Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne"

Transkrypt

1 Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale <, β > bez punktów wielokrotnych. Układ: x = x(t, y = y(t, t <, β > parametryzacja łuku. Punkty: A = (x(, y( i B = (x(β, y(β końce łuku. Łuk jest otwarty, jesli A B. Luk jest zamknięty (jest krzywą zamkniętą, krzywą Jordana, jeśli A = B. Łuk gładki łuk, dla którego pochodne x (t, y (t są ciągłe na <, β > oraz nie są w żadnym punkcie tego przedziału jednoczesnie równe zero. Łuk kawałkami gładki składa się z segmentów, które są łukami gładkimi. Łukowi można nadać kierunek od A do B (ozn. lub odwrotny ( BA. Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skierowanym. Parametryzacja i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku parametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku. Uwaga 1. Jeżeli parametryzacja łuku x = x(t, y = y(t, t <, β > jest niezgodna z nadanym mu kierunkiem, to parametryzacja x = x( t, ỹ = y( t, t < β, > będzie z tym kierunkiem zgodna. Obszar w R 2 nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest bez dziur. Niech D obszar normalny względem obu osi, ograniczony krzywą Jordana. Jeśli kierunek krzywej jest określony tak,że poruszając się po, obszar D jest po lewej stronie, to krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza. W przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza. 1

2 Całka krzywoliniowa skierowana w R 2 Niech łuk skierowany o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β > zgodnej z jego kierunkiem oraz [P (x, y; Q(x, y] para uporządkowana funkcji określonych na tym łuku. Niech n N ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział <, β > na n części punktami = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = β. Odpowiadają im punkty na łuku: A 0, A 1,..., A n, gdzie A k = (x(t k, y(t k. W przedziałach < t k 1, t k > wybieramy punkty τ k dla kolejnych k. Tworzymy sumę S n = n (P ( x(τ k, y(τ k (x(t k x(t k 1 + Q ( x(τ k, y(τ k (y(t k y(t k 1 Def.1. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <, β > istnieje ta sama granica właściwa lim n S n niezależna od sposobów podziału przedziału i wyboru punktów τ k, to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną pary funkcji [P (x, y; Q(x, y] po łuku i oznaczamy P (x, ydx + Q(x, ydy Przy oznaczeniach [P (x, y; Q(x, y] ozn = R(x, y oraz [dx, dy] ozn = dl: Uwaga 2. Własności całki R(x, y dl = P (x, ydx + Q(x, ydy = BA k R(x, y dl = k ( R 1 (x, y + R 2 (x, y R(x, y dl, R(x, y dl, k R, dl = R 1 (x, y dl + R(x, y dl R 2 (x, y dl. 2

3 Uwaga 3. Jeżeli R(x, y jest wektorem siły o zmiennych współrzędnych wzdłuż łuku, to całka R(x, y dl przedstawia pracę siły R wzdłuż łuku. Jeżeli całkę krzywoliniową obliczamy po łuku zamkniętym, to zamiast symbolu używamy symbolu (zaznaczając ew. strzałką w kółeczku skierowanie krzywej. Tw.1. O zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną Jeżeli funkcje P (x, y i Q(x, y są ciągłe na łuku gładkim x = x(t, y = y(t, t <, β > zgodnej z kierunkiem tego łuku, to P (x, ydx + Q(x, ydy = β ( o parametryzacji P ( x(t, y(t x (t + Q ( x(t, y(t y (t Uwaga 4. Wartość całki krzywoliniowej skierowanej zależy (na ogół od kształtu drogi całkowania. dt. Uwaga 5. Jezeli krzywa = n i jest sumą łuków gładkich, to całką skierowaną pary funkcji [P (x, y; Q(x, y] po łuku określamy jako P (x, ydx + Q(x, ydy = n ( i P (x, ydx + Q(x, ydy. Uwaga 6. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną pozostaje prawdziwe dla krzywych zamkniętych. Tw.2. (Greena Jeżeli D jest obszarem normalnym względem obu osi, jest brzegiem tego obszaru, skierowanym dodatnio względem wnętrza, a funkcje P (x, y i Q(x, y są klasy C 1 w tym obszarze, to prawdziwy jest wzór P (x, ydx + Q(x, ydy = D ( Q x P dxdy. 3

4 Uwaga 7. Pole obszaru D ograniczonego zamkniętą kawałkami gładką krzywą wyraża się wzorem D = xdy = ydx Tw.3. Jeżeli funkcje P (x, y i Q(x, y są klasy C 1 na obszarze jednospójnym D, to następujące warunki są równoważne: 1. Q x = P 2. P (x, ydx + Q(x, ydy = 0 kawałkami gładkiej leżącej w obszarze D 3. wartość P (x, ydx + Q(x, ydy łączącej A z B zawartej w D dla każdej krzywej Jordana nie zależy od wyboru drogi całkowania 4. istnieje funkcja U(x, y (potencjał taka, że U x = P (x, y, U = Q(x, y. Dla A, B D zachodzi równość gdzie U(x, y jest dowolnym potencjałem. P (x, ydx + Q(x, ydy = U(B U(A, Uwaga 8. Potencjał można obliczyć z następującego wzoru: gdzie (x 0, y 0 D, C dowolna stała. x U(x, y = P (t, ydt + Q(x 0, tdt + C, x 0 y 0 y 4

5 Całka krzywoliniowa nieskierowana L łuk otwarty zwykły gładki o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β > i długości l = β [x (t] 2 + [y (t] 2 dt. Łukowi L nie nadaje się żadnego kierunku. Na łuku L określona jest funkcja f(x, y. Przedział <, β > dzielimy na n podprzedziałów punktami = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = β. Odpowiadają im punkty na łuku: A 0, A 1,..., A n, gdzie A k = (x(t k, y(t k i odcinki A k 1 A k o długościach A k 1 A k = l k. W przedziałach < t k 1, t k > wybieramy punkty τ k i tworzymy sumę S n = n f((x(τ k, y(τ k l k. Def.2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <, β > istnieje ta sama granica właściwa lim n S n niezależna od sposobów podziału przedziału i wyboru punktów τ k, to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f(x, y po łuku L i oznaczamy L f(x, ydl Tw.4. O zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną Jeżeli funkcja f(x, y jest ciągła na otwartym łuku gładkim o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β >, to zachodzi równość f(x, ydl = β L f(x(t, y(t [x (t] 2 + [y (t] 2 dt. Uwaga 8. Twierdzenie powyższe pozostaje prawdziwe dla całek po krzywych zamkniętych. 5

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy wektorowej

Elementy analizy wektorowej Elementy analizy wektorowej Całki krzywoliniowe wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r) Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011 Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa

opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy wektorowej. Listazadań

Elementy analizy wektorowej. Listazadań Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,

Bardziej szczegółowo

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń

Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 10: Całka nieoznaczona

Wykład 10: Całka nieoznaczona Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj

MATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj MATEMATYKA 2 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Całka krzywoliniowa nieskierowana 9 1.1 Całka krzywoliniowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }

Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = } Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y, z 2y df

x y = 2z. + 2y, z 2y df . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie

Bardziej szczegółowo

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Dwa przykłady z mechaniki

Dwa przykłady z mechaniki Rozdział 6 Dwa przykłady z mechaniki W rozdziale tym przedstawimy proste przykłady rozwiązań równań mechaniki Newtona. Mechanika Newtona zajmuje się badaniem ruchu układu punktów materialnych w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego 6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Dariusz Wrzosek 14 listopada 2018 Matematyka dla biologów Zajęcia 6. 14 listopada 2018 1 / 25 Pochodna funkcji przypomnienie Dzięki pochodnej można określić czy funkcja

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Matematyka 3 Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM-1-301-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Medyczna Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza matematyczna Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo