PROCESY AUTOREGRESYJNE ZE ZMIENNYM PARAMETREM Joanna Górka Wdział Nauk Ekonomicznch i Zarządzania UMK w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saski WSTĘP Niesacjonarne proces o średniej zero mogą bć reprezenowane przez proces ARMA ze zmiennmi paramerami. Klasa procesów auoregresjnch z losowmi paramerami (ozn. RCA bła po raz pierwsz opisana w monografii Nichollsa i Quinna (98. Przedmioem zaineresowań są modele auoregresjne rzędu pierwszego z losowm paramerem, zn. modele posaci: + ε, gdzie ε ~ NID(, σ ε. Można wróżnić dwa przpadki:. jeżeli exp( α ( σ α α ~ NID m,, gdzie α jes sacjonarnm procesem akim, że, o mam proces pu STUR (por. Lebourne, McCabe, Tremane (996, Lebourne, McCabe, Mills (996, Grager, Swanson (997, Osińska (4,. jeżeli ~ IID( p, σ, o wówczas mam do cznienia z modelem RCA( (por. Lebourne, McCabe, Tremane (996. Powsaje panie: jakie własności posiada model AR( ze zmiennm paramerem, jeżeli paramer opisan jes przez model AR(p? W lieraurze ekonomercznej ego pu modele nie bł jak doąd przedmioem badań. Praca przgoowana w ramach projeku badawczego nr -HB-5-5 finansowanego przez Komie Badań Naukowch. Ang. random coefficien auoregressive model. --
Celem referau jes przedsawienie procesu RCA(, p, jego własności, przkładowch realizacji oraz porównanie z innmi klasami modeli. Przedmioem badań są proces auoregresjne rzędu pierwszego ze zmiennm paramerem, prz czm paramer jes opisan przez model AR rzędu p. Proces aki można zapisać w posaci ogólnej jako: gdzie + ε ( + α + α +... + α p p ( ~ NID( σ ε, ~ NID(, σ ε,. W szczególnm przpadku, gd ~ NID μ, σ, mam do cznienia z modelem auoregresjnm ze zmiennm paramerem rzędu pierwszego (RCA(, kór jes zaliczan do klas modeli z niejednorodną wariancją. p oraz (. MODEL RCA Niech dan będzie proces RCA(, opisan równaniami gdzie + ε (3 α + (4 ~ NID( σ ε, ~ NID(, σ ε,. Dokonując odpowiednich podsawień, równania (3 i (4 można zasąpić równaniem: j k ε + α i k ε j. (5 j i k Własności procesu auoregresjnego rzędu pierwszego opisanego równaniem (4 są nasępujące: ( E (6 σ var ( σ prz założeniu α α < (7 --
cov zaś procesu RCA(, s ( α σ ( s (8 E (9 σ var prz założeniu σ < ( ( ε ( σ cov s. ( Zaem proces RCA(, charakerzuje się zerową średnią, zerowmi kowariancjami oraz wariancją, kóra jes funkcją parameru α i wariancji składnika losowego. Ławo wkazać, że jeśli α < σ, o isnieje skończona wariancja procesu. Uogólniając dla modelu RCA(,p, orzmujem: ( E ( var ( cov s. ( f ( α,..., α, σ (3 σ ε p Model RCA(,p można zapisać w posaci modelu przesrzeni sanów (SS: gdzie H x... x Fx + G, (4 p+ H x + ε, (5... [ ] α F... α...... α p α............... p G... Modelu opisan równaniami (4-(5 jes połączeniem modelu SS ze sałmi paramerami (równanie sanu oraz modelu SS ze zmiennmi paramerami (równanie wjścia. Zaem do esmacji paramerów modelu -3-
RCA można zasosować meodę największej wiargodności wkorzsującą filr Kalmana. Niech paramer procesu auoregresjnego rzędu pierwszego będzie opisan poprzez proces AR( ze sałą (średnia różna od zera. Wówczas proces RCA(, ma posać: gdzie + ε (6 + α + α (7 ~ NID( σ ε, ~ NID(, σ ε,. Proces RCA(, ze sałą, podobnie jak proces RCA(, bez sałej, można zapisać w posaci: j k ( ε + α α + i k ε j. (8 j i k Jeżeli α <, o własności procesu opisanego równaniami (6 i (7 są nasępujące: ( α E (9 α σ var ( σ ( α cov α zaś dla procesu RCA(, ze sałą: s ( α σ ( s + α ( E ( σ var, prz założeniu σ <, (3 ε ( σ s α σ ε cov( α s, prz założeniu σ <. (4 σ -4-
Zaem proces RCA(, ze sałą ma podobnie własności jak proces RCA(, bez sałej z wjąkiem kowariancji, kóra w m przpadku jes funkcją paramerów α, α i wariancji składnika losowego. Model RCA(,p opisan równaniami (6 i (7 można zapisać w posaci modelu przesrzeni sanów (SS: gdzie H x... x Fx + E + G, (5 p+ H x + ε, (6... [ ] α F... α...... α p α............... p α E... G... Różnica posaci modelu przesrzeni sanów, w sosunku do modelu RCA bez sałej, wsępuje lko w równaniu sanu. W przpadku modelu RCA(,p ze sałą, należ dodać w równaniu (4 jedną macierz.. IDENTYFIKACJA WŁASNOŚCI MODELU RCA ZA POMOCĄ SYMULACJI W celu zilusrowania własności RCA oraz przeprowadzono ekspermen smulacjn. Wgenerowano szeregów po 5 obserwacji każd. Dla każdego z wgenerowanch szeregów przeprowadzono analizę funkcji auokorelacji (ACF oraz funkcji auokorelacji cząskowej (PACF, wznaczono warość średnią, odchlenie sandardowe, współcznniki skośności, kuroz oraz warości sask: Boxa-Ljunga, Engla ARCH, DF, McLeoda i Li. Wbrane wniki zaware są w ablicach -4. Proces generujące dane dla poszczególnch przpadków mają posać: MODEL I AR( (7. 5 gdzie ~ NID(, ε, + ε MODEL II RCA(, (8 + ε. 3 + -5-
gdzie ~ NID(, ε, ~ NID(, σ MODEL III RCA(, (9 + ε gdzie ~ NID(, +. 4. ε, ~ NID(, σ MODEL IV RCA(,3 (3 + ε gdzie ~ NID(, +. 5. 3 +. 3 ε, ~ NID(, σ Przkładowe realizacje przedsawiono na rsunku i. Rs. Przkładowe realizacje procesów ( σ. 6 i ich charakerski -6-
Rs. Przkładowe realizacje procesów ( σ. i ich charakerski Poniżej przedsawiono niekóre z uzskanch wników sask opisowch oraz esów sascznch. Tablica. Własności sasczne procesów dla σ. 6 Średnia Odchlenie Sandardowe AR( -,557,564,47,498,58,483 RCA(, -,56,94,84,66,9383,35 RCA(, -,574,65 -,6,399,656,387 RCA(,3 -,83,84 -,35,5,944,443 Skośność Kuroza -7-
AR( -,36,69,6,566 3,635,9539 RCA(, -,3593 3,493,437,7 58,4964 5,756 RCA(, -,9876,357 -,7,6385 9,3 4,5747 RCA(,3 -,6,5397 -,395,938,553 6,78 Tablica. Własności sasczne procesów dla σ. Średnia Odchlenie Sandardowe AR( -,688,378,4,53,648,489 RCA(, -,344,4,4,96,86,999 RCA(, -,393,4,,97,85, RCA(,3 -,395,9,,9,884, Skośność Kuroza AR( -,577,36,9,563 3,6346,9844 RCA(, -,39,93,74,545 4,63,998 RCA(, -,964,84,7,49 4,49,977 RCA(,3 -,35,785,6,5 4,663,977 Tablica 3. Wniki esów procesów dla σ. 6 Tes Boxa-Ljunga Engla ARCH es DF McLeoda i Li 3 4 4 4 AR(,,,,,,,99,,,99 RCA(,,37,64,63,56,,,98,,,98 RCA(,,7,9,9,8,,,99,,,99 RCA(,3,4,89,86,8,,,,,, Liczba oznacza prawdopodobieńswo odrzucenia H Tablica 4. Wniki esów procesów dla σ. Tes Boxa-Ljunga Engla ARCH es DF McLeoda i Li 3 4 4 4-8-
AR(,,,,,99,98,97,,99,97 RCA(,,5,4,,3,,5,7,,,7 RCA(,,6,4,,,,4,5,,,5 RCA(,3,4,4,5,3,,3,6,,,5 Analiza funkcji ACF oraz funkcji PACF oraz przedsawionch powżej wników pozwoliła na sformułowanie nasępującch wniosków:. warości współcznników ACF i PACF zależą od warości wariancji resz modelu ( w procesie generującm paramer, prz czm dla wariancji σ. prawie wszskie warości współcznników ACF i PACF są sascznie nieisone (por. ablica 4,. dla kwadraów realizacji widoczna jes jeszcze większa zależność pomiędz isonością warości współcznników ACF i PACF a warością wariancji reszowej. Wższa warość wariancji składnika losowego z równania (, o wsępowanie efeku ARCH, nieliniowość procesu 3, podwższona kuroza 3. dla wższch warości wariancji składnika losowego ( σ.36 własności sasczne procesu RCA są podobne jak własności sasczne procesów biliniowch, 4. za pomocą przedsawionch własności i esów isnieje możliwość rozróżnienia pomiędz procesem AR a procesem RCA, 5. w przpadkach granicznch, gd α σ α < σ auokorelacja wsępuje w większej ilości realizacji. Dla modelu RCA ze sałą wniki również ulegają zmianie. Powórzono ekspermen smulacjn dodając w modelach RCA sałą w równaniu ( wnoszącą.5. Wniki przedsawiono w ablicach 5-8. W m przpadku wniki esów nie zależą od warości wariancji składnika losowego. Od wariancji reszowej zależ lko warość wariacji procesu, co jes zgodne z równanie (. Tablica 5. Własności sasczne procesów ze sałą dla σ. 6 Średnia Odchlenie Sandardowe 3 według esu McLeoda i Li. -9-
min Max śr min max Śr AR( -,76,5,77,37,79,537 RCA(, -5,7576 35,537,633,857 377,998,787 RCA(, -,6963,789 -,6,6674 7,746,846 RCA(,3-3,864 8,683,663,76 4,877 6,464 Skośność Kuroza AR( -,3564,775,8,5657 3,686,94 RCA(, -,39,647,3667 6,63 83,757 4,9339 RCA(, -,4864 7,9,48 4,66 59,959 9,8497 RCA(,3 -,95,635 -,558 4,75 8,346 45,669 Tablica 6. Własności sasczne procesów ze sałą dla σ. Średnia Odchlenie Sandardowe AR( -,79,67,6,,67,54 RCA(, -,365,3768,,68,783,4435 RCA(, -,46,3585,,,6775,49 RCA(,3 -,485,3769,9,48,7366,45 Skośność Kuroza AR( -,856,874,48,64 4,79,969 RCA(, -,466,737,,537 5,767 3,6 RCA(, -,343,64 -,79,473 4,938 3,367 RCA(,3 -,45,5673 -,34,485 6,64 3,59 Tablica 7. Wniki esów procesów ze sałą dla σ. 6 Tes Boxa-Ljunga Engla ARCH es DF McLeoda i Li 3 4 4 4 AR(,,,,,,,98,,,98 RCA(,,,,,,,,,,, RCA(,,,,,,,,,,, RCA(,3,,,,,,,,,, --
Tablica 8. Wniki esów procesów ze sałą dla σ. Tes Boxa-Ljunga Engla ARCH es DF McLeoda i Li 3 4 4 4 AR(,,,,,99,98,98,,99,97 RCA(,,,,,,,,,,, RCA(,,,,,,,,,,, RCA(,3,,,,,,,,,, 3. PODSUMOWANIE Przeprowadzona analiza własności modeli RCA(,p wkazała, że modele e charakerzują się średnią zero, wariancją zależną od warości paramerów modelu opisującego proces parameru i wariancji składników reszowch w równaniach ( i (. Warość kowariancji w zależności od pu RCA(,p (bez sałej cz ze sałą wnosi zero lub jes od zera różna i zależ od warości paramerów modelu opisującego proces parameru i wariancji składników reszowch w równaniach ( i (. Na podsawie wników ekspermenu smulacjnego można swierdzić, iż niekóre modele RCA(,p, ze względu na swoje własności, mogą opiswać sop zwrou cen akcji. Problem wkorzsania modeli RCA(,p w ekonomicznch szeregach czasowch nie jes w lieraurze rozpoznan i wmaga jeszcze dalszch pogłębionch sudiów. LITERATURA. Grager C. W. J., Swanson N. R. (997, An inroducion o sochasic uni-roo process, Journal of Economerics, 8.. Harve A. C., (99, Forecasing, Srucural Time Series Models and he Kalman Filer, Cambridge Universi Press. 3. Lebourne S. J., McCabe B. P. M., Mills T. C. (996, "Randomized uni roo processes for modeling and forecasing financial ime series: heor and applicaions", Journal of Forecasing, 5. 4. Lebourne S. J., McCabe B. P. M., Tremane A. R., (996, Can Economic Time Series Be Differenced Saionai?, American Saisical Associaion Journal of Business & Economic Saisics, Vol. 4, No. 4. 5. Lükepohl H., (99, Inroducion o Muliple Time Series Analsis, Springer-Verlag, Berlin. --
6. Nicholls D. F., Quinn B. G., (98, Random Coefficien Auoregressive Models: An Inroducion, Springer-Verlag, New York. 7. Osińska M. (4, "Proces zawierające sochasczne pierwiaski jednoskowe - idenfikacja i zasosowania", AUNC 368, Toruń. Joanna Górka RANDOM-COEFFICIENT AUTOREGRESSIVE PROCESSES Summar In he paper we presen sochasic process which is called randomcoefficien auoregressive processes. In his aricle we show analsis of assumpion of random-coefficien auoregressive processes order one, where auoregressive model describe he coefficien. Advanage of his class of models rel on possibili descripion nonlinear mechanism in he daa. --