Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

Transkrypt

1 Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys. 6.), z. pól oszrów ogrczoych osą OX wykresem fukcj f( przy. Wprowdźmy sępujące ermy: Defcj 6. Podzłem P domkęego przedzłu <, > zywmy kżdą dekompozycję ego przedzłu podprzedzły posc <, >, <, >, <, >,..., < -, >, gdze Długość przedzłu < -, >, ozczć ędzemy symolem, z.: = - -. Nech ozcz jwększą z lcz. Weźmy pod uwgę cąg podzłów P ego smego przedzłu <, >. Zuwżmy, że m mejsz jes wrość, z. m krósze są przedzły dzelące <, > ym ych przedzłów mus yć węcej, z. ym wększe jes. Defcj 6. Cąg P zywmy ormlym cągem podzłów, jeśl lm Uwórzmy erz sumę S, zwą sumą Rem od zwsk emeckego memyk G. F. B. Rem (86 866), kóry zsosowł ją po rz perwszy. Rys. 6. Trpez krzywolowy. S f ( w ), gdze w jes dowolą lczą z przedzłu < -, >. Rys. 6. Przylżee pol rpezu krzywolowego sumą pól prosokąów sr.

2 S jes węc sumą pól prosokąów o podswch < -, > wysokoścch f(c ). (rys. 6.). Jes o węc przylżee pol zwrego mędzy krzywą f( osą OX w przedzle <, >. Przylżee o jes ym dokłdejsze m mejszą wrość m. Defcj cłk ozczoej. Defcj 6. Jeśl cąg S przy jes zeży do ej smej grcy przy kżdym ormlym cągu podzłów P ezleże od wyoru puków c, o fukcję f( zywmy fukcją cłkowlą w przedzle <, > grcę cągu S zywmy cłką ozczoą fukcj f( w przedzle <, > ozczmy symolem: z. lm Zwązek medzy cłką ozczoą eozczoą: f ( c ) Jeżel przez F( ozczymy fukcję perwoą fukcj f( cągłej w przedzle <, >, z. jeżel F ( = f( lu F( C, o: F( ) F( ), przy czym różc po prwej sroe e zleży od słej cłkow C. Włsośc cłk ozczoej. c. Jeżel c, o (.. ( ( g( ) f f g(. k k c. Cłkowe przez podswee. Jeżel g( jes fukcją cągłą w przedzle <, > f( jes fukcją cągłą w przedzle <g(), g()>, o: gdze u = g(. f ( g( ) g'( g( ) g( ) f ( u) du sr.

3 5. Cłkowe przez częśc. Jeżel f( g( są fukcjm mjącym cągłą pochodą, o: g( g'( g( f '( Przykłd 6. Olczyć. s cos,. s. sr.

4 Zsosow cłk ozczoej Olcze pól fgur ogrczoych krzywym. Z erprecj geomeryczej cłk ozczoej (rys. 6., sum Rem, rys. 6.) wyk, że jeśl fukcj f( przyjmuje w przedzle <, > wrośc dode, o pole P oszru ogrczoego wykresem ej fukcj, prosym =, = orz osą OX jes rówe P. Jeśl w przedzle <, > fukcj f( przyjmuje wrośc ujeme, o dl ego przedzłu sum Rem jes ujem. sąd wyk, że pole odpowedego oszru wyrż sę wzorem P Przykłd 6. Rys. 6. Przylżee pol rpezu krzywolowego sumą pól prosokąów. Przypdek fukcj ujemej. Olczyć pole oszru ogrczoego łukem krzywej f( = + -, odckem os OX orz prosym = - =. Rozwąze. Njperw musmy szkcowć w ukłdze współrzędych oszr, kórego pole mmy olczyć. Chodz przede wszyskm o podzelee przedzłu cłkow podprzedzły, w kórych fukcj podcłkow m sły zk. W ym celu rozwązujemy rówe + - =, czyl ( + ) =. Orzymujemy sępujące perwsk: = -, = =. Przedzł (-, ) rozjmy podprzedzły (-, >, (, > (, ) dmy zk fukcj w kżdym z ych podprzedzłów. Ieresujący s oszr przedswoy jes rysuku 6.. Z rysuku ego wyk, że eresujące s pole P jes sumą rzech pól: P = P + P + P, gdze. P ( 8 8 Rys. 6.. sr.

5 P ( 5 ( P Zem P Cłk ewłścwe Doychczs, mówąc o cłce ozczoej zkłdlśmy, ekedy mlcząco, że:. przedzł, jes skończoy, z. - < < <.. f( jes w przedzle, fukcją cągłą. Nesey e zwsze złoże e są spełoe. 6. Cłk ozczoe w przedzle eskończoym. Złóżmy, że fukcj f( jes cągł w eskończoym przedzle, ) orz, że dl kżdej k lczy k, ) seje (rys. 6.5). Rys. 6.5 Defcj 6. Jeżel fukcj f( jes cągł w eskończoym przedzle, ), o lm. Jeżel powyższ grc seje, o mówmy, że cłk ewłścw jes zeż że jej wrość jes rów ej grcy. Jeżel oms powyższ grc e seje, o mówmy, że cłk ewłścw jes rozeż. Podoe defujemy cłkę ewłścwą dl eskończoego przedzłu cłkow (-,. sr. 5

6 Defcj 6.5 Jeżel fukcj f( jes cągł w eskończoym przedzle (-,, o lm. Trzecm przypdkem cłk ewłścwej przedzle eskończoym jes cłk ozczo przedzle cłkow (-, ). Defcj 6.6 Jeżel fukcj f( jes cągł dl wszyskch jes dowolą lczą rzeczywsą, o Przykłd 6. Sprwdzć, czy sępujące cłk są zeże: ), ( ) ). Przykłd 6. Olczyć pole oszru leżącego pod wykresem krzywej y = e, pod osą OX, lewo od prosej =. Przykłd 6.5 Olczyć pole.. Nszkcowć wykres fukcj y zerpreowć cłkę jko Rys. 6.6 sr. 6

7 6.. Cłk z fukcj eogrczoych. Rozwżmy erz przypdek kedy przedzł cłkow, jes skończoy, le fukcj podcłkow m w ym przedzle puky ecągłośc o ke, w kórych wykres ej fukcj m sympoy poowe. Rozwżmy przedzł prwosroe owry Rys. 6., ). Złóżmy, że w przedzle ym fukcj f( jes cągł lm (rys. 6. ()). Poewż fukcj f( jes cągł w cłym przedzle (e zwerjącym puku ), dl kżdej wrośc kej że < <, seje cłk. Jeżel dodkowo seje grc lm, o mówmy, że grc jes rów cłce ewłścwej. Alogcze określmy cłkę ewłścwą, gdy ecągłość fukcj podcłkowej wysępuje w lewym końcu przedzłu cłkow (rys. 6. ()). Defcj 6.. Jeśl f( jes fukcją cągłą przedzle, ) ecągłą dl =, o lm.. Jeśl f( jes fukcją cągłą przedzle (, ecągłą dl =, o lm. Podoe jk poprzedo, jeśl grce zpse w defcj 6. seją o mówmy, że cłk ewłścw jes zeż, oms jeśl e seją, o mówmy że jes rozeż. sr.

8 Defcj 6.8 Jeśl fukcj f( m puk ecągłośc dl = c leżący wewąrz owrego przedzłu (, ) poz ym pukem jes cągł dl wszyskch (, ), o c c jeśl oe cłk po prwej sroe rówośc seją. Powyższą defcję moż sosowć kże dl fukcj, kór w przedzle cłkow m węcej ż jede puk ecągłośc. Przykłd 6.6 Olcz cłk:.. Rozwąze.. Fukcj podcłkow jes eokreślo dl = defcję 6., wzór. lm lm (sosujemy podswee = k, = -dk ). lm, zem możemy zsosowć lm. Fukcj podcłkow jes eokreślo dl =. Podo zsosowć defcję 6., wzór. lm lml l ( lm lm l ) Cłk jes węc rozeż... Możemy węc sr. 8

9 Przykłd 6. Olcz cłk:.. Rozwąze.., / Pukem ecągłośc fukcj podcłkowej jes =. Podo lm. Możemy węc zsosowć defcję lm, orz lm lm lm Cłk Oczywśce. e musmy już lczyć. jes rozeż. Pukem ecągłośc fukcj podcłkowej jes = -. Podo lm /, zem / / / /. lm / / / lm orz / lm lm / / Zem / / lm / 6 lm lm / 6 9 / sr. 9