Zadanie 1. Zadanie 2. Sprawdzam dla objętości, że z obwarzanków mogę posklejać całą kulę o promieniu R: r = {x, y, z}; A = * Cross r, B

Podobne dokumenty
23 PRĄD STAŁY. CZĘŚĆ 2

Siła tarcia. Tarcie jest zawsze przeciwnie skierowane do kierunku ruchu (do prędkości). R. D. Knight, Physics for scientists and engineers

XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI. W roku 1820 Oersted zaobserwował oddziaływanie przewodnika, w którym płynął

Zadanie1. (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 *) xp = R * Cos fp ; yp = R * Sin fp ; vecrp = xp, yp, 0 ; vecr = r * Cos f, r * Sin f, z ;

Guma Guma. Szkło Guma

II.6. Wahadło proste.

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

podsumowanie (E) E l Eds 0 V jds

11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO

L(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)

Zjawisko indukcji. Magnetyzm materii.

Jak policzyć pole magnetyczne? Istnieją dwie metody wyznaczenia pola magnetycznego: prawo Biot Savarta i prawo Ampera.

Studia magisterskie ENERGETYKA. Jan A. Szantyr. Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów. Ćwiczenia 2. Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych I

ZJAWISKA ELEKTROMAGNETYCZNE

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Karta wybranych wzorów i stałych fizycznych

m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,

20 ELEKTROSTATYKA. PRAWO COULOMBA.

Elektrostatyka. + (proton) - (elektron)

Pole magnetyczne. 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki. przewodniki z prądem Podstawowe zjawiska magnetyczne

cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

- substancje zawierające swobodne nośniki ładunku elektrycznego:

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 10 7.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Ruch obrotowy. Wykład 6. Wrocław University of Technology

PRĄD ELEKTRYCZNY I SIŁA MAGNETYCZNA

29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste

Magnetyzm. A. Sieradzki IF PWr. Pole magnetyczne ŁADUNEK ELEKTRYCZNY ŁADUNEK MAGNETYCZNY POLE ELEKTRYCZNE POLE MAGNETYCZNE

Wykład Półprzewodniki

CIĘŻAR. gdzie: F ciężar [N] m masa [kg] g przyspieszenie ziemskie ( 10 N ) kg

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski

= ± Ne N - liczba całkowita.

Fizyka. Wykład 2. Mateusz Suchanek

Wykład 10. Reinhard Kulessa 1

Pola elektryczne i magnetyczne

Wykład 15. Reinhard Kulessa 1

Teoria Względności. Czarne Dziury

MECHANIKA OGÓLNA (II)

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wykład Pojemność elektryczna. 7.1 Pole nieskończonej naładowanej warstwy. σ-ładunek powierzchniowy. S 2 E 2 E 1 y. ds 1.

OSERWACJE POLA MAGNETYCZNEGO Pole magnetyczne wytwozone jest np. pzez magnes stały......a zauważyć je można np. obsewując zachowanie się opiłków żelaz

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM FIZYKA I ASTRONOMIA

Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera

Na skutek takiego przemieszcznia ładunku, energia potencjalna układu pole-ładunek zmienia się o:

Wstęp. Prawa zostały znalezione doświadczalnie. Zrozumienie faktu nastąpiło dopiero pod koniec XIX wieku.

GRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.

Pole magnetyczne prąd elektryczny

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Siły centralne, grawitacja (I)

Odp.: F e /F g = 1 2,

Elektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego

8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

cz.1 dr inż. Zbigniew Szklarski

Siła. Zasady dynamiki

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Energia kinetyczna i praca. Energia potencjalna

Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III

Źródła pola magnetycznego

ε = dw dq. (25.1) Rys Obwód o jednym oczku

SK-7 Wprowadzenie do metody wektorów przestrzennych SK-8 Wektorowy model silnika indukcyjnego, klatkowego

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

cz.2 dr inż. Zbigniew Szklarski

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Cieplne Maszyny Przepływowe. Temat 8 Ogólny opis konstrukcji promieniowych maszyn wirnikowych. Część I Podstawy teorii Cieplnych Maszyn Przepływowych.

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 3, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

ι umieszczono ladunek q < 0, który może sie ι swobodnie poruszać. Czy środek okregu ι jest dla tego ladunku po lożeniem równowagi trwa lej?

Pęd, d zasada zac zasad a zac owan owan a p a p du Zgod Zg n od ie n ie z d r d u r g u im g pr p a r wem e N ew e tona ton :

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

DODATEK 6. Pole elektryczne nieskończenie długiego walca z równomiernie rozłożonym w nim ładunkiem objętościowym. Φ = = = = = π

Dynamika relatywistyczna

Pierwsze kolokwium z Mechaniki i Przyległości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskiego)

Elektrostatyka. A. Sieradzki IF PWr. Ogień Świętego Elma

Analiza Matematyczna Praca domowa

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Zastosowanie zasad dynamiki Newtona.

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Eikonał Optyczny.doc Strona 1 z 6. Eikonał Optyczny

dr inż. Zbigniew Szklarski

θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC

Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną.

ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.

Część I Pole elektryczne

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Prawo powszechnego ciążenia Newtona

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Przygotowanie do Egzaminu Potwierdzającego Kwalifikacje Zawodowe

Mechanika ogólna. Więzy z tarciem. Prawa tarcia statycznego Coulomba i Morena. Współczynnik tarcia. Tarcie statyczne i kinetyczne.

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Chemia Poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt:

Zadanie In[]:= = {x, y, z}; In[]:= B = B, B, B3 ; (* Bi to wielkości stałe *) In[3]:= A = - * Coss, B Out[3]= -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y In[4]:= {x,y,z} -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y Out[4]= B, B, B3 In[5]:= {x,y,z} -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y Out[5]= 0 In[6]:= CleaAll "Global`*" Zadanie Kulę składamy z obęczy o pomieniu =*sin(theta) i pzekoju popzecznym da=*d*dtheta. Objętość takiego obwazanka wynosi dv= *Pi**dA, a ładunek dq=ho*dv. Magnetyczny moment dipolowy takiego obwazanka wynosi dm=i*ds=(dq/t)*pi*^, gdzie T jest okesem obotu kuli wokół własnej osi: T=*Pi/omega. dm=(omega/)**pi*ho*^4*(sin(theta))^3*d*dtheta Spawdzam dla objętości, że z obwazanków mogę posklejać całą kulę o pomieniu R:

ozw_zadania_09.nb In[7]:= Vkuli = Integate * Pi * * * Sin theta,, 0, R, theta, 0, Pi Out[7]= 4 π R 3 3 In[8]:= Mommagnkuli = Integate omega * * Pi * ho * ^4 * Sin theta ^3,, 0, R, theta, 0, Pi Out[8]= In[9]:= Out[9]= In[0]:= Out[0]= 4 omega π R 5 ho 5 ho = Q Vkuli 3 Q 4 π R 3 Mommagnkuli omega Q R 5 In[]:= mpot =.4 * 0^ -6 ; (* C m^ s *) In[]:= R =.4 * 0^ -5 ; (* m *) In[3]:= Q =.6 * 0^ -9 ; (* C *) In[4]:= (* mp=.67*0^ -7 ; (* kg *) *) In[5]:= (* v= omega*r *) In[6]:= v = 5 * mpot Q * R (* m/s *) Out[6]= 3.5 0 8 Ta pędkość nawet dla potonu jest większa od pędkości światła w póżni! Dla elektonu byłoby jeszcze gozej, bo watość pomienia elektonu jest szacowana tylko od góy Re < 0^(-8) m. Dlatego magnetyczne momenty dipolowe cząstek nie mogą być tłumaczone na guncie elektodynamiki klasycznej. In[7]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 3

ozw_zadania_09.nb 3 Niech x oznacza odległość uchomej popzeczki od oponika R. Zmienne pole powiezchni amki to l*x, a stumień objęty pzez amkę wynosi B*l*x. Siła elektomotoyczna indukowana w amce ma watość Epsilon=B*l*x [t], a pąd w amce ma watość i[t]=epsilon/r, zakładając, że opoy szyn i popzeczki są małe w poównaniu z opoem R. Pąd w amce płynie w takim kieunku (pzez popzeczkę - w pawo), by pzeciwdziałać zmianie osnącego stumienia pola magnetycznego. W tej sytuacji na popzeczkę z pądem opócz siły gawitacji skieowanej w dół, działa siła pochodząca od pola magnetycznego skieowana w góę! In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= i t = B * l * x' t R B l x [t] R ownanie = m * x'' t m * g - i t * l * B m x [t] g m - B l x [t] R In[0]:= wapocz = x 0 x0, x' 0 0 ; (* popzeczka spada z wysokości x0, bez pędkości początkowej *) In[]:= Out[]= ownania = Append wapocz, ownanie x[0] x0, x [0] 0, m x [t] g m - B l x [t] R In[]:= s = DSolve ownania, x t, t Out[]= x[t] e - B l t m R B 4 l 4 g m R - e B l t m R g m R + B e B l t m R g l m R t + B 4 e B l t m R l 4 x0 In[3]:= s = Simplify[s] Out[3]= x[t] g m R - + e - B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 B 4 l 4 In[4]:= Out[4]= In[5]:= Out[5]= x t_ = x t /. s B 4 l 4 g m R - + e - x t B 4 l 4 g m R - + e - B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 In[6]:= l = ; B = 3; m = 0; g = 0; x0 = ; R = ; In[7]:= x t Out[7]= 96 + - + e -5 t 8 + t 59 0 36

4 ozw_zadania_09.nb In[8]:= Plot x t, t, 0, 0 50 00 50 Out[8]= 00 50 4 6 8 0 In[9]:= Plot x' t, t, 0, 0 35 30 5 0 Out[9]= 5 0 5 4 6 8 0 In[30]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 4

ozw_zadania_09.nb 5 In[3]:= polee = Ex x, y, z, t, Ey x, y, z, t, Ez x, y, z, t ; In[3]:= In[33]:= Out[33]= poleb = Bx x, y, z, t, By x, y, z, t, Bz x, y, z, t ; ho = epsilon0 * {x,y,z} polee epsilon0 Ez 0,0,,0 [x, y, z, t] + Ey 0,,0,0 [x, y, z, t] + Ex,0,0,0 [x, y, z, t] In[34]:= j = -epsilon0 * D polee, t + mu0 * {x,y,z} poleb Out[34]= -epsilon0 Ex 0,0,0, [x, y, z, t] + -By 0,0,,0 [x, y, z, t] + Bz 0,,0,0 [x, y, z, t], mu0 -epsilon0 Ey 0,0,0, [x, y, z, t] + Bx 0,0,,0 [x, y, z, t] - Bz,0,0,0 [x, y, z, t], mu0 -epsilon0 Ez 0,0,0, [x, y, z, t] + mu0 -Bx 0,,0,0 [x, y, z, t] + By,0,0,0 [x, y, z, t] In[35]:= Out[35]= FullSimplify {x,y,z} j -epsilon0 Ez 0,0,, [x, y, z, t] + Ey 0,,0, [x, y, z, t] + Ex,0,0, [x, y, z, t] In[36]:= Out[36]= FullSimplify D ho, t epsilon0 Ez 0,0,, [x, y, z, t] + Ey 0,,0, [x, y, z, t] + Ex,0,0, [x, y, z, t] In[37]:= FullSimplify {x,y,z} j + D ho, t Out[37]= 0 In[38]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 5

6 ozw_zadania_09.nb In[39]:= u = c * f x - v * t + c * f x + v * t Out[39]= c f[-t v + x] + c f[t v + x] In[40]:= l = D u, x, Out[40]= c f [-t v + x] + c f [t v + x] In[4]:= Out[4]= p = v^ * D u, t, c v f [-t v + x] + c v f [t v + x] v In[4]:= Simplify[p] Out[4]= c f [-t v + x] + c f [t v + x] In[43]:= Out[43]= Simplify l p Tue In[44]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 6 In[45]:= In[46]:= In[47]:= k = k, k, k3 ; x = x, x, x3 ; u = f k.x - w * t Out[47]= f[-t w + k x + k x + k3 x3] In[48]:= l = Laplacian u, x, x, x3 Out[48]= k f [-t w + k x + k x + k3 x3] + k f [-t w + k x + k x + k3 x3] + k3 f [-t w + k x + k x + k3 x3] In[49]:= Simplify l Out[49]= k + k + k3 f [-t w + k x + k x + k3 x3]

ozw_zadania_09.nb 7 In[50]:= p = v^ * D u, t, Out[50]= w f [-t w + k x + k x + k3 x3] v Aby zachodziło l=p, musi być spełniona zależność k + k + k3 = w v In[5]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 7 In[5]:= Out[5]= u = c * * f - v * t + c * * f + v * t c f[ - t v] c f[ + t v] + In[53]:= d = D[u, ] c f[ - t v] c f[ + t v] Out[53]= - - + c f [ - t v] + c f [ + t v] In[54]:= d = ^ * D[u, ] Out[54]= c f[ - t v] c f[ + t v] - - + c f [ - t v] + c f [ + t v] In[55]:= Simplify d Out[55]= -c f[ - t v] - c f[ + t v] + c f [ - t v] + c f [ + t v] In[56]:= Out[56]= l = ^ * D d, c f[ - t v] c f[ + t v] - - + c f [ - t v] + c f [ + t v] c f[ - t v] c f[ + t v] + 3 3 c f [ + t v] + c f [ - t v] + c f [ + t v] +

8 ozw_zadania_09.nb In[57]:= Out[57]= Simplify l c f [ - t v] + c f [ + t v] In[58]:= Out[58]= In[59]:= Out[59]= In[60]:= Out[60]= p = v^ * D u, t, c v f [-t v] Simplify[p] + c v f [+t v] v c f [ - t v] + c f [ + t v] Simplify l p Tue In[6]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 8 In[6]:= u = A[x] * Cos w * t + phi Out[6]= A[x] Cos[phi + t w] In[63]:= Out[63]= In[64]:= Out[64]= d = D u, x, - v^ * D u, t, w A[x] Cos[phi + t w] + Cos[phi + t w] A [x] v Simplify d Cos[phi + t w] w A[x] + v A [x] v Aby ównanie było spełnione dla dowolnej chwili t, wyażenie w nawiasie musi być ówne zeo In[65]:= ownanie = w A[x] + v A [x] 0 Out[65]= w A[x] + v A [x] 0 In[66]:= Out[66]= v = w k w k

ozw_zadania_09.nb 9 In[67]:= Out[67]= ownanie = Simplify ownanie, w > 0 k A[x] + A [x] 0 k In[68]:= Out[68]= wabzeg = A 0 0, A L 0 A[0] 0, A[L] 0 In[69]:= Out[69]= In[70]:= Out[70]= ownania = Append wabzeg, ownanie A[0] 0, A[L] 0, k A[x] + A [x] 0 k s = Assuming k > 0 && L > 0, DSolve ownania, A[x], x A[x] C[] Sin[k x] 0 Tue ṅ. Integes && ṅ. && k > 0 && L ṅ. π k ṅ. 0 && k > 0 && L π+ n.. k To nie jest popawny wynik. Szukam więc najpiew ozwiązania bez waunków bzegowych! In[7]:= Out[7]= s = DSolve ownanie, A[x], x A[x] C[] Cos[k x] + C[] Sin[k x] Aby waunki bzegowe były spełnione: In[7]:= A[x_] := c * Sin k * x Dodatkowo Sin[k*L]=0, więc k*l = n*pi, gdzie n=,,3,.. (Dla n=0 mielibyśmy tywialne ozwiązanie A[x]=0 i u=0.) Dlatego k = n*pi/l, gdzie n=,,3,... In[73]:= kmin = Pi L; In[74]:= Out[74]= wmin = vf * kmin π vf L In[75]:= fmin = wmin * Pi (* najniższa częstotliwość *) Out[75]= vf L In[76]:= vf = Sqt T0 mu (* pędkość fazowa fali w stunie *) Out[76]= T0 mu In[77]:= fmin Out[77]= T0 mu L

0 ozw_zadania_09.nb In[78]:= L = 0.64; (* m *)Manipulate Plot Sin n * x * Pi L, x, 0, L, AxesLabel x, "A[x]", PlotLabel n, n,, 0, n A[x].0 0.8 Out[78]= 0.6 0.4 0. 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 x In[79]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 9 In[80]:= L = 0.64; (* m *) In[8]:= d = 0.08; (* cm *) In[8]:= ho = 7.85;(* g (cm)^3 *) In[83]:= T0 = 443.8; (* N *) Liczę objętość m bieżącego stuny w (cm)^3 : In[84]:= obj = Pi * d ^ * 00 Out[84]= 0.50655 In[85]:= m = obj * ho (* masa m bieżącego stuny w gamach *) Out[85]= 3.94584 In[86]:= mu = m 000 (* masa m bieżącego stuny w kg *) Out[86]= 0.00394584

ozw_zadania_09.nb In[87]:= vf = Sqt T0 mu (* m/s *) Out[87]= 335.37 In[88]:= fmin = Out[88]= 6.008 T0 mu L (* Hz *)