Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego ( wykonanie jednej iteracji ) Ilustracja układu: Dane wyjściowe: E := 5 1 6 kn m Pręt 1: Pręt : Pręt 3: I 1 := 935 1 8 m 4 I := 36 1 8 m 4 I 3 := I l 1 := 3 m l := 6 m l 3 := 5 m A 1 :=.8 1 4 m A := 39.6 1 4 m A 3 := A 1 k := 1 E A 1 - sztywność podpory sprężystej

Układ globalny z oznaczeniem przemieszczeń węzłowych: CZĘSC I - Stateczność - wyznaczenie wartości mnożnika krytycznego oraz postaci utraty stateczności W układach lokalnych budujemy macierze sztywności sprężystych prętów : Pręt 1: K 1 := EA 1 l 1 EA 1 l 1 3E I 1 3EI 1 3E I 1 l 1 EA 1 l 1 EA 1 l 1 3EI 1 3E I 1 3EI 1 l 1 3E I 1 l 1 3EI 1 l 1 3E I 1 l 1 1 3 l 1

Pręt : K := EA l EA l 1E I 6E I l 1E I 6E I l 6E I l 4E I l 6E I l E I l EA l EA l 1E I 6E I l 1E I 6E I l 6E I l E I l 6E I l 4E I l 1 3 l Pręt 3: K 3 := EA 3 l 3 EA 3 l 3 1E I 3 6E I 3 l 3 1E I 3 6E I 3 l 3 6E I 3 l 3 4E I 3 l 3 6E I 3 l 3 E I 3 l 3 EA 3 l 3 EA 3 l 3 1E I 3 6E I 3 l 3 1E I 3 6E I 3 l 3 6E I 3 l 3 E I 3 l 3 6E I 3 l 3 4E I 3 l 3 1 3 l 3 Macierze z układów lokalnych transformujemy do układu globalnego : Pręt 1: Budujemy macierz transformacji T 1 := 1 1 1 1 1 1

Ilustracja transformacji z układu lokalnego ( x, y )do układu globalnego (x,y) Transformacja macierzy sztywności sprężystej K 1 := T T 1 K1 T 1 K 1 = 1.97 1.97 638.917 1.558 1 5 1.558 1 5 1.97 1.97 638.917 1.558 1 5 1.558 1 5 638.917 638.917 1.917 1 3 Pręt : Ponieważ współrzędne układu lokalnego pręta pokrywają się ze współrzędnymi układu globalnego macierz sztywności sprężystej pozostanie niezmieniona K := K K = 1.353 1 5 1.353 1 5 348.5 1.46 1 3 348.5 1.46 1 3 1.46 1 3 4.18 1 3 1.46 1 3.91 1 3 1.353 1 5 1.353 1 5 348.5 1.46 1 3 348.5 1.46 1 3 1.46 1 3.91 1 3 1.46 1 3 4.18 1 3 Pręt 3: Ponieważ współrzędne układu lokalnego pręta 3 pokrywają się ze współrzędnymi układu globalnego macierz sztywności sprężystej pozostanie niezmieniona

K 3 := K 3 K 3 = 1.64 1 5 1.64 1 5 6.8 1.56 1 3 6.8 1.56 1 3 1.56 1 3 5.18 1 3 1.56 1 3.59 1 3 1.64 1 5 1.64 1 5 6.8 1.56 1 3 6.8 1.56 1 3 1.56 1 3.59 1 3 1.56 1 3 5.18 1 3 Agregacja macierzy sztywności sprężystej : Agregacja przeprowadzana wg schematu : Pręt 1 3 4 5 6 1 1 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 3 7 8 9 1 11 1 y := 1 fxy (, ) := macierz K1: K := matrix( 1, 1, f) a :=.. 5 K := K + K a, b a, b 1a, b macierz K: a := 3.. 8 K := K + K a, b a, b a 3, b 3 macierz K3: a := 6.. 11 b :=.. 5 b := 3.. 8 b := 6.. 11 K := K + K a, b a, b 3a 6, b 6 Uwzględniając sprężyne po kierunku przemieszczenia 8 : a := 7 b := 7 K := K + k a, b a, b

Macierz sztywności sprężystej po agregacji : 1.97 1.97 638.917 K = 1.558 1 5 1.558 1 5 1.97 1.355 1 5 638.917 1.353 1 5 1.558 1 5 1.561 1 5 1.46 1 3 348.5 1.46 1 3 638.917 638.917 1.46 1 3 6.99 1 3 1.46 1 3.91 1 3 1.353 1 5.977 1 5 1.64 1 5 348.5 1.46 1 3 4.769 1 4 46. 6.8 1.56 1 3 1.46 1 3.91 1 3 46. 9. 1 3 1.56 1 3.59 1 3 1.64 1 5 1.64 1 5 6.8 1.56 1 3 1.56 1 3.59 1 3 6.8 1.56 1 3 1.56 1 3 5.18 1 3 Po redukcji przemieszczeń 1,,1,11,1 układu z warunków brzegowych i przemieszczenia 3 z redukcji statycznej otrzymujemy macierz 6x6 : K e := matrix( 6, 6, f) a := 3.. 8 b := 3.. 8 K ea := K 3, b 3 a, b K e = 1.355 1 5 638.917 1.353 1 5 1.561 1 5 1.46 1 3 348.5 1.46 1 3 638.917 1.46 1 3 6.99 1 3 1.46 1 3.91 1 3 1.353 1 5.977 1 5 348.5 1.46 1 3 4.769 1 4 46. 1.46 1 3.91 1 3 46. 9. 1 3 Podobnie jak dla budowy macierzy sztywności sprężystej przebiegać będzie teraz proces budowania macierzy sztywności geometrycznej W celu budowy macierzy sztywności geometrycznej wyznaczono wartości sił normalnych dla danej ramy od zadanego obciążenia (λ = 1) wykorzystując program RM-Win.

Budowa macierzy lokalnych poszczególnych prętów i transformacja ich do układu globalnego Pręt 1: N 1 := 89.548 kn <- siła normalna w pręcie 1 N 1 K g1 := 3l 1 36 36 6l 1 36 36 6l 1 6l 1 6l 1 6l 1 K g1 := T T 1 Kg1 T 1 K g1 = 35.819 35.819 17.91 35.819 35.819 17.91 17.91 17.91 53.79 Pręt : N := 59.74 kn <- siła normalna w pręcie 36 3l 36 3l N 3l 4l 3l l K g := K 3l g = 36 3l 36 3l 3l l 3l 4l 47.79 47.79 Pręt 3: N 3 := 59.74 kn <- siła normalna w pręcie 3 36 3l 3 36 3l 3 N 3 3l 3 4l 3 3l 3 l 3 K g3 := K 3l 3 g3 = 36 3l 3 36 3l 3 3l 3 l 3 3l 3 4l 3 14.338 14.338 39.87 9.957 14.338 14.338 9.957 39.87

Agregacja macierzy sztywności geometrycznej oraz redukcja przemieszczeń z warunków brzegowych i redukcji statycznej w sposób identyczny, jak dla macierzy sztywności sprężystej: W macierzy sztywności geometrycznej nie dodajemy sztywności podpory sprężystej macierz Kg1: a :=.. 5 K ga := K, b ga + K, b g1a, b macierz Kg: a := 3.. 8 K := matrix( 1, 1, f) b :=.. 5 b := 3.. 8 y := 1 fxy (, ) := K ga := K, b ga + K, b ga 3, b 3 macierz Kg3: a := 6.. 11 b := 6.. 11 K ga := K, b ga + K, b g3a 6, b 6 K ge := matrix( 6, 6, f) a := 3.. 8 b := 3.. 8 K gea := K 3, b 3 ga, b Macierz sztywności geometrycznej układu ramowego K g = 35.819 35.819 17.91 35.819 35.819 17.91 17.91 17.91 11.51 6.86 14.338 87.619 9.957 14.338 14.338 9.957 39.87

Macierz po redukcji przemieszczeñ K ge = 35.819 17.91 17.91 11.51 6.86 87.619 Rozwiązujemy problem własny: ( K e + λ K ge )q Ponieważ problem własny ma postać matematyczną : ( A λ B)q Przeprowadzamy zabieg by rozwiązać powyższe równanie i otrzymujemy K e ( λ)k ge q Otrzymane wartości własne trzeba będzie przemnożyć przez (-1) W programie MathCad nie są konieczne dalsze zabiegi, otrzymujemy 5 wartości własnych, nie 6 jakby się można było pozornie spodziewać, gdyż macierz K g jest osobliwa. ( ) ( ) λ := genvals K e, K ge q := genvecs K e, K ge Otrzymano wartości własne : oraz wektory własne : 46.416 16.759 λ =.83 1 3 q = 1.7 1 3.798 1 4.36 1 3.144 1 3.888 1.73 1 3.19.459.11.474 1 3.468 4.996 1 3 6.57 1 3.884.886.1.171.43.15.7.19.14.45.49.981..1.9.39 9.644 1 3.48.67 Wybrano wartość własną o najmniejszą wartości bezwzględnej odpowiadającą wartości krytycznego mnożnika obciążenia oraz wektor własny odpowiadający tej wartości:

c :=.. 5 λ kr := λ q krc := q, c, λ kr = 46.416 q kr =.36 1 3.144 1 3.888 1.73 1 3.19.459 W układzie globalnym tworzymy wektory przemieszczeń elementów i transformujemy je do układów lokalnych Pręt 1: q 1 := q, q 1, q, q 1 =.36 1 3.144 1 3.888 q 1 := T 1 q 1 q 1 =.144 1 3.36 1 3.888 Pręt : Pręt 3: q, q 1, q, q := q q q 3 5.888 := q, 3, = q 1.73 1 3 3 = q 4,.19 q.459 5,.36 1 3.144 1 3 q 3, q 4, 1.73 1 3.19.459 W celu uzyskania postaci utraty stateczności uzyskane przemieszczenia węzłowe w układach lokalnych przemnażamy przez odpowiednie funkcje kształtu pozwalające nam dużo dokładniej określić kształt postaci utraty stateczności.

Pręt 1: Funkcje kształtu: N 11 () x := 1 x l 1 3 x 1 N 1 () x := 1 + l 1 N 14 () x x := l 1 3 x 1 N 15 () x := l 1 1 1 N 16 () x := x + x l 1 3 x l 1 x l 1 3 Przemieszczenia wzdłuż i w poprzek pręta : x:= u 1 () x := q 1 N 11 () x + q 13 N 14 () x v 1 () x := q 11 N 1 () x + q 14 N 15 () x + q 15 N 16 () x u 1 ( ) = v 1 ( ) = ( ).144 u 1 l 1 = 1 3 v 1 l 1 = ( ).36 1 3

Pręt : Funkcje kształtu: x N 1 () x := 1 l 3 x N () x 1 3 x := + l l N 3 () x x 1 x x := + l l N 4 () x x := l N 5 () x := 3 N 6 () x := x x x l l x x + l l 3 Przemieszczenia wzdłuż i w poprzek pręta : u () x := q N 1 () x + q 3 N 4 () x u ( ) =.36 1 3 ( ) = 1.73 1 3 u l v () x := q 1 N () x + q 4 N 5 () x + q N 3 () x + q 5 N 6 () x v ( ) =.144 1 3 ( ).19 v l =

Pręt 3: Funkcje kształtu: x N 31 () x := 1 l 3 3 x N 3 () x 1 3 x := + l 3 l 3 N 33 () x x 1 x x := + l 3 l 3 N 34 () x x := l 3 N 35 () x := 3 N 36 () x := x x x l 3 l 3 x x + l 3 l 3 3 Przemieszczenia wzdłuż i w poprzek pręta : u 3 () x := q 3 N 31 () x + q 33 N 34 () x v 3 () x := q 31 N 3 () x + q 34 N 35 () x + q 3 N 33 () x + q 35 N 36 () x u 3 ( ) = 1.73 1 3 u 3 ( l 3 ) = v 3 ( ) =.19 v 3 ( l 3 ) =

Zestawienie wyników przemieszczeń w punktach prętów przy podziale co 1 m x 1 :=.. l 1 x 1 = u 1 ( x 1 ) = v 1 ( x 1 ) = 1 3-7.146 1-4 -1.49 1-3 -.144 1-3.396.495.36 1-3 x :=.. l ( ).36 1-3 ( ) x = u x = v x =.144 1-3 1 3 4 5 6.147 1-3 1.93 1-3 1.717 1-3 1.53 1-3 1.88 1-3 1.73 1-3 -.68 -.997-1.19 -.817 -.46 -.19 x 3 :=.. l 3 ( ) 1.73 1-3 ( ) -.19 x 3 = u 3 x 3 = v 3 x 3 = 1 3 8.587 1-4 6.44 1-4 4.94 1-4.77.318.14 4.147 1-4.71 5 Postać utraty stateczności dla mnożnika krytycznego λ kr = 46,416

CZĘSC II statyka z dużymi siłami osiowymi dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego Macierze sztywności sprężystej pozostają niezmienione. Budujemy nowe macierze sztywności geometrycznej wprowadzając siły normalne uzyskane z poprzedniej iteracji tj. wyjściowe siły normalne dla λ = 1 przemnożone przez połowę mnożnika krytycznego. Proces budowy macierzy sztywności geometrycznej układu jest identyczny jak w powyższym przypadku. Pierwsza iteracja była przeprowadzona dla sił normalnych N= przy czym nasze równanie : ( K + K g )q P redukowało się przy zerowych macierzach sztywności geometrycznej do prostego równania : Kq P Stąd też do obliczenia sił normalnych mogliśmy użyć np. programu Rm-win Pręt 1: λ kr N' 1 := N 1 N' 1 =.78 1 3 kn N' 1 K g1 := 3l 1 36 36 6l 1 36 36 6l 1 6l 1 6l 1 6l 1 K g1 := T T 1 Kg1 T 1 K g1 = 831.87 831.87 415.643 831.87 831.87 415.643 415.643 415.643 1.47 1 3

Pręt : λ kr N' := N N' = 1.386 1 3 kn 36 3l 36 3l N' 3l 4l 3l l K g := K 3l g = 36 3l 36 3l 3l l 3l 4l 77.87 138.644 77.87 138.644 138.644 1.19 1 3 138.644 77.87 77.87 138.644 138.644 77.87 77.87 138.644 138.644 1.19 1 3 Pręt 3: λ kr N' 3 := N 3 N' 3 = 1.386 1 3 kn 36 3l 3 36 3l 3 N' 3 3l 3 4l 3 3l 3 l 3 K g3 := K 3l 3 g3 = 36 3l 3 36 3l 3 3l 3 l 3 3l 3 4l 3 33.745 138.644 33.745 138.644 138.644 94.9 138.644 31.73 33.745 138.644 33.745 138.644 138.644 31.73 138.644 94.9 Agregacja macierzy i eliminacja przemieszczeń y := 1 fxy (, ) := K := matrix( 1, 1, f) macierz Kg1: a :=.. 5 b :=.. 5 K ga := K ga + K g1a, b, b, b macierz Kg: a := 3.. 8 b := 3.. 8 K ga := K ga + K ga, b, b 3, b 3 macierz Kg3: a := 6.. 11 b := 6.. 11 K ga := K, b ga + K, b g3a 6, b 6 K ge := matrix( 6, 6, f) a := 3.. 8 b := 3.. 8 K gea := K ga 3, b 3, b

Nowa macierz geometryczna K g = 867.16 867.16 433.553 867.16 867.16 433.553 89.35 144.618 89.35 144.618 433.553 433.553 144.618.458 1 3 144.618 89.35 89.35 144.618 144.618 89.35 636.318.11 1 3 347.83 144.618 144.618 41.3 347.83 144.618 347.83 144.618 144.618 41.3 144.618 964.118 Po uwzględnieniu warunków brzegowych i redukcji statycznej : K ge = 867.16 433.553 89.35 144.618 89.35 144.618 433.553 144.618.458 1 3 144.618 89.35 89.35 144.618 636.318 144.618 89.35.11 1 3 Rozwiązujemy równanie : ( K e + K ge )q P gdzie P jest wektorem sił przywęzłowych gdzie P w - wektor sił przywęzłowych od obciążenia w węzłowego R - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego Wektory sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego w układach lokalnych wyznaczano metodą sił tylko dla pręta 3, w którym występuje obciążenie węzłowe równe wyjściowemu obciążeniu q przemnożonemu przez połowę mnożnika krytycznego. λ kr q :=

Pręt 1: Pręt : Pręt 3: R 1 := R := R 3 q l 3 q l 3 1 q l 3 q l 3 1 := R 3 116.39 96.699 116.39 96.699 = R 1 T 1 T R1 := Wektory sił przywęzłowych po transformacji do układu globalnego agregujemy według znanego schematu R R 1 R 11 R 1 R 13 R + R 14 R 1 + R 15 R + R 3 R 3 + R 31 R 4 + R 3 R 5 + R 33 R 34 R 35 := R 116.39 96.699 116.39 96.699 = Siły węzłowe przemnożone przez połowę mnożnika krytycznego: N p1 9 λ kr := N p 6 λ kr :=

Wektor od obciążeń węzłowych P w := N p N p1 P w = 1.39 1 3.89 1 3 Wyznaczamy wektor sił przywęzłowych P P:= P w R Otrzymany wektor redukujemy przez uwzględnienie warunków brzegowych i redukcji statycznej do wektora 6x1 P e := P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P e = 1.39 1 3.89 1 3 116.39 96.699 Sumujemy macierze geometryczną i sztywności K := K ge + K e K = 1.346 1 5 5.364 1.353 1 5 1.559 1 5 9.88 59.65 9.88 5.364 9.88 3.641 1 3 9.88.38 1 3 1.353 1 5.977 1 5 59.65 9.88 4.75 1 4 46. 9.88.38 1 3 46. 7.79 1 3

Rozwiązujemy równanie : K q P 1 q := K P e Otrzymano przemieszczenia węzłowe globalnego układu ramowego q =.19.13.1 8.638 1 3.96 1 3.16 Stąd wyznaczamy wektory przemieszczeń węzłowych dla poszczególnych prętów oraz wektory reakcji węzłowych: Pręt 1 q e1 := q q 1 q q e1 := T 1 q e1 ( ) q e1 R e1 := K 1 + K g1 + R 1 R e1 =.85 1 3 9.46.85 1 3 9.46 1.353 Pręt q e := q q 1 q q 3 q 4 q 5 ( ) q e R e := K + K g + R R e = 1.4 1 3 4.34 1.661 1.4 1 3 4.34 3.389

Pręt 3 q e3 := q 3 q 4 q 5 ( ) q e3 R e3 := K 3 + K g3 + R 3 R e3 = 1.4 1 3 93.753 8.77 1.4 1 3 138.36 143.11 siły normalne Pręt z 1 iteracji z iteracji Różnica Procentowo kn kn kn % 1-78 -85-7,336-1386 -14-16 1,141 3-1386 -14-16 1,141

Zadanie dla podziału każdego z prętów na elementy W celu określenia dokładności wyników wykonamy powtórnie zadanie z podziałem każdego z prętów na elementy. Tok postępowania w obliczeniach pozostaje niezmieniony. Wraz ze wzrostem ilości elementów zwiększa się liczba węzłów, a co za tym idzie przemieszczeń węzłowych. Tak więc nasze macierze układu ramowego w układzie globalnym zwiększą wymiar z 1x1 na 1x1. Z warunków brzegowych tak jak i poprzednio wyeliminujemy 5 przemieszczeń oraz jedno z redukcji statycznej. Toteż macierze po redukcji będą wielkości 15x15. Schemat przemieszczeń węzłowych układu przy podziale każdego z prętów na elementy : Po rozwiązaniu problemu własnego otrzymamy następujące wartości własne 31.131 6.954 114.661 17.413 4.756 46.416 35.61 λ := 16.759 511.944 λ.83 1 3 79.975 1 :=.931 1 4 1.7 1 3.4 1 3.798 1 4 1.873 1 3 Widać znaczną różnicę w najmniejszej wartości własnej. W porównaniu z wynikami bez podziału prętów na mniejsze elementy :

W części drugiej zadania wyliczymy siły normalne będące wartościami wyjściowymi przemnożonymi przez połowę mnożnika krytycznego oraz wykonamy drugą iterację dla mnożnika λ=31.131/=15.566 z uwzględnieniem podziału prętów na elementy i bez uwzględnienia tego podziału. Zestawienie wyników w tabeli: Pręt λ=46,416/=3,8 z 1 iteracji z iteracji z 1 iteracji λ=31,131/=15,66 siły normalne z iteracji Bez podziału Podział na elementy kn kn kn kn kn 1-78 -85-1394 -1399-141 -1386-14 -99,887 936,71-938,431 3-1386 -14-99,887-936,71-938.431 Otrzymane rezultaty pokazują, że nowy obliczony mniejszy mnożnik krytyczny diametralnie zmienił minimalne siły wyboczeniowe. Świadczy to o rażących błędach naszych obliczeń, niestety po stronie niekorzystnej. Wyznaczenie mnożnika krytycznego dla podziału prętów na elementy znacznie zmniejszyło siły wyboczeniowe i błąd względny. Przy dalszym toku postępowania bez podziału prętów na mniejsze elementy wyniki są zbliżone do tych z podziałem, lecz występujący błąd względny sugeruje kolejne iteracje. Rezultaty dla mnożnika krytycznego obliczonego z zadania o podziale prętów na elementy są już troszkę dokładniejsze od rezultatów dla podziału 1pręt = 1 element jednakże brak wyraźnej zbieżności sugeruje wykonywanie dalszych iteracji.