Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona na ryzyko, Value a Risk, VaR w chwili jes o aka sraa warości rynkowej porfela, że prawdopodobieńswo osiągnięcia jej lub przekroczenia w rozparywanym okresie (, równe jes zadanemu poziomowi olerancji (por. [6],[9]. Powyższą definicję można zapisać w nasępujący sposób: P ( W W VaR = q, ( gdzie: W - obecna warość porfela insrumenów, W - warość porfela na końcu analizowanego okresu, q - ak zwany poziom olerancji VaR. Nie zakładając warości porfela W, powyższą zależność można zapisać wykorzysując pojęcie sopy zwrou (por. [9] ( r : ( r, P r F q = q, ( co oznacza, że prawdopodobieńswo, że sopa zwrou z porfela w danym horyzoncie czasu nie przekroczy warości równej odpowiedniemu F q, wynosi q. kwanylowi rozkładu sóp zwrou r, W dalszej części pracy miara VaR analizowana będzie w konekście sóp zwrou jako odpowiedni kwanyl rozkładu, co oznaczane jes jako: VaR q = F q. (3 r, r, Definicja zapisana wzorem ( czy ( w żaden sposób nie precyzuje jak należy ową warość zagrożoną wyznaczyć. Prowadzi o mnogości możliwych podejść. Do najbardziej popularnych zalicza się: meodę hisoryczną, meodę symulacji, meodę wariancji-kowariancji (w ym meodę RiskMerics oraz meodę oparą na wekorach warunkowych warości oczekiwanych i warunkowych macierzach kowariancji (modele klasy VARMA-MGARCH, a akże meody bazujące na eorii warości eksremalnych (por. [],[6],[7],[9],[]. W każdym przypadku prowadzi o do konieczności

2 esowania meody. Tesowanie wseczne (backesing wyników pomiaru warości zagrożonej jes więc niezbędną procedurą mającą odpowiedzieć na pyanie, czy dane podejście można sosować, lub kóre z większej ilości konkurencyjnych rozwiązań powinno zosać wybrane. Celem pracy jes skróowa prezenacja wybranych meod oceny wyników VaR. Zaprezenowane zosaną zarówno prose popularne esy wykorzysujące ideę analizy szeregu przekroczeń, jak i nowsze propozycje pozbawione przynajmniej niekórych wad podejścia klasycznego.. Klasyczne esy modeli VaR Modele VaR można analizować zarówno poprzez jakość modeli ekonomerycznych leżących u podsaw modelu VaR (np. modeli VARMA- MGARCH, jak i wpros poprzez porównanie wyników VaR z fakycznie zaobserwowanymi sraami. Obszarem zaineresowania niniejszej pracy pozosaje jedynie o drugie podejście. W prakyce, najpopularniejsze, gdyż najławiejsze do wykorzysania, esy jakości wyników VaR opierają się na analizie zw. szeregu przekroczeń (failure = T process, hi funcion I ( q = zdefiniowanego w sposób nasępujący: ; r VaRr, q I ( q (4 0; r > VaRr, q Najczęściej wykorzysywanym esem jes es liczby przekroczeń (Proporion of Failures Tes - POF. Dla danej próby liczba przekroczeń ma rozkład dwumianowy. Odpowiednią saysykę esową zaproponował Kupiec (por. np. [6][5][9]. Ma ona posać: LR gdzie: ( q ( qˆ T0 T q = ln ~ χ, (5 qˆ POF T0 T T qˆ = T T 0 T = oraz T0 T T i=, T I ( q =, (6 gdzie: T liczba wszyskich obserwacji, T liczba przekroczeń, T 0 liczba obserwacji, dla kórych przekroczenie nie wysąpiło. Saysyka LR ma rozkład χ z jednym sopniem swobody. POF

3 3 Tes liczby przekroczeń nie jes jedynym esem, kóremu należy poddać weryfikowany model. Trudno zgodzić się, że echnika pomiaru VaR jes poprawna jeśli rzeczywiście w ciągu 000 esowanych dni, liczba przekroczeń wynosi co prawda 50, ale 5 przekroczeń wysąpiło w ciągu osaniego miesiąca. Do esu na liczbę przekroczeń należy dołączyć es, czy przekroczenia są niezależne w czasie. Wysępujące blisko po sobie przekroczenia są groźniejsze dla insyucji niż równomiernie rozłożone w czasie przekroczenia, kóre wysępują nieznacznie częściej niż wynikałoby o z eorii. Największą popularność, w zakresie esowania niezależności przekroczeń, zdobył es niezależności (Independence Tes-IND Chrisoffersena LR wykorzysujący idee łańcuchów Markowa (por. [4],[5],[6],[9]: IND T T T T ( q q T ( ( LRIND = ln ~ χ T00 T 0 0 T qˆ ˆ ˆ ˆ 0 q0 q q Tij T0 T qˆ ij = q = gdzie : Ti 0 Ti, T00 T0 T0 T oraz T ij o liczba okresów, w kórych I = j, jeśli I = i. Saysyka LR ma również rozkład IND χ z sopniem swobody. Rzadziej wykorzysywaną alernaywą jes es czasu pomiędzy przekroczeniami (Time Beween Failures Tes - TBF (por. np. [4][6]: ν T νi q( q q q( q LR TBF = ln ln ~ χ ν νi T qˆ ( qˆ (9 i= qˆ i ( qˆ i gdzie: ν i - czas pomiedzy ( i --ym oraz i-ym przekroczeniem, ˆq i =. ν i Ponieważ saysyki liczby przekroczeń oraz ich niezależności w czasie są niezależne, zaproponowano esy mieszane LR uwzględniające zarówno liczbę przekroczeń oraz czas pomiędzy przekroczeniami (por. [4],[5],[6],[9]: T0 T ( ( q q LRMIX = LRPOF LRIND = ln ~ χ T00 T T 0 0 T (0 ( qˆ 0 qˆ 0 ( qˆ qˆ lub: ( LRMIX = LRPOF LRTBF ~ χ T. ( MIX (7 (8 Dla poziomu olerancji VaR wynoszącego 0,05.

4 4 W prakyce jednak rzadko sosuje się esy mieszane na rzecz osobno wyznaczanych esów liczby i niezależności przekroczeń, kóre mają większą moc (por. [4]. = T Rozparując jedynie szereg przekroczeń I ( q =, możliwa do analizy informacja ulega znaczniej redukcji, co skukuje ym, że prezenowane esy charakeryzują się niską mocą dla krókich szeregów i/lub niskich poziomów olerancji VaR. Dodakowo waro zauważyć, iż miara VaR zdefiniowana jako: X z prawdopodobieńswem - q VaR ( q ( X z prawdopodobieńswem q spełnia warunki liczby i niezależności przekroczeń dla wysarczająco wysokiej warości X. Jes o podsawowy, obok niskiej mocy esów, zarzu wobec klasycznych esów modeli VaR. Kolejne, prezenowane w sposób skróowy, esy uwzględniają pełną informację o wielkościach warości zagrożonej oraz warościach zrealizowanych sóp zwrou.. Tesy szeregów przekroczeń i wielkości VaR Podsawowym esem wykorzysującym zarówno warości VaR, jak i szereg przekroczeń jes zw. Dynamic Quanile Tes DQ zaproponowany przez Engle a oraz Manganelli ego w 00 roku (por. np. 7. Ideą esu jes fak, że przekroczenia w chwili nie powinny zależeć od przekroczeń w chwilach wcześniejszych, a akże od warości VaR oraz dowolnie przeworzonej informacji dosępnej w chwili - ( ω I. Analizie podlega więc równanie regresji:, j p n = o βi i β p β p j ( ω, j ε. (3 I q q I q VaR q f i= j= Model VaR jes poprawny, jeśli brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy: H : q = q, β = 0,i =,, K, p n. 0 o i Powyższy es umożliwia zidenyfikowanie nieprawidłowego pomiaru przedsawionego wzorem (, kórego nie odrzucają klasyczne esy liczby i niezależności przekroczeń. Tes powyższy jes uogólnioną wersją esu: H o : s corr ( I, I s = 0 (4 H : s corr I, I 0 s Dla dziennych warości zagrożonych, maksymalny rząd esowanych opóźnień wybiera się zazwyczaj jako 5, co odpowiada liczbie dni sesyjnych w ygodniu.

5 5 Podejście dane wzorem (3 umożliwia wykrycie odsępsw od niezależności przekroczeń opisywanych przez łańcuchy Markowa rzędów wyższych niż. Waro eż zaznaczyć, iż w ogólności esy opare na podejściu Chrisoffersena (por. wzór (7 oraz uproszczonej posaci esu danego wzorem (3 mogą prowadzić do sprzecznych wniosków (por. [0]. 3. Tesy wykorzysujące funkcje sra Odmienny w swej isocie es opary na funkcji sray zaproponował Lopez (por. [8]. Podejście o doczekało się później szeregu uogólnień (por. [0],[]. Dla każdego analizowanego okresu, na podsawie hisorycznych informacji o zrealizowanej sopie zwrou i korespondującej warości zagrożonej wyznaczana jes odpowiednia warość zw. funkcji sra: f ( VaRr, ( q,r r VaRr, ( q L( VaRr, ( q,r (5 g ( VaRr, ( q,r r > VaRr, ( q. Podejście o analizowane jes zazwyczaj z punku widzenia regulaora rynku (nadzorcy, kóry dba o zwiększenie bezpieczeńswa. Z ego eż powodu przyjmuje się iż: f VaR q,r g VaR q,r. (6 ( r, ( r, Osaeczna warość funkcji sra dla całego okresu, w kórym esowany jes model, wyznaczana jes ze wzoru: T L = L( VaRr, ( q, r. (7 T = Pierwona propozycja Lopeza polegała na uwzględnieniu informacji nie ylko o wysępującym przekroczeniu, lecz również o wielkości ego przekroczenia: ( ( r VaRr, r VaRr, ( q L VaRr, q, r (8 0 r > VaRr, ( q. Na podsawie analizy informacji wynikającej z warości funkcji sra możliwe są dwa podejścia: wybór echniki pomiary VaR, dla kórej warość funkcji sra przyjmuje minimum, przyjęcie lub odrzucenie modelu VaR poprzez porównanie warości funkcji sra dla danych hisorycznych z warością kryyczną esu uzyskiwaną poprzez symulację Mone Carlo szeregów sóp zwrou z założonego modelu (ego samego, kóry leży u podsaw modelu VaR np. modele VARMA- MGARCH.

6 6 W niekórych echnikach wyznaczania VaR (np. w meodzie hisorycznej podejście nie jes możliwe (bez szeregu silnych założeń i sosuje się kryerium minimalizację funkcji sra. Funkcja sra zaproponowana przez Lopeza, jakkolwiek najbardziej popularna, nie jes w żadnym wypadku jedynym możliwym rozwiązaniem. Wykorzysywane bywają również funkcje o nasępującej posaci (por. [],[]: ( r VaR r, ( = lub f ( VaR ( q,r f VaR q,r VaR r, r =. (9 VaR W powyższych rozwiązaniach (por. wzory (5-(9 zakłada się zazwyczaj iż g VaR q,r =. ( r, 0 Sarma, Thomas, Shah (por. [0] zaproponowali jednak nasępującą posać funkcji sra, zw. Firm s Loss Funcion. Podejście o sanowi próbę rozwiązania oczywisego konfliku pomiędzy bezpieczeńswem oraz maksymalizacją wyniku finansowego: ( ( r VaRr, r VaRr, ( q L VaRr, q, r (0. ϕvarr, r > VaRr, ( q W podejściu akim karze podlega zby wysoki poziom VaR skukujący przesadnie wysokim kapiałem zabezpieczającym. Kryerium decyzyjne wyboru opymalnej meody pomiaru VaR jes analogiczne jak w przypadku klasycznej funkcji zaproponowanej przez Lopeza. Pojawiają się eż propozycje, aby rozdzielić w funkcji sra aspek ilości przekroczeń oraz wielkości przekroczeń. Rozwiązanie akie przedsawili Blanco, Ihle (por. [0]: ( ; freq r VaRr, ( q L ( q 0; r > VaRr, ( q L magn r VaR r, VaR r, r, r VaR q 0 r > VaRr, ( q magn (, = λ ( λ freq r, ( L VaR q r = L L (3 Warość parameru λ wybierana jes w sposób subiekywny, w zależności od wagi przyznawanej liczbie i wielkości przekroczeń. 4. Tesy kwanyli rozkładów sóp zwrou

7 7 Ponieważ warości VaR wyrażane są poprzez bezwarunkowe lub warunkowe kwanyle rozkładów sóp zwrou, sugeruje się esy opare bezpośrednio na ych rozkładach i kwanylach. Konieczne jes założenie o posaci warunkowego lub bezwarunkowego rozkładu sóp zwrou f r. Analizie podlega szereg prawdopodobieńsw odpowiadających odpowiednim kwanylom (warości funkcji dysrybuany założonego rozkładu dla zrealizowanych sóp zwrou. Kolejne esy opierają się na zw. ransformacji Rosenblaa (por. wzór (4, por. [],[3]. Pierwsze prezenowane podejście wykorzysuje modyfikacje zw. esu Crnkoica i Drachmana. (por. [],[4],[]. Dla obserwowanych ex pos sóp zwrou wyznacza się szereg: r z = F r = = f u du (4 Jeśli model VaR jes prawidłowy, o: z ~ iid U ( 0,, (5 gdzie U(0, rozkład jednoskowy na przedziale [0,]. Dalsza procedura sprowadza się zazwyczaj do wykorzysania odpowiedniej saysyki esu posaci rozkładu (por. []. Zazwyczaj wykorzysuje się klasyczne saysyki: K = max F F, (6 AD = max z u F F z u u ( Fu ( z u u z F z Fu Fu Fz max F ( F F ( F F, (7 Kuiper = max F F max( F F, (8 w Kuiper = max u u u u Fz Fu wkuiper = max... ln ( Fu ( Fu Fu Fz... max, ln ( Fu ( Fu (9 (30 Podejście o możliwe jes również w meodzie hisorycznej, w kórej konieczne jes jednak wyznaczenie rozkładu empirycznego, co jes jedynie pewną niedogodnością.

8 8 gdzie: Fz ( oraz Fu o odpowiednio warość dysrybuany dla zmiennej z oraz warość dysrybuany rozkładu jednoskowego dla argumenu. Saysyki dane wzorami (7, (9 i (30 silniej uwypuklają niezgodności w ogonach rozkładów, co jes ważne w przypadku miar zagrożenia. Rozszerzenie powyższej meody pozwalające w prosy sposób esować nie ylko zgodność rozkładów, ale akże niezależność (por. wzór (5 zaproponował Berkowiz (por. [][]. Zmienna z ulega kolejnej ransformacji według wzoru: r y = Φ ( z = Φ f ( u du, (3 gdzie Φ o funkcja odwrona do dysrybuany sandaryzowanego rozkładu normalnego. Jeśli model VaR jes prawidłowy, o: y ~ iid N 0,. (3 Powyższy warunek sprawdza się zazwyczaj poprzez równanie regresji: y µ = ρ y µ ρ r ε (33 gdzie ar ( ε = σ. Model jes prawidłowy, jeśli brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej: H : µ, ρ, ρ, σ = 0,0,0,. (34 0 Zaprezenowane podejście saje się coraz popularniejsze, choć niewąpliwym urudnieniem w jego sosowaniu jes konieczność przyjęcia lub wyznaczenia z danych empirycznych warunkowego lub bezwarunkowego rozkładu sóp zwrou. Dla wszyskich powyższych esów możliwe jes sworzenie miar oceny VaR łączących w sobie oceny modeli warości zagrożonej dla różnych poziomów olerancji VaR, np. 0,0, 0,05 oraz 0,05. Rozwiązanie o jes jednak sosunkowo rzadko wykorzysywane. Podsumowanie Nauka oraz prakyka wypracowały cały szereg meod oceny pomiaru warości zagrożonej. Prezenowane w ej pracy rozwiązania są meodami najbardziej popularnymi oraz reprezenaywnymi dla większych grup meod.

9 9 Żadne z rozwiązań nie jes wolne od wad oraz każde posiada eż pewne zaley. Tesy klasyczne cechuje niska moc, lecz są bardzo prose oraz inuicyjne, gdyż korespondują wpros z definicją miary VaR i wysępującymi przekroczeniami. Tesy opare o funkcję sra ujmują aspek bezpieczeńswa insyucji oraz/lub ekonomiki związanej z wielkością kapiału wymaganego. Ich wadą pozosaje subiekywny wybór posaci funkcji sra oraz fak, że pojedyncze duże przekroczenie może prowadzić do odrzucenia w ogólności prawidłowego modelu. Najciekawszymi i uzyskującymi coraz większą popularność, wydają się być esy opare na ransformacji Rosenblaa. Pozwalają one skueczniej idenyfikować modele nieprawidłowe. Niedogodnością w ich sosowaniu pozosaje jednak konieczność określenia posaci rozkładu sóp zwrou (warunkowego lub bezwarunkowego w wykorzysywanym modelu VaR. Waro wyraźnie podkreślić, iż w sposób formalny przydaność powyższych esów oceniona być powinna poprzez analizę błędów I i II rodzaju. Obszarem dalszej pracy auora w ym zakresie będzie empiryczna analiza mocy poszczególnych esów w zależności od wielkości symulowanego odsępswa (nieprawidłowa częsość przekroczeń, brak niezależności przekroczeń oraz od długości próby. Celem będzie odpowiedź na pyanie, kóry z prezenowanych esów jakości pomiaru VaR powinien być sosowany w celu minimalizacji błędu II rodzaju (przyjęcia modelu niepoprawnego jako model poprawny. W przypadku pomiaru ryzyka, błąd II rodzaju jes bowiem błędem w oczywisy sposób znacznie bardziej niebezpiecznym, z punku widzenia insyucji finansowych, niż błąd I rodzaju (odrzucenia prawidłowego modelu. Analiza mocy odpowiednich esów jes jednak w wielu przypadkach całkowicie pomijana a esy sosowane są w sposób bezkryyczny. Lieraura:. Abdelazim Reffa Mohamed, Would Suden's -GARCH Improe VaR Esimaes, Uniersiy of Jyaskyla, 005, Barbachan J., Farias A., Ornelas J., Goodness-of-fi Tess focus on VaR Esimaion, Finance Lab Working Papers, Finance Lab, Ibmec São Paulo, 003, 3. Berkowiz J., Tesing Densiy Forecass wih Applicaions o Risk Managemen, Uniersiy of California, Irine, 000, 4. Campbell S., A Reiew of Backesing and Backesing Procedures, Federal Resere Board, Washingon, 005,

10 0 5. Hass M., New Mehods in Backesing,. CAESAR, 00, cae_pp_000_haas_ _0.pdf 6. Jorion P., Value a Risk nd ediion, McGraw-Hill, Kueser K., Minik S., Paolella M., Value a Risk Predicion: A Comparison of Alernaie Sraegies, 005, 8. Lopez J., Mehods for Ealuaing Value-a-Risk. Esimaes. Federal Resere Bank of Nwe York, 9. Pionek K., Papla D., Wykorzysanie wielorównaniowych modeli AR- GARCH w pomiarze ryzyka meodą VaR. PN 088 Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław, 005, 0. Sarma M., Thomas S., Shah A., Selecion of Value-a-Risk Models, 003, ideas.repec.org/s/jof/jforec.hml. Yan Liu, Value-a-Risk Models Combinaion, Emory Uniersiy, 005, Sreszczenie Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Tesowanie wseczne wyników pomiaru warości zagrożonej jes procedurą mającą odpowiedzieć na pyanie czy dane podejście można sosować, lub kóre z większej ilości konkurencyjnych rozwiązań powinno zosać wybrane. W pracy zaprezenowane zosały klasyczne esy wykorzysujące szereg przekroczeń oraz nowsze esy uwzględniające pełną informację esy opare na warości odpowiednio zdefiniowanej funkcji sra oraz esy bazujące na analizie własności szeregu uzyskanego za pomocą zw. ransformacji Rosenblaa. Zaprezenowane zosały zaley i wady poszczególnych rozwiązań. Absrak A Surey and a Comparison of Backesing Procedures Backesing is he necessary procedure o choose and o ealuae he goodness of a VaR models, howeer, he selecion is usually conroersial. This aricles presens and summarizes some ypical, saisical mehods based on he

11 hi funcion as well as newer procedures using some kind of loss funcions and some quanile measures. Adanages and disadanages of hose mehods are discussed.