A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 390 TORUŃ 2009.

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 390 TORUŃ 009 Uniwerse Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saski WŁASNOŚCI PROGNOSTYCZNE MODELI KLASY RCA Z a r s r e ś c i. W niniejszm opracowaniu zaproponowano użcie modeli klas RCA (RCA RCA-GARCH RCA-MA Sign RCA Sign RCA-MA i Sign RCA-GARCH) do orzmania prognoz warunkowej średniej dla sóp zwrou. Dla porównania wznaczono prognoz na podsawie modelu klas ARMA-GARCH obliczono bled prognoz ex pos oraz miar kierunku zgodności. Modele klas RCA mogą bć przdane do wznaczenia warunkowej średniej wówczas gd nie jeseśm wsanie zbudować modelu ARMA-GARCH. S ł o w a k l u c z o w e: RCA Sign RCA RCA-MA Sign RCA-MA RCA-GARCH Sign RCA- GARCH prognozowanie błęd prognoz.. WSTĘP Wprowadzenie losowego parameru do modelu auoregresjnego zwiększa możliwości aplikacjne ego modelu gdż pozwala na uwzględnienie podwższonej kuroz i grubch ogonów rozkładów. Jednak model RCA jes wsanie modelować zmienną wariancję lko w przpadku gd jes ona opisana za pomocą modelu ARCH. Sąd modfikacja modelu RCA polegająca na rozszerzeniu modelu RCA o model GARCH. Inną modfikacją modelu RCA jes wprowadzenie do modelu RCA funkcji znaków kóra pozwala na modelowanie asmerii reakcji sóp zwrou na różne informacje pochodzące z rnku oraz podwższa warości kuroz procesu. Uwzględnienie losowego charakeru sóp zwrou może nasąpiś poprzez wprowadzenie do modelu RCA części MA. Celem niniejszego arkułu jes zbadanie własności prognoscznch modeli RCA RCA-MA RCA-GARCH Sign RCA Sign RCA-MA oraz Sign Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w laach jako projek badawcz.

2 76 RCA-GARCH. W części empircznej przedsawione zosaną aplikacje omawianch modeli.. MODELE RCA Nauralnm uogólnieniem klascznch liniowch modeli auoregresjnch są modele auoregresjne z losowmi paramerami (RCA). Klasczn sacjonarn jednowmiarow model auoregresjn rzędu pierwszego z losowm paramerem (ozn. RCA()) można zapisać w posaci: gdzie: ( φ + δ ) + ε = () δ 0 0 iid ~ σ δ 0 0 ε σ ε φ + σ δ <. (3) Warunek (3) jes warunkiem koniecznm i wsarczającm sacjonarności drugiego rzędu procesu naomias warunki ()-(3) gwaranują ścisłą sacjonarność procesu. Ściśle sacjonarn proces opisan równaniami ()-(3) charakerzuje się średnią zero oraz sałą wariancją i kurozą (Aue 004; Górka 007b). Thavaneswaran i Appadoo (006) zaproponowali dołączenie do modelu RCA() funkcji znaku: dla > 0 s = 0 dla = 0 (4) dla < 0. Wówczas sacjonarn model RCA() z funkcją znaku (ozn. Sign RCA()) ma posać (Thavaneswaran Appadoo 006): ( φ + δ + Φs ) + ε = () (5) gdzie paramer i proces spełniają warunki ()-(3). Zaem uwzględnienie funkcji znaku w modelu RCA wskazuje że zmiana warości parameru zależ od znaku obserwacji poprzedniej. Jeżeli spełnione są warunki ()-(3) o proces (5) charakerzuje się zerową bezwarunkową średnią oraz sałą bezwarunkową wariancją i kurozą (Thavaneswaran Appadoo 006). Warość wariancji i kuroz jes większa niż dla procesu opisanego poprzez model RCA() cz AR() (Górka 007b). Pełn opis ch modeli wraz z własnościami meodami esmacji oraz aplikację można znaleźć w prac Nicholls i Quinn (98)

3 Własności prognosczne modeli klas RCA 77 Propozcja Thavaneswaran Appadoo i Becor (006) uwzględnienia dodakowo średnią ruchomą rzędu pierwszego (Thavaneswaran Appadoo Becor 006): ( + δ ) + ε θε = + φ (6) gdzie paramer i proces spełniają warunki ()-(3). Model (6) nosi nazwę modelu RCA()-MA() i ma bezwarunkową średnią zero sałą bezwarunkową wariancję oraz kurozę. Warość wariancji i kuroz jes wższa niż w przpadku modelu ARMA(). Dołączenia do modelu RCA()-MA() funkcji znaku pozwala na uwzględnienie asmerii reakcji sóp zwrou na różne informacje pochodzące z rnku. Wówczas mam do cznienia z modelem Sign RCA()-MA() opisanm równaniem (Thavaneswaran Appadoo Becor 006): ( + δ + Φs ) + ε θε = + φ (7) gdzie paramer i proces spełniają warunki ()-(3). Model opisan równaniem (7) podobnie jak model opisan równaniem (6) charakerzuję się zerową bezwarunkową średnią oraz sałą warunkową wariancją i kurozą. Zarówno warość wariancji jak i kuroz jes wższa niż dla RCA()-MA(). Model RCA modeluje zmienną wariancję warunkową lko w przpadku gd jes ona opisana za pomocą modelu ARCH(). Sąd inna od poprzednich modfikacja modelu RCA polegająca na rozszerzeniu modelu RCA o model GARCH. Wówczas model opisan równaniem () można zapisać za pomocą równań (Thavaneswaran Appadoo Becor 006): ε = ( φ + δ ) + ε = (8) h = α h z p q 0 + α iε i + = j= gdzie iid ( 0 ) ~ z β h j j z σ α 0 α 0 oraz β 0. Model (8) nosi nazwę 0 > i modelu RCA()-GARCH(pq). Ogólne podsawowe charakerski modelu RCA()-GARCH(pq) wnoszą: ( ) = 0 E (9) E ( ) [ h ] σ z = ( ). φ E (0) σ δ W przpadku modelu opisanego równaniem (5) orzmujem model Sign RCA()-GARCH(pq): j

4 78 ( φ + δ + Φs ) + ε = ε = h = α h z gdzie iid ( 0 ) p q 0 + α iε i + = j= () β h j j z ~ σ z α 0 > 0 α i 0 β j 0 Φ α 0. W przpadku modelu Sign RCA()-GARCH(pq) podsawowe charakerski wnoszą: ( ) = 0 E () E ( ) [ h ] σ = z ( ). φ Φ E (3) σ δ 3. ESTYMACJA PARAMETRÓW MODELI. PREDYKTORY Ocen paramerów poszczególnch modeli można orzmać sosując meodę największej wiargodności (MNW). Prz założeniu normalności rozkładu składników losowch funkcja wiargodności dla modelu RCA() ma posać (Górka 007a): N u ( σ + σ ) N N ln L = ln π ln ε δ = = σ ε + σ δ (4) gdzie u = δ + ε = φ. Dla modelu Sign RCA() nie zmienia się sama funkcja (4) a lko sposób u δ + ε = φ + Φs. = obliczania resz a mianowicie: ( ) W przpadku modelu RCA()-GARCH(pq) w sosunku do modelu RCA() zmienia sposób się obliczania funkcji wiargodności gdzie N ln L = ln π N = ln N u = σ z E( h ) + σ δ p q 0 + α iε i + β j = j= ( σ E( h ) + σ ) z j δ (5) h = α h zaś jes akie samo jak dla modelu RCA(). Prezenowane modele mają nasępujące posacie jednookresowego predkora warunkowej średniej dla:

5 Własności prognosczne modeli klas RCA 79 modelu RCA(): ( F ) = φ P = E + + (6) modelu Sign RCA()): ( F ) = ( + Φs ) P = E + + φ (7) modelu RCA()-MA(): ( F ) = φ + θε P = E + + (8) modelu Sign RCA()-MA(): ( F ) = ( φ + Φs ) + θε P = E + + (9) Dla modeli RCA()-GARCH(pq) oraz Sign RCA()-GARCH(pq) predkor warunkowej średniej wnosi (6) albo (7) odpowiednio. 4. ANALIZA EMPIRYCZNA Do analiz empircznej wkorzsano procenowe logarmiczne sop zwrou danch dziennch cen meali szlachench (złoa srebra plan i palladu) kursów waluowch (dolara i euro) oraz sop zwrou wbranch świaowch indeksów giełdowch 3 (DJIA NASDAQ SP500 FT-SE00 HANGSENG NIKKEI) w okresie od 4 scznia 000 do września 008 roku. Przed przsąpieniem do analiz sascznej i ekonomercznej dane sprowadzono do czasowej porównwalności. W en sposób uzskano szeregów czasowch po 63 obserwacji każd. Szeregi pierwone charakerzował się wsępowaniem pierwiaska jednoskowego naomias szeregi procenowch logarmicznch sóp zwrou bł sacjonarne. Szeregi sóp zwrou podzielono na dwa zbior: od -000 obserwacji jako okres prób oraz od jako okres werfikacji prognoz. Dla prób zbadano sasczne własności szeregów procenowch logarmicznch sop zwrou oraz warości sask wbranch esów (wniki w abeli ). Rozkład sóp zwrou charakerzował się podwższona kurozą (w sosunku do rozkładu normalnego) oraz zróżnicowaną skośnością. W siedmiu analizowanch przpadkach wsępowała auokorelacja rzędu pierwszego. Tes LBI 4 we wszskich przpadkach wskazwał na zmienność parameru auoregresjnego. Dane pochodzą ze sron hp:// (cen PM) Dane pochodzą ze sron hp://bossa.pl W eście m hipoeza zerowa oznacza sałość parameru auoregresjnego (Górka 007a).

6 80 Tabela. Własności sasczne procenowch logarmicznch sóp zwrou oraz warości sask esu Boxa-Ljunga Engla ARCH DF LBI Sopa zwrou skośność kuroza Boxa-Ljunga Engla ARCH es złoo srebro plana pallad EUR USD DJIA NASDAQ SP FT-SE HANGSENG NIKKEI Czcionką pogrubioną zaznaczono przpadki gdzie nasąpiło odrzucenie H 0 na korzść H prz 5% poziomie isoności. Źródło: obliczenia własne. Dla każdego szeregu sóp zwrou dokonano esmacji modeli ARMA- GARCH oraz modeli RCA Sign RCA RCA-MA Sign RCA-MA RCA- GARCH oraz Sign RCA-GARCH 5. W przpadku modeli ARMA-GARCH wbrano e modele kóre posiadał sascznie isone paramer i miał najmniejszą warość krerium informacjnego. Z klas modeli RCA wbrano wszskie modele ze sascznie isonmi paramerami. Nasępnie dla wbranch modeli wznaczono jednookresowe prognoz saczne dla osanich 63 obserwacji w próbie oraz dla 63 obserwacji poza próbą. Dla porównania obliczono błęd prognoz ex pos oraz miar zgodności kierunku zmian (Brzeszczński Kelm 00). Dla sóp zwrou cen złoa kursu dolara oraz indeksu DJIA ze względu na brak isoności paramerów nie udało się dopasować żadnego modelu pu ARMA-GARCH. W przpadku modeli klas RCA model RCA-MA posiadał sascznie isone paramer dla złoa i DJIA zaś model RCA-MA i model Sign RCA-MA dla sop zwrou kursu dolara. Miar zgodności kierunku zmian prognoz nie przekraczał 60%. Wszskie analizowane szeregi można bło opisać za pomocą co najmniej jednego modelu klas RCA. Dla przkładu w abeli zamieszczono oszacowane modele dla palladu. DF LBI 5 Obliczenia zosał wkonane z wkorzsaniem programu Gauss 6.0.

7 Własności prognosczne modeli klas RCA 8 Tabela. Modele procenowch logarmicznch sóp zwrou palladu RCA() RCA()- Sign RCA()- AR()- AR() GARCH() GARCH() GARCH() φ 034*** 0093*** 00943*** 00449** 00874*** Φ 00567** 0347*** 094*** 0966*** 009*** 00930*** 0478*** 08693*** 0870*** 085*** lnl AIC BIC Oznaczenia: *** - % poziom isoności ** - 5% poziom isoności * - 0% poziom isoności. Źródło: obliczenia własne. Najmniejszą warość krerium AIC posiada model Sign RCA-GARCH naomias krerium BIC preferuje model RCA-GARCH. Tes LR wskazuje na wbór modelu RCA-GARCH. Tabela 3 zawiera błęd prognoz ex pos dla prognoz obliczonch w próbie oraz dla prognoz obliczonch poza próbą. Najmniejsze warości błędów w próbie orzmano dla modelu AR(). Poza próbą najlepsze warości prognosczne posiadał model Sign RCA-GARCH. Różnice pomiędz błędami dla poszczególnch modeli są niewielkie. Miar zgodności kierunku zmian dla wszskich modeli są akie same i nie przekraczają 60%. Tabela 3. Błęd prognoz ex pos dla całego okresu prognozowania dla prognoz warunkowej średniej dla palladu Model Błąd RCA()- Sign RCA()- AR()- RCA() AR() GARCH() GARCH() GARCH() w próbie (obserwacje ) ME MSE RMSE MAE Q Q Q % Q % poza próbą (obserwacje 00-63) ME MSE RMSE MAE

8 8 Q Q Q % Q % Oznaczenia: ME błąd średni MSE - błąd średniokwadraow RMSE - pierwiasek błędu średniokwadraowego MAE - średni błąd bezwzględn Q miara zgodności kierunku zmian prognoz i warości rzeczwisch Q miara zdolności prognozowania punków zwronch Q % oraz Q % - odpowiednio przefilrowane miar Q i Q. Źródło: obliczenia własne. Oszacowane modele dla sóp zwrou SP500 zawiera abela 4. W m przpadku es LR wskazuje na wbór modelu AR-GARCH chociaż warości: funkcji wiargodności i kreriów informacjnch są porównwalne do warości uzskanch przez RCA-GARCH. Błęd prognoz (abela 5) są najmniejsze dla AR-GARCH w próbie oraz RCA-GARCH poza próbą. W m przpadku modele dla kórch paramer jes ujemn posiadają 00% zdolność prognozowania punków zwronch. Wnika o głównie z charakeru sóp zwrou (zmienności znaku) oraz ze znaku parameru. Pozosałe miar zgodności nie przekraczają 60%. Tabela 4. Modele procenowch logarmicznch sóp zwrou SP500 RCA()-GARCH() RCA()-MA() AR() AR()-GARCH() φ * 08989*** * * θ -0940*** 0009*** 0009*** 006*** 0064*** 09303*** 0930*** lnl AIC BIC Oznaczenia: *** - % poziom isoności ** - 5% poziom isoności * - 0% poziom isoności. Źródło: obliczenia własne. Tabela 5. Błęd prognoz ex pos dla całego okresu prognozowania dla prognoz warunkowej średniej dla SP500 Model Błąd RCA()- GARCH() RCA()-MA() AR() AR()-GARCH() w próbie (obserwacje ) ME MSE RMSE MAE

9 Własności prognosczne modeli klas RCA 83 Q Q Q % Q % poza próbą (obserwacje 00-63) ME MSE RMSE MAE Q Q Q % Q % Oznaczenia: ME błąd średni MSE - błąd średniokwadraow RMSE - pierwiasek błędu średniokwadraowego MAE - średni błąd bezwzględn Q miara zgodności kierunku zmian prognoz i warości rzeczwisch Q miara zdolności prognozowania punków zwronch Q % oraz Q % - odpowiednio przefilrowane miar Q i Q. Źródło: obliczenia własne. 5. PODSUMOWANIE W prac zaprezenowano wkorzsanie modeli klas RCA do wznaczania prognoz warunkowej średniej sóp zwrou. Do analiz empircznej wkorzsano szeregów reprezenującch cen meali szlachench kursów waluowch oraz wbranch indeksów giełdowch. Analiza oszacowanch modeli błędów ex pos oraz miar kierunku zmian pozwalają na sformułowanie nasępującch wniosków: modele klas RCA wsępują również wówczas gd nie wsępuje auokorelacja szeregu czasowego za pomocą modeli klas RCA można prognozować warunkową średnią nawe w przpadku gd nie jes o możliwe za pomocą modeli klas ARMA-GARCH prognoz warunkowej średniej orzmane za pomocą modeli klas RCA charakerzują się podobnmi błędami ex pos jak prognoz orzmane za pomocą modeli klas ARMA-GARCH. W przpadku jednch szeregów błęd e są mniejsze niż dla modeli klas ARMA-GARCH w przpadku innch szeregów są większe modele klas RCA nie mają zasosowania do prognozowania zgodności kierunku zmian prognoz orzmane za pomocą modeli klas RCA obarczone są dużmi błędami ex pos co oznacza że ich walor prognosczne są bardzo słabe.

10 84 Niniejsze opracowanie nie wczerpuje badania przdaności modeli klas RCA do wznaczania prognoz warunkowej średniej. LITERATURA Aue A. (004) Srong Approximaion for RCA() Time Series wih Applicaions Saisics & Probabili Leers Brzeszczński J. Kelm R. (00) Ekonomerczne modele rnków finansowch WIG- Press Warszawa. Górka J. (007a) Modele auoregresjne z losowmi paramerami [w:] Osińska M. (red.) Proces STUR. Modelowanie i zasosowanie do finansowch szeregów czasowch Wdawnicwo Dom Organizaora Toruń. Górka J. (007b) Opisu kuroz rozkładów za pomocą wbranch modeli z funkcją znaku [w:] Dnamiczne modele ekonomerczne red. Z. Zieliński. UMK Toruń. Nicholls D. F. Quinn B. G. (98) Random Coefficien Auoregressive Models: An Inroducion Springer New York. Thavaneswaran A. Appadoo S. S. Becor C. R. (006) Recen Developmens in Volaili Modeling and Applicaions Journal of Applied Mahemaics and Decision Sciences -3. Thavaneswaran A. Appadoo S. S. (006) Properies of a New Famil of Volaili Sing Models Compuers and Mahemaics wih Applicaions FORECAST PROPERTIES OF FAMILY RCA MODELS A b s r a c. This paper proposes o use RCA models RCA-MA models RCA-GARCH models Sign RCA models Sign RCA-MA models and Sign RCA-GARCH models o obain forecass of condiional mean of reurns. There we could find example for meal like: gold silver plainum pallad foreign exchange raes (USD/PLN EURO/PLN). For comparison he forecass of condiional mean from ARMA-GARCH models were calculaed. Calculaed forecass errors ou of differen models have been compared. K e w o r d s: RCA Sign RCA RCA-MA Sign RCA-MA RCA-GARCH Sign RCA-GARCH forecasing forecasing errors.