Krzysztof Piontek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie warunkowej kurtozy oraz skośności w finansowych szeregach czasowych

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 5 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Modelowanie warunkowej kurozy oraz skośności w finansowych szeregach czasowych 1. Wsęp Z każdym rokiem rośnie liczba propozycji nowych rozwiązań w zakresie modelowania finansowych szeregów czasowych. Kolejnym obszarem, kóry zwrócił uwagę naukowców i prakyków jes zagadnienie opisu zmiennych w czasie wyższych od drugiego momenów warunkowego rozkładu sóp zwrou. Rozwiązania e są zazwyczaj nauralnym uogólnieniem modeli klasy ARMA oraz ARCH i znajdują zasosowanie w analizie porfelowej, wycenie opcji, pomiarze ryzyka np. meodą VaR, czy w procedurach zabezpieczania porfela. Niniejsza praca jes rozszerzeniem doychczasowych prac auora 1. Jej celem jes prezenacja możliwych rozwiązań w zakresie modelowania zmiennej w czasie skośności oraz przede wszyskim kurozy warunkowego rozkładu sóp zwrou, a akże odpowiedź na pyanie, czy wprowadzenie do modelu zmiennego w czasie parameru odpowiedzialnego za kurozę w sposób isony wpływa na jakość opisu szeregów sóp zwrou z rynku polskiego. W niniejszej pracy jako warunkowy rozkład sóp zwrou, do kórego wprowadzono zmienny w czasie paramer, przyjęo rozkład Pearsona ypu IV.. Podejście sandardowe model AR-GARCH Sandardowy model w czasie dyskrenym opisujący szereg prosych sóp zwrou dany jes nasępującym równaniem: 1 Por. Pionek (4), Pionek (5a), Pionek (5b)

2 11 gdzie: X X r = = µ + ε = µ + hz, (1) 1 X 1 X - cena w chwili, µ - warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou E r I ), h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili w chwili ( µ [ 1 ] ( var [ ] = h = r I ), z - niezależne, sandaryzowane, warunkowe reszy modelu ( z = iid D(,1) ), I - informacja dosępna w chwili -1. W dalszej części pracy przyjęo: w zakresie opisu warunkowej warości oczekiwanej proces AR(1): µ µ φr = +, φ < 1, () w zakresie opisu warunkowej wariancji proces GARCH(1,1): h = ω+ αε 1+ βh 1, (3) ω >, α, β, α + β < 1. W modelu warunkowej wariancji zrezygnowano z możliwości opisu efeku dźwigni, ze względu na znaczne skomplikowanie procedury esymacji paramerów przy konieczności spełnienia warunku zapewniającego skończoność bezwarunkowej wariancji w przypadku skośnych rozkładów resz 3 (w szczególności ze zmiennymi paramerami) W podsawowej wersji zaproponowanej przez Engle a i Bollersleva modele heeroskedasyczne cechowały się normalnym warunkowym rozkładem składnika losowego. Kolejne propozycje, uznawane już w chwili obecnej również za sandard, wykorzysują uogólniony rozkład błędu (General Error Disribuion, GED) oraz rozkład -Sudena, kóre co prawda są symeryczne, ale umożliwiają opis grubszych ogonów niż dla rozkładu normalnego.. Skośne rozkłady warunkowe - Rozkład Pearsona ypu IV Kolejnym krokiem była propozycja wykorzysania odpowiednich rozkładów umożliwiających opis ewenualnej skośności oraz grubych ogonów w warunkowym rozkładzie resz modelu. Ogólnie wyróżnić można dwie podsawowe grupy rozwiązań: wykorzysanie pewnych skośnych rozkładów (np. Pearsona ypu IV czy hiperbolicznego) oraz rozkładów powsałych przez wprowadzenie efeku skośności do dowolnego rozkładu symerycznego poprzez przekszałcenie posaci rozkładu na lewo i prawo od dominany 4. W ym drugim podejściu jako rozkład bazowy wykorzysuje się zazwyczaj symeryczny rozkład -Sudena. Podejście o Por. Bollerslev, Engel, Nelson (1994), Pionek (4). 3 Por. Pionek (5b). 4 Por. Bond (1), Hansen (1994), Pionek (5a), Dark (5).

3 Modelowanie warunkowej kurozy i skośności prowadzi do uzyskania zw. skośnych rozkładów Sudena z paramerami odpowiedzialnymi za grubość ogonów oraz za skośność. W zakresie pierwszego rozwiązania, uwagę badaczy skupił rozkład Pearsona ypu IV. Rozkład en cechuje szereg pozyywnych własności: posiada wpros paramer odpowiedzialny za skośność, jes sandaryzowalny oraz zawiera w sobie zarówno rozkład -Sudena, jak i normalny. Rozkład Pearsona ypu IV opisywany jes nasępującą posacią funkcji gęsości 5 : q x x f( x; a, q, δ) = cons 1 + exp δ arcg a a, (4) cons = iδ Γ q Γ( q) π aγ( q,5) Γ ( q), (5) gdzie Γ o ( ) funkcja gamma, a i o jednoska urojona. Podsawowe saysyki opisowe rozkładu Pearsona ypu IV dane są poniżej: średnia rozkładu: δ a m =, dla d >, (6) d odchylenie sandardowe: a s = d skośność: d + δ d 1, dla d >1, (7) 4δ d 1 sk =, dla d >, (8) d d δ kuroza: ( d ) ( d + )( d + δ ) ( d )( d 3)( d + δ ) δ k =, dla d > 3, (9) gdzie d = ( q). (1) Paramerem δ deerminuje skośność rozkładu i obok parameru d wpływa na wszyskie pozosałe saysyki (por. wzory (6)- (1)). 5 Por. Heinrich (4), Premarane, Bera (1).

4 114 Rozkład Pearsona ypu IV dany wzorami (4) i (5) nie posiada w ogólności zerowej średniej i jednoskowej wariancji. Niezbędna saje się procedura sandaryzacji według wzoru: q + s z m s z+ m f ( z) = k s 1+ exp δ arcg a, (11) a gdzie m i s zadane są wzorami (6) i (7). Posać sandaryzowanego rozkładu Pearsona ypu IV znaleźć można np. w f z akiego rozkładu nie zależy już od pracy Pionka z 4 roku. Gęsość ( ) parameru a. Dodakowo, gdy δ = wzór (11) upraszcza się do posaci sandaryzowanego rozkładu -Sudena. 3. Model AR-GARCH-P4 ze zmiennymi paramerami warunkowej kurozy i skośności W pracy Pionka z 4 r., prezenującej wykorzysanie warunkowego rozkładu Pearsona ypu IV do opisu własności finansowych szeregów sóp zwrou z rynku polskiego, zasosowano model ze sałymi w czasie paramerami δ oraz q. Nic nie soi jednak na przeszkodzie, bo model aki uogólnić w aki sposób, by paramery δ oraz q zmieniały się zgodnie z jakimś założonym procesem. Jako pierwszy podejście akie zasosował Hansen w pracy z 1994 roku w odniesieniu do skośnego rozkładu -Sudena 6. Analogicznie można rozszerzyć model opary na warunkowym rozkładzie Pearsona ypu IV. W podejściu akim zakłada się, że paramery warunkowego rozkładu (δ i q) zależą od łącznej miary napływającej informacji, z kórą uożsamia się reszę modelu ε. W dalszej części pracy, e zmienne w czasie paramery oznaczane będą poprzez δ oraz q. Wprowadzenie zmiennych paramerów δ oraz q skukuje poprzez sk ) oraz kurozą ( ). wzory (8) i (9) zmienną w czasie skośnością ( W lieraurze znaleźć można dwa konkurencyjne podejścia. W pierwszym 7 - odpowiednimi, sosunkowo prosymi, co do posaci, procesami modelowane są paramery δ oraz q, co implikuje skomplikowane zależności w procesach sk i k. Dodakowo, w ramach ego podejścia, by zagwaranować spełnienie ograniczeń narzuconych na paramery δ i q (np. q >1 dla rozkładu Pearsona) oraz uniknąć problemów numerycznych (np. dla dużych warości paramerów por. wzór (5)) sosuje się zazwyczaj przekszałcenie opare na funkcji logisycznej: k 6 Por. Hansen (1994), Dark (5). 7 Por. Hansen (1994), Jondeau, Rockinger (), Premarane, Bera (1).

5 Modelowanie warunkowej kurozy i skośności U L y = L+ 1+ exp a y * ( b), (1) gdzie: U i L o górna i dolna granica zmiennej po przekszałceniu, a i b o paramery określające kszał funkcji. Odpowiedniemu modelowaniu podlegają więc zmienne δ * i, kóre po przekszałceniu za pomocą ransformacji danej wzorem (1), już jako δ i rafiają do wzorów (4)-(11). Ze względu na sosunkowo niewielką liczbę badań, brak jes jeszcze wypracowanego sandardu co do posaci procesów opisujących zmiany paramerów, kóry zapewniałby zazwyczaj najlepsze dopasowanie modelu do danych. Najczęściej modele * * zmian paramerów δ i zawierają się w nasępujących równaniach: q δ = γ + γ ε + γ ε + γ δ, (13) q γ γ ε γ ε γ q. (14) * ' ' ' ' * * * = Pojawiają się jednak również propozycje, w kórych resza modelu ( ε ) zasąpiona jes w równaniach (13) i (14) przez sandaryzowaną reszę ( ) * q 1 q z 8. Wzory (13) i (14) nie wyczerpują kaalogu możliwości. W pracy Premarane i Bery pojawia się nasępująca poencjalna propozycja odnośnie paramerów rozkładu Pearsona IV, kóra jednak nie zosaje poddana badaniu empirycznemu: ε δ = γ + γ + γ δ q * ' ' 1 ' * 1 1 h 1 ε * * = γ + γ + γq h 1 3 4, (15). (16) Drugim sosowanym rozwiązaniem jes modelowanie odpowiednim procesem zmiennych w czasie warości k isk, a nasępnie z układu zazwyczaj skomplikowanych równań nieliniowych (por. wzory (8) i (9)) wyznaczanie paramerów δ i q. Także w ym przypadku nie można mówić o jakiś sandardowych rozwiązaniach. Przykładowo Harley i Siddique zaproponowali proces dla zmian warunkowej skośności dany wzorem (17), a Brookes, Burke i Persand proces warunkowej kurozy zadany poprzez równanie (18): s = γ + γ ε + γ s, (17) k ε = γ + γ + γ h 1 k. (18) 8 Por. Dark (5).

6 116 W jednym i drugim podejściu modelowane mogą być jednocześnie oba paramery rozkładu δ i q lub ylko jeden, przy założeniu, że drugi pozosaje sały w czasie. Ponieważ każde kolejne równanie dość znacznie komplikuje zagadnienie, zazwyczaj zakłada się sałość w czasie parameru δ = δ, a skupia się uwagę na opisie zmian parameru q zakładając, iż modelowanie zmiennej kurozy jes isoniejsze od modelowania skośności. O ile ylko δ, o zmienny w czasie paramer q będzie implikował akże zmienną skośność rozkładu warunkowego. Esymacji paramerów modelu dokonuje się najczęściej meodą największej wiarygodności. W przykładzie empirycznym, wykorzysane zosanie podejście pierwsze, w kórym paramer δ jes sały w czasie. 4. Przykład empiryczny Celem przykładu empirycznego jes analiza możliwości wykorzysania modeli klasy AR-GARCH dopuszczających zmienną warunkową kurozę rozkładu Pearsona ypu IV do poprawy jakości opisu wybranych szeregów sóp zwrou z rynku polskiego. Prezenowane badania mają jedynie charaker ilusracyjny i zosaną pogłębione przez auora w dalszych badaniach. Próbę do badań sanowiły szeregi prosych, dziennych sóp zwrou (liczonych według cen zamknięcia rynku w kolejnych dniach sesyjnych) z nasępujących insrumenów (spółek, indeksów, walu): Almamarke, Dębica, INGBSK, Kable, Żywiec, WIG, DJIA, EUR, GBP, USD. Wybór analizowanych insrumenów był subiekywny i opierał się na długości szeregów czasowych. Tabela 1 prezenuje między innymi daę odpowiadającą począkowi szeregu oraz liczbę obserwacji. Daą końca szeregu był we wszyskich przypadkach dzień roku. Esymacji paramerów analizowanych procesów dokonano za pomocą auorskich procedur napisanych w środowisku MATLAB 6.. Wobec braku zgodności co do posaci procesu, jaki powinien opisywać * zmiany parameru, analizie poddano 4 przykładowe modele: q * * q * * = q * 4 * = γ + γ1 1+ γ 1+ γ3q * 4 * = q model A: q = γ + γ z + γ z + γ, (19) model B: q γ γ ε γ ε γ, () model C: q z z, (1) model D: q γ γ ε γ ε γ. () Przyjęo nasępujące warości paramerów funkcji ograniczającej (por. wzór (1)): L=1,55; U=; a=,4 oraz b=9. Do porównywania modeli zasosowano kryerium informacyjne Akaike a:

7 Modelowanie warunkowej kurozy i skośności LLF (liczba paramerów modelu) = +. liczba obserwacji Tabela 1. prezenuje warości kryerium dla poszczególnych modeli (bez resrykcji nałożonych na paramery γ, γ 1, γ, γ 3, δ - łącznie 1 paramerów) i spółek. Dla uławienia analizy, obok warości kryerium przedsawiono również kolejność 9 modeli dla poszczególnych spółek. Ze względu na subiekywny wybór szeregów czasowych oraz ich ograniczoną liczbę, możliwe jes jedynie wysnucie pewnych osrożnych wniosków. Żaden z wybranych modeli (A-D) nie uzyskuje jednoznacznej przewagi nad pozosałymi. Poencjalnie lepsze wydają się być modele A i B, co wynikać może z faku, iż modele e dopuszczają asymerię wpływu pozyywnych i negaywnych informacji (składniki γ1z oraz γ1ε ) na warość kurozy rozkładu warunkowego w dniu kolejnym. Hipoeza a wymaga jednak dokładniejszych badań w celu pełnej weryfikacji. Model D wydaje się być modelem najgorszym, choć i on uzyskał najwyższą ocenę w 1 przypadku. Każdorazowo niezbędna jes więc analiza różnych możliwych posaci modelu procesu parameru odpowiedzialnego za kurozę warunkowego rozkładu. Tabela 1. Warości kryerium dla modeli bez resrykcji insrumen daa począk. liczba obserw. model A model B model C model D Almamar Dębica INGBSK Kable Żywiec WIG DJIA EUR GBP USD Źródło: obliczenia własne. Do dalszej analizy wybrano 4 insrumeny, dla kórych najlepszymi okazały się poszczególne modele A-D. Dla każdego z modeli (A-D) wprowadzono nasępnie szereg przykładowych możliwych resrykcji, co prowadzi do uzyskania w ramach ych podejść modeli od 1 do1. Modele e nie wyczerpują oczywiście wszyskich możliwych kombinacji resrykcji. Tabela. prezenuje poszczególne resrykcje nałożone na modele ogólne oraz warości kryerium. Warość w kolumnie resrykcje oznacza, że dany paramer był esymowany, a 1, że warość danego parameru usalona jes na zero. Zaznaczone zosały modele najlepsze z punku widzenia kryerium. 9 1 oznacza model najlepszy z punku widzenia kryerium, a 4 model najgorszy.

8 118 W rzech przypadkach (GBP, DJIA, INGBSK) dopuszczenie skośności rozkładu warunkowego w sposób isony poprawia paramery modeli. Dla spółki ALMAMARKET wprowadzenie skośności nie poprawia modelu. W przypadku akura GBP oraz ALMAMARKET nie obserwuje się by uwzględnienie asymerii wpływu informacji na kurozę w dniu kolejnym poprawiało jakość modelu (modele A i B). Dla wszyskich przypadków włączenie czynników z lub ε poprawiało 4 isonie model. W przypadku z oraz ε wnioski nie są już ak jednoznaczne. Osaecznie, co najważniejsze punku widzenia niniejszej pracy, w każdym przypadku dopuszczenie zmiennej w czasie kurozy warunkowego rozkładu poprawiało jakość modelu z punku widzenia kryerium. Tabela. Warości kryerium dla wybranych modeli z resrykcjami model Resrykcje γ γ 1 γ γ 3 δ liczba param. 4 GBP ALMA 1 DJIA 1 INGBSK model A model B model C model D Źródło: obliczenia własne. 5. Podsumowanie Choć wyniki prezenowanych badań w zakresie wykorzysania modeli ze zmienną kurozą warunkowego rozkładu resz są zachęcające, należy jednak być osrożnym w formułowaniu zby daleko idących wniosków. Po pierwsze, przebadana próbka jes niezby wielka, 1 insrumenów, co nie uprawnia raczej do wydawania kaegorycznych sądów. Pamięać należy, że zmienny paramer q implikuje nie ylko zmienną kurozę lecz akże skośność. Niemniej możliwe jes dalsze komplikowanie modelu, w zakresie zmiennego w czasie parameru δ odpowiedzialnego za skośność.

9 Modelowanie warunkowej kurozy i skośności Waro zaznaczyć również, że wykorzysany w pracy rozkład Pearsona ypu IV nie jes jedynym możliwym rozwiązaniem. Przyszłe badania rozszerzone zosaną o wyniki dla innych rozkładów. Odpowiedź na pyanie, czy komplikowanie sandardowej posaci modelu (wprowadzenie zmiennego w czasie parameru q i być może δ, zapewniające isonie lepszy opis własności modeli szeregów sóp zwrou z punku widzenia esów ekonomerycznych) skukuje (średnio) wymierną poprawą wyników ekonomicznych, sanowić będzie dalszy obszar zaineresowań auora. Uzyskane wyniki i wnioski mogą być przydane w prognozowaniu zmienności, wycenie opcji, czy pomiarze ryzyka meodą Value a Risk. Lieraura Bollerslev, T., Engle, R., Nelson, D. (1994), ARCH models, [w:] Engle, MacFadden, Handbook of economerics, Norh-Holland, Amserdam. Bond, S., (1), A review of asymmeric condiional densiy funcions in auoregressive condiional heeroscedasiciy models, [w:] Knigh, J., Sachell, S., Reurn disribuions in finance, Buerworh-Heinemann, Oxford. Brooks, C., Burke, S., Persand, G., (), Auoregressive Condiional Kurosis, ISMA Cenre, Business Scholl for Financial Markes, Dark, J., (5), Modelling he Condiional Densiy using a Hyperbolic Asymmeric Power ARCH model, Deparmen of Economerics and Business Saisics, Monash Universiy, Ausralia, Hansen, B., (1994), Auoregressive condiional densiy esimaion, Inernaional Economic Review, vol. 35, no. 3, Harvey, C., Siddique, A., (1999), Auoregressive Condiional Skewness, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, vol. 34, s Heinrich, J., (4), A Guide o he Pearson Type IV Disribuion, Universiy of Pennsyl-vania, www-cdf.fnal.gov/publicaions/cdf68_pearson4.pdf. Jondeau, E., Rockinger, M. (), Condiional Volailiy, Skewness and Kurosis: Exisence and Persisence, Banque de France, Pionek, K., (4), Zasosowanie modeli klasy ARCH do opisu własności szeregu sóp zwrou indeksu WIG, Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 11, EKONOME- TRIA, 14, Wrocław, Pionek, K., (5a), Modelowanie własności szeregów sóp zwrou skośność rozkładów, Ekonomeria, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, (w druku). Pionek, K., (5b), Pomiar i modelowanie skośności rozkładów sop zwrou - rozkład Pearsona ypu IV, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, TAKSONOMIA 1 (w druku). Premarane, G., Bera, A. (1), Modelling Asymmery and Excess Kurosis in Sock Reurn Daa, Universiy of Illinois, papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?absrac_id=599.