Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x < x <... < x n < x n = b Długość i tego podprzedziłu oznczymy x i = x i x i, cły zbiór n podprzedziłów oznczymy n. Podziłowi n możemy przyporządkowć liczbę δ n = mx x i, nzywną średnicą podziłu. Możemy rozptrywć ciąg podziłów ( n ). Tki ciąg nzywmy normlnym, gdy δ n =. n Dl dnego podziłu n wybiermy w kżdym podprzedzile liczbę ξ i, x i ξ i x i i tworzymy sumę σ n = f(ξ i ) x i. () i= Jeżeli dl kżdego ciągu normlnego podziłów przedziłu [, b] kżdy ciąg sum (σ n ) dąży do grnicy skończonej (niezleżnej od wyboru punktów ξ i ), to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy przez Pojedyncze skłdniki sumy () są polmi prostokątów o podstwie x i i wysokości f(ξ i ). Sum tych pól przybliż pole figury ogrniczonej od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f, z boków odcinkmi prostych x =, x = b (tką figurę nzywmy trpezem krzywoliniowym). Przybliżenie to jest corz dokłdniejsze gdy n rośnie. Wrtość grniczn, czyli cłk oznczon, jest polem trpezu krzywoliniowego. Uwg. Powyższe określenie cłki dotyczy przypdku gdy < b. Przyjmujemy pondto, że f(x) =, b f(x) = f(x) dl < b. Przykłd. Obliczymy z definicji cłkę n równych części: x. W tym celu rozptrzymy ciąg podziłów n < n < n < < n n =. Punkty ξ i wybierzemy jko środki odpowiednich odcinków: ξ i = x i + n = i n + n = i n.
Wtedy σ n = Ciąg jest stły, więc i= i n n = n (i ) = + (n ) n = n. i= x = n σ n =. Zuwżmy, że dl innego wyboru liczb ξ i, np. ξ i = x i = i n otrzymmy σ n = i= i n n = n i= (i ) = + (n ) n n = n n. Tym rzem ciąg nie jest stły, le grnic jest tk sm: n n n =. Jeszcze inczej: gdy ξ i = x i = i n, to otrzymmy i σ n = n n = n i= i= i = n + n n = n + n. I znowu grnic jest tk sm: n + n n =. Twierdzenie. (włsności cłki).. (f(x) ± g(x)) = f(x) = c f(x) + f(x) ± 4. Jeżeli f(x) g(x) dl x [, b], to c g(x) ; Af(x) = A f(x) dl < c < b; f(x) g(x). f(x) ; Twierdzenie. (o istnieniu cłki) Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n [, b] i m n tym przedzile skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzju, to istnieje cłk oznczon Mówimy wtedy, że funkcj f jest cłkowln n [, b]. Wniosek. Funkcj f ciągł n przedzile [, b] jest cłkowln n [, b]. Uwg. Liter, jkiej użyjemy jko zmiennej cłkowni jest nieistotn, bo f(x) = f(s) ds = f(t) dt = Cłk oznczon jest liczbą, cłk nieoznczon zbiorem funkcji. Niemniej te dw pojęci są blisko ze sobą związne. Nstępujące twierdzeni, wyjśnijące ten związek, są podstwowymi twierdzenimi rchunku cłkowego.
Twierdzenie (o cłce ze zmienną górną grnicą) Jeżeli funkcj f jest ciągł n [, b], x to dl kżdego x [, b] istnieje cłk oznczon f(t) dt. Możn więc określić funkcję G(x) = x f(t) dt. Funkcj G(x) jest różniczkowln n [, b] i F (x) = f(x). Nieformlny dowód twierdzeni. Chcemy wykzć, że dl dowolnego x [, b] jest G (x) = f(x), tzn. że G(x + h) G(x) = f(x). h h Gdy f(x) n [, b], to G(x) jest równe polu pod wykresem funkcji f, od do x. Ztem G(x + h) G(x) jest równe polu pod wykresem funkcji f, od x do x + h. Intuicyjnie jest zrozumiłe, że to pole jest równe polu prostokąt o podstwie h i wysokości równej f(z) dl pewnego z [x, x + h]. Wtedy ilorz G(x+h) G(x) h jest równy f(z). Z ciągłości funkcji f wynik, że gdy h, to z x orz f(z) f(x). Tego włśnie chcieliśmy dowieść. Przykłd. Obliczyć G(x), gdy { x dl x [, ] f(x) = + x dl x [, 3] Rozwiąznie. Trktując G(x) jk pole odpowiedniego obszru zuwżmy njpierw, że gdy x [, ], to obszr jest trpezem o podstwch 3 i f(x) = x orz wysokości x+. Ztem G(x) = 3+ x (x + ) = x + x + 4. W szczególności G() = 4. Gdy x [, 3], to obszr jest sumą dwóch trpezów: tego n lewo od osi Oy i trpezu o podstwch i f(x) = + x orz wysokości x. Ztem G(x) = G() + ++x x = x + x + 4. Osttecznie { G(x) = x + x + 4 dl x [, ] x + x + 4 dl x [, 3] Możn sprwdzić (z definicji), że t funkcj jest różniczkowln w zerze. Twierdzenie 4. (Newton-Leibniz) Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n [, b], to f(t) dt = F (b) F (). D o w ó d. Niech G ozncz funkcję pierwotną zdefiniowną wyżej: G(x) = dl dowolnego x [, b] G(x) F (x) = C. Dl x = jest G() =. Ztem C = F (), więc Jeśli terz podstwimy x = b, to G(x) F (x) = F (). x f(t) dt. Wtedy ztem f(t) dt F (b) = F (), f(t) dt = F (b) F (). 3
To kończy dowód. Zmist F (b) F () piszemy F (x) b lub [F (x)] b. 8 Przykłdy.. 3 x ;. 4. (x + 3 x ) ; 3 π ( sin x 3 cos x). 3 +x. Nstępujące twierdzeni ułtwiją oblicznie cłek. Twierdzenie 5. (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli funkcj f(t) jest ciągł n zbiorze wrtości funkcji t = ϕ(x) ciągłej i mjącej ciągłą pochodną w [, β] orz jeżeli ϕ() =, ϕ(β) = b, to Przykłdy... e x +e ; x π/ 9 4 cos x sin x. x ; f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Twierdzenie 6. (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mją w przedzile [, b] ciągłe pochodne, to Przykłdy... xe x ; π π x sin x. ln x ; u(x)v (x) = u(x)v(x) b v(x)u (x).. Zstosownie cłek w geometrii.. Oblicznie pól Pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f(x), z boków odcinkmi prostych x =, x = b wynosi: P = Jeżeli funkcj ogrniczjąc z góry m równni prmetryczne x = x(t), y = y(t), gdzie t β, orz x(t) jest rosnąc i m ciągłą pochodną n [, β] 4
y(t) jest ciągł i nieujemn n [, β] x() =, y(β) = b to: P = y(t)x (t) dt. Jeżeli x(t) jest mlejąc (pozostłe złożeni jk wyżej), to P = y(t) x (t) dt. Jeżeli obszr jest ogrniczony od dołu wykresem funkcji g, od góry wykresem funkcji f, z boków odcinkmi prostych x =, x = b, to wzór n pole uleg modyfikcji i m postć: P = (f(x) g(x)). Uwg. Nie m znczeni, czy wykresy są nd osią Ox, czy nie. Wżne jest jedynie by f(x) g(x) dl dowolnego x [, b]. Przykłdy. Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi:. xy =, y =, x =, x =.. y = 4x + 4, y = x. x + y b = (elips). Wsk. Korzystmy z symetrii elipsy: P = 4 b x. Wrtość cłki uzyskujemy bez liczeni interpretując ją jko pole ćwirtki koł. Możn też obliczć pole posługując się równnimi prmetrycznymi elipsy x = cos t, y = b sin t. 4. x = (t sin t), y = ( cos t), t π, y = (łuk cykloidy). Jeżeli w biegunowym ukłdzie współrzędnych mmy obszr określony nierównościmi: ϕ β, ρ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (tki obszr jest trójkątem krzywoliniowym), to jego pole obliczmy stosując wzór P = ρ (ϕ) dϕ Przykłdy. Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi:. ρ = ϕ dl < ϕ < π ;. ρ = cos ϕ, gdzie > (lemniskt Bernoullego).. Długość łuku Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f(x) dl x b, to stosujemy wzór l = + f (x). () Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. f(x) = ln cos x, x π 4 ;. x /3 + y /3 = /3, gdzie > (steroid). Wsk. Korzystmy z symetrii steroidy i liczymy długość łuku w I ćwirtce płszczyzny. Stosując wzór n pochodną funkcji uwikłnej sprwdzmy njpierw, że + (y ) = /3 x /3. 5
Możn też posłużyć się równnimi prmetrycznymi: x = cos 3 t, y = sin 3 t (ptrz wzór niżej). Jeżeli krzyw jest określon prmetrycznie: x = x(t), y = y(t) dl t β, to wzór jest inny: l = (x (t)) + (y (t)) dt. (3) Wzór (3) jest wżniejszy, bo wzór () jest jego szczególnym przypdkiem, gdy x = t, y = f(t). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. x = (t sin t), y = ( cos t), t π (łuk cykloidy)..x = e t sin t, y = e t cos t, t π W biegunowym ukłdzie współrzędnych, dl krzywej ρ = ρ(ϕ), ϕ β: l = (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ. (4) Również ten wzór jest szczególnym przypdkiem wzoru (3), gdy x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. ρ = sin 3 ϕ 3, ϕ [, 3π];. ρ = sin ϕ, >, ϕ [, π].. Objętość i pole powierzchni brył obrotowych W ukłdzie Oxy rozptrujemy krzywą o równniu y = f(x), x b, i obrcmy ją dokoł osi Ox. Krzyw zkreśl wtedy powierzchnię. Po zmknięciu tej powierzchni płszczyznmi x = i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wynosi: pole powierzchni bocznej S = π V = π f (x), f(x) + (f (x)). W przypdku równń prmetrycznych x = x(t), y = y(t) dl t β, odpowiednie wzory to: S = π V = π y (t) x (t) dt, y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy.. Objętość bryły powstłej przez obrót elipsy x + y b = dokoł osi odciętych.. Objętość bryły powstłej z obrotu jednego łuku cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t π 6
dokoł osi odciętych. Pole powierzchni powstłej przez obrót dokoł osi Ox krzywej y = sin x, x π. Wsk.: zstosowć wzór: x + = ln x + x + + x x + + C 4. Pole powierzchni powstłej przez obrót steroidy x = cos 3 t, y = sin 3 t, > dokoł osi Ox. Zstosowni fizyczne. Drog Jeżeli punkt porusz się po prostej ze zmienną prędkością v = v(t), to drog przebyt w przedzile czsu [t, t ] wynosi s = t t v(t) dt. Przykłd. Prędkość punktu wynosi v =, 6t sek. Jką drogę przebędzie punkt w czsie T = sek począwszy od początku ruchu? Jk jest prędkość średni? Odp. Mmy s = Prędkość średni: v = = m sek.. Prc m, 6t dt = m. Jeżeli zmienn sił F = f(x) dził w kierunku osi Ox, to prc tej siły n przedzile [x, x ] wynosi W = x x Przykłd. Jką prcę nleży wykonć by rozciągnąć sprężynę o 6 cm, jeżeli sił N rozciąg ją o cm? Odp. Zgodnie z prwem Hooke F = kx dl pewnej stłej k. Podstwijąc F = [N] i x =, [m] otrzymujemy k =. Ztem F = x orz W =,6 x =, 8 J. 4. Cłki niewłściwe Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w (, b] i jest nieogrniczon w otoczeniu punktu, to określmy cłkę niewłściwą pierwszego rodzju: f(x) = ε +ε 7
Anlogicznie określmy cłkę z niewłściwością w grnicy górnej: f(x) = ε b ε Jeżeli powyższe grnice istnieją i są skończone, to cłki nzywmy zbieżnymi; w przeciwnym przypdku (tj. gdy grnice nie istnieją lub są niewłściwe) cłki nzywmy rozbieżnymi. Przykłdy.. x = ;. x ln x = ln ; (x ) (rozbieżn). Czsem wystrcz informcj, czy cłk jest zbieżn, czy nie. Możn wtedy zstosowć kryterium porównwcze: Jeżeli f(x) g(x) w (, b) i cłk g(x) jest zbieżn, to f(x) też jest zbieżn. Cłkmi niewłściwymi drugiego rodzju nzywmy cłki po przedzile nieogrniczonym: Przykłdy.. e x = ;. 4. x +x = ln ; sin x jest rozbieżn. x +x+ f(x) = f(x) = f(x) = c b f(x), f(x), f(x) + b c 8