SZEREGI W PRACACH EULERA

Transkrypt

1 ROCZIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZEGO SERIA VI: ATIQUITATES MATHEMATICAE 8 Lech Mligrd Luleå Leord Euler róie omówieie jego życi Leord Euler urodził się wiei rou w Bzylei W lch - odbył sudi eologicze Wydzile Filozoiczym Uiwersyeu w Bzylei Odoujmy że rozpoczyjąc sudi mił zledwie l! Dodowo sudiowł eż memyę i mechię pod ieruiem Joh Beroulliego W rou pisł swoją pierwszą prcę uową mił wedy ylo 8 l W diu mj rou Euler zosł diuem w Ademii Peersbursiej w zresie izjologii Orzymł zproszeie Pior Wieliego do objęci posdy po śmierci Miołj Beroulliego z pesją rubli roczie orz rubli diey podróż do Peersburg Euler mił z zdie sosowć meody memycze w izjologii W rou zosł proesorem izyi i człoiem Ademii Dw l późiej zosł proesorem memyi miejsce Diel Beroullego Siódmego syczi rou ożeił się z Krzyą Gsell - córą szwjcrsiego mlrz prcującego w gimzjum w Peersburgu Mieli dzieci z órych przeżyło ylo z rzech syów i dwie córi: Joh Albrech -8 Krl Joh -9 Hele -8 Chrisoph -88 i Chrloe -8 Euler wierdził że jwięszych odryć memyczych dooł gdy ręch mił jedo dzieco z iym się bwił ogmi W rou Euler urcił wzro w prwym ou Euler opuścił Peersburg 9 czerwc rou Orzymł zproszeie od ról Prus Frydery II by zorgizowć Ademię u w Berliie lipc rou przybył więc do Berli gdzie zjmowł się rylerią hydrodymią hydrulią i eorią mszy W rou zosł człoiem Lodyńsiego Towrzysw Królewsiego w rou upił posidłość w Chrloeburgu sprzedł ją w r W rou zosł człoiem Prysiej Ademii u Po problemch z rólem Fryderyiem II chodziło o sprwy związe z ierowiem Ademią orz jej ismi Euler opuścił Berli czerwc rou by poowie udć się do Peersburg W czsie podróży do Peersburg był o ooło ygodi w Wrszwie przyjmowy z wielimi hoormi przez ról Sisłw Augus Pod oiec czerwc rou Euler przybył do Peersburg przyjęy przez crycę Krzyę II Orzymł zdie dzoru d Ademią Peersbursą Po ilu miesiącch Euler srcił widzeie lewe oo w ym sesie ze rozróżił ylo duże liery Swoje prce zczął więc dyowć W rou srcił wzro cłowicie Po opercji usuięci ry o rói czs odzysł wzro le po ilu ygodich iecj spowodowł jego cłowią ślepoę pozosłe l życi W rou zmrł mu żo i Euler ożeił się w rou z jej siosrą Slomeą Gsell Euler do ońc życi był obywelem Szwjcrii choć syowie przyjęli obywelswo rosyjsie

2 8 LECH MALIGRADA Odzczł się eomelą pmięcią Był ym rzdim ypem człowie óry rz czyjąc lub słysząc zpmięywł prwie wszyso dołdie T pmięć pozwolił Eulerowi prcowć gdy srcił wzro Pmięł p Eeidę Wergiliusz i mógł cłą recyowć słowo po słowie pmięjąc jich słowch żd sro się ończy i sęp zczy Euler do osich chwil życi zchowł dużą sprwość izyczą i umysłową Zmrł 8 wrześi 8 rou udr mózgu i pochowy zosł cmerzu luerńsim w Peersburgu Dzień śmierci opisł Jusziewicz [Yo s ]: 8 wrześi 8 rou Euler pierwszą połowę di spędził j zwyle Mił lecje memyi dl jedego z wuów robił obliczei redą dwóch blicch odośie ruchu bloów Dysuowł z Leellem i Fussem iedwe odrycie pley Ur Ooło piąej po połudiu dosł udru mózgu i wypowiedził ylo umierm przed ym j srcił przyomość Zmrł wieczorem ooło jedesej W 8 rou Peersburs Ademi u poswił m pomi Euler żył więc: l w Szwjcrii - l w Rosji - l w Berliie - i poowie l w Rosji -8 Euler był jwięszym memyiem swojej epoi XVIII wie moż zwć w hisorii u memyczo-izyczych wieiem Euler W szczególy sposób wyrził o w swych lisch do Euler jego uczyciel J Beroulli zywjąc go: w r 8 jbrdziej uczoym i jzdoliejszym młodzieńcem w r jsłwiejszym i jbrdziej uczoym pem proesorem jdroższym przyjcielem wreszcie w r sięciem memyów mhemicorum priceps Więcej o życiu Euler moż zleźć p w [Yu] [OR] [V] [Wi] i [Wi] Dorobe uowy Euler i ides Eesröm prc Euler dorobe uowy Leord Euler słdją się prce uowe i siążi w liczbie ooło 8 Dołdą liczbę jes rudo uslić liczb oicjlych pozycji w idesie Eesröm o 8 le e ides m w wyzie rówież lisy i ieopubliowe musrypy Euler Pierwszą prcę Euler pisł w rou Zosł opubliow w rou Euler zmrł w 8 r le prce były wydwe jeszcze do rou 8 z 9 l po jego śmierci! Rozłd w dedch 8 siąże i ryułów pisych przez Euler był sępujący wyliczoe z idesu Eesröm: -: -: -: 9 -: -: 8-8: 8 8-9: Z ego % dołdiej 8 prce doyczyły szeregów Dziły ui w jich Euler opubliowł prce o: liz rzeczywis i zespolo w ym szeregi prc rchue różiczowy i cłowy prc rymey i eori liczb 8 prc geomeri 8 prc rchue prwdopodobieńsw prc mechi prc sroomi 8 prce rogri izy opy ilozoi hydrosy i hydrodymi budowle ui morsie ryleri i ie Euler był uorem ooło siąże mjących czsmi dw lub rzy omy Trzy jwżiejsze siążi Euler z lizy memyczej o rylogi rylogi Euler:

3 9 Wsęp do lizy iesończoości [Iroducio i lysi ioiorum] Loz 8 omy Rchue różiczowy [Isiuioes clculi dięreilis cum eius usu i lysi iiorum c docri serierum] Ademi Peerburs Berli omy Rchue cłowy [Isiuioum clculi iegrlis] Peersburg 8- omy i supleme poświęcoy rówiom różiczowym Trylogi Euler sł się wzorem dl sępych podręcziów i dl uczi lizy Ie siążi Euler o: Mechi Peersburg omy; Meod zjdowi liii rzywych mjących pewe włsości msimum i miimum Loz-Geew ; owe zsdy rylerii Berli [był o iemieci przełd gielsiego dzieł B Robiso lecz uzupełiei Euler do blisyi przerczją pięcioroie objęość esu uor]; u mors Peersburg 9; Teori ruchu Księżyc ; Teori ruchu cił szywych Roso ; Peły wyłd lgebry Peersburg 8 ; Lisy do iemieciej siężiczi o różych problemch ilozoii i izyi Peersburg 8- omy; Diopry Peersburg 9- omy; Teori ruchu Księżyc przedswio ową meodą Peersburg wspól z J A Eulerem Krem i Leellem; Cłoszł eorii budowy i serowi oręów Peersburg Prce i siążi Euler zosły wyde w Dziełch Zebrych przez wydwicwo Birhäuser: Leohrd Euler Oper Omi Są o serie i liczą 8 omów: Seri I Memy 9 omów publiowe włch 9-9 Seri II Mechi i sroomi omów publiowe w lch 9-99 Seri III Fizy i rozmie omów publiowe w lch 9-9 Seri IV A Korespodecj 8 omów publiowe w lch 9 - obecie Seri IV B Ręopisy w przygoowiu Książ Euler Wsęp do lizy iesończoości z 8 rou o jed z jbrdziej zych i jwżiejszych siąże memyczych iedyolwie pisych Moim zdiem rzeci po Elemech Eulides i Pricipich ewo Międzyrodowym Kogresie Memyów w Cmbridge USA w 9 rou zy hisory memyi Crl B Boyer wygłosił we odczy hisoryczy o siążce Euler p jwżiejszy podręczi czsów owożyych gdzie wymiei siążę Euler wśród jwżiejszych podręcziów memyczych do órych zlicz Elemey Eulides Algebrę l-chorezmi Al-jbr Al-Khwrizmi Geomerię Krezjusz Pricipi ewo i Disquisiioes Guss Książ Euler Iroducio i l emu m co jes zdziwijące prwie współczese ozczei i ermiologię Podobie jes z jej zwrością Doczeł się o wydń w sępujących języch: po łciie ; po rcusu 8 9 8; po iemiecu ; po rosyjsu 98 9; po gielsu 988 I om 99 II om; po hiszpńsu Szeregi omwie są w iej w rozdziłch: IV VII VIII i X Dorobe uowy Euler jes szeroo omwiy w siążch [Ju] [Du99] i [V] orz w [Yu] i [OR] W lch 9-9 szwedzi memy Gus Eesröm 8 9 sompleowł prce Euler Pierwszy spis prc Euler oprcowł w 8 rou Pweł Fuss prwu Euler prz [Fu]

4 LECH MALIGRADA zwiso Euler w lizie memyczej il słów Isieje zby wiele rezulów Euler w lizie by je u przedswić cłościowo Wspomę więc ylo o jwżiejszych jego wyich Po pierwsze Euler wprowdził symbole i ocje órych używmy do dzisij Moż wśród ich wymieić sępujące z dą pojwiei się u Euler: liczb e lier i od rou używł symbolu ucję od 8 rou symboli si ; cos ; ucje rygoomerycze od rou symbolu sumę od rou symboli różice Z wżych rezulów Euler w lizie wspomimy ylo ieóre: wzór Euler e i cos i si z 8 rou w szczególości e i ; rówości lim e!!! sąd liczbę e Euler wyliczył z dołdością do 8 miejsc po przeciu; rówość Euler z rou ; słą Euler-Mscheroiego : lim γ l ; wzór sumryczy Euler-Mcluri 8 Używł eż ucji gmm i be: z y Γ z e d Rez > B y orz wyzł lub zobserwowł że gdy z C \ {; ; ; } o orz z Γ z lim! z z z Γ Γ y Γ! i B y Γ y d Musimy uj odoowć że Roger Coes wyzł ę rówość jo pierwszy z w rou w posci lcos i si i

5 Szeregi w prcch Euler Omwiie szeregów w prcch Euler rozbijemy części słyy rezul o sumie odwroości wdrów wrz z uogólieimi przedswimy w części piąej Euler misrz przeszłceń szeregów i wszyso jes zbieże Memycy XVII i XVIII wieu ie cłiem rozróżili szeregi zbieże od rozbieżych choć mówili o sończoej sumie Wiązło się o z różymi prdosmi Już Guido Grdi - w rou zuwżył że podswijąc w rozwiięciu orzymmy Z drugiej sroy grupując wyrzy prmi orzymmy i ierpreowł o jo symbol sworzei świ z iczego Euler wierdził że sum w jes rów Mił eż oprócz powyższego iy rgume Miowicie jeśli s o s s; czyli s i sąd s Leibiz pisł w rou że sum byłby rów gdyby iesończo liczb wyrzów był przys i rów gdyby był ieprzys le ie m rozsądej podswy z góry przypuszczć że liczb jes przys lbo ieprzys Twierdził eż że leży przyjąć sumę jo średią rymeyczą i czyli W rou Miołj Beroulli w liście do Leibiz używł oreślei series diverges Leibiz w odpowiedzi używ ermiu series dverges Przypomijmy że ze już było ryerium cłowe zbieżości orz ryerium Leibiz zbieżości szeregu przemieego Euler ie roszczył się w ogóle o wesie zbieżości szeregu lecz przypisywł żdemu szeregowi po prosu wrość ego wyrżei óre dło powód do uworzei szeregu Lgrge jeszcze w rou uwżł że żdy szereg órego wyrzy mleją do zer m oreśloą wrość Euler bez whi pisł jo wiose z rówości że mmy rówież rówość dl :

6 LECH MALIGRADA Podo różiczowł wyrz po wyrzie pisząc: i po podswieiu orzymywł Rozwżł eż p szereg!!! óry jes zbieży ylo dl Euler zwsze uwżł szereg z dopuszczly jeśli wyił w urly sposób przez rozwiięcie liyczego wyrżei óre miło ze swej sroy oreśloą wrość Tę o wrość uwżł w żdym przypdu z sumę szeregu W liście do Goldbch z sierpi rou pisł por [K] s 9: w e sposób dłem ę ową deiicję sumy żdego szeregu: summ cujusque seriei es vlor epressiois illius iie e cujus evoluioe ill series oriur Euler ie był zieresowy ogólymi rozwżimi o szeregch W przypdu p-szeregu rgumeowł że gdy < p < o p > p p p przy W rou sormułowł jed ryerium zbieżości choć br jes u iego ermiu zbieżość i o we w siążch: jeżeli szereg jes zbieży o lim S S dl Euler pisł: gdy m sończoą sumę o S są bliso S dl doseczie dużych Br było jed u że S jes sończoe gdy S są blisie siebie dl dużych To dopiero podł Cuchy w 8 rou obecie zyw się o wruiem Cuch ego Zcyujmy smego Euler prz [OR]: Godymi uwgi są orowersje woół szeregu órego sum zosł pod przez Leibiz jo / chociż ii się ie zgdzją [ ] Rozumiei ej wesii leży szuć w słowie sum ; ide jeśli zrozumił miowicie sumą szeregu zywmy wielość do órej zbliżmy się corz brdziej gdy bierzemy więcej słdiów szeregu m zsosowie ylo do szeregów zbieżych i dlego powiiśmy podć deiicję sumy szeregu rozbieżego Jeszcze w 8 rou iels Heri Abel pisł: Szeregi rozbieże o wymysł dibł i o wsyd opierć ich jiolwie dowód Używjąc ich moż wypisć dowoly wiose ji chcemy osiągąć i o jes odpowiedź dlczego e szeregi dją yle błędów i wiele prdosów Z drugiej sroy Hrdy swierdził: Deiicje zbieżości i rozbieżości są erz zwyłymi w lizie rzeczywisej Idee były ze memyom przed ewoem i Leibizem rzeczywiście Archimedesowi; i wszyscy wielcy memycy XVII i XVIII wieu jed bezroso mipulowli szeregmi wiedząc wysrczjąco czy szereg ji rozprują jes zbieży b Szeregi poęgowe jo wielomiy sopi iesończoego Euler rowł szeregi poęgowe jo wielomiy sopi iesończoego Różiczowł więc i cłowł wyrz po wyrzie bez rozprywi zbieżości

7 W 8 rou wyzł wspomiy już słyy wzór Euler: e i cos i si dowód ego wzoru przez szeregi przebiegł sępująco: poiewż e więc!! i i i e i!! i cos i si!!!! Euler pisł eż że dl mmy pięą rówość e i Iy dowód powyższego wzoru pody przez Euler był sępujący: łdąc z cos i si orzymujemy dz si i cos d i cos i si d iz d dz czyli id i w osewecji l z i orz z z e i cos i si Euler przybliżł ucję wyłdiczą ucją poęgową o czym pisze p w siążce Wsęp do lizy iesończoości: e gdy jes iesończeie wielą liczbą [umerus iie mgus] i jes sończoą liczbą [umerus iiis] Jego dowód w szej symbolice był sępujący por [Ju] sr : e!!!! i gdy jes duże o ułme id Zem sie się rówy jedości i dołdie smo e!! c Przeszłceie Euler lub meod sumowlości Euler W ryule [E] O szeregch rozbieżych z rou wydym w rou Euler przeszłcił szereg przemiey w iy szereg szybciej zbieży Sposób e zy już ewoowi pozwl przeszłcić jede szereg zbieży w iy z ą smą sumą lecz szybciej zbieży

8 LECH MALIGRADA Mmy więc wzór Euler i gdzie Przyłdowo Odoujmy jeszcze że zbieżość z prwdziwość wzoru gdy lew sro jes zbież zosł wyz dopiero w 9 rou przez L D Ames Może się jed zdrzyć że drugi szereg w jes zbieży choć pierwszy ie jes jes o sumowie w sesie Euler szeregu rozbieżego Jo przyłdy moż wziąć dw prose szeregi i ich odpowiedie sumy Euler w : i orz i Więcej iormcji zjduje się w siążce Kopp [K s -98] d Wzór sumcyjy Euler Problem zleziei ζ prwdopodobie spowodowł odrycie przez Euler zego wzoru sumcyjego Euler-Mcluri Wzór e był osowy w rou i dysuowy w rou orz w siążce z rou z rchuu różiczowego Gdy C [ ] o [ ]! R d B gdzie R jes reszą ór szybo mleje gdy rośie do W szczególości gdy C [ ] o ] [ ] [ d d d d Szczegółowy opis doyczący wzoru sumcyjego Euler Mcluri moż zleźć u Kopp [K s 9-] Aposol [Ap99] i Vrdrj [V Rozdził s -]

9 Sumy szeregów Zlezieiem sumy szeregu ieresowło się wielu memyów XVII i XVIII wieu Problem e zosł zwy problemem bzylejsim W dlszym ciągu sumę będę ozczł j Berhrd Riem z przez ζ Począowo rezuly Euler doyczyły wrości przybliżoych ζ Odryci że ζ dooł Euler ie późiej iż w rou i przedswił Ademii w rou Zosło o opubliowe w rou z szczegółmi w siążce Wsęp do lizy iesończoości Uwzględijąc ryycze uwgi Joh I i Diel Beroullich co do pierwszego dowodu Euler zjmowł się zlezieiem lepszego uzsdiei i podł późiej ie ściślejsze dowody ej rówości Podo w rou wyliczył ζ 9 ζ 9 i ogólie ζ gdzie są liczbmi wymierymi dl ie porił jed pordzić sobie z wyliczeiem ζ Uzysiwł przybliżoe wrości orz róże wzory ζ le dołdej wrości ie mógł zleźć Dowód u że ζ jes liczbą iewymierą pojwił się dopiero w 9 rou dołd wrość ie jes z do dzisij Dowód iewymierości ζ jes rówież sprwą owrą Hisori ych zgdień zosł dołdie opis przez Ayoub [Ay] Jusziewicz [Ju] Klie [Kl8] i Vrdrj [V Rozdził s 9-] [V] Problem bzylejsi Problem bzylejsi o zlezieiu sumy szeregu ζ poswił Piero Megoli -8 z Boloii w rou Powiiśmy więc mówić problem bolońsi le Jub Beroulli z Bzylei był pierwszym óry zwrócił uwgę szerszego ogółu e problem i dlego zosł o zwy problemem bzylejsim Joh i Jub Beroulli wyzli ylo że rgumeując że < < le sumy ie porili zleźć Moż eż szcowć prz p [MT9]: < < / / / / czyli

10 LECH MALIGRADA Bez sucesu owli eż problem: Joh Wllis - Goried Wilhelm Leibiz - Joh i Diel Beroulli J -8 D -8 Jmes Sirlig 9- Chrisi Goldbch 9- Abrhm de Moivre - i ii Przybliżoe wrości z ośmiom dołdymi zmi dziesięymi zleźli co jes ze z ich orespodecji w lch 8-9 Goldbch i D Beroulli orz w Sirlig por [Ju] sr Joh II Beroulli zlzł sumy wielu szeregów le ζ ie mógł zleźć pisł przy ym: jeżeli oś zjdzie ę sumę i powie mi o ym o będę mu brdzo wdzięczy b Pierwsze osiągięci Euler z l W rou w prcy [E] Euler rozwżł sumy b przypdu obliczi ζ wziął szereg dl logrymu l w posci l Cłując orzymł l d ζ Zmieijąc zmieą i rozbijjąc dwie cłi ζ l d l d l d I J i cłując przez części orzymł m i w specjlym l I d l d ld l d l l l orz Zem J l l u u d du du u ζ I J l l

11 Kłdąc dosł ζ l 8 Pyie: Co Euler przez o osiągął? Szereg e jes szybo zbieży i dzięi ej rówości Euler obliczył wrość przybliżoą ζ : więc l l 9 orz 8 ζ l W / rou rozwżjąc wzór sumcyjy Euler-Mcluri zlzł dołdiejszą wrość rozbijjąc sumę dw słdii ζ i licząc pierwszą sumę drugą oszcowując dość dołdie c Twierdzeie Euler z rou o sumie odwroości wdrów i jego dw dowody Euler podł w rou w prcy [E] rgumey rówość ζ Prwdopodobie dowód mił już w rou le prcę przedswił l późiej Prc był złożo do druu w grudiu rou opubliow w rou Euler rozpoczął prcę słowmi [E s ]; por [V s ] gdzie jes cyowe gielsie łumczeie A Weil prcy Euler [E]: T dużo prcy zosło zrobioe o szeregch że wydje się rudym zlezieie czegoś owego J rówież wyzłem ic więcej j ylo przybliżoe wrości ych sum [ ] Terz jed cłiem iespodziewie zlzłem elegci wzór zleży od wdrury oł [z od ] Pierwszy dowód Euler z rou rówości Rozwżmy rówość si!!! si ór jes rozwiięciem w szereg Mclri ucji sius że rówie óre m pierwisi ; ± ± ± J widomo rówie lgebricze

12 8 LECH MALIGRADA óre m pierwisi moż pisć w posci gdzie podo współczyi przy Złdjąc że jes o prwdziwe dl wielomiów iesończoych orzymmy si!!! sąd Zem współczyi przy czyli! Suces Euler! W liście do Diel Beroulliego Euler zomuiowł rówości ζ / i ζ /9 Pojwiły się jed wąpliwości Joh I i Diel Beroullich orz iych czy rgumey Euler są poprwe Obliczei przybliżoe powierdzły jed e rezul Wręcz proszoo go o ściślejsze uzsdieie ych rezulów Jed pomimo ych zsrzeżeń Euler uzysł wielie uzie z swój rezul Euler próbowł zleźć lepszą rgumecję swojego dowodu Dooł ego ooło rou opubliowł w rou Drugi dowód Euler z rou rówości Rówość dje sępą Dl mmy więc rc si rc si rc si d d d d d poiewż d i z cłowi przez części l d d I I d

13 9 więc I I sąd czyli 8 9 sępie j już wcześiej zuwżył Euler zchodzi rówość co łwo widć gdy używmy zu sumy czyli 8 co ończy dowód Uwg F Goldscheider [Go] zuwżył w 9 rou że ddy y O eż wyliczył cłę podwóją przez zmię zmieych i orzymł iy dowód wzoru Euler Rówość powyższą mmy gdyż ddy y i sąd ddy ddy y y Wyliczeie cłi podwójej moż eż zleźć w [Ap8] i [Si8 s -] Podobie Eugeio Clbi [BKC9] w 99 rou prz rówież Klm [K9 s -] Arri [Ar99 s -] Huylebrouc [Hu s -] i Elies [El s ] Chpm [Ch s -] Kohs [Ko s ] zuwżył że ddy y cł m wrość 8 i sąd ζ

14 LECH MALIGRADA Uwg Zuwżmy że l d d ddy e y Rzeczywiście podswijąc u orz u e orzymmy l l l d du d d ddy e u u y y Wro odoowć dowód Euler z 8 rou rówości l d Poiewż d d więc d d d Sąd l lim lim d d d d ζ Uwg Szereg w rówości Euler jes wolo zbieży i przybliżie liczby ym sposobem ie jes zby eeywe Opierjąc się jed ożsmości dosjemy sąd i ze wzoru Euler orzymmy czyli i szereg po prwej sroie jes szybciej zbieży Wzór e wszuje że przybliżoą wrością liczby jes liczb zem przybliżoą wrością liczby jes órą Hidusi uwżli w swoim czsie z dołdą wrość por Sierpińsi [Si] Cz IV s 9-8 Wyi e wcześiej zli Chińczycy Red

15 Uwg Zchodzi rówość m!! m! gdyż osi sum o! m m!! m!! m! m!! W XX wieu pojwiło się wiele różych dowodów rówości Euler Wymieńmy ieóre zwis ich uorów w olejości opubliowi: F Goldscheider 9 I Schur i K Kopp 98 W Sierpińsi 9 T Eserm 9 A M Yglom i I M Yglom 9 9 G T Willims 9 Y Msuo 9 G M Ficheholz 9 E L Sr F Holme 9 K S Willims 9 D P Giesy 9 I Ppdimiriou 9 T M Aposol R Ayoub 9 G F Simmos 98 B R Choe 98 G Kimble 98 D C Russell 99 M B McKizie i C D Tucey 99 R A Korrm 99 J Choi i A K Rhie 99 D Huylebrouc J Hobuer D Elies J D Hrper Pojwiły się eż oprcowi z wielom dowodmi rówości Euler Oprócz siąże Kopp [K] Ficheholz [Fi] Simmos [Si8] Duhm [Du99] i Vrdrj [V] orz prc Choi-Rhie-Srivsvy [CRS99] z dowodmi oprymi szeregch hipergeomeryczych i Arrii [Ar99] z dowodmi dl z ze są mi oprcowi z 99 Klm [K9] z dowodmi orz z rou Chpm [Ch] z dowodmi i Kohs [Ko] rówież z dowodmi jbrdziej elemere uzsdieie rówości mjące oszcowi sum częściowych szeregu 9 pochodzi z siążi A M Yglom i I M Yglom [YY zdie ] prz rówież Holme [Ho] Ppdimiriou [P] Sromberg [S8 s -] i Górici [Go9 s -]: poiewż si < < g dl < < / o cg < < cg i sąd dl X m m mmy m m m m cg < cg < m Zuwżjąc że cg m m orzymujemy m co impliuje m < < m m m m m lim m

16 LECH MALIGRADA d O wzorch ζ i ζ iech dl > będzie ζ Oczywiście d d < < więc m ζ Euler obliczył ie ylo ζ le eż wyzł że 9 9 ζ ζ i wyliczył eż ζ 8 ζ ζ późiej ogólie! B ζ gdzie B są liczbmi Beroulliego: B B B ec zdeiiowymi poprzez rozwiięcie! B e Euler zlzł rówież wzory sumy szeregów przemieych iech φ orz > ψ θ J zuwżył Euler θ ζ ζ czyli ζ θ Podo φ ζ ζ czyli φ ζ Zem φ i ζ moż wyliczyć gdy zmy ζ W szczególości ζ φ

17 orz φ ζ 8θ 8 ζ ψ Euler wyzł eż że E ψ! gdzie E są liczbmi Euler Moż je wyliczyć ze wzoru E E E E E przyjmując E lub z rówości cos! W szczególości orzymujemy wzór Leibiz z 8 rou ψ orz ψ W rou Euler wyzł rówość dziś zywą jego imieiem: ζ p p gdzie p przebieg wszysie liczby pierwsze Posługując się sumowiem szeregów rozbieżych Euler w 9 rou zlzł jeszcze jedą wżą włsość ucji dze:! cos φ φ co moż eż zpisć jo ζ cos Γ ζ Euler sormułowł eż hipoezę że s s ζ s cos s Γ s ζ s dl wszysich rzeczywisych s > przy czym wyzł ją dl wrości urlych i ułmowych w swoim ryule [E] To wże rówie ucyje udowodił B Riem w r 89 co wżiejsze przeiósł je rówież przypde zespoloy [R89] sępie Euler zobserwowł że l φ! cos vide: Ac Erudiorum MDC LXXXII - Zleżość ę odrył uczoy idyjsi Mdhv - Red

18 LECH MALIGRADA i sąd orz W szczególości θ φ l 8 8 ζ φ l l ζ 8 Używjąc rówości Euler udowodił w rou pięy wzór: / θ lsi l d 9 Oczywiście Euler chcił eż zleźć wzór ζ j rówież ζ Zlzł ylo wrość przybliżoą ζ 9 Euler sugerowł że sł ζ powi zleżeć od liczby l gdyż l Dołdiej hipoez Euler o rówość ζ l b gdzie i b są liczbmi wymierymi Podo Euler w rou podł reprezecję l ζ ζ ór był poowie odryw i o wiele rzy Współcześie Roger Apéry 9-99 udowodił w 9 rou że ζ jes liczbą iewymierą co było wielą sescją Międzyrodowego Kogresu Memyów w Helsich w sierpiu 98 rou gdzie rezul był prezeowy przez Heri Cohe [Po8] Liczb ζ zyw jes dziś liczbą Apéry ego Zlezieie wrości liczby ζ pozosje owrym problemem od rou problem Euler Uwg Podobie j w uwdze moż łwo wyzć rówości ζ ddydz l y ddy yz y leży odoowć że pode przez Euler szeregi i 8 są rozbieże Red Euler Oper Omi Ser Vol s -

19 W rou Tguy Rivol [Ri] wyzł że iesończeie wiele z liczb ζ musi być iewymierych choć br jes oreej z liczb ζ ór musi być iewymier W rou Wdim Zudili [Zu] [Zu] udowodił że jed z liczb ζ ζ ζ 9 ζ jes iewymier le ie m j rzie dowodu że ζ jes iewymier Odoujmy jeszcze że Euler w rou wprowdził logo ucji dze dwóch zmieych ζ b b b m m m> m gdzie b i by szereg był zbieży i udowodił przy ym że ζ ζ Szersze omówieie moż zleźć p w siążce Vrdrj [V] zończeie przyoczymy rzy opiie o memyu Eulerze Jede ze współprcowiów mówił: W oczch Euler wzory memycze żyły swym włsym życiem i opowidły isoe i wże rzeczy o przyrodzie Wysrczyło mu ylo doąć się ich by z iemych przerdzły się w mówiące djąc odpowiedzi pełe głęboiego zczei Lplce wyrził się o wrości prc Euler: Czyjcie czyjcie Euler o jes misrzem s wszysich omis Vrdrj swierdził [V] s : ie jes możliwe czyć Euler i ie poddć się jego uroowi Jes o dl memyi ym czym Szespir dl lierury i Mozr dl muzyi: uiwersly i sui geeris Cyowe prce Euler 8 [E] De summioe iumerblium progressioum [The summio o iumerble progressio] Comme Acd Sci Peropoli preseed 8 9 ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 [E] De summis serierum reciprocrum [O he sums o series o reciprocls] Comme Acd Sci Peropoli preseed ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 8; Agielsie łumczeie przez Jord Bell [E] De summis serierum reciprocrum e poesibus umerorum urlium orrum disserio ler i qu eedem summioes e oe mime diverso derivur [O sums o series o reciprocls rom powers o url umbers rom oher discussio i which he sums re derived priciplly rom oher source] Miscelle Beroliesi 9; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 8 [E] Demosrio de l somme de cee suie / /9 / [Demosrio o he sum o he ollowig series: / /9 / ] Jour li d Allemge de Suisse e du ord : ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 8; Przedru w: Bibl Mh 8 9/8 [E] De seriebus divergeibus [O diverge series] Comme Acd Sci Peropoli red preseed ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 8 [E] Remrques sur u beu rppor ere les sęries des puissces direces que réciproques [Remrs o beuiul relio bewee direc s well s reciprocl power series] Memoires de l Acd des Sci de Berli 8 8 ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol 9; Agielsie łumczeie przez Thoms Osler i Lucs Willis 8 jedyy w swym rodzju szczególy osobliwy umercj cyowych prc Euler jes uj zgod z idesem Eesröm

20 LECH MALIGRADA Cyowe prce i siążi iych uorów [Ap9] R Apéry Irriolié de ζ e ζ Asérisque 99 [Ap8] T M Aposol Proo h Euler missed: evluig ζ he esy wy Mh Ielligecer 98 9 [Ap99] T M Aposol A elemery view o Eulers summio ormul Amer Mh Mohly 999 o 9 8 [Ar99] A Arri Some youhul wys o evluig ζ Bol Asoc M Veez 999 o po hiszpńsu [Ay] R Ayoub Euler d he ze ucio Amer Mh Mohly [BKC] F Beuers J A Kol d E Clbi Sums o geerlized hrmoic series d volumes ieuw Arch Wis 99 o [Ch] R Chpm Evluig ζ Prepri w: hp : //www:secmlocl:e:c:u/people/s/rjchpm/rjc:hml [CRS99]J Choi A K Rhie d H M Srivsv Some hypergeomeric d oher evluios o ζ d llied series Appl Mh Compu 999 o - 8 [Du99] W Duhm Euler he mser o us ll Mh Associio o Americ Wshigo 999 [El] D Elies O he sums Amer Mh Mohly o [Fi] G M Ficheholz Rchue różiczowy i cłowy Tom II PW Wrszw 9 [Fu] P Fuss Correspodce Mhémique e Physique de Quelques Célébres Géoméres du VIIIéme Siécle T I-II S Peersburg 8 [Go] F Goldscheider Lösug zu 8 P Säcel Arch Mh Phys 9 [Go9] J Górici Oruchy memyi PW Wrszw 99 [Ho] F Holme A simple clculio o / ordis M Tidsr po orwesu [Hu] D Huylebrouc Similriies i irrioliy proos or p l ζ d ζ Amer Mh Mohly 8 o [Ju] A P Jusziewicz Hisori memyi Tom III Memy XVIII suleci PW Wrszw 9 [K9] D Klm Si wys o sum series College Mh J 99 [Kl8] M Klie Euler d iiie series Mh Mg 98 o [K] K Kopp Szeregi iesończoe PW Wrszw 9 [Ko] K Kohs Sum odwroości wdrów S Peersburg po rosyjsu; w: hp : //www:mh:spbu:ru/user/lysis/ dos/ide:hml [L9] D Lugwiz O he hisoricl developme o iiiesiml mhemics Amer Mh Mohly 99 [M8] L Mligrd Gus Eesröm 8 9 Aiquies Mhemice w ym omie [MT9] M McKizie d C Tucey Hidde lemms i Euler s summio o he reciprocls o he squres Arch His Ec Sci 99 o 9 [OR] J J O Coor d E F Roberso Leohrd Euler McTuor Websie w: hp : //www hisorymcss dcu/hisory/biogrphies/eulerhml [P] I Ppdimiriou A simple proo o he ormul / Amer Mh Mohly 8 9 [Po8] A v der Poore A proo h Euler missed Apéry s proo o he irrioliy o ζ Mh Ielligecer 98/9 o 9 [R89] B Riem Über die Azhl der Primzhle uer eier gegebee Grösse Mosber Köigl Preuss AdWiss Berli ov 89 8 [Ri] T Rivol There re iiely my irriol vlues o he Riem ze ucio odd iegers CR Acd Sci Pris Sér I Mh o po rcusu [Si] W Sierpińsi Aliz Tom I Część III: Fucje elemere i Część IV: Rchue różiczowy Ks MiowsiegoWrszw 9; wyd -ie iezmieioe Rchue różiczowy poprzedzoy bdiem ucji elemerych Moogrie Memycze Wyd Czyeli Wrszw 9; -gie wydie z yułem Rchue iesończoy jes sroie iereowej Biblioei Wirulej ui hp://mwb:icm:edu:pl/ w Moogrich Memyczych r [Si8] G F Simmos Clculus wih Alyic Geomery McGrw-Hill ew Yor 98

21 [S] P Säcel Eie vergessee Abhdlugłeohrd Eulers über die Summe der reziproe Qudre der ürliche Zhle Bibl Mh 8 9 ; Przedru w: L Euler Oper Omi Ser Vol Leipzig-Berli 9 [S8] K R Sromberg Iroducio o Clssicl Rel Alysis Wdsworh Ieriol Belmo Cli 98 [V] V S Vrdrj Euler Through Time: ew loo Old Themes Americ Mh Sociey Providece RI [V] V S Vrdrj Euler d his wor o iie series Bull Amer Mh Soc o [Wi] 9 W Więsłw Leohrd Euler -8 człowie i epo w: Memy XVIII wieu Meriły z XIII Ogólopolsiej Szoły Hisorii Memyi Kołobrzeg - mj 999 r pod redcją Sisłw Fudlego Uiwersye Szczecińsi Meriły i Koerecje r Szczeci 9 [Wi] W Więsłw Leohrd Euler -8 y prcy Memy [YY] A M Yglom d I M Yglom A elemery derivio o he ormuls o Wllis Leibiz d Euler or he umber p Uspehi M u 8 9 o 8-8 po rosyjsu [YY] A M Yglom d I M Yglom o-elemery Problems i Elemery Eposiio Gosudrsv Izd Teh-Teorłi Moscow 9; łumczeie gielsie Chllegig Mhemicl Problems wih Elemery Soluios Vol II Holde-Dy S Frcisco 9 Problem [Yu] A P Youschievich Leohrd Euler w: Diciory o Scieic Biogrphy Vol ew Yor 9 8 [Zu] V V Zudili Oe o he umbers ζ ζζ9 ζ is irriol Uspehi M u o 9 ; gielsie łumczeie w: Russi Mh Surveys o [Zu] V V Zudili O he irrioliy o he vlues o he Riem ze ucio Izv Ross Ad u Ser M o 9 ; gielsie łumczeie w: Izv Mh o 89 Lech Mligrd Deprme o Mhemics Lule Uiversiy o Techology SE-9 8 Lule Szwecj e-mil: lech@smluhse Websie: hp://wwwsmluhse/ ~ lech/