qwertyuiopasdfghjklzxcvbmqwerty uiopasdfghjklzxcvbmqwertyuiopasd fghjklzxcvbmqwertyuiopasdfghjklzx cvbmqwertyuiopasdfghjklzxcvbmq Model ekoometryczy wertyuiopasdfghjklzxcvbmqwertyui Ekoometria: projekt opasdfghjklzxcvbmqwertyuiopasdfg Katarzya Bubula Opole 009 hjklzxcvbmqwertyuiopasdfghjklzxc vbmqwertyuiopasdfghjklzxcvbmq wertyuiopasdfghjklzxcvbmqwertyui opasdfghjklzxcvbmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbmqwertyuiopasdfghjklzxc vbmqwertyuiopasdfghjklzxcvbmq wertyuiopasdfghjklzxcvbmqwertyui opasdfghjklzxcvbmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbmrtyuiopasdfghjklzxcvb mqwertyuiopasdfghjklzxcvbmqwert yuiopasdfghjklzxcvbmqwertyuiopas 1
Spis treści 1. Wstęp... 3. Prezetacja daych... 4 3. Współczyiki korelacji... 5 4. Aaliza Grafów... 6 5. Metoda Hellwiga... 8 6. Oszacowaie parametrów strukturalych modelu... 10 7. Weryfikacja modelu... 1 8. Sprawdziay hipotez... 14 9. Graficza prezetacja wyików... 16 10. Fukcja predykcyja modelu... 17 11. Wioski... 18 1. Bibliografia... 19
1. Wstęp Model ekoometryczy jest to formaly matematyczy zapis istiejących prawidłowości ekoomiczych. Powiie posiadać ie tylko wartość pozawczą z puktu widzeia teorii ekoomii, ale rówież wartość praktyczą, czyli aby mógł służyć jako arzędzie wioskowaia w przyszłości. W szerszym pojęciu model ekoometryczy obejmuje ie tylko te modele, które zawierają matematyczy opis istiejących prawidłowości ekoomiczych, ale rówież i te, które obok opisu rzeczywistości pozwalają a wybór rozwiązań optymalych. W takich modelach, obok zależości fukcyjych wyzaczają obszar dopuszczalych decyzji, występuje fukcja kryterium, zwaa rówież fukcją celu, umożliwiająca wybór wariatu optymalego spośród dopuszczalych. Natomiast w węższym sesie model ekoometryczy odosi się jedyie do modeli opisujących prawidłowości istiejące w gospodarce, a więc modelami którymi zajmuje się klasycza teoria ekoomii. Modelem ekoometryczym w klasyczym pojęciu ie jest zatem model, który obok opisu rzeczywistości pozwala a wybór optymalej decyzji. Specyfikacja modelu ekoometryczego jest to sprecyzowaie zmieych objaśiających przez model oraz zmieych objaśiających, podjęcie decyzji dotyczącej charakteru występujących w modelu zależości, więc określeie ie tylko współzależości, lecz także aalityczej postaci rówać modelu. Proces specyfikacji modelu ma zazwyczaj charakter ormatywego podejmowaia decyzji co do jego właściwości, działaia i zakresu, przy czym iektóre z tych decyzji mogą być wyikiem zastosowaia pewych sformalizowaych procedur. 3
. Prezetacja daych Dae wykorzystywae w iiejszym projekcie zostały pobrae ze stroy iteretowej Główego Urzędu statystyczego. Zmieą objaśiaą jest ilość rozwodów kształtująca się w kolejych kwartałach od pierwszego kwartału 005 do pierwszego kwartału 008 roku (bez drugiego kwartału roku 006, do którego ie zalazłam wszystkich daych). Zmieymi objaśiającymi są: małżeństwa zawarte w tym okresie, bezrobocie (wyrażoe w procetach), średia wysokość wyagrodzeia oraz zgoy iemowląt. Poiżej przestawiam tabelę z zebraymi daymi: Rok 005 006 007 008 Czas kwartał Rozwody Y MałŜeństwa X1 Bezrobocie X [%] Wyagrodzeia X3 [zł] Zgoy iemowląt X4 1 188 19 538 19, 417,1 607 16770 5 731 18,0 459,7 616 3 15888 88 734 17,6 485,57 540 4 1971 45 913 17,6 648,18 577 1 15399 463 17,8 534,16 560 3 1554 96 105 15, 619,56 548 4 886 48 94 14,8 798,5 53 1 11008 3 378 14,3 736,3 566 15053 63 690 1,3 806,3 586 3 15433 107 00 11,6 888,57 573 4 4684 54 434 11,4 3 086,74 597 1 10545 5 15 10,9 3 049,76 651 17496 67 8 9,4 3 151,51 556 4
3. Współczyiki korelacji Pierwszym etapem w tworzeiu modelu ekoometryczego jest wyliczeie wektora R0 współczyików korelacji. Liczymy go korzystając z wzoru: r i = t= 1 ( y t ( yt y) y)( x t= 1 t= 1 ti x ( x ti i) xi) ( i = 1,,...,m) W wyiku działań otrzymałam astępujący wektor: R0 = 0,0-0,03 0,07-0,346 Następie ależy wyzaczyć macierz R współczyików korelacji pomiędzy potecjalymi zmieymi objaśiającymi. Przy tych wyliczeiach korzystamy z poiższego wzoru: rij= t= 1 ( x ( x ti ti xi) xi)( x t= 1 t= 1 tj x ( x tj j) xj) (i, j = 1,,...,m) Zastosowaie tego wzoru do daych z puktu drugiego daje astępujący wyik: 1-0,6398 0,11607-0,4109 R = -0,6398 1-0,95691-0,11633 0,11607-0,95691 1 0,13563-0,4109-0,11633 0,13563 1 5
4. Aaliza Grafów Dobór zmieych do modelu metodą aalizy grafów. Obliczamy wartość krytyczą współczyika korelacji według wzoru: r* = ( I*) ( I*) + Dla poziomu istotości α=0,1 oraz dla - stopi swobody, czyli 13-=11 odczytujemy wartość krytyczą z tablic t-studeta, która wyosi: I*, czyli (t α ) = 1,796. r* = 0,47618 Współczyiki korelacji spełiające relację: r ij r* dla i j, są statystyczie ieistote i zastępuje je w macierzy R zerami. R = 1 0 0 0 0 1-0,95691 0 0-0,95691 1 0 0 0 0 1 Na podstawie powyższej macierzy budujemy graf powiązań pomiędzy zmieymi. Wyróżić możemy powiązaie zmieych X z X3, a także dwa wierzchołki izolowae X1 i X4. Ze związku zmieych X i X3 wybieramy X3. Wyboru tego dokoałam a podstawie porówaia korelacji obu tych zmieych ze zmieą edogeiczą Y (dae z wektora R0) i wybraia tej zmieej która jest mociej skorelowaa. 6
Z wierzchołków izolowaych ie wybieramy żadego, gdyż ich korelacja ze zmieą edogeiczą jest miejsza iż wartość krytycza: R0(X1) =0,0 < 0,47618 R0(X4) =0,346 < 0,47618 Z aalizy grafów otrzymujemy model o postaci: Y = α 1 X3 + α 0 7
5. Metoda Hellwiga Dla sprawdzeia doboru parametrów metodą aalizy grafów zastosuję metodę Hellwiga. Dobór zmieych metodą Hellwiga odbywa się poprzez określeie wszystkich kombiacji zmieych objaśiaych X 1, X, X 3 i X 4, których jest L= 1, co w moim przypadku ozacza 15 kombiacji. wzoru: Dla każdej kombiacji określamy itegraly wskaźik pojemości iformacyjej, według gdzie: k- umer kombiacji, k = 1,,,l j - umer zmieej w kombiacji, j= 1,,,m 8
Tabela z wyliczeiami przedstawia się astępująco: umer kombiacji kombiacja jedoelemetowe 1 1 k1 h11 0,040666 H1 0,041 k h 0,001033 H 0,001 3 3 k3 h33 0,04991 H3 0,043 4 4 k4 h44 0,1007 H4 0,10 dwuelemetowe 5 1 k5 h51 0,03173 h5 0,000817 H5 0,033 6 13 k6 k61 0,036438 h63 0,03851 H6 0,075 7 14 k7 h71 0,08835 h64 0,085108 H7 0,114 8 3 k8 h8 0,00058 h83 0,01969 H8 0,0 9 4 k9 h9 0,00095 h94 0,107519 H9 0,108 10 34 k10 h103 0,037856 h104 0,10569 H10 0,144 trzyelemetowe 11 13 k11 h111 0,09468 h11 0,000465 h113 0,00739 H11 0,051 1 14 k1 h11 0,0489 h1 0,000748 h14 0,07863 H1 0,104 13 134 k13 h131 0,06643 h133 0,034347 h134 0,077641 H13 0,139 14 34 k14 h14 0,000498 h143 0,00545 h144 0,095871 H14 0,117 czteroelemetowe 15 134 k15 h151 0,0715 h15 0,00044 h153 0,019465 h154 0,0708 H15 0,115 Wybieramy kombiację optymalą, czyli kombiację o ajwiększym itegralym wskaźiku pojemości iformacyjej H. Zmiee z tej kombiacji wchodzą do modelu ekoometryczego. W tym wypadku jest to wskaźik H10, a więc zmiee X 3 i X 4
6. Oszacowaie parametrów strukturalych modelu Do oszacowaia parametrów strukturalych mojego modelu ekoometryczego zastosuję Metodę Najmiejszych Kwadratów. Model ma postać: Y = α 1 X3 + α 0 Y jest to wektor obserwacji zmieej objaśiaej Y= 188 16770 15888 1971 15399 1554 886 11008 15053 15433 4684 10545 17496 X wektor obserwacji zmieych objaśiających X= 417,1 1 459,7 1 485,57 1 648,18 1 534,16 1 619,56 1 798,5 1 736,3 1 806,3 1 888,57 1 3 086,74 1 3 049,76 1 3 151,51 1 10
Wektor oce parametrów strukturalych modelu: a = ( X X ) T 1 X T Y Aby obliczyć wektor z powyższego rówaia ależało wykoać szereg działań a macierzach. 1. X T X. (X T X) -1 3. X T Y 98664407,6 35681,51 35681,51 13,00 0,000001373-0,00377-0,003768984 10,4177 594 094 064,1 15485,0 4. ((X T X) -1 )* X T Y 3,633 6604,589 Po wykoaiu tych iezbędych obliczeń i wyliczeiu właściwego wektora parametrów strukturalych możemy podstawić wyliczoe wartości do modelu: Y = 3,633 X3 + 6604,589 Wartości parametrów możemy iterpretować w astępujący sposób: α 1 = 3,633 Jeżeli przecięte rocze wyagrodzeie wzrośie o 1 zł to spowoduje to wzrost liczby rozwodów o 3,633. α 0 = 6604,589 Wartość tego parametru iformuje o przeciętej liczbie rozwodów przy zerowym poziomie średiego roczego wyagrodzeia. 11
7. Weryfikacja modelu Do weryfikacji modelu wykorzystam wariację składika resztowego S u, odchyleie stadardowe składika resztowego S u, błędy średie szacuku parametrów D(a i ), współczyik zbieżości φ oraz współczyik zmieości losowej. 1. Wariacja składika resztowego S u 1 T T S u = ( Y Y Y X a) k Y T Y = 3795389901 594094064 15485 Y T X = S u =19 449 93,5988. Odchyleie stadardowe składika resztowego S u S u = 4 410,08 Miara ta wyrażoa jest w jedostkach zmieej objaśiaej i iformuje as o ile średio odchylają się wartości rzeczywiste zmieej od wartości teoretyczych oszacowaych a podstawie modelu. Parametr te iformuje as więc, że wartości przeciętej liczby rozwodów różią się średio od wartości teoretyczych liczby rozwodów wyikających z modelu o 4 410,08. 3. Błędy średie szacuku parametrów D(a i ) D =S (XTX) -1 D = 6,708-73306,48-73306,48 07076,854 D(α 1 ) = = 5,168 D(α 0 ) = = 14 37,37 Po uwzględieiu błędów szacuku model przybiera postać: Y = 3,633 X3 + 6604,589 (5, 168) (14 37,37) 4. Współczyik zbieżości φ ϕ ei i= 1 i= 1 = = ( yi y) i= 1 i= 1 ( y yˆ ) i ( y y) i i 1
Dla mojego modelu φ = 95,7% Współczyik te iformuje as o jakości dopasowaia modelu. Wielkość 95,7% mówi że tyle procet wartości Y ie jest wyjaśioych przez model. 5. Współczyik zmieości losowej V r Su = 100% y V r = 6,61% Ta wartość ozacza że tyle procet wyików staowią składiki wyikające ze zmieej losowej. 13
8. Sprawdziay hipotez Kolejym etapem weryfikacji modelu ekoometryczego jest sprawdzeie statystyczej istotości parametrów strukturalych, tj. ocea, czy parametry różią się statystyczie istotie od zera. 1. Sprawdzia istotości oddziaływaia zmieych objaśiających a zmieą edogeiczą Sprawdziaem hipotezy jest statystyka t-studeta H 0 : α i = 0 parametry x,y są ieistote z puktu widzeia statyczego H 1 : α i 0 parametry x,y są istote z puktu widzeia statystyczego Sprawdziaem testu jest statystyka t-studeta, liczoa wg astępującego wzoru: gdzie: α i ocea i-tego parametru strukturalego, D(α i ) błąd średi szacuku parametru strukturalego α i. ta i α = D i ( α ), i α 1 -> t 1 = 0,703 α 0 -> t 0 = 0,464 Po obliczeiu statystyki t-studeta porówujemy jej wartość bezwzględą z wartością krytyczą t α,-1 odczytaą z tablic kwatyli rozkładu t-studeta dla przyjętego poziomu istotości α (w moim przypadku α=0,1) i m=-k stopi swobody ( jest to liczba obserwacji, k jest liczbą szacowaych parametrów). α=0,1 m= 13 = 11 t α = 1,796 t 1 < t α ozacza to ie mamy podstaw aby parametr pierwszy uzać za istoty t 0 < t α ozacza to ie mamy podstaw aby parametr drugi uzać za istoty. Sprawdzia wystarczalości dopasowaia oszacowaego modelu do daych empiryczych Współczyik determiacji przy dodatkowym założeiu o ormalości rozkładu wektora składika losowego może być zbaday z puktu widzeia rozkładu użyteczego do budowy testu dotyczącego istotości parametrów. W tym przypadku hipoteza zerowa ma postać: H 0 : α 1 =α = =α m = 0 - o braku oddziaływaiu poszczególych parametrów przeciwko H 1 : α 1 + α + + α m 0 oddziaływaie istotych parametrów 14
Do klasyfikacji istotości całego modelu wykorzystujemy test Fishera-Sedecora: Dae: R = 1 - φ = 1-0,957 = 0,048 m 1 = k -1 = 1 m = k = 11 F = 0,4918 α=0,1 F α = 3,3 a F = T X T y u T u T ( 1 y) k R = k 1 1 R k, k 1 F < F α brak podstaw do odrzuceia hipotezy 15
9. Graficza prezetacja wyików Poiżej przedstawiam wykres dla daych które wykorzystywałam do wyzaczeia modelu oraz dla daych wyliczoych z modelu: 6000 4000 Z daych Z modelu 000 0000 ROZWODY 18000 16000 14000 1000 10000 005 006 007 008 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 16
10. Fukcja predykcyja modelu Korzystając z modelu: Y = 3,633 X3 + 6604,589 wyzaczyłam ilość rozwodów dla dwóch kolejych kwartałów 008 roku i porówałam je z daymi rzeczywistymi: Kwartał Dae rzeczywiste Dae wyliczoe z modelu RóŜica 3 15686, 18188,74 50,54 15,95% 4 15908,6 1855,8 617, 16,45% Jak widać różica między wartością wyliczoą z modelu a wartością rzeczywistą wyosi około 16%. 17
11. Wioski Aalizując wszystkie otrzymae wyiki doszłam do wiosku, że albo model jest źle zbudoway albo zmiee objaśiające są tak źle dopasowae, że ie da się zbudować do tego dobrego modelu. Już sprawdzeie doboru parametrów metodą Hellwiga wzbudziło wątpliwości co do prawidłowości modelu. W metodzie aalizy grafów została wybraa zmiea X3, atomiast metoda Hellwiga wskazała a zmiee X 3 i X 4. Rozbieżości mogą być spowodowae złym doborem zmieych objaśiających. Przyglądając się weryfikacji modelu możemy dojść do ww. wiosków. Odchyleie stadardowe składika resztowego charakteryzuje się tym, że im jest większe tym rozrzut jest większy, a więc i dopasowaie modelu coraz gorsze. W przypadku mojego modelu to odchyleie wyiosło aż 4410.08, co jest wartością bardzo dużą. Koleje obliczeia dotyczyły średich błędów szacuków parametrów modelu. Oe także wyszły zdecydowaie za duże (dla pierwszego parametru prawie drugie tyle większe, dla drugiego poad dwa razy większe). Iformuje to as o możliwości zaczych odchyłów wyików otrzymywaych z modelu w stosuku do wartości rzeczywistych. Współczyik zbieżości (braku determiacji) φ określa, jaka część zmieości zmieej objaśiaej ie została wyjaśioa przez model. Jest więc miarą stopia, w jakim model ie wyjaśia kształtowaia się zmieej objaśiaej. Moża rówież powiedzieć, że współczyik zbieżości opisuje tę część zmieości zmieej objaśiaej, która wyika z jej zależości od iych czyików iż uwzględioe w modelu. Współczyik zbieżości przyjmuje wartości z przedziału [0;1]. Jego wartości ajczęściej są wyrażae w procetach. Dopasowaie modelu jest tym lepsze, im jego wartość jest bliższa zeru. W moim przypadku współczyik te wyiósł 95,7%, co ozacza że model dopasoway jest w iecałych 5%. Ostatim weryfikatorem modelu jest współczyik zmieości losowej, który iformuje o tym, jaką cześć wartości średiej zmieej objaśiaej staowi odchyleie stadardowe składika resztowego, czyli w jakim stopiu a zmieą objaśiaą mają wpływ czyiki losowe (przypadkowe). Przyjmuje się, że dobrze dopasoway model to taki, dla którego V r <15%. W przypadku mojego modelu wyosi o 6,61%, a więc zaczie powyżej tej wartości. Kolejym potwierdzeiem braku korelacji zmieych objaśiających ze zmieą objaśiaą są: badaie istotości parametrów strukturalych przy pomocy statystyki t-studeta oraz sprawdzia hipotezy statystyką F rozkładu F Fishera-Sedecora. Z pierwszego badaia dowiadujemy się, że parametry strukturale ieistotie różią się od zera, a więc ie wpływają w istoty sposób a ilość rozwodów. W drugim sprawdziaie określiłam, że istieje brak podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej, z czego wyika, ze wszystkie zmiee objaśiające ależałoby usuąć z modelu i zacząć jego budowę od owe. Akceptacja H 0 ozacza bowiem, że wartości zmieej objaśiaej powiy być wyjaśiae przez jej wartość przeciętą z próby. 18
1. Bibliografia 1. www.sgh.waw.pl/prywate/tompa/materialy/statsytyka/testowaie.doc. www.sciaga.pl/prace/getattach.html?aid=11746 3. gmetel.sd.prz.edu.pl 4. portal.wsiz.rzeszow.pl/plik.aspx?id=7957 5. http://matematyka.pl/79649.htm 19