Elementy analizy wektorowej. Listazadań

Transkrypt

1 Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)= x 2 +y2, odcinekłączącypunkty0, 1),2,0); b)fx,y)=xy, częśćokręgux 2 +y 2 =R 2 leżąca,wpierwszejćwiartceukładuwspółrzędnych; x 2 +y 2 +z 2 =R 2, c)fx,y,z)=x+y, ćwiartkaokręgu położona w pierwszym oktancie y=x, układu współrzędnych; d)fx,y)= x 2 +y 2) 2, okrągx 2 +y 2 =9; e)fx,y)=xy, częśćokręgux 2 +y 2 2y=0,położonawpierwszejćwiartceukładuwspółrzędnych; f)fx,y)=arctg y [ x, łukspiraliarchimedesax=tcost,y=tsint,t 0, π ] Obliczyć długości łuków: a): x=at sint),y=a1 cost),gdzie0 t 2πoraza>0; b) jedenzwójliniiśrubowejoskokuhnawiniętej,nawalecopromieniur; c): x=e t cost,y=e t sint,z=e t,gdzie0 t<. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnibocznejwalcax 2 +y 2 =1ograniczonejpłaszczyznamiz = x,z=5+y. 4. Obliczyć masy podanych łuków o wskazanych gęstościach liniowych: a): x=acost, y=asint,gdziet [0,2π],λx,y)= y oraza>0; b): x=rcost,y=rsint,z=bt,gdzie0 t 2π, λx,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 orazr,b>0; c): x=t,y= t2 2,z=t3 3,gdzie0 t 1, λx,y,z)= 2y. Zadaniazaczerpniętozksiążkiautorów:Elementyanalizywektorowej.Teoria,przykłady,zadania 1

2 5. Wyznaczyć współrzędne środków masy łuków jednorodnych: a)liniałańcuchoway= a e x/a +e x/a),gdzie a x a; 2 b)liniaśrubowax=rcost,y=rsint,z=bt,gdzie0 t 2π; c)brzegtrójkątasferycznegox 2 +y 2 +z 2 =1,gdziex 0,y 0,z 0; d) ćwiartka okręgu o promieniu R; e) półokrąg o promieniu R wraz ze średnicą; f)krzywax 2 +y 2 =1,x+2y+3z=12; g)łukcykloidyx=t sint,y=1 cost,gdziet [0,2π]; h)łukokręgux 2 +y 2 =1,położonypowyżejprostejy=x; i)łukasteroidyopisanyrównaniemx=6cos 3 t,y=6sin 3 t,gdziet [ 0, π ] Obliczyć momenty bezwładności podanych łuków jednorodnych o masie M względem wskazanych osi: a) brzeg kwadratu o boku a, względem przekątnej; b)odcinekab,gdziea=1,2,3),b=3,5,4),względemosioz; c)liniaśrubowax=acost,y=asint,z=bt,gdzie0 t 2π,względemosiOz. Całki krzywoliniowe zorientowane 7. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach zorientowanych zgodnie z parametryzacją): ) a)fx,y)= x 2 +y 2,xy, : x=t,y=e t,gdziet [0,1]; b)fx,y,z)=yz,xz,xy), : x=cost,y=sint,z=t,gdziet [0,2π]; c)fx,y,z)=y,z,x), odcinekab,gdziea=1, 1,2),B=0,2,3); y x d)fx,y)=,2 ) x, wykresfunkcjiy=log x 2 x,przebieganyodpunktua=1,0)do B=4,2); e)fx,y)=y,x), łamanaowierzchołkacha=0,0),b=2,0),c=4,4),d=0,4), przebieganawkolejnościa,b,c,d; f)fx,y,z)=yz,zx,xy), odcinekopoczątkua=2, 1,0)ikońcuB=0,1,3); g)fx,y,z)= y+1,x 2y,3z 2), zwójliniiśrubowejx=3cost,y=3sint,z= t π,gdzie t [0,2π]; h)fx,y)=xcosy,ysinx), odcinekopoczątkup=0,0)ikońcuk=π,2π). 8. Obliczyć całki krzywoliniowe z pól wektorowych F po łukach orientacja łuku jest zgodna ze wzrostem zmiennej): 2

3 a)fx,y)=x y,x+y), : y=sinx,gdzie0 x π; b)fx,y)=lnx,lny), : y=x 2,gdzie1 x e. 9. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach zamkniętych: a) xydx+x 2 dy,gdziejestbrzegiemtrójkątaowierzchołkacha=0,0),b=1,2),c= 1,4), zorientowanym dodatnio; b) x 2 ydx+xyy+1)dy,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 +2y=0,zorientowanymdodatnio; c) 3x+5z) dx+x+4y) dy+6x z) dz, gdzie jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A =2, 0, 0), B=0,2,0),C=0,0,2),obieganymwkolejnościABCA. 10. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z potencjalnych pól wektorowych F po dowolnym łukuopoczątkuaikońcub: a)fx,y)=x,y),a=1,1),b= 1, 2); π b)fx,y)=sinxcosy,cosxsiny),a= 2 2),π,B=π,π); ) c)fx,y,z)= x 2 2yz,y 2 2xz,z 2 2xy,A=0,0,0),B=1,1,1); ) d)fx,y,z)= 2xyz,x 2 z,x 2 y+1,a=1,2,3),b=3,2,1). 11. Sprawdzić, że całki krzywoliniowe nie zależą od kształtu krzywej całkowania i następnie obliczyć je: a) b) c) 1, π 2) e x cosydx e x sinydy; 0,0) 1,2) 2,1) 2,3,4) 1,1,1) y x 2dx 1 x dy,wzdłużłukunieprzechodzącegoprzezośoy; x 2 2yz ) ) ) dx+ y 2 2xz dy+ z 2 2xy dz. 12. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzić wynik obliczając te całki bezpośrednio: a) 1 x 2) ydx+x 1+y 2) dy,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 =R 2,zorientowanymdodatnio; b) ) x 2 +y dx+ x+y 2) dy,gdziejestbrzegiemtrójkątaowierzchołkacha=1,1),b=3,2), C =2, 5), zorientowanym dodatnio; c) e x 1 cosy)dx e x y siny)dy,gdziejestbrzegiemobszaru0 x π,0 y sinx, zorientowanym dodatnio; d) x+y) 2 dx x y) 2 dy,gdziejestkrzywązamkniętązłożonązłukuparaboliy=x 2 między 3

4 punktami0, 0) i1, 1) oraz z odcinka łączącego te punkty, zorientowaną dodatnio; e) xydx+ x 2 y 2) dy,gdziejestbrzegiemtrójkątemowierzchołkacha=0,0),b=1,0), C =1, 2), zorientowanym dodatnio; f) x 2 ydx y 2 xdy,gdziejestbrzegiemćwiartkikołax 2 +y 2 4,x 0,y 0,dodatnio zorientowanym; g) x 2 ydx xy 2 dy,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 =2,dodatniozorientowanym. h) xy+x+y)dx+xy+x y)dy,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 =4x,dodatniozorientowanym. 13. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej obliczyć pola obszarów ograniczonych łukami zamkniętymi: a)elipsa:x=acost,y=bsint,gdziet [0,2π]; b)kardioida:x=2cost cos2t,y=2sint sin2t,gdziet [0,2π]; c)asteroida:x=cos 3 t,y=sin 3 t,gdziet [0,2π]. 14. Obliczyć pracę w polu wektorowym F podczas ruchu po łuku zorientowanym, jeżeli: a)fx,y)= 2xy,x 2), dowolnyłukłączącypunktya=1,0),b=0,3); b)fx,y,z)=xy,y+z,z),: x=cost,y=sint,z=t,odpunktua=1,0,0)dopunktu B= 1,0,π); c)fx,y,z)= x, y, z), dowolnyłukłączącypunkta=x 1,y 1,z 1 )należącydosfery x 2 +y 2 +z 2 =r 2,zpunktemB=x 2,y 2,z 2 )należącymdosferyx 2 +y 2 +z 2 =R 2 ; d)fx,y)= x+y,x 2 y 2), prawypółokrągłączącypunktya=3,0)ib=3,4); e)fx,y)=2x y,x 2y), wykresfunkcjiy=e x,odpunktu0,1)do1,e); f)fx,y)= y,x) x 2 +y 2, łukokręgux2 +y 2 =4,odpunktuP=2,0)doK=0,2). Całki powierzchniowe niezorientowane 15. Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach: a) x 2 +y 2) ds,gdziejestsferąx 2 +y 2 +z 2 =R 2 ; b) x+y+z)ds,gdziejestczęściąpłaszczyznyx+y+z=1,położonąwpierwszymoktancie układu współrzędnych; c) d) x 2 +y 2 ds,gdziejeststożkiemz= x 2 +y 2,z 3; x 2 +y 2 +z 2) ds,gdziejestpłatemopisanymprzezwarunkiy 2 +z 2 =1,z 0,0 x 2; 4

5 e) f) x+y)ds,gdziejestpółsferąorównaniuz= 4 x 2 y 2 ; ds x 2 +y 2,gdziejestwalcemx2 +y 2 =4,ograniczonympłaszczyznamiz=1,z= Obliczyć pola płatów: a) częśćpłaszczyzny2x+3y+z 6=0wyciętaprzezwalecx 2 +y 2 =4; b) częśćparaboloidyz=x 2 +y 2 odciętaprzezpłaszczyznęz=hh>0); c) powierzchniabocznastożkaściętegoopromieniachpodstawr,riwysokościhr<r); d*) fragmentpowierzchniziemizawartymiędzypołudnikami60 i80 Worazrównoleżnikami 45 i60 N.PrzyjąćpromieńZiemiR=6370km. 17. Obliczyć masy płatów o wskazanych gęstościach powierzchniowych: a)z=x+y,gdziex [1,2],y [2,3],σx,y,z)=xyz; b)półsferaz= R 2 x 2 y 2,σx,y,z)=z; c)stożekz= x 2 +y 2,z 1,σx,y,z)= x 2 +y 2 +z 2. d)z=2 x y,x 0,gdziey 0,z 0,σx,y,z)=xyz; e)częśćwalcay 2 +z 2 =1ograniczonapłaszczyznamix=0,x=2,y=0,ogęstościσx,y,z)=y Znaleźć położenia środków masy jednorodnych płatów materialnych: a)x+y+z=4, x 2 +y 2 1; b)z=2 x 2 +y 2, 2 z 6; c)z=x 2 +y 2, z 1; d) sześcienne pudełko o krawędzi aotwarte od góry); e) powierzchnia boczna stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości H; f)trójkątowierzchołkacha=0,0,0),b=1,2, 3),C=2, 2,9); g) powierzchnia zamkniętego stożka o promieniu podstawy R i wysokości H; h)z= x 2 +y 2,gdziex 0,z Obliczyć momenty bezwładności płatów materialnych względem wskazanych osi: a)jednorodnasferaopromieniurimasiem,względemśrednicy; b)paraboloidaz=x 2 +y 2,gdziez h,ogęstościpowierzchniowejmasyσx,y,z)= względem osi Oz; c)jednorodnapowierzchniaośmiościanu x + y + z =aomasiem,względemosioz; 1 1+4x 2 +4y 2, d)jednorodnapowierzchniabocznawalcax 2 +y 2 =R 2, H z H,omasieM,względemosiOx; 5

6 Całki powierzchniowe zorientowane i elementy analizy wektorowej 20. Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane: a) xydydz+yzdzdx+xzdxdy, gdziejestzewnętrznąstronąpowierzchniczworościanu:x+y+z 1,x 0,y 0,z 0; b) xy 2 dydz+yz 2 dzdx+zx 2 dxdy, gdziejestzewnętrznąstronąpowierzchnisześcianu0 x 1,0 y 1,0 z 1; c) x 2 dydz+y 2 dzdx+z 2 dxdy; gdzie jest zewnetrzną stroną powierzchni stożka d) z 2 dxdy, gdziejestzewnętrznąstronąsferyx 2 +y 2 +z 2 =4; e) xyz dxdy, x 2 +y 2 z 1; gdziejestczęściąsferyx 2 +y 2 +z 2 =4położonąwpierwszymoktancieukładuwspółrzędnych, zorientowaną na zewnątrz. 21. Uzasadnić wzory: a)rotgradu)=o,gdzieujestfunkcjąmającąciągłepochodnecząstkowedrugiegorzęduna obszarzev R 3 ; b)rotfc)=gradf c,gdzief jestfunkcjąmającąpochodnecząstkowepierwszegorzęduna obszarzev R 3,ac ustalonymwektorem; c)rotff)=gradf F+frotF),gdziefunkcjaforazpolewektoroweFsąróżniczkowalnew sposóbciągłynaobszarzev R Uzasadnić wzory: a)divf G)=G rotf F rotg,gdziepolawektorowefigsąróżniczkowalnenaobszarze V R 3 ; b)divrotf)=0,gdziepolewektorowefmaskładowedwukrotnieróżniczkowalnewsposóbciągły naobszarzev R Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczyć całki powierzchniowe zorientowane. Sprawdzić otrzymane wyniki wyznaczając te całki bezpośrednio: a) 2xydydz y 2 dzdx+2zdxdy, gdziejestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: x 2 +y 2 +z 2 9,x 0,y 0,z 0; 6

7 b) x+z)dydz+x+y)dzdx+y+z)dxdy, gdziejestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: x 2 +y 2 R 2,x+y+z 2R,z 0 R>0); c) x 3 dydz+y 3 dzdx+z 3 dxdy, gdziejestwewnętrznąstronąpowierzchniwalcav:x 2 +y 2 R 2,0 z H; d) xdydz+ydzdx+zdxdy, gdziejestzewnętrznąstronąwalcax 2 +z 2 1,1 y 3; e) ) x 2 +yz dydz+ xz+y 2) dzdx+xy 2 dxdy, gdziejestzewnętrznąstronąwalcax 2 +y 2 1,0 z 1; f) x+y) 2 dydz+y+z) 2 dzdx+z+x) 2 dxdy, gdziejestzewnętrznąstronąsferyx 2 +y 2 +z 2 =4. g) x 3 dydz+y 3 dzdx+z 2 dxdy, gdziejestzewnętrznastronąpowierzchniwalcax 2 +y 2 9,0 z 2; h) xdydz+ydzdx+zdxdy, gdziepłatjestzewnętrznąstronąsferyx 2 +y 2 +z 2 =4; i) xzdxdy+xydydz+yzdxdz, gdziejestzewnętrznąstronączworościanux+y+z 3,x 0,y 0,z Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzić otrzymane wyniki wyznaczając te całki bezpośrednio: a) x 2 y 3 dx+dy+zdz,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 =R 2,z=0,zorientowanymdodatnio; b) c) d) e) f) xdx+x+y)dy+x+y+z)dz,gdzie: x=sint,y=cost,z=sint+costdlat [0,2π]; y+z)dx+z+x)dy+x+y)dz,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 +z 2 =R 2,x=y; y+z)dx+z+x)dy+x+y)dz,gdziejestokręgiemx 2 +y 2 +z 2 =1,x+y+z=0; y+z)dx+z+x)dy+x+y)dz,gdziejestelipsąx 2 +y 2 =4,x z=0; y 2 +z 2) dx+ x 2 +z 2) dy+ x 2 +y 2) dz,gdziejestłamanązamkniętąowierzchołkach A=0,0,0),B=1,1,0),C=1,1,1),przebieganąwkolejnościABCA. 25. Obliczyć strumienie pól wektorowych F przez płaty : x a)fx,y,z)= 3,z2 x 2, 2z ), 3 gdziejestpowierzchniązewnętrznąwalcax 2 +y 2 R 2,0 z H; 7

8 x y z b)fx,y,z)= x 2 +y 2 +z 2, x 2 +y 2 +z 2, ), x 2 +y 2 +z 2 gdziejestpowierzchniązewnętrznąsferyx 2 +y 2 +z 2 =R 2 ; c)fx,y,z)=5x+z,x 3y,4y 2z), gdzie jest górną częścią płaszczyzny x + y + z = 2, odciętej płaszczyznami układu współrzędnych; d)fx,y,z)=x,0,z),gdziejestzewnętrznąstronąwalcaoparametryzacjicosu,sinu,v)dla u [0,2π], v [ 1,1]; e)fx,y,z)=x,y,z);gdziejestzewnętrznąpowierzchniąstożka x 2 +y 2 z 4; f)fx,y,z)=x,y,z);gdziejestzewnętrznąpowierzchniączworościanux+y+z 1,x 0,y 0,z Obliczyć cyrkulacje pól wektorowych F wzdłuż wskazanych łuków zamkniętych zorientowanych : a)fx,y,z)= y 2,x+y) 2,z ), łamanazamkniętałączącapunktya=1,0,0),b=0,1,0), C=0,0,1)wkolejnościABCA; b)fx,y,z)=y,1 x, z), łukzamkniętyotrzymanywwynikuprzecięciapowierzchniwalca x 1) 2 +y 2 =1ipółsferyx 2) 2 +y 2 +z 2 =4z 0),przebieganywkierunkuodwrotnymdo ruchu wskazówek zegara. 8