Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Transkrypt

1 Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią zamkniętą q 1 r e 2 r (1) i obliczmy strumień pola elektrycznego przechodzący przez tę powierzchnię: E d = q Iloczyn skalarny pod całką można zapisać jako: 1 r 2 e r d (2) e r d = d cos α = d (3) gdzie α jest kątem pomiędzy kierunkiem radialnym e r, a elementem całkowania d. Powierzchnia d jest rzutem powierzchni d na kierunek radialny e r. 1

2 Powierzchnia d stanowi część sfery o promieniu r. Możemy więc zapisać ją jako: d = r 2 dω (4) gdzie dω jest kątem bryłowym, pod jakim widać powierzchnię d z początku układu współrzędnych. Korzystając z powyższych zależności równanie (2) można zapisać jako: q d = q r 2 ponieważ całka z kąta bryłowego po całej sferze wynosi 4π 1. dω = q ɛ 0 (5) Powierzchnia jest dowolna, można więc w szczególności przesunąć ją o pewien wektor a, co jest równoważne przesunięciu ładunku o wektor a. Równanie (5) pozostaje więc słuszne dla dowolnego położenia ładunku w przestrzeni, byle wewnątrz powierzchni. W elektrodynamice obowiązuje zasada superpozycji, to znaczy pole elektryczne od dowolnego rozkładu ładunków punktowych jest sumą wektorową pól pochodzących od każdego ładunku. Równanie (5) obowiązuje więc dla dowolnego układu ładunków punktowych. Prawo Gaussa zostało udowodnione. 1 Całka ta wynosiłaby zero, gdyby ładunek q znajdował się na zewnątrz powierzchni. 2

3 * * * Prawo Gaussa można wyprowadzić z prawa Coulomba także w bardziej abstrakcyjny sposób. Pole elektryczne ładunku punktowego jest gradientem potencjału elektrostatycznego ϕ: E = ϕ, gdzie ϕ = q 1 r (6) trumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą otaczającą ładunek wynosi: E d = q 1 r d (7) W tym miejscu należy skorzystać z twierdzenia Ostrodgradskiego-Gaussa q 1 d (8) r gdzie jest objętością, którą otacza powierzchnia, a laplasjan =. Wystarczy teraz zastosować do równania (8) wzór wiążący laplasjan i deltę Diraca: 1 r = 4πδ(0) (9) tąd, ponieważ całka z delty Diraca wynosi 1 2 q δ(0) d = q (10) ɛ 0 ɛ 0 2 Objętość może być dowolna, byle zawierała osobliwość delty Diraca, czyli ładunek punktowy. 3

4 Wyprowadzenie prawa Coulomba z prawa Gaussa Jest trywialne. Wystarczy zauważyć, że pole elektryczne ładunku punktowego musi być radialne i mieć symetrię sferyczną. Dziwny wzór na objętość Jak każdemu studentowi wiadomo = d (11) Kto zna mistyczny wzór na liczbę 3 3 = r (12) ten zrozumie, że = 1 3 r d (13) Jeśli teraz zastosować twierdzenie Ostrodgradskiego-Gaussa, to = 1 r d (14) 3 wystarczy mała sztuczka, ( r 2) = 2r r = 2r r r = 2 r (15) aby ostatecznie napisać I kto by pomyślał? = 1 6 ( r 2) d (16) 4

5 Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola skalarnego Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola wektorowego A( r ) A d = A d (17) Załóżmy, że A = f B, gdzie f jest pewnym polem skalarnym zależnym od r, natomiast B = const. 3 Ponieważ A = ( f B ) = ( f B ) = f B (18) to ( f B ) d = f B d = f B d (19) Wektor B jest stały, można go więc wyciągnąć przed obie całki razem ze znakiem iloczynu skalarnego B f d = B f d (20) Wektor B jest także dowolny 4, musi więc zachodzić twierdzenie Gaussa dla pola skalarnego f d = f d (21) W szczególności biorąc f = 1, ponieważ 1 = 0 dostajemy d = 0 (22) dla dowolnej powierzchni zamkniętej. I cóż by to miało znaczyć? 3 Kropkę rezerwujemy na oznaczenie wyłącznie iloczynu skalarnego dwóch wektorów. 4 Nic o nim nie wiemy, poza tym że nazywa się Be. 5