Temat: Wybrane zagadnienia kinematyki mechanizmów. Ruch punktu: prostoliniowy, krzywoliniowy (np. po okręgu, elipsie, dowolnej krzywej)
|
|
- Patrycja Małek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tem: Wybre zgdiei kiemyki mechizmów Ruch puku: prosoliiowy, krzywoliiowy (p. po okręgu, elipsie, dowolej krzywej) Ruch bryły: posępowy, obroowy, płski, kulisy, śrubowy, dowoly. Liczbę iezleżych współrzędych (współrzędych uogólioych) porzebych do określei położei puku lub bryły w przesrzei zywmy liczbą sopi swobody RUCH POSTĘPOWY RYŁY Ruch posępowy człou zchodzi wówczs, jeżeli dowoly odciek A związy szywo z człoem zchowuje położeie rówoległe w kolejych położeich mechizmu: A A Rys. Twierdzeie: Jeżeli brył porusz się ruchem posępowym o wszyskie puky bryły poruszją się po orch przysjących i w kżdej chwili mją e sme prędkości i przyspieszei. A A = = A A = = Rówi ruchu posępowego: x = x( ), y = y( ), z = z( ) x,y,z - współrzęde uogólioe Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
2 Przykłd. Rówoległobok przegubowy Rozkłd prędkości i przyspieszeń puków człou w ruchu posępowym. Rys. Tory puków, C, K, M są rówoległe ich prędkości i przyspieszei rówe. = C = K = M = C = K = M ε = ω = RUCH OROTOWY RYŁY rył wykouje ruch obroowy, jeżeli wszyskie puky ej bryły poruszją się po orch kołowych leżących w płszczyzch do siebie rówoległych. Środki geomerycze orów (okręgów) leżą jedej prosej, kór jes osią obrou bryły. Rys. rył w ruchu obroowym m jede sopień swobody, ϕ( ) ϕ ( ) - współrzęd uogólio Ką obrou bryły: ϕ = ϕ( ), Prędkość kąow: ω = ϕ =, dϕ d Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
3 Przyspieszeie kąowe: dω ε = = d ϕ d d Prędkość liiow dowolego puku bryły: = ω r, = ω r Przyspieszeie liiowe sycze dowolego puku bryły: = ε r, = ε r Przyspieszeie liiowe ormle dowolego puku bryły: = ω = ω ω r, = ω r Przykłd. Czło mechizmu płskiego w ruchu obroowym = ω A Rys. 4 = ω A, = ε A gα = ω = A = M AM RUCH PŁASKI RYŁY ε A ε gβ = = = ω A ω = A 4 ω + ε rył wykouje ruch płski, jeżeli wszyskie puky bryły poruszją się w płszczyzch rówoległych do pewej płszczyzy ieruchomej. Rys. 5 Rówi ruchu płskiego: x = x ( ), y = y ( ), ϕ = ϕ( ). Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
4 Twierdzeie: Jeżeli figur płsk porusz się w swej płszczyźie o z kżdego położei dje się przesuąć w ie położeie poprzez obró dookoł puku leżącego w płszczyźie, zwego chwilowym środkiem obrou. Przykłd. De: prędkość puku -, orz kieruek prędkości puku C. Nleży wyzczyć wrość prędkości puku C leżącego człou, kóry wykouje ruch płski. W celu wyzczei chwilowego środk obrou człou rysujemy prosą prosopdłą do wekor prędkości puku w jego począku orz logiczie rysujemy prosą prosopdłą do wekor prędkości puku C. N przecięciu obydwu prosych zjdujemy puk O sowiący chwilowy środek obrou człou. Nsępie obliczmy prędkość kąową ω. Zjąc prędkość kąową ω obliczmy prędkość dowolego puku ego człou, p. puku C i K. = ω A Rys. 6 Wyzczie prędkości i przyspieszeń meodą grfoliyczą zywej rówież meodą plów prędkości i przyspieszeń lub meodą superpozycji Prędkości i przyspieszei puków człoów mechizmów są wyzcze podswie skłdi ruchu uoszei i ruchu względego Meod plów prędkości i przyspieszeń jes meodą grfoliyczą, co ozcz, że iekóre wielkości (prędkości i przyspieszei liiowe i orz prędkości i przyspieszei kąowe) obliczmy z rówń lgebriczych pozosłe prędkości i przyspieszei liiowe wyzczmy z rówń wekorowych. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 4
5 Przykłd 4 Wyzczyć prędkość i przyspieszeie puków, C, D mechizmu korbowo-suwkowego grfoliyczą meodą plów. De: ω = cos, wymiry mechizmu A, C, D. Zdie rozwiązć dl zdego położei kąowego człou pędzjącego ϕ. Rówi plu prędkości Obliczmy: = ω A, sępie piszemy rówie wekorowe: C = + C AC A C Rys. 7 (P4.) Przyjmujemy puk bieguowy π i rozwiązujemy wykreślie w podziłce rówie (), rysując zw. pl prędkości, (rys. 8). Z plu prędkości orzymmy wrość prędkości: C, C Rys. 8 Prędkość kąową dźwigi obliczymy po odczyiu z plu prędkości wrości wekor C (odciek bc) : ω = C ; C W celu wyzczei prędkości puku D piszemy rówi: D = = ω + D D D Prędkość względą - D moż rówież wyzczyć korzysjąc z proporcji: C cb C = = db D D sępie leży zzczyć plie puk d (koiec wekor D ). (P4.) Po połączeiu biegu π z pukem d z orzymmy wekor prędkości puku D j. D Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 5
6 Rówi plu przyspieszeń: Rówi przyspieszeń piszemy podobie jk rówi prędkości. = + = = poiewż ε = A C = + C + C AC A C C C (P4.) gdzie: C = = ω C C Rozwiązujemy wykreślie w podziłce rówie (), rysując zw. pl przyspieszeń z dowolie przyjęego biegu π (rys. 9), Orzymmy przyspieszei: i C C Przyspieszeie kąowe dźwigi obliczymy po odczyiu wrości wekor C z plu C przyspieszeń (odciek bc): ε =. C Nsępie zjdziemy przyspieszeie puku D podswie rówń: D = + D + D gdzie: D = ε D, Przyspieszeie względe - z proporcji: C cb C = =. db D D D = ω D D = D + D, moż eż wyzczyć korzysjąc orz Rys. 9 Wyzczjąc w e sposób położeie puku d plie przyspieszeń i łącząc sępie biegu π z ym pukem zjdziemy wykreślie przyspieszeie D. (P4.4) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 6
7 Aliz kiemycz mechizmów dźwigiowych meodą wieloboku wekorowego W opisywej meodzie łńcuch kiemyczy dowolego płskiego mechizmu dźwigiowego przedswi się w posci zmkięego wieloboku wekorowego (Rys. ), kóry określ chwilowe położeie człoów. Kżdy z wekorów I i ego wieloboku zdefiiowy jes we współrzędych bieguowych przez dw prmery: długość wekor określjący jego kieruek. I i = Ii orz ką ϕ i Rys.. Mechizm dźwigiowy jko wielobok wekorowy Rys.. Określie kąów w meodzie wieloboku wekorowego Dodi ką ϕ i jes o ki ką o jki leży obrócić oś x ukłdu współrzędych Oxy w kieruku przeciwym do ruchu wskzówek zegr w prwoskręym ukłdzie współrzędych by jej dodi zwro pokrył się z dodim zwroem wekor I i co przedswioo Rys.. Przy kiej umowie współrzęde wekor Ii (Iix,Iiy ) wyoszą zwsze: I ix = Ii i, Iiy = Ii siϕi () zki współrzędych są określoe poprzez zki fukcji si ϕ i i cos ϕ i. Mechizm płski zdefiiowy jes przez zmkięy wielobok skłdjący się i = i = z wekorów, co zpisujemy sępująco: I () Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 7
8 Wielobok wekorowy zbudowy człoch mechizmu posid prmerów. Ii = i= () Rys. powórzoy. Mechizm dźwigiowy jko wielobok wekorowy Wielobok wekorowy opisy rówiem () po zrzuowiu go osie płskiego ukłdu współrzędych odpowid dwóm rówiom sklrym: lix =, li i = () i = i = liy =, li si = i = i = ϕ i (4) Poiewż ukłd rówń (), (4) musi być ozczoy, jego podswie moż wyzczyć dw szuke prmery geomerycze p. dwie długości, długość i ką lub dw kąy. Pozosłe - prmery muszą być zem ze i leży je przyjąć jko de w momecie defiiowi mechizmu. Po zróżiczkowiu rówń (), (4) względem czsu orzymujemy ukłdy rówń: dl d i = ix =, dl d i = iy = d l d l ix iy orz =, = i = d i = d (5) (6) Z ukłdu rówń (5) wyzcz się dwie szuke prędkości liiowe lub kąowe podswie (6) dw szuke przyspieszei liiowe lub kąowe. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 8
9 Przykłd 5. Mechizm korbowo-suwkowy Mechizm moż zpisć rzem wekormi w sposób pokzy Rys.. Nleży zem przyjąć = 4 prmery. De: ϕ = ϕ( ), ϕ = π, A = l, C = l Szuke: = x ( ), ϕ = ϕ ( ), = ( ), ω = ω ( ), = ( ), ε = ε ( ) Rozwiązie xc C C C C C Dw wekory l, l mją słą długość. Wekor l zmiei swoją długość w czsie ruchu mechizmu. Wpisujemy wielobok wekorowy w kour mechizmu i ozczmy położei kąowe poszczególych wekorów względem osi Ox z pomocą kąów skierowych. Rys. Opisujemy wielobok wekorowy rówiem wekorowym: l l + l + = (P5.) Nsępie piszemy odpowiedie rówi sklre: l cos + l cos ϕ l ϕ = (P5.) l si + l siϕ ϕ = (P5.) l Przyjmując ozczeie λ = mmy z (P5.) mmy: l l si ϕ siϕ = λ siϕ l = P5.4) i sąd ϕ = rc si( λ siϕ) (P5.5) Dlej ozczymy: A = = si ϕ = λ si ϕ (P5.6) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 9
10 W celu wyzczei prędkości liiowej orz przyspieszei liiowego puku C koiecze jes wprowdzeie wekor promiei wodzącego ego puku r C. Wekor promień wodzący dowolego mechizmu płskiego lub przesrzeego prowdzoy jes zwsze od począku ukłdu współrzędych do dego puku, kórego prędkość lub przyspieszeie chcemy obliczyć. C C = l = l l (P5.7) r ( x, ) + Rys. powórzoy Współrzęd wekor promiei wodzącego określjąc położeie suwk wyosi: = l + l = l cos + l = l + l A xc x x ϕ P5.8) W celu obliczei prędkości kąowej różiczkujemy (P5.5) względem czsu: ϕ& ω = ϕ& = λϕ& = λϕ& = λϕ& A (P5.9) Nsępie różiczkując (P.8) względem czsu obliczymy prędkość liiową puku C: = x& = l ϕ (siϕ,5 λ & + A si ϕ ) (P5.) C C W celu obliczei przyspieszei kąowego różiczkujemy (P5.9) względem czsu: λ λ ε = && ϕ = ϕ& siϕ cos ϕ si ϕ & ϕ cos ϕ A A (P5.) Nsępie różiczkujemy (P5.) i orzymmy przyspieszeie liiowe puku C: (P5.) λ λ λ = x&& = C l && ϕ siϕ si ϕ lϕ& si ϕ cos ϕ A 4A A C Jeżeli korb A = I obrc się ze słą prędkością kąową, wedy jej przyspieszeie ϕ& & d = = = ω d kąowe jes rówe zero czyli ε, co leży uwzględić w rówich. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
11 Przykłd 6. Mechizm czworoboku przegubowego W e mechizm wpisujemy czery wekory (Rys. ). Nleży zem przyjąć 4 = 6 prmerów. Wszyskie wekory w przypdku ego mechizmu mją słą długość. De: ϕ, l, l, l, l ϕ = π, Szuke: ϕ, ϕ, ω, ω, ε, ε. Rozwiązie Mechizm zpisujemy wielobokiem wekorowym: l + l + l l + = (P6.) Rys. Po rzuowiu rówi (P.) osie ukłdu współrzędych orzymmy: l l siϕ + l + l siϕ + l + l siϕ l = = (P6.) Przekszłcmy ukłd rówń (P.) do posci: l + l l = l l siϕ + l siϕ = l siϕ Po wprowdzeiu ozczeń: = l l, = l si, orzymmy: A + l + l A ϕ siϕ = l = l siϕ Rówi (P6.4) podosimy do kwdru i dodjemy sromi A Rówie (P6.5) dzielimy przez Al (P6.) (P6.4) + Al + + l siϕ + l l = (P6.5) A + Al + l l + + siϕ = (P6.6) A Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
12 Przyjmiemy ozczei: C A + + l l = Al, D =, A C + + Dsiϕ = (P6.7) zem (P.6) przyjmie posć: Po podiesieiu (P.6) sromi do kwdru orzymujemy: ( + D )cos ϕ + C + (C D ) = (P6.8) Po podswieiu w = orzymmy rówie kwdrowe w posci: ( + D )w + Cw + (C D ) = (P6.9) z kórego wyzczymy dw pierwiski w, w, sępie dwie wrości ką ϕ, j. kąy ϕ (), ϕ( ). Dw rozwiązi rówi kwdrowego (P6.9) odpowidją dwóm wriom położei człoów mechizmu czworoboku przegubowego przy usloym położeiu człou pędzjącego ϕ co pokzo Rys.. Ką ϕ zjdziemy z rówi (P6.4). Orzymmy odpowiedio: ϕ (), ϕ( ). W celu wyzczei prędkości kąowej człoów i różiczkujemy pierwsze z rówń (P6.) i orzymujemy: l siϕ + ωl siϕ + ωl siϕ ω = (P6.) gdzie: d ϕ dϕ d, ϕ ω = ω =, ω =, d d d - pochode kąów, W celu wyzczei prędkości kąowej ω obrcmy ukłd współrzędych o ką ϕ. Rówie (P6.) przyjmie posć: l si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) ω = (P6.) poiewż wyrżeie ω si( ϕ ϕ ) o orzymmy: l = ω ωl si( ϕ ϕ ) l si( ϕ ϕ ) = (P6.) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
13 Alogiczie obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ mmy: l si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) ω = (P6.) Poiewż si( ϕ ϕ ) o prędkość kąow człou : = ω l si( ϕ ϕ ) = ω l si( ϕ ϕ ) (P6.4) W celu obliczei przyspieszeń kąowych różiczkujemy rówie (P6.) ω l + εl siϕ + ω l + εl siϕ + ω l + εl siϕ = (P6.5) Przyspieszeie kąowe człou - ε orzymmy obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ ε ω l cos( ϕ ϕ ) + εl si( ϕ ϕ ) + ω l + ω l cos( ϕ ϕ ) = l si( ϕ ϕ ) (P6.6) Przyspieszeie kąowe człou - ε orzymmy obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ ε ω l cos( ϕ ϕ ) + εl si( ϕ ϕ ) + ω l cos( ϕ ϕ ) + ω l = l si( ϕ ϕ ) (P6.7) Rówi (P6.5), (P6.6) i (P6.7) ulegą uproszczeiu jeżeli prędkość kąow ω cos, wówczs przyspieszeie ε. = = Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.
14 Wspomgie kompuerowe lizy kiemyczej mechizmów Progrmy:. Aliz kiemycz mechizmów AKM WIN,5 (glxy.uci.gh.edu.pl\~kmmip). Simulio d Alysis of Mechisms SAM 4. ( Workig Model AKM WIN,5: liz kiemyczą płskich mechizmów dźwigiowych i krzywkowych SAM: Aliz kiemycz i kieosycz (siłow) mechizmów płskich Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 4
15 ZADANIA DO ROZWIĄZANIA NA ĆWICZENIACH Mechizm moż rówież zmodelowć w progrmie SAM Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 5
Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,
Wyznaczyć prędkości punktów A i B
Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w ruchu płaskim (a) Wyzaczyć prędkości puków i Dae: rad/s; ε 0; 5 cm; 5 cm 48 mechaika echicza kiemayka 3 Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.
Struna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Analiza kinematyczna mechanizm III klasy
liz kiemycz mechizm III klsy 5 6 3 6 4 D De: 6 = Rówie: Kieruek??? Środki obrou? Trjekori? D 6 4 3 5 6 k II k k II k ( ) Wspóly kieruek D 6 4 3 5 6 k II k k II k ( ) Wspóly kieruek k k k k 5 6 3 6 4 D
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Modelowanie wspomagające projektowanie maszyn (TMM) Wykład 2 Analiza kinematyczna
Poliechik ubelsk Ked Podsw Kosukcji Mszy i Mechoiki Modelowie wspomgjące pojekowie mszy (TMM) Wykłd liz kiemycz ubli 07 D iż. Łuksz Jedliński Ifomcje ogóle Kiemyk zjmuje się bdiem uchu bez uwzględiei pzyczy
Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Matematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna
Rozszerzeie zczei smolu cłi Riem Z deiicji cłi Riem widć że isoą rolę odrw uporządowie prosej R prz worzeiu podziłu P. Jeżeli zmieim uporządowie prosej o sum cłowe zmieiją z o zmieiją z różice - -. Przjmiem
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0
Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu posępowym. Zasada pędu i popędu ma posać: p p S gdie: p m v pęd bryły w ruchu posępowym S c W d popęd siły diałającej na bryłę w ruchu posępowym aś: v c prędkość środka
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr
INSTYTUT ENERGOEEKTRYKI POITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Rpor serii SPRAWOZDANIA Nr N prwch rękopisu do użyku służboweo ABORATORIU TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA dl kieruku AiR Wydziłu echiczeo INSTRUKCJA ABORATORYJNA
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami?
Fukcj jdj zmij - ćwiczi. Nrysuj rlcj. Kór z ich są fukcjmi? A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = - A 5 = (.y) R : y = ( + A 6 = (.y) R : y +. Zlźć dzidzię fukcji okrśloj
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Fizyka 1- Mechanika. Wykład 2 12.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyk 1- Mechnik Wykłd 1.X.17 Zygmun Szefliński Środowiskowe Lbororium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl hp://www.fuw.edu.pl/~szef/ Pojęci podswowe Punk merilny Ciło, kórego rozmiry możn w dnym zgdnieniu
Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
MECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Analiza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)
Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
II.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie
II. Położenie i prędkość cd. Wekory syczny i normalny do oru. II.3 Przyspieszenie Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
5.3.1. Zmiana układów odniesienia
531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch
RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE Z PARAMETREM
ÓWNANIA TYGONOMETYCZNE Z PAAMETEM Do grupy zgdnień eycznyc, w kóryc wysępuje pojęcie preru, nleżą równni rygonoeryczne. ozprywnie równń rygonoerycznyc z prere swrz ożliwość powórzeni i urwleni ożsości
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
MECHANIKA. Podstawy kinematyki Zasady dynamiki. Zasada zachowania pędu Zasada zachowania energii Ruch harmoniczny i falowy
MECHANIKA Podswy kineyki Zsdy dyniki Siły Równnie ruchu Ukłdy inercjlne i nieinercjlne Zsd zchowni pędu Zsd zchowni energii Ruch hroniczny i flowy ruch rejesrowne w czsie w sposób ciągły ziny położeni
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
REPREZENTACJA SYGNAŁÓW
REPREZENTACJA SYGNAŁÓW Spi reści:. Bzy ygłów.. Procedur oroormlizcyj. 3. Wielomiy, fukcje Hr i Wlh, fukcje gięe, rygoomerycze. 4. Sygły dwurgumeowe... -. -...5..5.3 Reprezecj ygłmi elemerymi.5 N = 8 =.9
R, R, R n itd. przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory określone przez długość, kierunek i zwrot.
WYKŁAD. PRZESTRZENIE AFINICZNE, PROSTA. PŁASZCZYZNA. E PRZESTRZENIE AFINICZNE y P(,, c) x z E, E, E d. - rzesrzee ukoe, kórych elemem są uky ose rzy omocy sółrzędych, j. ukłdó lcz rzeczysych osc (, ),
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH
SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Andrzej Sokołowski Akdemi Ekonomiczn w Krkowie, Zkłd Sysyki W oprcowniu ym przedswiono pewną
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Zastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
ver b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNKÓW RUCHU SAMOCHODU
Zbigiew LOZIA, Pio WOLIŃSI RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNÓW RUCHU SAMOCHODU Seszczeie Pc pzedswi oceę długości dogi mowi i dogi zzymi smocodu (zwej kże
MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA
Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl AŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA Niech ędzie płsim lu pzeszeym łuiem głdim o pmeyzcji: x : y weoowo ; ) z z [ ] Uwg: Złożeie głdości x,, z, ) gwuje posowlość
Mechanika Bryły y Sztywnej - Ruch Obrotowy. Bryła a Sztywna. Model górnej kończyny Model kręgosłupa
WYKŁAD # Mechaka Bryły y Szywej - Ruch Obroowy Bryła a Szywa Model cała rzeczywsego, dla k puky (ależą podczas ruchu. a rzeczywsego, dla kórego dwa dowole wybrae żące do bryły) y) e zeają swojej odległośc
MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU
MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek
PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Def.12. Minorem stopnia k N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych
Fk. Niech mciee i B ego smego sopi będą odrcle or iech R-{}, N. Wed mciee -, T, B,, są kże odrcle i prdie są róości:. de ( - )=(de ) -. ( - ) - =. ( T ) - =( - ) T. (B) - =B - -. ( ) - = ( - ). ( ) - =(
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Istytut Mtemtyki Politechiki Pozńskiej Cłki ozczoe. Defiicj cłki ozczoej Niech d będzie fukcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey podprzedziłów puktmi = x < x < x
drgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony
Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi
RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Collegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt