ZASTOSOWANIE STANDARDOWEGO MODELU TOBITOWEGO

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 1 Jerz Marze Akademia Ekonomizna Krakowie ZASTOSOWANIE STANDARDOWEGO MODELU TOBITOWEGO W PROGNOZOWANIU OPÓŹNIENIA W SPŁACIE KREDYTU 1 1. Wsęp Model obiow jes rozszerzeniem modelu dla doomiznej zmiennej endogeniznej. Jego nazwa, wprowadzona przez Arura Goldbergera w 1964 roku, poodzi od Jamesa Tobina, kór w 1958 roku po raz pierwsz w ekonomii zasosował model dla enzurowanej zmiennej endogeniznej. Przegląd szeroki zasosowań modeli obiow przedsawia m.in. MDonald i Moffi [198], Amemia [1984], Greene [1993]. Celem niniejszego opraowania jes zasosowanie modelu obiowego w prognozowaniu wielkośi opóźnienia ze spłaą kredów dealizn. Omówiona jes jego konsrukja i esmaja oraz sposób wnioskowania i prognozowania o badanm zjawisku. W pra są przedsawione mierniki służąe oenie dopasowania modelu obiowego do dan. W zęśi empirznej prezenowane są podsawowe wniki badań, doząe m.in. prognoz okresu ewenualnej zaległośi ze spłaą ra kapiałowo-odsekow w przpadku wbran kredobiorów.. Sandardow model obiow - definija Podsawow model obiow dla dskreno-iągłej zmiennej, kórej warośi są ogranizone od dołu przez, ma posać gd z gd z + ε, z z > dla 1,, T, dla T + 1,, T, (1) gdzie (, ) R k (, + ) są paramerami modelu, jes wekorem-wierszem k zmienn egzogenizn (lub i znanmi funkjami), zaś zmienne losowe ε posiadają niezależne rozkład

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie normalne o zerowej warośi ozekiwanej i nieznanej warianji. W powższej spefikaji, podobnie jak w pozosał modela dla dan jakośiow, z jes zmienną ukrą, kórej realizaje dedują o m, jakie obserwujem warośi zmiennej zależnej. Bez ura ogólnośi, w elu zapewnienia idenfikaji paramerów przjmuje się, że punk uięia (sała warość progowa) jes równ zero ( ), gd w równaniu regresji dla z wsępuje wraz woln (np. 1 1), o zakładam w niniejszej pra. W lieraurze powższ model nosi nazwę sandardowego modelu obiowego. W 1984 roku Amemia szaował, że en model bł wkorzswan aż w 95% badań empirzn opar o modele zmienn enzurowan. 3. Esmaja modelu Z punku widzenia meodologii waro zauważć, że w lieraurze zwkle rozważa się model obiow i jego uogólnienia prz założeniu włąznie rozkładu normalnego dla składnika losowego ε. Wówzas nauralną meodą esmaji jes meoda największej wiargodnośi (MNW). Łązn rozkład wekora obserwaji i zmienn ukr z {z 1,,T } warunkow względem paramerów ma posać p gdzie f N ( a, b) (, z, ) f (, ) ( 1 ) I ( ]( z ) f ( z ) N, N, >, () ζ jes funkją gęsośi rozkładu normalnego zmiennej ζ o warośi ozekiwanej a i warianji b oraz I Ω (ω)1, gd ω Ω i I Ω (ω), jeżeli ω Ω.. Uogólnioną funkję gęsośi rozkładu próbkowego dla dskreno-iągłej zmiennej endogeniznej orzmuje się ałkują gęsość () względem z, orzmują p ( ) ( z ) Pr( ε ) Φ( ), φ( ) dla Pr dla, (3) f N ( ) ( ) >, gdzie φ(a) i Φ(a) oznazają odpowiednio warość funkji gęsośi i dsrbuan sandarzowanej zmiennej o rozkładzie normalnm w punkie a. W efekie funkja wiargodnośi ma posać (, ; ) Φ L φ. (4) > Esmaor MNW, θˆ, uzskuje się poprzez numerzne rozwiązanie, ze względu na i, układu nasępują równań 1 Arkuł powsał w rama badań sauow finansowan przez Akademię Ekonomizną w Krakowie w 5 r.

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ) ( / ' ' / 4 3 1 + > > T T λ λ (5) gdzie T jes lizebnośią zbioru obserwaji enzurowan ( ), zaś ( ) ( ) ( ) a a a Φ φ λ jes funkją azardu lub odwronośią ilorazu Millsa, prz zm dla a sosuje się aproksmaję a a ) ( λ. Rozwiązanie powższego układu równań nieliniow orzmuje się sosują ierajne meod opmalizaji, np. Newona-Rapsona lub Bernda-Halla-Halla- Hausmana; zob. Greene [1993]. Znazą wkład w rozwój ej klas modeli miał Amemia [1973], kór dowiódł m.in., iż esmaor [ ] ˆ ˆ ˆ θ jes esmaorem zgodnm, o asmpoznm rozkładzie normalnm prz założeniu omosedasznośi i braku auokorelaji składnika losowego. Robinson [198] udowodnił, że ΝΜ θˆ zaowuje e własnośi nawe, jeżeli wsępuje auokorelaja składników losow. W lieraurze sosuje się zęśiej nasępująą paramerzaję i 1, kóra prowadzi do logarmu funkji wiargodnośi posai ( ) ( ) ( ) > + Φ + 1.5 ln ln ;, ln T Cons L (6) Wówzas układ równań warunków koniezn na isnienie maksimum funkji wiargodnośi ma posać ( ) ( ) ( ) 1 + > > T λ (7) gdzie λ(a) jes zdefiniowane jak we wzorze (5), zaś T 1 T T. Dla powższej spefikaji Olsen [1978] pokazał, że maierz drugi poodn ząskow (esjan) logarmu wiargodnośi jes globalnie (pół)określon ujemnie. Oznaza o w prake, że jeżeli znajdziem maksimum, o jes o maksimum globalne, wię esmaor θˆ jes określon jednoznaznie. Szzegółowe wzor doząe posai analiznej esjanu i maierz informajnej Fisera dla obu rozważan spefikaji można znaleźć m.in. w praa Amemia [1973] i Gourierou []. O inn meoda esmaji modelu obiowego i jego uogólnienia prz sandardow założenia piszą m.in. Maddala [1983], Amemia [1985] i [1984], Greene [1993] i Gourierou []. Najzęśiej wmienianmi są algorm Faira z inne meod dwusopniowe, kóre oć prossze w użiu, nie W pra Gourierou [] wsępująe błęd w wbran wzora, m.in. na sronie 176-179, w m w formuła 7.5.1.1 i 7.5.1..

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 4 zawsze gwaranują zbieżność lub są obiążone w mał próba. Wdaje się, że w erze szbkiego rozwoju eniki oblizeniowej, MNW jes podsawową i skuezną meodą esmaji modelu (1). 4. Wnioskowanie i predkja na podsawie modelu W modelu obiowm punkem wjśia inerpreaji wników lizbow, zli wnioskowania o badanm zjawisku empirznm, a nasępnie predkji, jes oblizenie bezwarunkowej i warunkowej warośi ozekiwan zmiennej endogeniznej. W sandardowm modelu obiowm warunkowa warość ozekiwana względem obserwaji powżej progu ( >) wraża się wzorem ( ) λ( ) E > +, (8) naomias bezwarunkowa warość ozekiwana ma posać gdzie ( ) Pr ( > ) E( > ) Φ( ) E( > ) E, (9), prz zm E ( > ) > E( ). Wówzas warianja warunkowa i bezwarunkowa zmiennej wnosi V ( > ) E( > ) E( > ) ( 1+ + λ( )) E( > ) ( 1 λ( ) λ( ) ) ( ) E( ) E( ) Φ( ) E( > ) Φ( ) E( > ). (1) V Efek krańowe, kóre określają siłę i kierunek wpłwu jednoskowej zmian ej iągłej zmiennej egzogeniznej na warość zmiennej objaśnianej w przpadku, gd z jes liniową funkją orginaln zmienn egzogenizn, obliza się wg wzorów E E ( > ) λ( ) ( ) 1 ( ) E ( > ) 1 λ( ) λ( ) [ ], (11) Φ. (1) Korzsają z własnośi funkji azardu można pokazać, że [ 1 λ ( ) ( + λ( ))] (,1) oba efek krańowe przjmują warośi mniejsze niż warość bezwzględna, wię. W przpadku skokowej zmiennej egzogeniznej efek krańowe liz się jako różnia międz warośią ozekiwaną zmiennej, daną wzorem (8) albo (9), oblizoną dla 1 i prz usalon warośia pozosał zmienn egzogenizn. Najprosszą modfikają modelu (1) jes przjęie innej posai funkjnej dla zmiennej z, np. w formie wielomianu sopnia drugiego, kór jes lepszą aproksmają nieznanej zależnośi międz

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 5 z a zmiennmi egzogeniznmi niż funkja liniowa. 3 Osiewalski i Marze [4] proponują nazwać aki przpadek modelem II rzędu, jako prose uogólnienie przpadku liniowego, zli modelu I rzędu (model M 1 ). W modelu II rzędu (M ) zmienna z jes wiąż liniową funkją, wię nie ma jakikolwiek komplikaji na eapie esmaji ego modelu, opróz ewenualnej współliniowośi składow wekora. Oba modele różnią się lizbą paramerów, zli wmiarem wekora, kór w modelu M wnosi maksmalnie (1+m)(1+m/) uwzględniają wraz woln, gdzie m oznaza lizbę orginaln zmienn egzogenizn w. Przjmijm wię, że i ( w ) 1 + w + iwwi G,. (13) Zaem w formuła (11) i (1), opisują efek krańowe względem zmienn egzogenizn w, pojawia się zamias parameru wrażenie ( w, ) G w + w + w + i i i< i> iwi. (14) Wówzas efek krańowe względem ej samej zmiennej w mogą posiadać przeiwne znaki dla różn obserwaji, w przeiwieńswie do modelu M 1, w kórm o posiadają idenzn znak jak. Model M 1 jes szzególnm przpadkiem spefikaji M, wię esowanie względem siebie obu modeli sprowadza się do werfikaji ipoez dla każdego oraz i. W zęśi empirznej przedsawiam wniki uzskane na podsawie obu modeli. i 5. Mierniki dopasowania modelu Bogaa lieraura doząa modeli obiow jes poświęona wielu zasosowaniom modeli w prake. Jednakże rudno znaleźć am szerszą dskusję na ema mierników dopasowania modelu do dan empirzn albo oćb kreriów, kórmi powinniśm się kierować prz konsrukji miar. Dskreno-iągł araker zmiennej endogeniznej powoduje, iż konsrukja aki mierników jes rudna. Veall i Zimmermann [1994] dokonali przeglądu ej lieraur zwraają uwagę na ę nierozsrzgnięą kwesię. Zaprezenowali oni dziesięć mierników, zaproponowan wześniej w klasznej lieraurze przedmiou, opar m.in. na modfikaji klasznego współznnika deerminaji R bądź ilorazu wiargodnośi modelu bez resrkji i z resrkjami. Przeprowadzają badania smulajne zbadali i własnośi w zależnośi od udziału obserwaji enzurowan ( ) i lizebnośi prób. W efekie proponują sosowanie 3 Innm kierunkiem rozszerzenia sandardowego modelu jes wprowadzenie rozkładu Sudena, nauralnego uogólnienia rozkładu normalnego, o zaprezenowane zosało w pra Marze [5].

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 6 modfikaji miernika, zaproponowanego wześniej przez MKelvea i Zavoina [1975] w modelu dla doomiznej zmiennej endogeniznej, posai gdzie R T ( zˆ zˆ ) 1 MZ (15) T ( zˆ zˆ ) + T ˆ 1 z ˆ ˆ, ẑ jes średnią armezną dla ẑ. Naomias poddają oni kre mierniki wkorzsująe jednie obserwaje powżej progu ( >), jak np. współznnik korelaji międz warunkową warośią ozekiwaną zmiennej endogeniznej a jej rzezwisą warośią powżej progu (propozja Drmesa z 1986 roku) R D korelaja > ( ) E ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. (16) E, gdzie λ( ) + W przpadku dan jakośiow zęso sosuje się współznnik deerminaji MFaddena posai lnl( ˆ θ ) 1, (17) lnl( ˆ θ ) R MF gdzie lnl(θ ˆ ) jes warośią logarmu wiargodnośi w modelu (1) z zerowmi resrkjami doząmi wszski paramerów opróz 1 ; zob. np. Amemia [1981]. Miernik R MF w przpadku modelu obiowego, w odróżnieniu od modelu doomiznego z wielomianowego dla jakośiowej zmiennej endogeniznej, może przjmować niepoprawne warośi. Może się zdarzć, że ˆ R przjmuje warośi większe niż jeden, gd lnl( θˆ ) jes dodanie i jednoześnie MF lnl(θ ) ujemne. Ponado, badania Vealla i Zimmermanna pokazują małą przdaność współznnika deerminaji MFaddena jako miernika dopasowania oszaowanego modelu obiowego do dan. Z uwagi na e kłopo z konsrukją odpowiedni miar porównawz, ineresująą alernawą jes użie podejśia baesowkiego. Wówzas możliwe jes oblizenie prawdopodobieńswa a poseriori dla każdego z konkurenjn modeli próbkow, o w przpadku dan, w modelu wielomianowego dla kaegorii uporządkowan, przedsawia Marze [6]. 6. Ilusraja empirzna badanie opóźnienia w spłaie kredu Sandardow model obiow zosał wkorzsan do prognozowania opóźnienia w spłaie kredów dealizn, udzielon klienom dealiznm w polskim banku komerjnm. Zbiór dan obejmował 3934 raunków udzielon w okresie od 1.1. r. do 3.9.1 r.

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 7 Dane e zosał wkorzsane w pra Marze [5, 6], a akże zęśiowo w praa Marze [3a,b,,d,e] oraz Osiewalski i Marze [4] w przpadku modeli dwumianow i modelu wielomianowego dla kaegorii uporządkowan. Przjęo, iż zmienna endogenizna reprezenuje wielkość opóźnienia ze spłaą ra kapiałowo odsekow przez kredobiorów, jaki zaobserwowano na 3.9. r. Opóźnienie wrażone w dnia definiujem jako różnię międz daą 3.9. r. a usaloną w armonogramie spła kredu daą osaniej niespłaonej w ałośi ra kapiałowo odsekowej. W przpadku kredów spłaon w ałośi przjęliśm, że opóźnienie wnosi zero. Zaem warość progowa dla zmiennej endogeniznej równa jes zero, prz zm udział obserwaji wnosi 73%. Zbiór poenjaln zmienn egzogenizn wjaśniają rzko pojednzej umow kredowej zawierał (jak we wześniejsz praa) płeć (zmienna przjmuje warość 1, jeżeli klienem jes mężzzna, w przpadku kobie), wiek kredobior (w seka la 4 ), wpłw, zn. wielkość kwaraln wpłwów w laa -1 (w seka s. zł) na raunki pu ROR kredobior w badanm banku, posiadanie raunku ROR w analizowanm banku (1 posiada, nie posiada), informaję o m, z kredobiora posiada kar płanize lub kredowe wdane przez en bank (1 posiada oć jedną karę płanizą, nie posiada), sposób udzielenia kredu (1 poprzez pośrednika kredowego, bezpośrednio przez rozważan bank), p kredu (1 kred konsumpjn, kred ipoezn), okres rwania umow kredowej (w dziesiąka la), kwoa przznanego kredu (w seka s. zł), walua kredu (1 EUR, DEM lub USD, PLN), podsawowe źródło doodu uzskiwanego przez kredobiorę (zmienne zrdo), j. umowa o praę, albo rena lub emerura, albo własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zleenie, albo inne źródło (np. spendium). Osania zmienna egzogenizna, odzwieriedlająa źródło doodu kredobior, ma araker e nominalnej i odzwieriedla zer różne przpadki. Cą ją uwzględnić w równaniu regresji z wrazem wolnm, wprowadzono rz zmienne zerojednkowe, prz zm kaegorią referenjną bła umowa o praę (zrdo1 zrdo zrdo3 ). Jeżeli zrdo1 1, o źródłem doodu kredobior bła rena lub emerura, gd zrdo 1, o źródłem doodu kredobior jes 4 Jednoski iągł zmienn egzogenizn (wiek, wpłw, okres i kwoa kredu) zosał ak dobrane, gdż w modelu M pozwoliło o na eapie esmaji uniknąć problemów numerzn.

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 8 własna działalność, naomias zrdo3 1 oznaza inne źródło doodu. Średni wiek kredobior i kwaralne wpłw na raunek ROR wnoszą odpowiednio 4 la i 8,5 s. zł. Przeięna warość udzielonego kredu kszałuje się na poziomie 1,8 s. zł, zaś okres kredowania wnosi ponad,5 roku. Podsawowe wniki esmaji w posai oen MNW i błęd średnie szaunku dla paramerów podsawowego modelu M przedsawia Tabela 1. Na poziomie isonośi,5 i większm prznajmniej 4% wszski oen paramerów jes sasznie isona, w m prz kwadraa zmienn iągł, jak okres i kwoa kredu. Zasosowane w pra rozszerzenie modelu M 1, polegająe na wprowadzeniu wielomianu sopnia drugiego dla z, jes przedmioem esowania. Warość logarmu wiargodnośi w modelu M wnosi -84356,8, w modelu M 1 z resrkjami ( i ) kszałuje się na poziomie -84731,4, zaś w modelu jednie z wrazem wolnm -9166,5. Warość klasznej saski oparej na ilorazie wiargodnośi (ang. likeliood raio es; LR) dla esu redukji modelu M 1 do M jes wsoka i wnosi ponad 749. 5 Warość saski χ dla 65 sopni swobod i poziomu isonośi,1 wnosi 94,4. Zaem wnik esu LR faworzuje model M, wię zasosowane rozszerzenie w świele posiadan dan bło zasadne. Tabela 1 zawiera warośi mierników dopasowania obu modeli. Współznnik deerminaji MFaddena ( R kwadra współznnika korelaji ( R ) przjmują bardzo niskie i prawie idenzne warośi. D Naomias zmodfikowan współznnik MKelvea i Zavoina różniuje oba modele. W modelu M R MZ jes wsoki i wnosi, 99, naomias w modelu I rzędu kszałuje się na poziomie niższm,51. Oena MNW dla w modelu M wnosi 111977, zaś w M 1 przjmuje warość większą j. 114331. Te wniki akże powierdzają zasadność modelu M. MF ) i Tabela 1. Oen MNW paramerów modelu M. Zmienna Paramer Oena Błąd szaunku Zmienna Paramer Oena Błąd szaunku 1 1-383,57 69,93 w 3 w 1 41 -,459 81,193 Płeć (w 1 ) -,135 59,399 w 3 w 11 4-881,856 4,7 Wiek (w ) 3-367,745 16,189 w 3 w 1 43 5,91 6,941 Wpłw (w 3 ) 4-54,8 87,7 w 3 w 13 44-49,33 87,58 ROR (w 4 ) 5-75,341,514 w 4 w 5 45 5,1 11,183 Kar (w 5 ) 6-178,8 16,647 w 4 w 6 46 11,656 33,174 Pośrednik (w 6 ) 7 51,49 3,131 w 4 w 8 47-147,567 55,764 Tp kredu (w 7 ) 8-3,13 53,865 w 4 w 9 48 1,98 7,36 Okres (w 8 ) 9 7,65 14,519 w 4 w 1 49 3,14 13,391 5 LR [lnl(θ R ) lnl(θ )], gdzie lnl(θ R ) jes warośią logarmu wiargodnośi dla modelu z resrkjami. Jeżeli T saska LR ma rozkład χ o lizbie sopni swobod równej lizbie resrkji, zob. np. Greene [1993].

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 9 Zmienna Paramer Oena Błąd szaunku Zmienna Paramer Oena Błąd szaunku Kwoa (w 9 ) 1 49,77 14,861 w 4 w 11 5-4,88 35,171 Walua (w 1 ) 11-95,863 17,131 w 4 w 1 51 -,714 4,91 Zrdo1 (w 11 ) 1 14,477 54,81 w 4 w 13 5-154,89 86,591 Zrdo (w 1 ) 13 76,637 15,999 w 5 w 6 53 66,37 35,889 Zrdo3 (w 13 ) 14 54,71 116,837 w 5 w 8 54 34,579 38,965 w 1 w 15-75,61 48,616 w 5 w 9 55 -,66 4,87 w 1 w 3 16-59,61 59,141 w 5 w 1 56 4,717 59,85 w 1 w 4 17 3,69 1,8 w 5 w 11 57 35,45 36,383 w 1 w 5 18,46 18,4 w 5 w 1 58 35,71 8,4 w 1 w 6 19-4,65 18,9 w 5 w 13 59 87,364 56,476 w 1 w 7 73,77 51,791 w 6 w 8 6-56,891 58,3 w 1 w 8 1-68,7 3,493 w 6 w 9 61 9,88 114,74 w 1 w 9 37,48 4,449 w 6 w 11 6-9,795 7,431 w 1 w 1 3 8,61 63,48 w 6 w 1 63-134,184 38,44 w 1 w 11 4-37,77 16,395 w 6 w 13 64-113,67 88,58 w 1 w 1 5-56,586 3,497 w 7 w 8 65 344,16 83,67 w 1 w 13 6-71,739 43,135 w 7 w 9 66 8,437 77,98 (w ) 7 4,64 189,668 w 7 w 1 67-17,115 79,78 w w 5 8 164,63 79,896 (w 8 ) 68-11,577 37,813 w w 6 9 57,618 63,665 w 8 w 9 69-159,77 41,79 w w 8 3 576,76 147,16 w 8 w 1 7 145,94 8,313 w w 9 31 18,31 19,41 w 8 w 11 71 7,115 5,11 w w 1 3-79,395 6,71 w 8 w 1 7 19,5 49,55 w w 11 33-54,595 9,133 w 8 w 13 73-591,73 89,448 w w 1 34-68,51 113,51 (w 9 ) 74-55,39 7,75 w w 13 35 354,1 6,866 w 9 w 1 75 89,14 68,49 (w 3 ) 36 9,314 9,197 w 9 w 11 76 14,88 78,554 w 3 w 5 37 68,887 7,681 w 9 w 1 77-11,84 41,789 w 3 w 6 38-1,78 499,4 w 9 w 13 78 799,839 115,16 w 3 w 8 39 54,18 56,87 w 1 w 1 79-39,91 78,84 w 3 w 9 4-4,631 6,38 111977 1793 Źródło oblizenia własne. Tabela. Warośi wbran wskaźników dopasowania modelu. Miernik / Model M 1 Μ R MZ,55,996 R,395,398 D R MF,75,79 Źródło oblizenia własne.

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 1 Prakznm sposobem wkorzsania modelu obiowego jes prognozowanie opóźnienia spła kredu dla wbran klienów. Rozważm zer ipoezne slweki kredobiorów dwó o ea najzęssz (doz zmienn jakośiow) lub przeięn (dla zmienn iągł) w badanej zbiorowośi, różnią się jednie sposobem udzielenia kredu konsumpjnego oraz dwó inn o ea ak przeiwsawnie skonsruowan, że arakerzują się oni najmniejszm i największm rzkiem kredowm. 6 W modelu M, w przpadku powego kredobior udzielenie mu kredu poprzez pośrednika zamias bezpośrednio przez bank skukuje wzrosem ozekiwanego opóźnienia z 19 do 96 dni, zli o rz miesiąe. Jeżeli pojawiłb się jakiekolwiek problem ze spłaą kredu ( > ), a kred zosał udzielon bezpośrednio w banku, o opóźnienie wniesie aż 163 (5,5 miesię). Opóźnienie wdłuż się o kolejne 66 dni ( miesiąe) i przekroz 7,5 miesiąa, gd kred sprzedan zosanie z pomoą pośrednika. W przpadku młod, -leni klienów prowadzą własną działalność gospodarzą, kórz zaiągają kred konsumpjn nie posiadają kar płaniz ani raunku ROR w badanm banku, spodziewane opóźnienie spła kredu wnosi 19 dni, a w suaji, gd pojawiają się problem z jego spłaą ( > ) wzrasa do 37 dni (ponad 1 miesię). Najmniejszm rzkiem arakerzuje się sześćdziesięiolenia klienka banku, urzmująa się z emerur i korzsająa z szerokiej ofer produków banku, kóra spłaa kred ipoezn. Azkolwiek w suaji, gd zarówno ona jak i pow kredobiora spłaają nieregularnie ra kredowo-odsekowe, spodziewam się średnio 5 miesięznego opóźnienia ze spłaą, o powoduje, że bank jes zobowiązan do worzenia 5% rezerw od kwo należnośi przeerminowan pomniejszon o zabezpiezenia. Prz opóźnieniu powżej 6 miesię rezerwa elowa wnosi 1%. Oba modele zgodnie prognozują skalę rzka kredowego wbran zere klienów. Możliwość prognozowania opóźnienia spła kredu, a m samm określenia ewenualn koszów uraon korzśi (związan z rezerwami elowmi), daje przewagę modelom obiowm nad modelami dla doomiznej zmiennej endogeniznej, kóre są zęso sosowane w ego pu analiza. Tabela 3. E( >) i E( ) w przpadku wbran kredobiorów (błęd średnie szaunku w nawiasa). Model M 1 Μ Kredobiora E( >) E( ) E( >) E( ) Tpow (pośrednik 1) 56 116 39 96 Tpow (pośrednik ) 153 1 163 19 Młod biznesmen 363 66 37 19 Sarsza pani 15 3 141 7 Źródło oblizenia własne. 6 Szzegółowa arakerska ipoezn kredobiorów przedsawiona zosała w inn praa, zob. Marze [3,e] oraz Osiewalski i Marze [4].

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 11 Nasępna abela 3 prezenuje oszaowane dla zere kredobiorów warośi efeków krańow. W przpadku powego kredobior, wpłw poenjaln znników na opóźnienie ze spłaą kredu, z wjąkiem zmiennej pośrednik, jes niewielki. Naomias w przpadku młodego przedsiębior zaproponowane deerminan posiadają o wiele większ wpłw. Wzros jego kwaraln wpłwów na ROR o sią zło zmniejsza opóźnienie średnio o 1-14 dni. W ipoeznm przpadku, gdb udzielono mu kred w waluie obej (np. kred ipoezn zamias konsumpjn), o ewenualne opóźnienie w spłaie obniż się o o najmniej 153 dni (5 miesię). Udzielenie kredu na okres o 1 rok dłuższ zmniejsza poenjalne opóźnienie o 11-16 dni. Podsumowują, spośród poenjaln znników wpłwają na wzros wielkośi opóźnienia w spłaie kredu, dedują wpłw posiadają przede wszskim udzielenie kredu poprzez pośrednika zamias bezpośrednio w banku, niewielki poziom wpłwów na raunek ROR, udzielenie kredu konsumpjnego zamias ipoeznego, zaś w mniejszm sopniu młod wiek kredobior bądź króki okres kredowania. Tabela 4. Efek krańowe dla E( >) i E( ) w przpadku wbran kredobiorów w modelu M. Kredobiora Tpow (pośrednik 1) Tpow (pośrednik ) Młod biznesmen Sarsza pani Zmienna E( ) E( >) E( ) E( >) E( ) E( >) E( ) E( >) Płeć 13 1 6 1-4 -16 - -6 Wiek w seka la -48-38 - -31-1 -86-14 -36 Wpłw w seka s. zł -14-781 -54-83 -145-987 -68-18 ROR 15 1-1 -13 1 9-3 -8 Kar 18 13-3 -4-8 -5 1 Pośrednik 78 76 78 76 114 84 18 17 Tp Kredu 53 46 13 6 36 6 7 14 Okres kredu w dziesiąka la 153 119 43 67 165 116 7 7 Kwoa kredu w seka s. zł 8 8 1 14 1 13 35 Walua -51-44 -1-5 -176-153 -7-41 Źródło oblizenia własne. 7. Podsumowanie W niniejszm opraowaniu przedsawiono spefikaję, esmaję, wnioskowanie i prognozowanie na podsawie sandardowego modelu obiowego. Klaszn es ilorazu wiargodnośi wraźnie wskazują, iż prose uogólnienie, poprzez aproksmaję w posai wielomianu drugiego sopnia dla z, w przpadku posiadan dan empirzn bło uzasadnione. Z punku widzenia zarządzania rzkiem pojednzego kredu przedsawiono prognoz opóźnienia spła kredu oraz informaje o spodziewanej sile i kierunku oddziałwania wbran znników egzogenizn na wielkość opóźnienia w przpadku wbran

Jerz Marze, Kaedra Ekonomerii i Badań Operajn, Uniwerse Ekonomizn w Krakowie 1 kredobiorów. Uzskane wniki niosą nową informaję o rzku kredowm w sosunku do rezulaów uzskan na podsawie modeli dla doomiznej lub wielomianowej zmiennej endogeniznej, kóre auor rozważał we wześniejsz praa. Lieraura Amemia T. [1973], Regression Analsis wen e Dependen Variable is Trunaed Normal, Eonomeria, vol. 41, nr 6, s. 997-116. Amemia T. [1981], Qualiaive Response Models A Surve, Journal of Eonomi Lieraure, vol.19, s. 1483-1536. Amemia T. [1984], Tobi models A surve, Journal of Eonomeris, vol.4, 3-61. Amemia T. [1985], Advaned Eonomeris, Harvard Universi Press, Cambridge (Massauses). Arabmazar A., P. Simd [1981], Furer Evidene on e Robusness of e Tobi Esimaor o Heerosedasii, Journal of Eonomeris, 17, s. 53-58. Arabmazar A., P. Smid [198], An Invesigaion of e Robusness of e Tobi Esimaor o Non-Normali, Eonomeria, vol. 5, nr 4, s. 155-163. Goldberger A. S. [1983], Abnormal Seleion Bias, [in] S. Karlin, T. Amemia, L. Goodman, Sudies in Eonomeris, Time Series, and Mulivariae Saisis, s. 67-84, New York, Aademi Press. Gourierou C. [], Eonomeris of Qualiaive Dependen Variables, Cambridge Universi Press, Cambridge. Greene W.H. [1993], Eonomeri Analsis, Mamillan Publising Compan, New York. Hurd. M. [1979], Esimaion in Trunaed Samples Wen Tere is Heerosedasii, Journal of Eonomeris, 11, s. 47-58. Maddala G.S. [1983], Limied Dependen and Qualiaive Variables in Eonomeris, Cambridge Universi Press, Cambridge. Marze J. [3a], Badanie niewpłaalnośi kredobior na podsawie modeli logiow i probiow, Zesz Naukowe Akademii Ekonomiznej w Krakowie, Kraków, nr 68, s. 13-117. Marze J., [3b], Badanie niespłaalnośi kredów za pomoą baesowski modeli doomizn - założenia i wniki, Meod ilośiowe w nauka ekonomizn (red. A. Welfe), Wdawniwo SGH w Warszawie, s. 73-86. Marze J., [3], Baesowska analiza modeli dskrenego wboru (dwumianow), Przegląd Saszn. 5, s. 19-146. Marze, [3d], Modele wielomianowe dla kaegorii uporządkowan w badaniu niespłaalnośi kredów konsumpjn, w Prognozowanie w zarządzaniu firmą (red. P. Dimann), Prae Naukowe AE we Wroławiu nr 11, s.143-15. Marze J., [3e], Baesowska analiza wielomianowego modelu probiowego dla kaegorii uporządkowan, Folia Oeonomia Craoviensia, vol. 43-44. s. 63-8. Marze J. [5], Baesowski model obiow z rozkładem Sudena w analizie niespłaalnośi kredów, Meod ilośiowe w nauka ekonomizn (red. A. Welfe), Wdawniwo SGH w Warszawie, s. 147-164. Marze J. [6], Baesowski model wielomianow z rozkładem Sudena dla kaegorii uporządkowan, Meod ilośiowe w nauka ekonomizn (red. A. Welfe), Wdawniwo SGH w Warszawie, w druku. MKelve R.D., W. Zavoina [1975], A Saisial Model for e Analsis of Ordinar Level Dependen Variables, Journal of Maemaial Soiolog, 4, s. 13-1. MDonald J.F., R. A. Moffi [198], Te Uses of Tobi Analsis, Te Review of Eonomis and Saisi, vol. 6, s. 318-31. Olsen R. J. [1978], Noe on e Uniqueness of e Maimum Likeliood Esimaor for e Tobi Model, Eonomeria, vol. 46, nr 5, s. 111-19. Osiewalski J., J. Marze [4], Uogólnienie doomiznego modelu probiowego z wkorzsaniem skośnego rozkładu Sudena, Przegląd Saszn,. 51, s. 13-4. Tobin J. [1958], Esimaion of Relaionsips for Limied Dependen Variables, Eonomeria, vol. 6, nr 1, s. 4-36. Veall M.R, K.F. Zimmerman [1994], Goodness of Fi Measures in e Tobi Model, Oford Bullein of Eonomis and Saisis, vol. 56, nr 4, s. 485-499.