Uogólnienie dychotomicznego modelu probitowego z wykorzystaniem skośnego rozkładu Studenta *

Transkrypt

1 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jacek Osiewalski, Jerzy Marzec Uogólnienie dychoomicznego modelu probiowego z wykorzysaniem skośnego rozkładu Sudena * 1. Wprowadzenie Najprosszym przypadkiem modelu dla jakościowej zmiennej endogenicznej jes model dwumianowy (dychoomiczny). Opisuje on zależność między prawdopodobieńswem wyboru jednej z dwóch możliwości (oznaczanych umownie jako 0 i 1) a egzogenicznymi zmiennymi objaśniającymi, kóre opisują cechy możliwych alernayw lub indywidualne charakerysyki podmioów podejmujących decyzję. Posać ego modelu jes nasępująca: ( y = 1) = G( x β ) = F( x β ) p Pr 1 dla =1,,T, (1) gdzie β jes wekorem k 1 nieznanych paramerów (β R k ), x =(x 1 x k ) oznacza wekor usalonych warości k zmiennych egzogenicznych (lub ich znanych funkcji), zaś G( ) i F( ) są znanymi funkcjami wiążącymi p, czyli prawdopodobieńswo zaobserwowania sukcesu, z x i β. Funkcja F( ) ma wszyskie własności dysrybuany rozkładu prawdopodobieńswa i określa klasę modelu. Równoważną specyfikację orzymujemy przez wprowadzenie modelu regresji liniowej (ze względu na β) dla ukryych (nieobserwowalnych) zmiennych ciągłych z 1,,z T, kórych znaki deerminują zaobserwowane warości zmiennych y (0 lub 1): z = x y = I β + ε, 1, ) ( z ) = 0, [0, gdy gdy z 0, (2) z < 0, czyli I A (.) jes funkcją charakerysyczną zbioru A. O składnikach losowych ε zakłada się zwykle, że są niezależne i posiadają en sam rozkład o warości oczekiwanej równej zero i jednoskowej wariancji. Jeśli rozkład jes symeryczny, o zapis (1) upraszcza się do bardziej znanego ( y = ) = F( x β ) p Pr 1. Szczegóły doyczące niebayesowskiej esymacji modeli dla danych jakościowych oraz wiele ich zasosowań empirycznych z zakresu ekonomii prezenują m.in. Amemiya (1981, 1985), Maddala (1983) lub Greene (1993). Najbardziej znanymi i powszechnie sosowanymi modelami dwumianowymi są modele probiowy i logiowy, kóre odpowiadają przyjęciu dla ε odpowiednio rozkładu normalnego lub * Praca przygoowana w ramach badań sauowych Akademii Ekonomicznej w Krakowie w roku

2 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie logisycznego. Innymi, rzadziej sosowanymi, są np. modele krzywej Gomperza, Urbana i rozkładu Burra. Do esymacji ych modeli wykorzysywana jes zwykle meoda największej wiarygodności (MNW). W modelu probiowym i logiowym pokazano, że esymaor MNW dla β jes jednoznacznie określony; wyprowadzono również posać asympoycznej macierzy kowariancji esymaora MNW. Jednym z kierunków uogólnienia modelu probiowego jes przyjęcie dla ε rozkładu Sudena o nieznanej liczbie sopni swobody ν >0, co dopuszcza brak wariancji ( ν 2 ) a nawe warości oczekiwanej zmiennej ε ( ν 1) Klasa rozkładów Sudena zawiera rozkład normalny jako przypadek graniczny ( ν = + ), zaś jak podają Alber i Chib (1993) rozkład logisyczny może być przybliżany przez rozkład Sudena o ok. 7 9 sopniach swobody. A zaem uogólnienie o pozwala esować (choćby w przybliżeniu) empiryczną adekwaność dwóch podsawowych modeli dwumianowych. Jednak zasosowanie MNW w ym przypadku jes niewskazane, ponieważ nie są znane własności esymaora MNW nawe w przypadku klasycznego modelu regresji liniowej ze składnikiem losowym o rozkładzie Sudena z nieznanym paramerem ν. Alber i Chib (1993) zaproponowali specyfikację i esymację bayesowskiego modelu dychoomicznego z rozkładem Sudena. W celu numerycznej aproksymacji brzegowych rozkładów a poseriori ineresujących wielkości wykorzysali algorym Gibbsa, meodę Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (ang. Markov Chain Mone Carlo, MCMC). Marzec (2003a,b,c) wykorzysał o podejście dla zbadania ryzyka pojedynczych umów kredyowych klienów dealicznych dużego banku komercyjnego; wyniki empiryczne wskazywały na zasadność zasosowania ego uogólnienia modelu probiowego, gdyż rozkład a poseriori parameru ν skupiony był w przedziale (1, probiowego czy logisycznego. 3) świadcząc o relaywnie małej adekwaności modelu Wszyskie rzy rozważane rozkłady prawdopodobieńswa (normalny, logisyczny, Sudena) charakeryzują się symerią, różnią się naomias grubością ogonów (szybkością zbieżności dysrybuany do warości granicznych 0 i 1). Proponujemy więc w ej pracy dalsze uogólnienie modelu probiowego, kóre polega na przyjęciu dla ε klasy skośnych rozkładów Sudena. Klasa a ma dwa swobodne dodanie paramery: sopnie swobody ν i współczynnik asymerii γ, kórego kwadra jes równy ilorazowi mas prawdopodobieńswa na prawo i lewo od modalnej. Esymacja paramerów β, ν, γ i ich funkcji możliwa jes na gruncie bayesowskim przy wykorzysaniu meod Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa. Asymeryczne rozkłady wielowymiarowe (w ym ypu Sudena) rozważali Fernández, Osiewalski i Seel (1995), naomias szczegółową definicję i formalne własności skośnego rozkładu w przypadku jednowymiarowym podali Fernández i Seel (1998). Auorzy ci zasosowali en rozkład dla składnika losowego w modelu klasycznej regresji liniowej. Z kolei Osiewalski i Pipień 2

3 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie (1999, 2000) wykorzysali en rozkład w modelach GARCH dla finansowych szeregów czasowych, wykazując jego użyeczność w badaniach empirycznych. W niniejszej pracy pokażemy, jak zasosować dysrybuanę skośnego rozkładu w modelu dychoomicznym (część 2), jak przeprowadzić jego analizę bayesowską (część 3) oraz jak e propozycje meodologiczne wykorzysać w badaniu spłacalności kredyów (część 4). Część 5 zawiera uwagi końcowe. 2. Dysrybuana skośnego rozkładu w konsrukcji modelu dwumianowego Przyjmijmy, że składnik losowy ε w równaniu (2) ma skośny rozkładu Sudena o modalnej równej 0, jednoskowej precyzji, ν sopniach swobody (ν >0) i paramerze asymerii γ > 0; jego funkcja gęsości ma posać: 2 p ( θ )= f ( ε ν γ ) { f ( γε ) I ( )( ε ) + f ( ε γ ) I [ )( ε )} ε sks, = ν,0 ν 0, +, (3) 1 γ + γ gdzie θ = (β ν γ ), zaś fν ( ε ) jes funkcją gęsości symerycznego rozkładu Sudena o zerowej modalnej, precyzji równej jeden i ν sopniach swobody. Sopień asymerii określony jes przez kwadra parameru γ : Pr Pr ( ε 0γ ) ( ε < 0γ ) 2 = γ. (4) Wielkość γ 2 informuje o ilorazie mas prawdopodobieńswa skupionych na prawo i na lewo od modalnej. Jeżeli paramer asymerii γ równy jes jedności, o rozkład jes symeryczny. Pr Ze specyfikacji (2) wynika, że prawdopodobieńswo zaobserwowania y =1 wynosi ( y = 1θ ) = Pr( z 0θ ) = Pr( ε x β θ ) = 1 Pr( ε < x β θ ) = 1 F ( x β ν, γ ) gdzie dysrybuana skośnego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzji 1, ν sopniach swobody i paramerze asymerii γ (obliczona w punkcie a) wyraża się formułą F sks 2 γ γ ( aν, γ ) γ F ( aγ ) I ( ) ( a) + + γf ( aγ ) I [ )( a) = + γ + γ sks, (5) ν,0 ν 0, (6) 2 przy czym F ν ( a) jes dysrybuaną symerycznego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzji 1 i ν sopniach swobody. Rysunek 1 przedsawia przebieg dysrybuan skośnych rozkładów Sudena w zależności od różnych warości paramerów ν i γ (na le dysrybuany rozkładu normalnego, odpowiadającej ν = + i γ =1). Warość dysrybuany w zerze jes funkcją parameru γ i wynosi 0.5 ylko dla γ =1. Rysunek 1 3

4 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Wzór (5) określa rozkład pojedynczej obserwacji (przy danych paramerach) jako rozkład dwupunkowy o funkcji prawdopodobieńswa: ( y θ ) F ( x β ν, γ ) I { } ( y ) + [ 1 F ( x β ν γ )] I { } ( y ) p sks 0 sks, 1 =. W przypadku T niezależnych obserwacji ich łączne prawdopodobieńswo można zapisać jako: p = 1 T sks sks = 1 : y = 0 : y = 1 T ( yθ ) p( y, K, y θ ) = p( y θ ) = F ( x β ν, γ ) ( 1 F ( x β ν, γ ). Przy usalonych obserwacjach, powyższa formuła określa funkcję wiarygodności dla modelu dychoomicznego proponowanego w ej pracy. Funkcja a ma ważną własność rakowana jako funkcja argumenu ν (przy pozosałych usalonych) bardzo szybko zmierza do dodaniej sałej równej warości wiarygodności przy (skośnym) rozkładzie normalnym ( ν = + ). Ta prakyczna sałość wiarygodności dla dużych ν może być poważną przeszkodą w klasycznej esymacji paramerów modelu dwumianowego. Oczywiście, ę samą własność ma już funkcja wiarygodności w modelach z symerycznym rozkładem Sudena. Auorzy nie znają żadnej pracy określającej własności esymaora MNW w akich przypadkach. Własne, wsępne badania symulacyjne ukazują jego znaczne, sysemayczne obciążenie. 3. Elemeny analizy bayesowskiej Podsawowym elemenem analizy bayesowskiej jes saysyczny model bayesowski, czyli łączny rozkład obserwacji i paramerów, określony przez dyskreny warunkowy rozkład wekora obserwacji y, p ( yθ ), i ciągły brzegowy rozkład wekora paramerów (zw. rozkład a priori). Częso wykorzysuje się uogólniony model bayesowski, w kórym rozkład a priori jes miarą σ skończoną, ale nie jes miarą probabilisyczną. Podobnie w ej pracy zakładamy, że brzegowy rozkład a priori wekora β jes niewłaściwy jednosajny na całej przesrzeni R k. Dla ν i γ przyjmujemy rozkłady właściwe: dla ν wykładniczy o warości oczekiwanej r (r=10), zaś dla γ sandardowy rozkład logarymiczno-normalny. Z uwagi na o, że zbiory dopuszczalnych warości paramerów ν i γ są równe R +, waro dokonać reparameryzacji θ k+1 = ln(ν /r), θ k+2 = ln(γ) i redefiniować wekor wszyskich paramerów jako θ = [β θ k+1 θ k+2 ]. Wówczas przesrzeń paramerów jes całym zbiorem R k+2, co bardzo upraszcza sronę numeryczną analizy bayesowskiej. Dla ak określonego θ mamy nasępującą srukurę a priori: p( θ ) = p( β ) p( θk + 1 ) p( θk +2 ), gdzie k ( ) c β R, p( θ ) = exp( θ ) exp( exp( θ )), p( θ ) f ( θ 0, 1). p β = dla k + 1 k + 1 k + 1 k+ 2 = N k + 2 (7) 4

5 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie W szczególności wykładniczy rozkład a priori dla ν (o warości oczekiwanej r) prowadzi do rozkładu warości eksremalnych (rozkładu Gumbela) dla θ k+1 = ln (ν / r), zaś informacja o paramerze skośności jes reprezenowana przez sandaryzowany rozkład normalny dla ln(γ ). Określona powyżej srukura a priori reprezenuje bardzo słabą wsępną wiedzę obserwaora o paramerach. Prowadzi ona, wraz z modelem próbkowym zdefiniowanym w poprzedniej części, do pełnego modelu bayesowskiego określonego przez uogólnioną gęsość posaci p( y, θ ) = p( yθ ) p( θ ) = p( θ ) F (, ) sks x β ν γ ( 1 FskS ( x β ν, γ )). (8) : y = 0 : y = 1 Wnioskowanie bayesowskie wykorzysuje fakoryzację ego modelu na rozkład a poseriori, j. rozkład ciągły o funkcji gęsości: ( θ ) FskS ( x β ν, γ ) ( 1 FskS ( x β ν, γ )) p( yθ ) p( θ ) p( θ y) = p, p( y) : y = 0 : y = 1 oraz brzegowy rozkład obserwacji (dyskreny): Θ p( y) = p( yθ ) p( θ ) dθ. Aby fakoryzacja a była możliwa (i ym samym isniał rozkład a poseriori), powyższa całka musi być skończona. Dlaego przyjęo właściwy rozkład a priori parameru sopni swobody. Zbieżność funkcji wiarygodności przy ν + do dodaniej sałej oznacza bowiem, że całka ej funkcji (po całej przesrzeni paramerów) jes nieskończona, więc niewłaściwy jednosajny rozkład a priori dla ν prowadziłby do braku rozkładu a poseriori. Rozkład a poseriori paramerów proponowanego (jak i każdego innego) modelu dwumianowego jes niesandardowym rozkładem wielowymiarowym. Ponado, przedmioem wnioskowania są nie ylko oryginalne paramery, ale przede wszyskim ich skomplikowane funkcje nieliniowe akie jak: prawdopodobieńswo Pr( y = 1) = F( x β ) p określonego zachowania (wyboru) w * * 1 * przypadku nie obserwowanego obieku o usalonych charakerysykach, efek krańcowy wzrosu h-ej charakerysyki o małą jednoskę; w przypadku ciągłej zmiennej objaśniającej (nie powiązanej z pozosałymi) jes o p x = β f x ), gdzie f jes * * h h ( * β gęsością odpowiadającą dysrybuancie F, definiującej model dychoomiczny u nas jes o gęsość (3); wielkość β h f ( x*β ) szacujemy również dla dyskrenych zmiennych objaśniających, choć raci ona wedy swą pierwoną inerpreację. Uzyskanie brzegowej funkcji gęsości a poseriori dla wielkości będącej przedmioem analizy jes złożonym problemem całkowania w przesrzeni (k+2)-wymiarowej. Proponujemy w ym celu 5

6 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie zasosowanie meod Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (MCMC), a w szczególności losowania Meropolisa i Hasingsa. Meody MCMC polegają na ym, że ciąg kolejnych losowań w przesrzeni paramerów ( 1) ( n) ( θ,..., θ,...) worzy łańcuch Markowa (o nieprzeliczalnej liczbie sanów) z rozkładem sacjonarnym równym rozkładowi a poseriori p(θ y). W efekcie, po osiągnięciu zbieżności łańcucha do rozkładu sacjonarnego, generujemy realizacje (orzymujemy próbę) z rozkładu a poseriori; zob. np. O Hagan (1994), Gamerman (1997). Algorym Meropolisa i Hasingsa buduje łańcuch Markowa poprzez zadanie θ (0) arbiralnego punku sarowego oraz gęsości q( θ ; θ ) rozkładu losowań kandydackich θ * (m=1,2,...); dla danego θ (m-1) przyjmujemy θ (m) = θ z prawdopodobieńswem P(θ,θ (m-1) ), θ (m) = θ (m-1) z prawdopodobieńswem 1 P(θ,θ (m-1) ), przy czym prawdopodobieńswo akcepacji wylosowanego wsępnie θ * dane jes wzorem * f ( θ ) q( θ ; θ ) P( θ, θ ) = min, 1 ( m), f ( θ ) q( θ ; θ ) gdzie f(θ ) o jądro gęsości rozkładu a poseriori. Dogodny mechanizm losowań wsępnych wykorzysuje q( θ ; θ ) = f ( θ 3, θ,3c ), wielowymiarowy rozkład Sudena o 3 S sopniach swobody, modalnej równej poprzedniemu sanowi łańcucha oraz macierzy precyzji akiej, że C jes macierzą kowariancji (równą wsępnej ocenie macierzy kowariancji rozkładu a poseriori). W ym przypadku gęsość rozkładu losowań kandydackich q( θ ; θ ) jes symeryczna względem obu argumenów, więc prawdopodobieńswo akcepacji zależy ylko od ilorazu gęsości a poseriori: * f ( θ ) P( θ, θ ) = min,1 ( m). f ( θ ) W prakyce począkowe S sanów łańcucha Markowa służy uzyskaniu zbieżności (cykle spalone), a nasępne M sanów generowaniu próby z rozkładu sacjonarnego i aproksymacji jego charakerysyk zgodnie z ogólnym wzorem: E S M 1 ( q) [ g( ) y] g( θ ) + q= S + 1 θ. M Wyniki badań empirycznych prezenowanych w nasępnej części uzyskano na podsawie S=10000 cykli spalonych i M= realizacji worzących próbę z rozkładu a poseriori. Kilka krókich łańcuchów wsępnych pozwoliło wcześniej wykalibrować macierz C. 6

7 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie 4. Badanie spłacalności kredyów Zaprezenowany powyżej bayesowski modelu dwumianowy ze skośnym rozkładem Sudena zasosowano do badania spłacalności kredyów dealicznych w oparciu o dane, kóre wykorzysał wcześniej Marzec (2003a,b,c). Przyjęo, iż zmienna objaśniana y przyjmuje dwie warości, zn. y =1, gdy kredyobiorca na dzień miał zaległości w spłacie ra kapiałowo-odsekowych (opóźnienie w spłacie osaniej ray wynosiło więcej niż miesiąc), naomias y =0 w przeciwnym przypadku. Jako poencjalne zmienne wyjaśniające ryzyko pojedynczej umowy kredyowej wprowadziliśmy (jak we wcześniejszych pracach): płeć (zmienna przyjmuje warość 1, jeżeli klienem jes mężczyzna, 0 w przypadku kobiey), wiek kredyobiorcy (w sekach la), wpływy, zn. wielkość kwaralnych wpływów w laach (w sekach ys. zł) na rachunki ypu ROR kredyobiorcy w badanym banku, posiadanie ROR w analizowanym banku (1 posiada, 0 nie posiada), informację o ym, czy kredyobiorca posiada kary płanicze lub kredyowe wydane przez en bank (1 posiada choć jedną karę płaniczą, 0 nie posiada), sposób udzielenia kredyu (1 poprzez pośrednika kredyowego, 0 bezpośrednio przez rozważany bank), yp kredyu (1 kredy konsumpcyjny, 0 kredy hipoeczny), okres rwania umowy kredyowej (w dziesiąkach la), podsawowe źródło dochodu uzyskiwanego przez kredyobiorcę (zmienne zrdoch), j. umowa o pracę, albo rena lub emeryura, albo własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, albo inne źródło (np. sypendium). Osania zmienna może przyjmować czery różne warości. Chcąc ją uwzględnić w równaniu regresji z wyrazem wolnym, wprowadziliśmy rzy zmienne zerojedynkowe, a za punk odniesienia przyjęliśmy umowę o pracę (zrdoch1 = zrdoch2 = zrdoch3 = 0); w pozosałych przypadkach: zrdoch1 = 1, gdy źródłem dochodu kredyobiorcy jes rena lub emeryura, zrdoch2 = 1, gdy źródłem dochodu kredyobiorcy jes własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, zrdoch3 = 1 w przypadku innego źródła dochodu, np. sypendium. Poniżej przedsawiamy wyniki bayesowskiej esymacji modelu dwumianowego I ze skośnym rozkładem Sudena dla zmiennej ukryej na le modelu II (z symerycznym rozkładem Sudena) oraz modelu III (probiowego), kóry jes najczęściej wykorzysywany w prakyce. Tabela 1 zawiera warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a poseriori dla paramerów ych modeli. Wszyskie wyniki uzyskano za pomocą algorymu Meropolisa i Hasingsa, przy czym 7

8 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie wyniki bayesowskie dla modelu III są prawie idenyczne z wynikami uzyskanymi za pomocą MNW. Spodziewaliśmy się akiego rezulau, ponieważ (zgodnie z eorią) w modelu probiowym oceny MNW w przypadku dużej liczby obserwacji można inerpreować jako warości oczekiwane rozkładu a poseriori (przy dość dowolnym ciągłym rozkładzie a priori). Alernaywnym do algorymu Meropolisa i Hasingsa podejściem numerycznym w esymacji modelu II jes wykorzysanie próbnika Gibbsa, co zaproponowali Alber i Chib (1993). Łańcuch Markowa generowany przez algorym Gibbsa wydaje się jednak wolno zbieżny do rozkładu a poseriori w modelu II, prawdopodobnie na skuek bardzo silnej auokorelacji. Wyniki uzyskane przez losowanie Gibbsa w modelu II prezenuje (dla ego samego zbioru danych) Marzec (2003c). Tabela 1 Wyniki uzyskane w modelu I świadczą o dużej asymerii rozkładu ε ; γ /9; niespełna 12% masy prawdopodobieńswa rozkładu próbkowego zmiennej ε znajduje się na prawo od zera. Małe odchylenie sandardowe a poseriori dla γ wskazuje, że korzysając z prosego bayesowskiego esu na redukcję modelu (esu Lindleya) musimy dojść do wniosku o pełnej zasadności uogólnienia modelu II (symerycznego Sudena) do modelu I poprzez wprowadzenie asymerii. Warość oczekiwana a poseriori dla sopni swobody ν wynosi około 0.5 w modelu I i 1.4 w modelu II, przy czym małe odchylenia sandardowe wskazują na precyzyjny szacunek parameru ν. Dysrybuany odpowiadające modelom I i II przedsawiono na omawianym już wcześniej Rysunku 1; przyjęe warości swobodnych paramerów o ich warości oczekiwane a poseriori. Uzyskane wyniki oznaczają, iż zakładanie normalności składnika losowego i sosowanie modelu probiowego jes nieuzasadnione w przypadku naszych danych. Również przyjęcie symerycznego rozkładu Sudena nie jes w pełni adekwane, gdyż ważne są nie ylko ogony rozkładu zmiennej ukryej, ale również możliwość jego asymerii. Warości paramerów β i nie są bezpośrednio inerpreowalne, zaś informacje o sile i kierunku wpływu zmiennych egzogenicznych na p (prawdopodobieńswo niespłacalności) uzyskujemy na podsawie efeków krańcowych, kórych warości przedsawia Tabela 2. Tabela 2 Spośród rozważanych jakościowych zmiennych egzogenicznych największy wpływ na prawdopodobieńswo niepłacenia kredyu ma sposób udzielenia ego kredyu; udzielenie go przez pośrednika, zamias bezpośrednio przez bank, powoduje najbardziej znaczący wzros p. Posiadanie ROR oraz uzyskanie kredyu konsumpcyjnego (a nie hipoecznego) również zwiększa p, ale 8

9 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie znacznie słabiej. Posiadanie kar płaniczych lub kredyowych, jako przejaw akywnego korzysanie z usług badanego banku, zmniejsza ryzyko złego kredyu. Wzros wpływów kwaralnych kredyobiorcy o 1 ys. zł zmniejsza warość p o (±0.003). Prawdopodobieńswo niepłacenia kredyu przez osobę sarszą o rok jes mniejsze o prawie Wraz ze wzrosem o 1 rok okresu na jaki zosał udzielony kredy, p maleje o ok Spośród czerech źródeł dochodu największe ryzyko kredyowe związane jes z kredyobiorcą prowadzącym własną działalność gospodarczą. Kredyobiorcami o niższym ryzyku są osoby pobierające emeryurę lub renę, a akże sudenci spłacający kredyy sudenckie, przy czym udział (ilościowy i warościowy) ej osaniej grupy kredyów jes znikomy. Głównym sposobem wykorzysania modeli jes prognozowanie prawdopodobieńswa nieerminowej spłay ra kapiałowo-odsekowych bądź całkowiego zaniechania ich spła. W ym celu rozważamy czery hipoeyczne sylweki kredyobiorców, kórych charakerysykę zawiera Tabela 3. Zauważmy, że rozkłady a poseriori uzyskane dla p w modelach I i II są dość zbliżone (z wyjąkiem sarszej pani ) i różnią się znacznie od wyników z modelu III (probiowego). Jeśli redukcje modelu I do modeli II i (zwłaszcza) III nie są zasadne (jak w przypadku naszych danych), o sosowanie w ocenie ryzyka kredyowego ylko modelu probiowego może prowadzić do błędnych wniosków. Przydaność modelu dwumianowego zależy nie ylko od zachowania sosowanej dysrybuany w ogonach rozkładu, ale również od jej kszału w cenralnej części ego rozkładu. Tabela 3 5. Uwagi końcowe Proponowane uogólnienie modelu probiowego uzależnia kszał dysrybuany F( ) od dwóch dodakowych swobodnych paramerów, odpowiedzialnych za szybkość jej zbieżności do warości granicznych 0 i 1 (czyli za grubość ogonów) oraz za jej warość w punkcie 0. Uogólnienie o, a w szczególności parameryzacja F(0) poprzez wprowadzenie swobodnego parameru asymerii, wydaje się isone z punku widzenia wnioskowania saysycznego, co pokazał przykład empiryczny w poprzedniej części pracy. Problemem owarym pozosaje ocena poprawy dopasowania modelu do danych binarnych i jego własności prognosycznych. Sanowi o przedmio dalszych badań auorów. Skośne rozkłady mogą sanowić podsawę budowy nie ylko modeli dwumianowych, ale akże modeli wielomianowych dla kaegorii uporządkowanych czy modeli dla zmiennych ucięych 9

10 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie lub cenzurowanych. To prose dwuparamerowe uogólnienie daje możliwość badania empirycznej adekwaności modeli oparych na założeniach symerii i normalności rozkładu zmiennej ukryej, w prakyce najczęściej przyjmowanych. Akademia Ekonomiczna w Krakowie LITERATURA [1] Alber J. Chib S., 1993, Bayesian analysis of binary and polychoomous response daa, JASA (Journal of he American Saisical Associaion) vol. 88, [2] Amemiya T., 1981, Qualiaive response models: A survey, Journal of Economic Lieraure vol.19, [3] Amemiya T., 1985, Advanced Economerics, Harvard Universiy Press, Cambridge (Massachuses). [4] Fernández C., Osiewalski J., Seel M., 1995, Modeling and inference wih υ-spherical disribuions, JASA (Journal of he American Saisical Associaion) vol. 90, [5] Fernández C., Seel M., 1998, On Bayesian modeling of fa ails and skewness, JASA (Journal of he American Saisical Associaion) vol. 93, [6] Gamerman D., 1997, Markov Chain Mone Carlo. Sochasic Simulaion for Bayesian Inference, Chapman and Hall, London. [7] Greene W.H., 1993, Economeric Analysis, Macmillan, New York. [8] Maddala G.S., 1983, Limied Dependen and Qualiaive Variables in Economerics, Cambridge Universiy Press, Cambridge. [9] Marzec J., 2003a, Badanie niewypłacalności kredyobiorcy na podsawie modeli logiowych i probiowych, Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie nr 628, [10] Marzec J., 2003b, Badanie niespłacalności kredyów za pomocą bayesowskich modeli dychoomicznych - założenia i wyniki, Meody ilościowe w naukach ekonomicznych (red. A. Welfe), Wydawnicwo SGH w Warszawie, [11] Marzec J., 2003c, Bayesowska analiza modeli dyskrenego wyboru (dwumianowych), Przegląd Saysyczny. 50, [12] O Hagan A., 1994, Bayesian Inference, Edward Arnold, London. [13] Osiewalski J., Pipień M., 1999, Bayesian forecasing of foreign exchange raes using GARCH models wih skewed condiional disribuions, MACROMODELS'98 - Conference Proceedings (red. W. Welfe), Vol. 2, Absolwen, Łódź, [14] Osiewalski J., Pipień M., 2000, GARCH-In-Mean hrough skewed condiional disribuions: Bayesian inference for exchange raes, MACROMODELS'99 Conference Proceedings (red. W. Welfe, P. Wdowiński), Absolwen, Łódź,

11 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Rysunek 1. Dysrybuany wybranych rozkładów ypu Sudena Suden γ=0.34 ν=0.53 -Suden γ=1 ν=0.53 -Suden γ=1 ν=1.37 normalny Źródło: obliczenia własne. Tabela 1. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a poseriori paramerów. Model I Model II Model III ε ~ S(0, 1, ν, γ) ε ~ S(0, 1, ν, γ=1) ε ~S(0,1,ν=, γ=1) Zmienna (paramer) E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) Sała Płeć Wiek Wpływy ROR Kary Pośrednik Typ Kredyu Okres kredyu Zrdoch Zrdoch Zrdoch ν γ Źródło: obliczenia własne. 11

12 Jacek Osiewalski Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Operacyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Tabela 2. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a poseriori uśrednionych efeków krańcowych T β h f ( x β ). Model I Model II Model III ε ~ S(0, 1, ν, γ) ε ~ S(0, 1, ν, γ = 1) ε ~S(0,1,ν =, γ =1) Zmienna (x h ) E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) Płeć Wiek Wpływy ROR Kary Pośrednik Typ Kredyu Okres kredyu Zrdoch Zrdoch Zrdoch Źródło: obliczenia własne. Tabela 3.Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a poseriori prawdopodobieńswa niespłacenia kredyu p =Pr(y =1)=1 F( x β). najczęsszy klien młody sarsza Zmienna pośrednik=1 pośrednik=0 biznesmen pani 1 (wyraz wolny) Płeć Wiek (w laach) Wpływy (w ys. zł) ROR Kary płanicze Pośrednik Typ kredyu: konsumpcyjny Okres kredyu (w laach) Zrdoch Zrdoch Zrdoch Model I E(p y) D(p y) (0.002) (0.001) (0.013) (0.004) Model II E(p y) D(p y) (0.001) (0.001) (0.028) (0.011) Model III E(p y) D(p y) (0.014) (0.002) (0.015) (0.003) Źródło: obliczenia własne. 12