa aproksacją średniokwadratową. Przpuść, że dla unkcji otrza najniejsz błąd obliczeniow jak wżej. Mówi wówczas, że unkcja najlepiej przbliża w sensie aproksacji średniokwadratowej. Może się jednak zdarzć (jeśli jest unkcją teoretczną), że io to są punkt w przedziale [ ab, ], w któr wartość ( ) ( ) jest duża. Jeśli chce, ab w każd punkcie przedziału [ ab, ] wartość ( ) ( ) bła jak najniejsza, to powinniś zastosować tzw. aproksację jednostajną. Polega ona na taki wznaczeniu unkcji przbliżającej, ab błąd określon wzore bł jak najniejsz. a ( ) ( ) [ a, b] 5A+B9 Uwaga (postać układu noralnego dla dowolnej baz) Zgodnie z t, co zostało powiedziane w poprzedni punkcie, chce tak wbrać współcznniki a0, a,, a unkcji, ab błąd aproksacji bł jak najniejsz.
W przpadku aproksacji średniokwadratowej, jeśli przbliża unkcję teoretczną, oże zapisać: b w( ) ( ) a ( ) a ( ) a ( ) d. a 0 0 Może potraktować nieznane liczb a0, a,, a jako zienne. Wted jest unkcją tch ziennch, co zapisze następująco: H( a0, a,, a ). Nasz zadanie jest wznaczenie iniu unkcji H( a0, a,, a ). Jest ono osiągalne w punkcie, w któr zerują się wszstkie pochodne cząstkowe unkcji H, tzn. są spełnione warunki: H H H 0, 0,, 0. a0 a a Jeżeli wziąć pod uwagę powższe wzor, oznacza to, że: b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a( ) 0( ) d 0, a 0 a b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a( ) ( ) d 0, a a b H w( ) ( ) a00 ( ) a ( ) a ( ) ( ) d 0. a a Stąd otrza b b b b 0 0 0 0 0 a a a a a w( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d, b b b b 0 0 a a a a a w( ) ( ) ( ) d a w( ) ( ) d a w( ) ( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d, b b b b 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a w d a w ( ) d a w( ) ( ) d w( ) ( ) ( ) d. Wszstkie całki oznaczone wstępujące w równaniach (jest ich ) potrai obliczć, gdż unkcje w, 0,,, i a dane przed dokonanie aproksacji. Ostatnie równanie stanowi zate układ liniow z niewiadoi a0, a,, a. Nazwa go układe noraln. Rozwiązując go otrzuje unkcję. Jeżeli przbliża unkcję doświadczalna, oże zapisać n i0 w( ) ( ) a ( ) a ( ) a ( ) i i 0 0 i i i prz cz suuje po wszstkich punktach 0,,, n, które są w tabelce unkcji. Zwróć uwagę, że oże bć n, zate jeśli przbliża unkcję wieloiane,
to nie koniecznie usi to bć wieloian stopnia traktuje błąd aproksacji jako unkcję ziennch a0, a,, a. Szuka jej iniu i otrzuje układ noraln, któr teraz a postać: n. Podobnie, jak dla unkcji teoretcznej, n n n n 0 i 0 i i i 0 i i i 0 i i i 0 i i0 i0 i0 i0 a w( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ), n n n n 0 i 0 i i i i i i i i i i i0 i0 i0 i0 a w( ) ( ) ( ) a w( ) ( ) a w( ) ( ) ( ) w( ) ( ) ( ), n n n n 0 ( i) 0( i i a w i i i aw i i w i i i i0 i0 i0 i0 a w ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 5A+B0 Przkład. Dla unkcji określonej tabelką: 4 5 znaleźć wieloian aproksując (średniokwadratow) pierwszego stopnia, przjując jako bazę unkcje 0( ), ( ) oraz unkcję wagową. Rozwiązanie. Chce wznaczć ( ) a00 ( ) a ( ). Zapisze postać układu noralnego: a0 0 ( i ) a ( i ) 0( i ) ( i ) 0( i ) i0 i0 i0. a0 0( i ) ( i ) a ( i ) ( i ) ( i ) i0 i0 i0 ( ) w ( ) 5B+C Uwaga Inne nie wienione tu zagadnienia nuercznch etod obliczeniowch to np.: układ równań liniowch; wektor i wartości własne; równanie nieliniowe; układ równań nieliniowch; całkowanie nuerczne;
równania różniczkowe. Uwaga. Materiał do wkładu został zaczerpnięt z Wprowadzenie do etod nuercznch Krzszto Piekarski, Oicna Wdawnicza Politechniki Białostockiej, Białstok 0.