Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Część Silie i Symbole Newo Rozdził Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi Adrzej Nowici 2 mj 202, hp://wwwmuiorupl/~ow Spis reści Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 47 Uogólioy współczyi dwumiowy 47 2 Be ciągi 49 3 Alf ciągi 50 4 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi Mersee 52 5 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi q - 53 6 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi - b 55 7 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi Fibocciego 56 8 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi rójąymi 57 9 Symbole Newo, liczby eredrle i uogóliei 60 Wszysie siążi z serii Podróże po Imperium Liczb piso w edyorze L A TEX Spisy reści ych siąże orz pewe wybre rozdziły moż zleźć iereowej sroie uor: hp://www-usersmuiorupl/~ow

Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi Uogólioy współczyi dwumiowy Złóżmy, że dy jes ciąg ( ) o wyrzch urlych Jeśli jes ieujemą liczbą cłowią, o przez ozczć będziemy liczbę urlą zdefiiową sępująco: { 2, gdy N,, gdy 0 Jeśli i są ieujemymi liczbmi cłowiymi, o przez wymierą zdefiiową jo:, gdy, 0, gdy < ozczć będziemy liczbę Tie ozczei wysępują p w [Fo, [Goul, [MN Liczby posci mją gielsie zwy: -omil coefficies lub geerlized biomil coefficies Liczby posci są m ze w przypdu, gdy jes ciągiem olejych liczb urlych (o zczy, gdy dl N) W ym przypdu! orz liczb poryw się z liczbą ( ) [ 0 2 3, dl 4, dl < 5 [ 6 [ + [, dl <, dl < 7 ([Fo) Jeśli 0 < m, o m m m m + 47 m

48Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi D [ m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 8 Dl, m i urlych ich, że 0 m, zchodzi rówość [ m [ m m Uswmy uogólioe współczyii dwumiowe w blicę, będącą odpowiediiem róją Pscl: 0 0 [ [ 0 [ 2 0 [ 2 [ 2 2 [ 3 0 [ 3 [ 3 2 [ 3 3 [ 4 0 [ 4 [ 4 2 [ 4 3 [ 4 4 Kżdy z ych współczyiów (poz brzegowymi), ooczoy jes przez sześć iych współczyiów Możąc co drugi z ich orzymujemy dw iloczyy Ozuje się, że są oe rówe: 9 ([Goul) Jeśli 0 < < są liczbmi urlymi, o 0 ([Goul) [ 2 2 + 2 + + + 2 + 2 ([Goul) Jeżeli c jes liczbą cłowią, o [ 2 + + 2 + 2 c + c c + c c + c c + c U W ryule H W Gould [Goul moż zleźć więcej podobych ożsmości

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 49 2 Be ciągi Niech ( ) będzie ciągiem o wyrzch urlych Mówić będziemy, że jes β- ciągiem ([MN), jeśli żd liczb posci jes cłowi 2 Kżdy ciąg sły jes β-ciągiem Jeśli c N i c dl N, o żd liczb posci jes rów 22 Kżdy ciąg geomeryczy o urlym ilorzie jes β-ciągiem Jeśli c N i c dl N, o dl wszysich zchodzi rówość c ( ) 23 Niech! dl 0 Wówczs! 2!! 2 orz [! 2!! ( + )! ( + 2)! ( + ( ))!! 2!!! 2! ( )!! 2! ( )! i jes o liczb url Ciąg ( ) jes więc β-ciągiem ([Bhr) 24 Niech! dl 0 Wedy jes ieprzyse 0 lub 25 Iloczy dwóch β-ciągów jes β-ciągiem Jeśli ( ) orz b (b ) są β-ciągmi, o ciąg c ( b ) jes β-ciągiem orz c b 26 Niech, b N, 2, b 2 Defiiujemy ciąg (x ) w sępujący sposób: x 0 0, x, x 2 x 2 x 2 2, x 2+ bx 2 x 2, gdzie Wedy, dl dowolych liczb urlych m i, liczb x m+ x m+2 x m+ jes podziel przez x x 2 x ([OM S Peersburg 200) 27 Niech f(x) R[x Jeśli, dl wszysich, N, liczb f( + )f( + 2) f( + ) f()f(2) f() jes cłowi, o f(0) 0 ([OM S Peersburg 2002)

50Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 3 Alf ciągi Wżą lsą przyłdów β-ciągów sowią ciągi, óre zywć będziemy α-ciągmi Mówić będziemy, że dy ciąg ( ) (o wyrzch urlych) jes α-ciągiem ([MN), jeśli dl dowolych liczb urlych i m zchodzi rówość (, m ) (,m), z wd(, m ) wd(,m) Kuh i Wiff w [KW ie ciągi zywją regulrie oresowymi W [EvP (sro 70) ie ciągi zywe są divisibiliy sequeces 3 Dl dowolego α-cięgu ( ) zchodzi implicj dl wszysich m N m m, 32 Jeśli ( ) jes α-ciągiem, o isieje i ciąg (b ) liczb urlych, że d b d, dl wszysich N ([OM Ir 200) 33 Ciąg sły orz ciąg olejych liczb urlych są α-ciągmi 34 Jeśli s jes usloą liczbą urlą, o ciągi (s) i ( s ) są α-ciągmi 35 Jeśli ( ) jes α-ciągiem, o dl dowolych ieujemych liczb cłowiych, isieją ie liczby cłowie X(, ) orz Y (, ), że + X(, ) + Y (, ) + + D Niech i będą ieujemymi liczbmi cłowiymi Isieie liczb X(, ), Y (, ) jes oczywise w przypdu, gdy Złóżmy dlej, że > i ozczmy przez d jwięszy wspóly dzieli liczb orz + Isieją wówczs ie liczby cłowie u, v, że d u + v + Wyorzysliśmy zą włsość jwięszego wspólego podzieli Z rówości d (, + ) (,+) (+,+) ( +, + ) wyi, że d dzieli liczbę + Zem + pd, gdzie p jes pewą liczbą urlą Bez rudu swierdzmy, że liczby cłowie X(, ) pu i Y (, ) pv spełiją żąde wrui 36 Kżdy α-ciąg jes β-ciągiem ([G-p s353)

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 5 D Wyi o ychmis z 35 i iducji memyczej 37 Jeśli ( ) jes α-ciągiem i s jes liczbą urlą, o iloczy żdych s olejych wyrzów ciągu ( ) jes podziely przez s 2 s Dowód Jes o wiose z 36 38 Ciąg ( ), o wyrzch urlych, jes α-ciągiem wedy i ylo wedy, gdy ) ) ( m, ( m,, dl wszysich liczb urlych m > ([S59 282) D Koieczość wruu wyi z włsości jwięszego wspólego dzieli: (m, ) (m, ) Mmy bowiem: ( m, ) (m,) (m,) ( m, ) Aby pozć doseczość ego wruu przypuśćmy, że isieją ie liczby urle m i, że ( m, ) (m,) Ze zbioru wszysich pr (m, ), dl órych zchodzi ierówość ( m, ) (m,), wybierzmy prę (m 0, 0 ) o jmiejszej sumie m 0 + 0 Poiewż ( m, m ) m (m,m), więc m 0 0 Możemy złożyć, że m 0 > 0 Rozprzmy liczby urle m 0 0, 0 Sum ych liczb jes rów m 0 ; jes więc osro miejsz od sumy m 0 + 0 Mmy więc rówość: ( m0 0, 0 ) (m0 0, 0) Sąd wyi: ( m0, 0 ) ( m0 0, 0 ) (m0 0, 0) (m0, 0), czyli ( m0, 0 ) (m0, 0); wbrew emu, że ( m0, 0 ) (m0, 0) 39 Niech f(x) będzie wielomiem zmieej x o urlych współczyich Defiiujemy ciąg (b ) przyjmując: Ciąg e jes α-ciągiem ([Kw /989 M20) b f(0), b + f(b ), dl N D Wysrczy, mocy 38 wyzć, że (b m, b ) b (m,) Ozczmy: F (x) f(f (f(x)) )) }{{} Jes o wielomi o współczyich cłowiych, przy czym b m F m (0) i b m F m (b ), dl m > Zuwżmy, że F (x) b +xq (x), gdzie Q (x) jes rówież wielomiem o współczyich clowiych Przy m > mmy: (b m, b ) (F m (b ), b ) (b m + b Q m (b ), b ) (b m, b ) Osi rówość wyi z włsości jwięszego wspólego dzieli: ( + b, b) (, b) 30 Jeśli ( ), (b ) są α-ciągmi, o ciąg (c b ) jes rówież α-ciągiem ( ) 3 Iloczy dwóch α-ciągów ie musi być α-ciągiem Ciąg (2 ), będący iloczyem dwóch α-ciągów, ie jes α-ciągiem Jes omis β-ciągiem 32 (Hillm, Hogg 972) Jeṡli (x ) jes α-ciągiem, o ( ) ( + + wd,, wd,, + + dl > N ([MR 47#3287) x x x x x ), x

52Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi J P Bézivi, A Pehö, A J v der Poore, A full chrcerizio of divisibiliy sequeces, prepri, 3 sro A P Hilm, V E Hogg, A proof of Gould s Pscl hex cojecure, [FQ 0(972) 565-568 A P Hilm, V E Hogg, Expoes of primes i geerlized biomil coefficies, [Jrei 262/263 (973) 375-380 J M Hole, Residues of geerlized biomil coefficies modulo prime, prepri, 4 sro, iere 2000 M Mjer, Uogólioe współczyii dwumiowe, [Pmgr 200 J Sdor, A oe o ceri rihmeic fucios, [Sd 28-22 (o fucjch f : N N ich, że (, b) (f(), f(b)) ) 4 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi Mersee Przypomijmy (prz [N-8), że liczbą Mersee zywmy żdą liczbę posci M 2 Symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem (M ) ozczć będziemy przez M 4 Ciąg (M ), olejych liczb Mersee, jes α-ciągiem ([S59 s373, [N-8) Począowe wiersze róją Pscl z liczbmi M :,, 3,, 7, 7,, 5, 35, 5,, 3, 55, 55, 3,, 63, 65, 395, 65, 63,, 27, 2667, 8, 8, 2667, 27,, 255, 0795, 9755, 200787, 9755, 0795, 255,, 5, 43435, 788035, 3309747, 3309747, 788035, 43435, 5, 42 Kżd liczb posci M jes ieprzys 43 Jeśli f(x) 2x+, o ciąg (b ) zdefiiowy w 39 jes ciągiem liczb Mersee 44 Jeśli 0 < < l < orz + l <, o ([Zw 2000) l l l M M M M 45 Jeśli 0 < < l <, o liczby [ M i l ie są względie pierwsze ([Zw 2000) M

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 53 5 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi q - Rozwżć będziemy ciąg q (q ), gdzie q > jes liczbą urlą Jes o zw ciąg liczb Guss W ym przypdu liczby q ozcz się przez Agiels zw ych liczb: Gussi coefficies lub q-biomil q coefficies W szczególym przypdu, gdy q 2, ciąg (q ) jes ciągiem liczb Mersee i liczby [ 2 są odpowiedio rówe liczbom z poprzediego podrozdziłu 5 Ciąg q jes α-ciągiem ([S59 s, [Ber) D Rówość (q, q m ) q (,m) wyzliśmy w [N-8, w rozdzile o liczbch posci b Począowe wiersze róją Pscl z liczbmi 3 :,, 4,, 3, 3,, 40, 30, 40,, 2, 20, 20, 2,, 364, 0, 33880, 0, 364,, 093, 99463, 92577, 92577, 99463, 093,, 3280, 896260, 25095280, 7593222, 25095280, 896260, 3280, Zliwidujmy przecii, liczby ieprzyse zzczmy czrymi ropmi, miejsc z liczbmi przysymi zmlujmy biło Orzymmy wedy sępujący obrze przedswijący powyższy róją Pscl w rymeyce modulo 2 M Lew sro doyczy symboli Newo sowrzyszoych z ciągiem (3 ) Prw omis sro doyczy zwyłych symboli Newo Widzimy, że po obu sroch mmy ideycze rysui T ideyczość podpowid m, że moż udowodić sępujące swierdzeie

54Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 52 3 ( ) (mod 2), dl wszysich, N 0 Począowe wiersze róją Pscl z liczbmi 5 :,, 6,, 3, 3,, 56, 806, 56,, 78, 20306, 20306, 78,, 3906, 50843, 2558556, 50843, 3906,, 953, 27468, 32032793, 32032793, 27468, 953,, 97656, 37886556, 40053706056, 200525284806, 40053706056, 37886556, 97656, Począowe wiersze róją Pscl z liczbmi 7 :,, 8,, 57, 57,, 400, 2850, 400,, 280, 40050, 40050, 280,, 9608, 686525, 4877200, 686525, 9608,, 37257, 33646907, 65364485, 65364485, 33646907, 37257, Odpowiedie rójąy Pscl modulo 2 dl liczb [ 5 i są ie sme j róją 7 Pscl modulo 2 dl zwyłych symboli Newo Wyi o z sępującego swierdzei 53 7 5 3 ( ) (mod 2), dl wszysich, N 0 54 Jeśli f(x) qx + q, o cig (b ) zdefiiowy w 39 jes ciągiem liczb Guss 55 Niech F będzie sończoym q-elemeowym ciłem Niech V F będzie -wymirową przesrzeią liiową d F Liczb wszysich -wymirowych podprzesrzei liiowych przesrzei V jes rów ([LiM s69) q 56 57 58 59 [ q q + q, gdy 0 < ([LiM s7) q q +, gdy 0 < ([Fo) q q q { 0, gdy 2, ( ) 0 q ( q)( q 3 )( q 5 ) ( q ), gdy 2 2 2 q 2 ([A-E, 73) 0 q q ([A-E, 7)

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 55 50 Dl żdej liczby urlej zchodzi rówość: x 5 lim q q (x )(x q) (x q ) ([LiM s7) ( ) ([Ads 36) D Wyi o ze zej rówości lim x x x b b q 52 (Clr 995) b q gdzie Φ jes -ym wielomiem cyloomiczym (mod Φ (q) 2 ), b q 2 53 Liczb url 3 jes pierwsz wedy i ylo wedy, gdy m 0 (mod m), 2m dl wszysich m ich, że 0 2m (HW Gould [MR 46#5225) U Podobe wierdzeie zchodzi dl zwyłych symboli Newo q G E Adrews, Properies of Gussi polyomils, [Ads, 35-45 G E Adrews, K Erisso, Gussi polyomils, [A-E, 64-74 L Crliz, A combioril propery of q-euleri umbers, [Mo 82()(975) 5-54 W E Clr, q-logue of biomil coefficie cogruece, [Ijms 8(995) 97-200 H Coh, Projecive geomery over F d he Gussi biomil coefficies, [Mo (6)(2004) 487-495 R D Fry, Cogruece properies of ordiry d q-biomil coefficies, [Due 34 (967) 467-480 6 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi - b 6 Jeśli > b są względie pierwszymi liczbmi urlymi, o ( b ) jes α-ciągiem ([G-p s74) ( b ) 62 Jeśli > b są względie pierwszymi liczbmi urlymi, o jes α- b ciągiem D Niech w b b Rówość (w, w m ) w (,m) wyzliśmy w [N-8, w rozdzile o liczbch posci b Z powyższego swierdzei, zsosowego dl 0 orz b, orzymujemy: 63 Niech e ozcz liczbę urlą zbudową z jedye Ciąg (e ) jes α-ciągiem ([Kw 2/200 M266 s22-23)

56Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 64 (Pehö 987) Dl żdego α-ciągu ( ) isieje i ciąg (b ) posci b s r i i b i i b i, (gdzie s 0, r 0, i, b i N, wd( i, b i ) ), że b, dl wszysich N ([EvP 7) 7 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi Fibocciego Przypomimy (prz [N-7), że liczbą Fibocciego zywmy żdy wyrz ciągu u (u ) oreśloego wzormi: u u 2 u +2 u + + u, dl N Dobrze widomo (prz przyłd [N-7), że (u ) jes α-ciągiem Liczby posci u ozcz się rówież przez Agiels zw ych liczb: Fiboomil coefficies Spójrzmy F począowe wiersze róją Pscl z liczbmi orz reszy z dzielei przez 2 liczb u wysępujących w ych wierszch,,,, 2, 2,, 3, 6, 3,, 5, 5, 5, 5,, 8, 40, 60, 40, 8,, 3, 04, 260, 260, 04, 3,,,,, 0, 0,,, 0,,,,,,,,, 0, 0, 0,,,, 0, 0, 0, 0,, Po prwej sroie mmy począowe wiersze modulo 2 Gdy zliwidujemy przecii, wszysie zer pomlujemy biło, jedyi zzczymy czrymi ropmi, o orzymmy sępujący obrze Lew sro doyczy symboli Newo sowrzyszoych z ciągiem liczb Fibocciego Prw omis sro doyczy zwyłych symboli Newo

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 57 7 (Hogg 967) u + + u u u u 72 Liczb url 3 jes pierwsz wedy i ylo wedy, gdy m 0 (mod m), 2m dl wszysich ich m, że 0 2m (HW Gould [MR 46#5225) U Podobe wierdzeie zchodzi dl zwyłych symboli Newo 73 (B Wilso 998) Jeśli p jes liczbą pierwszą różą od 2 i 5, o ( ) r u ( )r r+ (mod p) r u u 74 Niech p i q będą usloymi liczbmi urlymi Defiiujemy ciąg (v ) przyjmując: v v 2 p v +2 pv + + qv, dl N Ciąg (v ) jes α-ciągiem (Hogg, Domńsi) G L Alexderso, L F Klosisi, A Fibocci logue of Gussi biomil coefficies, [FQ 2(974) 29-32 P Domńsi, Uogólioe liczby Fibocciego, [Dl (979) V E Hogg, Fibocci umbers d geerlized biomil coefficies, [FQ 5(967) 383-400 DL Wells, Residue cous modulo hree for he Fibocci rigle, Applicios of Fibocci umbers, Vol6, (Pullm, WA, 994), 52-536, Kluwer Acd Publ, Dordrech, 996 DL Wells, The Fibocci d Lucs rigles modulo 2, [FQ 32(994) -23 B Wilso, The Fibocci rigle modulo p, [FQ 36(998) 94-203 8 Symbole Newo sowrzyszoe z liczbmi rójąymi Liczbmi rójąymi zywmy liczby posci + 2 + + 2( + ), gdzie N Przyłdy:, 3, 3 6, 4 0, 5 5, 6 2 Dodowo przyjmujemy, że 0 0 Liczbom rójąym poświęciliśmy cły rozdził w [N-8 Symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem liczb rójąych ozczć będziemy przez [ 8 (Hogg 974) Dl dowolych ieujemych liczb cłowiych, zchodzi rówość ( )( ) ( )( ) + + + + ([FQ 2(974), [MG 93(528)(2009))

58Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi D Rozwż rówość ( zchodzi )( gdy ) ( > )( W ym) przypdu po obu sroch mmy zer + +!( + )! Złóżmy, że Wedy + +!( + )!( )!( + )! orz s 2 2 2 ( 2)(2 3) (( + )) 2 ( 2)(2 3) (( + )) ( 2)(2 3) (( )( + ))!( + )!!( + )!( )!( + )! i o ończy dowód Z powyższej rówości wyi, że żde jes liczbą cłowią Mmy zem: 82 (Hogg 974) Ciąg liczb rójąych jes β-ciągiem Spójrzmy począowe wiersze róją Pscl z liczbmi orz reszy z dzielei przez 2 liczb wysępujących w ych wierszch,, 3,, 6, 6,, 0, 20, 0,, 5, 50, 50, 5,, 2, 05, 75, 05, 2,, 28, 96, 490, 490, 96, 28,,,,, 0, 0,, 0, 0, 0,,, 0, 0,,,,,,,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Po prwej sroie mmy począowe wiersze modulo 2 Gdy w ym rójącie zliwidujemy przecii i wszysie zer pomlujemy biło, jedyi zzczymy czrymi ropmi, o orzymmy sępujący obrze Lew sro doyczy symboli Newo sowrzyszoych z ciągiem liczb rójąych Prw omis sro doyczy zwyłych symboli Newo Łwo sprwdzić, że zchodzą sępujące dwie rówości

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 59 83 ( + ) 84 ( )( ) + + ( + )( + ) ( ) 2 Przez C ozczmy -ą liczbę Cl Przypomijmy (prz podrozdził o liczbch Cl), że C ( ) 2 + Łwo sprwdzić, że 2 85 (2 + )C 2 Sąd orzymujemy: 86 Liczb [ 2 ([MG 93(528)(2009) 449-455) jes wdrow wedy i ylo wedy, gdy liczb 2 + jes wdrow Z rówości 85 wyi rówież, że [ 2 jes liczbą ieprzysą wedy i ylo wedy, gdy C jes liczbą ieprzysą Widomo (prz przyłd 92), że C jes ieprzyse wedy i ylo wedy, gdy jes liczbą Mersee Mmy zem: 87 Liczb [ 2 jes ieprzys wedy i ylo wedy, gdy jes posci 2s, gdzie s 0 ([MG 93(528)(2009) 449-455) Zoujmy sępe swierdzei 88 (Hogg 974) + 0 + + 89 (T Koshy, M Slmssi, 2009) Wszysie liczby [ wedy i ylo wedy, gdy 2 2 s 2, gdzie s N ([MG) C + ([FQ 2(974), [MG 93(528)(2009)) 0, [,, [ są ieprzyse Liczbą prosoąą zyw się żdą liczbę urlą posci o ( + ) Agiels zw ych liczb o oblog umbers Symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem liczb prosoąych ozczmy przez o Zuwżmy, że dl wszysich, N 0 zchodzi rówość: 80 o Zem: 8 Ciąg liczb prosoąych jes β-ciągiem HE Hogg Jr, Trigulr umbers, [FQ 2(974) 22-230 T Koshy, M Slmssi, Tribiomil coefficies d Cl umbers, [MG 93(528)(2009) 449-455

60Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 9 Symbole Newo, liczby eredrle i uogóliei W poprzedim podrozdzile zjmowliśmy się symbolmi Newo sowrzyszoymi z liczbmi rójąymi Ozczliśmy e symbole przez Udowodiliśmy (prz 8), że ( ( ) ) + ( + ) ( + ) + i podswie ego udowodiliśmy, że żde jes liczbą cłowią W podoby sposób wyżemy erz, że wszysie symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem liczb eredrlych są rówież liczbmi cłowiymi Liczbmi eredrlymi zywmy liczby posci T + 2 + + ( + )( + 2), gdzie N 6 Przyłdy: T, T 2 4, T 3 0, 4 20, 5 35 Dodowo przyjmujemy, że T 0 0 Liczbom eredrlym poświęciliśmy jede z podrozdziłów w [N-8 Symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem liczb eredrlych ozczć będziemy przez 9 Dl dowolych ieujemych liczb cłowiych, zchodzi rówość T ( ( ) ( ) ) + +2 ( + ) ( + ) ( + ) + +2 ( +2 ) ( +2 ) ( +2 ) + +2 Jes o szczególy przypde swierdzei 94, órym zjmiemy się późiej Sąd wyi, że żde jes liczbą cłowią Mmy zem: T 92 Ciąg liczb eredrlych jes β-ciągiem Spójrzmy począowe wiersze róją Pscl z liczbmi T,, 4,, 0, 0,, 20, 50, 20,, 35, 75, 75, 35,, 56, 490, 980, 490, 56,, 84, 76, 46, 46, 76, 84,, 20, 2520, 42, 24696, 42, 2520, 20,, 65, 4950, 4580, 6424, 6424, 4580, 4950, 65,, 220, 9075, 08900, 457380, 73808, 457380, 08900, 9075, 220, W rymeyce modulo 2 e róją Pscl przedswi się sępująco: T

Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 6 Lew sro doyczy symboli Newo sowrzyszoych z ciągiem liczb eredrlych Prw omis sro doyczy zwyłych symboli Newo Niech erz s będzie usloą liczbą urlą i iech v ( ) + s dl, 2, Ozczmy przez (s) symbole Newo sowrzyszoe z ciągiem (v ) W szczególości żde [ () jes zwyłym symbolem Newo ( ) Podo, (2), s (3) T dl wszysich, N 0 W rozdzile pierwszym udowodiliśmy: 93 Niech 0 orz p 0 Wedy: ( ( ) ) + ( + ) ( + ) + ( +p ) ( +p ) + ( ) +p ( + ) +p ( +p ) +p ( +p )( +p p+ p+ ( +p )( +p p+ p+ ) ( ( )+p ) p+ ) ( p+ ), p+ gdy Jeśli 0, o wyzczi e jes rówy (prz??) Dl p s, prw sro powyższej rówości jes rów: ( ( )++s )( ( )+2+s s s ( +s )( 2+s s s+ ) ( ( )++s ) ) s ) v ( )+v ( )+2 v v v 2 v ) ( +s s v v v Udowodiliśmy zem sępujące swierdzeie

62Adrzej Nowici, Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 94 Dl żdego s orz dowolych, N 0 zchodzi rówość: (s) ( ( ) ) + ( + ) ( + ) + ( +s ) ( +s + ) ( ) +s ( + ) +s ( +s ) +s Kżd więc liczb posci jes liczbą cłowią Mmy zem: (s) ( ) + s 95 Niech v dl N Dl żdego s ciąg (v ) jes β-ciągiem s Spójrzmy liczby z liczbmi [ (s) dl s 4 orz s 5 Oo począowe wiersze róją Pscl (4) :,, 5,, 5, 5,, 35, 05, 35,, 70, 490, 490, 70,, 26, 764, 46, 764, 26,, 20, 5292, 24696, 24696, 5292, 20,, 330, 3860, 6424, 232848, 6424, 3860, 330,, 495, 32670, 457380, 646568, 646568, 457380, 32670, 495, Począowe wiersze róją Pscl z liczbmi (5) :,, 6,, 2, 2,, 56, 96, 56,, 26, 76, 76, 26,, 252, 5292, 42, 5292, 252,, 462, 9404, 6424, 6424, 9404, 462,, 792, 60984, 73808, 646568, 73808, 60984, 792,, 287, 69884, 3737448, 68856, 68856, 3737448, 69884, 287,

Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi 63 W rymeyce modulo 2 orzymujemy sępujące obrzi: Lewe sroy doyczą symboli Newo sowrzyszoych z ciągiem (v ) odpowiedio dl s 4 i s 5 Prwe omis sroy doyczą zwyłych symboli Newo Lierur [A-E G E Adrews, K Erisso, Ieger Priios, Cmbridge Uiveriy Press, 2004 [Ads G E Adrews, The Theory of Priios, Addiso-Wesley Publishig Compy, 976 [Ber B C Berd, Number Theory i he Spri of Rmuj, Sude Mhemicl Librry 34, AMS 2006 [Bhr M Bhrgv, The fcoril fucio d geerlizios, The Americ Mhemicl Mohly, 07(9)(2000) 783-799 [Dl Del, populry polsi miesięczi memyczo-fizyczo-sroomiczy [Due Due Mhemicl Jourl, (Due Mh J) [EvP G Everes, A v der Poore, I Shprlisi, T Wrd, Recurrece Sequeces, Mhemicl Surveys d Moogrphs, vol 04, AMS, 2003

64 Silie i symbole Newo Symbole Newo sowrzyszoe z ciągmi [Fo M G Foeé, Géérlizio d ue formule coue, Nouvelles les de mhémiques, 4(5)(95), 2 [FQ The Fibocci Qurerly, czsopismo memycze [G-p R L Grhm, D E Kuh, O Pshi, Memy Kore, PWN, Wrszw, 996 [Goul H W Gould, Equl producs of geerlized biomil coefficie, The Fibocci Qurerly, 9(97), 337-346 [Ijms Ieriol Jourl of Mhemics d Mhemicl Scieces Uiv Cerl Florid, Orldo, (Ier J Mh Sci) [Jrei Jourl für die Reie ud Agewde Mhemi de Gruyer, Berli, (J Reie Agew Mh) [KW D E Kuh, H S Wiff, The power of prime h divides geerlized biomil coefficie, Jurml für die reie ud gewde Mhemi, 396(989), 22-29 [Kw Kw, populre czsopismo rosyjsie [LiM W Lipsi, W Mre, Aliz Kombiorycz II, Wrszw 986 [MN M Mjewsi, A Nowici, From Geerlized Biomil Symbols o β- d α-sequeces, PNG Jourl of Mhemics Compuig & Educio, 4(998), 73-78 [MG The Mhemicl Gzee, gielsie populre czsopismo memycze [Mo The Americ Mhemicl Mohly, Mhemicl Associio of Americ [MR [N-7 [N-8 [OM Mhemicl Reviews A Nowici, Ciągi Reurecyje, Podróże po Imperium Liczb, cz7, Wydwicwo OWSIiZ, Toruń, Olszy, 200 A Nowici, Liczby Mersee, Ferm i Ie Liczby, Podróże po Imperium Liczb, cz8, Wydwicwo OWSIiZ, Toruń, Olszy, 200 Olimpid Memycz [Pmgr Prc mgisers, Uiwersye Miołj Koperi w Toruiu, Wydził Memyi i Iformyi [S59 W Sierpińsi, Teori Liczb II, PWN, Wrszw, 959 [Sd J Sádor, Geomeric Theorems, Diophie Equios, d Arihmeic Fucios, Americ Reserch Press, Rehoboh, 2002 [Zw Zwrdoń, Obóz Nuowy Olimpidy Memyczej