Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część. Silie i Symbole Newtoa Rozdział 8 8. Trójkąt Pascala modulo m Adrzej Nowicki 2 maja Spis treści 8 Trójkąt Pascala modulo m 2 8. Trójkąt Pascala modulo Trójkąt Pascala modulo Trójkąt Pascala modulo Trójkąt Pascala modulo Trójkąt Pascala modulo m dla m Trójkąt Pascala modulo p Trójkąt Pascala modulo p s Podzielość liczby ( k przez Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora:

2

3 8 Trójkąt Pascala modulo m 8. Trójkąt Pascala modulo 2 Spójrzmy a początkowe wiersze trójkąta Pascala oraz a reszty z dzieleia przez 2 liczb występujących w tych wierszach Po prawej stroie mamy początkowe wiersze tzw. trójkąta Pascala modulo 2. Gdy w tym trójkącie zlikwidujemy przeciki i wszystkie zera pomalujemy a biało otrzymamy iteresujący obrazek. Oto obrazek tego typu zbudoway z 35 początkowych wierszy. Obrazek jest podoby do zaego fraktalu typu IFS azywaego dywaem Sierpińskiego. 2

4 22 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Poieważ ( ( 0 = = dla N0 więc a początku i a końcu każdego wiersza występują jedyki. Wiemy (patrz 6..2 że wszystkie liczby postaci ( 2 m k dla k < 2 m są parzyste. Z tego wyika że w trójkącie Pascala modulo 2 każdy wiersz którego umer jest potęgą dwójki jest postaci Wiersze o umerach 2 m składają się z samych jedyek. To z kolei wyika z astępującego stwierdzeia Następujące dwa waruki są rówoważe: ( wszystkie liczby:... 0 (2 liczba + jest potęgą dwójki. ([Wio] 24 [S50] 24 [Bry] 7.. są ieparzyste; D. Niech = a r 2 r + a r 2 r + + a 2 + a 0 gdzie r 0 a r 0 będzie przedstawieiem 2-adyczym liczby. Skoro a r 0 więc a r =. Niech k {0... } i rozpatrzmy ( k. Poieważ k więc przedstawieie 2-adycze liczby k jest postaci k = b r 2 r + b r 2 r + + b 2 + b 0 gdzie b 0 b... b r {0 }. Z twierdzeia Lucasa mamy więc ar ar a a0 (mod 2. k b r b r (2 (. Jeśli = 2 s to = 2 s + 2 s W tym przypadku r = s oraz a r = a r + = a = a 0 =. Wszystkie więc liczby postaci ( a i ( b i są rówe albo ( 0 albo więc są rówe. W tym przypadku więc ( ( k (mod 2 dla wszystkich k {0... } czyli k jest ieparzyste dla wszystkich k {0... }. ( (2. Załóżmy że wszystkie liczby ( ( 0 (... ( są ieparzyste. Wtedy ai b i = dla wszystkich i = 0... r. Zatem b i a i dla wszystkich i = 0... r. Gdyby któreś a i było rówe 0 to dla b i = mielibyśmy ( a i b i = 0 i wtedy 2 i 0 (mod 2. Zatem a i = dla wszystkich i = 0... r. Stąd = 2 r + 2 r = 2 r+. Wykażemy teraz że liczba jedyek występujących w wierszu trójkąta Pascala modulo 2 jest zawsze potęgą dwójki. W tym celu przypomijmy ajpierw że jeśli jest liczbą aturalą to przez s 2 ( ozaczamy sumę cyfr w przedstawieiu dwójkowym liczby. W tym przypadku s 2 ( jest liczbą jedyek występujących w przedstawieiu dwójkowym liczby. Przypomijmy rówież że przez v 2 ( ozaczamy taką liczbę k że 2 k i 2 k Niech a b 0. Następujące waruki są rówoważe: a + b (a jest liczbą ieparzystą; a (b v 2 ((a + b! = v 2 (a! + v 2 (b!; (c s 2 (a + b = s 2 (a + s 2 (b (Glaisher 899. Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich liczb ieparzystych występujących w ciągu jest rówa 2 s 2(. ([Mo] 65(5(958 z.e288 [Nord] 998 [Gr98]. b b 0

5 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 23 D. (Sposób I. Jest to fakt dla p = 2. D. (Sposób II. Ozaczmy rozważaą liczbę przez w. Niech = 2 s + m gdzie s N oraz 0 m < 2 s. Z wiemy że jeśli 0 k < 2 s to ( 2 s + m m (mod 2. k k Natomiast z wiemy że jeśli k 2 s to ( 2 s + m k ( m k 2 s (mod 2. Stąd wyika że w = 2w m. Powtarzając to dla liczby m stwierdzamy że w m = 2w m dla pewego m itd. Ostateczie otrzymamy że w = 2 s w 0 gdzie s = s 2 (. Jest oczywiste że w 0 =. Zatem w = 2 s2(. m Kilka stwierdzeń o parzystości i ieparzystości symboli Newtoa (Lucas. Liczba jest ieparzysta wtedy i tylko wtedy gdy w przedstawieiu dwójkowym każda cyfra liczby k jest ie większa od odpowiediej cyfry liczby k. D. Wyika to z twierdzeia Lucasa 7.2. lub Jeśli k jest liczbą ieparzystą to 2 jest liczbą parzystą. (Wyika z 6..3 dla p = 2. k Jeśli jest taką liczbą aturalą że jest liczbą ieparzystą to = 2 s s 0. ([OM] Czechosłowacja 984/ (mod 2 dla 5. ([FQ] B Ozaczmy przez a( i b( odpowiedio liczbę zer i liczbę jedyek w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo Dla każdego liczby a( i b( są róże. Iymi słowy w trójkącie Pascala modulo 2 ie ma takiego wiersza w którym liczba jedyek jest rówa liczbie zer. ([Dlt] 6/ a( = b( + = 2. ([Dlt] 6/ a( = b( = 2 k 2 gdzie k N. ([Dlt] 6/ Ozaczmy przez c( liczbę wszystkich jedyek występujących w trójkącie Pascala modulo 2 od początku do -tego wiersza włączie; iymi słowy c( = b(i. i=0

6 24 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8... c(2 s = 3 s dla s N lim c( = lim ( + 2 c( 2 = 0. ([Pams] 62(( W dowolym wierszu trójkąta Pascala modulo 2 ie ma bloków postaci 0 oraz 0. ([Mo] 8-9(980 E (L. Roberts. Niech będzie dowolą liczbą aturalą i iech = d 2 d będzie jej przedstawieiem w dwójkowym systemie umeracji. Rozpatrzmy zbiór S = {i; i = } i spójrzmy a -ty wiersz trójkąta Pascala modulo 2 jak a liczbę zapisaą w dwójkowym systemie umeracji; ozaczmę tę liczbę przez z. Zachodzi wtedy rówość z = i S F i gdzie F i = 2 2i + jest i-tą liczbą Fermata. ([Gra] [Gr98]. J. W. L. Glaisher O the residue of a biomial-theorem coefficiet with respect to a prime modulus Quart. J. Pure. App. Math. 30( E. T. Howard The umber of biomial coefficiets divisible by a fixed power of 2 [Pams] 29( E. T. Howard The umber of odd biomial coefficiets [Pams] 62(( B. K. Spearma K. S. Williams O a formula of Howard BHKMS 2( Cz. Wowk Trójkąt Pascala i podzielość [Mat] ( Trójkąt Pascala modulo Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 3 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki.

7 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m W każdym wierszu trójkąta Pascala modulo 3 liczba jedyek jest większa od liczby dwójek. ([OM] W.Brytaia 984. D. (Ady Liu [Crux] /99 s.5. Mówić będziemy że day wielomia (ależący do Z[x] jest s- wielomiaem jeśli liczba jego współczyików przystających do modulo 3 jest ostro większa od liczby jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Musimy wykazać że ( + x jest s-wielomiaem. Przedstawmy liczbę w zapisie przy podstawie 3: gdzie 0... k {0 2}. Mamy wówczas: = k 3 k + k 3 k ( + x = ( + x k3 k ( + x k 3 k ( + x 3 ( + x 0 ( + x 3k k ( + x 3k k ( + x 3 ( + x 0 gdzie przystawaie jest modulo 3. Dla i = 0... k iech F i = ( + x 3i i ( + x 3i i ( + x 3 ( + x 0. Wystarczy udowodić że F k jest s-wielomiaem. W tym celu wykażemy idukcyjie że wszystkie wielomiay postaci F i są s-wielomiaami. Dla i = 0 jest to oczywiste. Załóżmy że F i jest s-wielomiaem (dla pewego i < k. Niech a będzie liczbą jego współczyików przystających do modulo 3 iech b będzie liczbą jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Oczywiście a > b. Rozpatrzmy wielomia F i+. Zauważmy że F i+ = ( + x 3i+ i+ F i. Jeśli i+ = 0 to F i+ = F i i w tym przypadku oczywiście F i+ jest s-wielomiaem. Niech i+ =. Wtedy F i+ = ( + x 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a i 2b. Poieważ a > b więc 2a > 2b i widzimy że w tym przypadku F i+ rówież jest s-wielomiaem. Niech i+ = 2. Wtedy F i+ = ( + 2x 3i+ + x 2 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a + b i 2b + a. Poieważ a > b więc 2a + b > 2b + a tz. F i+ jest s-wielomiaem. Dla daej liczby aturalej ozaczmy przez a i b odpowiedio liczbę jedyek i liczbę dwójek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 3. Z powyższego faktu wyika że różica a b jest zawsze liczbą dodatią. Moża udowodić: Różica a b jest zawsze potęgą dwójki. ([Crux] Suma a + b to liczba wszystkich tych liczb występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala które ie są podziele przez Dla każdej liczby aturalej liczba a +b jest rówa 2 p 3 q gdzie p i q są odpowiedio liczbami jedyek i dwójek występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie 3. D. (Sposób I. Jest to fakt dla p = 3. D. (Sposób II. Powtórzymy rozumowaie przeprowadzoe w dowodzie Jeśli f(x jest wielomiaem ależącym do Z[x] to przez w(f ozaczać będziemy liczbę wszystkich współczyików wielomiau f iepodzielych przez 3. Przedstawmy liczbę w zapisie przy podstawie 3: = k 3 k + k 3 k

8 26 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m gdzie 0... k {0 2}. Musimy wykazać że w(( + x = 2 p 3 q gdzie liczby p i q są takie jak w tezie. Przypomijmy że ( + x = ( + x k3 k ( + x k 3 k ( + x 3 ( + x 0 ( + x 3k k ( + x 3k k ( + x 3 ( + x 0 gdzie przystawaie jest modulo 3. Dla i = 0... k iech F i = ( + x 3i i ( + x 3i i ( + x 3 ( + x 0. Wystarczy zatem udowodić że w(f k = 2 p 3 q. Dla k = 0 jest to oczywiste. Załóżmy że to jest prawdą dla wielomiau F i (dla pewego i < k. Niech a będzie liczbą jego współczyików przystających do modulo 3 iech b będzie liczbą jego współczyików przystających do 2 modulo 3. Zatem w(f i = a + b. Rozpatrzmy wielomia F i+. Zauważmy że F i+ = ( + x 3i+ i+ F i. Jeśli i+ = 0 to F i+ = F i i w tym przypadku ie ma co sprawdzać. Niech i+ =. Wtedy F i+ = ( + x 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a i 2b. Zatem w(f i+ = 2a + 2b = 2(a + b = 2w(F i. Niech i+ = 2. Wtedy F i+ = ( + 2x 3i+ + x 2 3i+ F i. Odpowiedie liczby rozważaych współczyików są teraz rówe 2a + b i 2b + a. W tym przypadku mamy więc w(f i+ = (2a + b + (2b + a = 3(a + b = 3w(F i. Z powyższego wyika że w(f k = 2 u 3 v gdzie u jest liczbą jedyek występujących wśród liczb 0... k a v jest liczbą dwójek występujących wśród tych liczb. Oczywiście u = p i v = q. D. J. Orto Biomials mod 3 [MG] 69(447(

9 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Trójkąt Pascala modulo Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 4 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki. Przez a 0 ( a ( a 2 ( i a 3 ( ozaczać będziemy odpowiedio liczby zer jedyek dwójek i trójek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 4. Dla przykładu a (7 = a 3 (7 = 4 gdyż w trójkącie Pascala modulo 4 w wierszu o umerze 7 mamy 4 jedyki i 4 trójki a (6 = a 2 (6 = a 3 (6 = 2 a ( = a 2 ( = a 3 ( = 4 a (23 = a 2 (23 = a 3 (23 = 8 a (47 = a 2 (47 = a 3 (47 = 6 a (95 = a 2 (95 = a 3 (95 = 32 a (9 = a 2 (9 = a 3 (9 = (K. S. Davis W. A. Webb A. Graville. ( Liczby a ( i a 3 ( są rówe wtedy i tylko wtedy gdy w rozwiięciu dwójkowym liczby istieją dwie koleje cyfry będące jedykami. (2 Jeśli a ( a 3 ( to a 3 ( = 0. (3 Każda z liczb a (3 i a 3 ( jest albo rówa zero albo jest potęgą dwójki. A. Graville Zaphod Beeblebrox s brai ad the fifty-ith row of Pascal s triagle [Mo] 99(4( ; Correctio: 04(9( K. S. Davis W. A. Webb Pascal s triagle modulo 4 [FQ] 29( F. T. Howard Multiomial ad q-biomial coefficiets modulo 4 ad modulo p [FQ] 3(

10 28 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8.4 Trójkąt Pascala modulo Rysuek po lewej stroie przedstawia początkowe wiersze trójkąta Pascala modulo 5 z wymazaymi zerami. Po prawej stroie pokazao jak w tym trójkącie rozmieszczoe są jedyki Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich iezerowych liczb występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo 5 jest rówa 2 a 3 a 2 4 a 3 5 a 4 gdzie a a 2 a 3 i a 4 są odpowiedio liczbami jedyek dwójek trójek i czwórek występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie 5. D. Jest to fakt dla p = 5.

11 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Trójkąt Pascala modulo m dla m Początkowe wiersze (bez zer trójkątów Pascala modulo i 9.

12 30 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Przez b 0 ( b (... b 7 ( ozaczmy odpowiedio liczby zer jedyek... siódemek występujących w -tym wierszu trójkąta Pascala modulo (A. Graville ( Każda z liczb b ( b 3 ( b 5 ( b 7 ( jest zerem lub jest potęgą dwójki. (2 Jeśli w rozwiięciu dwójkowym liczby ie ma bloku i ie ma bloku 0 to b 3 ( = b 5 ( = b 7 ( = 0. (3 Jeśli w rozwiięciu dwójkowym liczby ie ma bloku ale jest blok 0 to b ( = a b (. (Graville b (27 = b 2 (27 = b 3 (27 = b 4 (27 = b 5 (27 = b 6 (27 = b 7 (27 = 4 b (55 = b 2 (55 = b 3 (55 = b 4 (55 = b 5 (55 = b 6 (55 = b 7 (55 = 8 b ( = b 2 ( = b 3 ( = b 4 ( = b 5 ( = b 6 ( = b 7 ( Początkowe wiersze (bez zer trójkąta Pascala modulo 0.

13 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 3 Dla daej liczby aturalej oraz daego r { } przez c r ( liczbę wszystkich liczb w -tym wierszu trójkąta Pascala przystających do r modulo Każda z liczb c 2s ( gdzie s = jest rówa zero lub jest potęgą dwójki. (A. Graville ( Jeśli = lub = 26 to c ( = c 2 ( = c 3 ( = c 4 ( = c 5 ( = = c 5 ( = 8. W przedstawieiu dwójkowym każdej z powyższych liczb występuje dokładie sześć jedyek oraz wszystkie zera są razem obok siebie. (2 Jeśli jest jedą z liczb to c ( = c 2 ( = c 3 ( = c 4 ( = = c 5 ( = 6. W przedstawieiu dwójkowym każdej z powyższych liczb występuje dokładie siedem jedyek i przy tym wszystkie zera są razem obok siebie. W tym przypadku c 0 ( jest odpowiedio rówe A. Graville Zaphod Beeblebrox s brai ad the fifty-ith row of Pascal s triagle [Mo] 99(4( ; Correctio: 04(9( J. G. Huard B. K. Spearma K. S. Williams Pascal s tr. modulo 8 [EuJC] 9( J. G. Huard B. K. Spearma K. S. Williams Pascal s tr. modulo 9 [ActA] 78( D. Małachowski Trójkąty Pascala w arytmetykach modulo m [Pmgr] Trójkąt Pascala modulo p Niech p P. Następujące waruki są rówoważe. ( Żada z liczb 0 ie jest podziela przez p.... (2 = ap s gdzie 0 < a < p s. ([Ro85]. D. Jest oczywiste że jeśli < p to żada z liczb 0 p. Dalej zakładamy że p. Niech... = a r p r + a r p r + + a p + a 0 gdzie r 0 a r 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby. (2 (. Załóżmy że = ap s p > a > 0 s. Wtedy = (a p s + (p p s (p p + (p ie jest podziela przez jest przedstawieiem p-adyczym liczby. Wtedy każde k {0... } ma przedstawieie p-adycze postaci k = b s p s + b s p s b p + b 0 gdzie b s a b 0... b s {0... p }. Z twierdzeia Lucasa mamy więc a p p p 0 (mod p. k b s b s 2 b b 0

14 32 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Zatem wtedy żada z liczb iech 0... ( (2. Załóżmy teraz że wszystkie liczby ie jest podziela przez p. 0 = a r p r + + a p + a 0... ie są podziele przez p i (gdzie r a r 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby. Przypuśćmy że a i < p dla pewego i {0... r }. Z twierdzeia Lucasa wyika że wtedy ai (p p i = 0 (mod p p czyli wtedy p dzieli (p p i mamy sprzeczość. Zatem i a0 = a = a r = p i stąd = a r p r + (p p r (p p + (p = (a r p r (J. Fie 947. Niech p P i iech = a k ( p k + ( + a p + a( 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby aturalej. Wówczas w ciągu... występuje dokładie 0 (a 0 + (a + (a k + liczb iepodzielych przez p. ([MR] 933 [MR] 46#8842. D. (Sposób I. Rozważmy w pierścieiu Z p [x] wielomia (x +. Problem sprowadza się do stwierdzeia ile iezerowych jedomiaów ma te wielomia. W pierścieiu Z p [x] zachodzą astępujące rówości: (x + = (x + a kp k + +a p +a 0 ak ak = x pk + x pk + (x p + a (x + a0 ( (( ak = x a kp k ak + x (a k p k ak ( (( a... x ap a + x (a p a i k i k x a k p k + + x a0 + a0 x (a Po wykoaiu wszystkich możeń widzimy że wielomia (x + jest sumą jedomiaów postaci ak ak a a0 x i kp k +i k p k + +i p +i 0 i i 0 gdzie i j a j dla j = 0... k. Jedomiaów tego typu jest dokładie (a 0 + (a + (a k +. Wszystkie oczywiście są iezerowe i są parami róże (gdyż rozkład p-adyczy jest jedozaczy. D. (Sposób II. Niech i {0... } i iech i = i k p k + + i p + i 0 będzie przedstawieiem p-adyczym. Wiemy z Twierdzeia Lucasa że ak ak a a0... (mod p. i i k i k Jeśli i j > a j dla pewego j to ( a j i j = 0 i stąd p ( i. Jeśli więc p ( i to ij a j dla wszystkich j = 0... k. Zachodzi też odwrotie: jeśli i j a j dla j = 0... k to wszystkie liczby postaci ( aj i j ie są podziele przez p i wtedy p ( i. W ciągu ( 0 (... ( występuje więc dokładie tyle liczb iepodzielych przez p ile jest ciągów (i 0 i... i k ieujemych liczb całkowitych takich że i j a j dla wszystkich j = 0... k. Ciągów takich jest oczywiście (a 0 + (a + (a k +. i i 0

15 Adrzej Nowicki Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla każdej liczby aturalej liczba wszystkich liczb iepodzielych przez p występujących w ciągu... jest rówa a 3 a 2 4 a3 (p a p 2 p a p gdzie każde a i dla i = 2... p jest liczbą wszystkich cyfr i występujących w przedstawieiu liczby w systemie umeracji o podstawie p. D. Jest to ie sformułowaie faktu (L. Carlitz 967. Niech p P i iech = a( k p k + ( +a p +a ( 0 będzie przedstawieiem p-adyczym liczby aturalej. Wówczas w ciągu... występuje dokładie 0 k i=0 (a 0 + (a i + (p a i a i+ (a i (a k + liczb podzielych przez p i iepodzielych przez p 2. ([MR] 40#2554 [MR] 46# W trójkącie Pascala modulo p (gdzie p P występuje w jakimś wierszu ciąg 0 a b wtedy i tylko wtedy gdy a(2a + b 0 (mod p. ([Mo] 8-9(980 z.e2775. W. A. Broomhead Pascal mod p [MG] 56( L. O. Cao Locatig multiples of primes i Pascal s triagle [Cmj] 20(4( B. Cherowitzo Pascal Triagle usig Clock Arithmetic - Part I Iteret: Jay s Corer5 wcherowi/jcor5.html. N. J. Fie Biomial coefficiets modulo a prime [Mo] 54(0( C. T. Log Some divisibility properties of Pascal s triagle [FQ] 9( C. T. Log Pascal triagle modulo p [FQ] 9( C. T. Log V. E. Hoggatt Jr. Sets of biomial coefficiets with equal products [FQ] 2( N. A. Volodi Number of multiomial coefficiets ot divis. by a prime [FQ] 32( N. A. Volodi Multiomial coefficiets modulo a prime [Pams] 27( Trójkąt Pascala modulo p [Mat] ( Trójkąt Pascala modulo p s E. T. Howard Formulas for the umber of biomial coefficiets divisible by a fixed power of a prime [Pams] 37(2( E. T. Howard The umber of multiomial coefficiets divisible by a fixed power of a prime [PacJ] 50( J. G. Huard K. S. Williams O Pascal triagle modulo p 2 [ColM] 74( M. Sved The geometry of the biomial array modulo p 2 ad p 3 [DisM] 92( W. A. Webb The umber of biomial coefficiets i residue classes modulo p ad p 2 [ColM] 60/6(

16 34 Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 8.8 Podzielość liczby k przez Przez γ( ozaczamy liczbę wszystkich liczb całkowitych k takich że 0 < k oraz dzieli ( k. Przykłady: γ( ϕ(. ([Robb] γ( γ( Jeśli jest potęgą liczby pierwszej to γ( = ϕ(. ([Robb] Jeśli = 2p gdzie p jest liczbą pierwszą Mersee a to γ( = ϕ(. ([Robb] Liczby γ( i ϕ( są rówe wtedy i tylko wtedy gdy ( k dla wszystkich k takich że 0 < k oraz (k =. ([Robb] Dla każdej liczby aturalej 7 istieje liczba aturala i taka że 2 i /2 oraz ( i. ([NAvW] 396. H. Harborth Divisibility of biomial coefficiets by their row umber [Mo] 84(( I. Murszewska Podzieliki symboli Newtoa [Pmgr] 999. Literatura [ActA] Acta Arithmetica polskie czasopismo matematycze. [Bry] M. Bryński Olimpiady Matematycze tom /80-83/84 WSiP Warszawa 995. [Cmj] The College Mathematics Joural The Mathematical Associatio of America. [ColM] Colloquium Mathematicum polskie czasopismo matematycze. [Crux] Crux Mathematicorum Caadia Mathematical Society popolare matematycze czasopismo kaadyjskie. [DisM] Discrete Mathematics czasopismo matematycze. [Dlt] Delta populary polski miesięczik matematyczo-fizyczo-astroomiczy. [EuJC] Europea Joural of Combiatorics. Academic Press Lodo (Europea J. Combi.. [FQ] The Fiboacci Quarterly czasopismo matematycze. [Gr98] A. Graville Biomial coefficiets (mod p q preprit iteret 998. [Gra] A. Graville Arithmetic properties of biomial coefficiets I: Biomial coefficiets modulo prime powers [Mat] [MG] Matematyka polskie czasopismo dla auczycieli. The Mathematical Gazette agielskie populare czasopismo matematycze.

17 Silie i symbole Newtoa 8. Trójkąt Pascala modulo m 35 [Mo] The America Mathematical Mothly Mathematical Associatio of America. [MR] Mathematical Reviews. [NAvW] Nieuw Archief voor Wiskude (Nieuw Arch. Wisk holederskie czasopismo matematyc ze. [Nord] Nordic Mathematical Competitio. [OM] Olimpiada Matematycza. [PacJ] Pacific Joural of Mathematics. [Pams] Proceedigs of the America Mathematical Society (Proc. Amer. Math. Soc.. [Pmgr] Praca magisterska Uiwersytet Mikołaja Koperika w Toruiu Wydział Matematyki i Iformatyki. [Ro85] N. Robbis O the umber of biomial coefficiets which are divisible by their row umber : II Caadia Mathematical Bulleti 28(985. [Robb] N. Robbis O the umber of biomial coefficiets which are divisible by their row umber Caadia Mathematical Bulleti 23(982. [S50] W. Sierpiński Teoria Liczb Warszawa - Wrocław 950. [Wio] I. Wiogradow Elemety Teorii Liczb PWN Warszawa 954.