PIOTR FISZEDER, JACEK KWIATKOWSKI Katedra Ekonometrii i Statystyki

Transkrypt

1 PIOTR FISZEDER, JACEK KWIATKOWSKI Kaedra Ekonomerii i Saysyki DYNAMICZNA ANALIZA ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY OCZEKIWANĄ STOPĄ ZWROTU A WARUNKOWĄ WARIANCJĄ Sreszczenie: W badaniu zasosowano modele GARCHM ze sałym i zmiennym paramerem. Uzyskane szacunki dla modelu GARCHM ze zmiennym paramerem mogą łumaczyć rozbieżność wyników prowadzonych doychczas analiz empirycznych doyczących zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją przeprowadzonych z wykorzysaniem modelu GARCHM ze sałym paramerem. 1. WPROWADZENIE Z modelu wyceny akywów kapiałowych (CAPM) wynika, że pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou porfela rynkowego a wariancją sopy zwrou ego porfela isnieje dodania zależność liniowa. Przyjmuje się również, że dla usalonego okresu inwesorzy wymagają wyższych oczekiwanych sóp zwrou z akywów, z kórymi związane jes większe ryzyko (mierzone odchyleniem sandardowym lub wariancją). Nie ma jednakże zgody co do ego czy dodania zależność między oczekiwaną sopą zwrou a wariancją jes dynamiczna zn. czy w okresie, gdy dany papier warościowy charakeryzuje się większym (mniejszym) ryzykiem inwesorzy wymagają większej (mniejszej) premii (różnicy między oczekiwaną sopą zwrou z danego akywu a sopą zwrou wolną od ryzyka) za ryzyko. Wyniki badań empirycznych są niejednoznaczne. Na przykład: Engle, Lilien i Robins (1987) oraz French, Schwer i Sambaugh (1987) wskazują na dodanią zależność między oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją. Z drugiej srony Glosen, Jagannahan i Runkle (1993) mówią o ujemnej zależności między oczekiwaną sopą zwrou a wariancją. W pracach: Baillie i Bollerslev (1990) oraz Domowiz i Hakkio (1985) zależność między oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem była nieisona saysycznie. Backus i Gregory (1993) dowodzą eoreycznie, że zależność pomiędzy premią za ryzyko a warunkową wariancją może mieć dowolny kierunek i posać. Wielu auorów sawia pod znakiem zapyania sałość liniowej zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją (np. Chou, Engle i Kane, 1992 oraz

2 Harrison i Zhang, ). Rozbieżność wyników prowadzonych badań skłoniła nas do analizy zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem dla wybranych procesów doyczących polskiego rynku finansowego. Ryzyko mierzone jes warunkową wariancją (lub ewenualnie warunkowym odchyleniem sandardowym) sopy zwrou badanego akywu. W badaniu zasosowano model GARCHM (GARCH in mean) ze zmiennym paramerem. Uzyskane rezulay przynajmniej w części pozwalają odpowiedzieć na pyanie dlaczego wyniki doychczasowych badań są ak niejednoznaczne. Niniejszy arykuł jes rozszerzeniem badań przedsawionych w pracy Fiszeder i Kwiakowski (2005). W prezenowanej pracy analizowano inne procesy finansowe, j. dodakowe indeksy giełdowe, akcje zw. blue chipów oraz kursy waluowe. Układ arykułu jes nasępujący. W części drugiej przedsawiono sosowane w badaniu modele: GARCHM ze sałym i zmiennym paramerem oraz meody ich esymacji. Do esymacji modelu GARCHM ze zmiennym paramerem proponujemy sosować meodę quasi największej wiarygodności. Część rzecia zawiera analizę zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem dla wybranych procesów obserwowanych na polskim rynku finansowym. W części czwarej zaprezenowano wnioski. 2. ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY OCZEKIWANĄ STOPĄ ZWROTU A WARUNKOWĄ WARIANCJĄ Model CAPM można przedsawić w nasępującej posaci: E r ) r = λ cov( r, r ), (1) ( i f M i M gdzie E ( r i ) jes o oczekiwana sopa zwrou iego waloru, r f sopa zwrou wolna od ryzyka, λ paramer określany jako rynkowa cena ryzyka, cov( r, r ) kowariancja sopy M i M zwrou iego waloru i porfela rynkowego. Równanie (1) zapisane dla porfela rynkowego ma nasępującą posać: E 2 ( r M ) r f = λσ M, (2) 2 gdzie E ( r M ) i σ M oznaczają odpowiednio: warunkową warość oczekiwaną i warunkową wariancję sopy zwrou porfela rynkowego. Z równania (2) wynika, że premia za ryzyko ( E( r M ) r ) jes proporcjonalna do wariancji sopy zwrou porfela rynkowego. Paramer λ powinien być większy od zera, bo w f

3 przeciwnym wypadku inwesorzy nie byliby zaineresowani posiadaniem ryzykownego porfela, kórego oczekiwana sopa zwrou jes mniejsza od sopy wolnej od ryzyka. Dla usalonego okresu inwesorzy wymagają wyższych oczekiwanych sóp zwrou z akywów, z kórymi związane jes większe ryzyko. Na efekywnych rynkach kapiałowych akywa o wysokim dochodzie charakeryzują się wysokim ryzykiem. Nie ma jednakże zgody co do ego czy zależność między oczekiwaną sopą zwrou a wariancją jes dynamiczna. Przedsawione we wprowadzeniu wyniki badań są niejednoznaczne. Duża grupa spośród wspomnianych analiz zosała przeprowadzona z wykorzysaniem modelu GARCHM (lub ARCHM). Jedną z ważniejszych charakerysyk finansowych szeregów czasowych jes skupianie się wariancji w wąskich przedziałach czasu i ściśle z ym związana zmienność wariancji warunkowej. Model GARCHM (parz Engle, Lilien i Robins, 1987) pozwala w nauralny sposób modelować liniową zależność pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a zmienną w czasie wariancją warunkową. Model GARCHM(p,q) można przedsawić w nasępującej posaci: r = δ h + φ0 + φ1r φk r k + ε, (3) ε = z h, z ~ N (0,1), (4) 1/ 2 h = α o + q p 2 αiεi + i = 1 j = 1 β j h j, (5) gdzie r oznacza sopę zwrou, a h wariancję warunkową. W równaniu (3) wprowadzono opóźnione warości r, aby uwzględnić ewenualną auokorelację sóp zwrou. W badaniach empirycznych częso wysarczające jes przyjęcie w równaniu (5) q = 1 i p = 1. Do esymacji paramerów modelu GARCHM w posaci (35) wykorzysuje się najczęściej meodę największej wiarygodności. Ponieważ warunkowa normalność procesu (założona w równaniu (4)) nie jes w sanie wyjaśnić zwiększonej kurozy wysępującej w rozkładach brzegowych empirycznych procesów finansowych, dlaego należy albo zasosować przy esymacji paramerów meodę quasi największej wiarygodności, albo przyjąć dla z rozkład o grubszych ogonach (np. rozkład Sudena). Dla danych o mniejszej częsoliwości np. miesięcznych, w równaniu (3) pomija się sałą φ 0, a model szacowany jes na podsawie sóp zwrou pomniejszonych o sopę wolną od ryzyka (excess reurns). W równaniu (3) zamias h można również przyjąć h lub ln ( h ) (por. Engle, Lilien i Robins, 1987). Przyjęcie akiej specyfikacji oznacza, że zmiany w wariancji mają mniejszy wpływ na oczekiwaną sopę zwrou (zależność między oczekiwaną sopą zwrou a

4 wariancją nie jes liniowa). Liczne badania (np. Bollerslev i Wooldridge, 1992; Glosen, Jagannahan i Runkle, 1993) pokazują, że ocena parameru δ jes bardzo wrażliwa na posać równania dla warunkowej wariancji. Glosen, Jagannahan i Runkle (1993) uwzględniając poziom sóp procenowych oraz asymeryczny wpływ dodanich i ujemnych sóp zwrou na wariancje, orzymali ujemną ocenę parameru δ (w modelu o równaniach (35) ocena była dodania). Teoria finansów dopuszcza zarówno dodanią, jak i ujemną dynamiczną zależność między warunkową sopą zwrou a warunkową wariancją. Glosen, Jagannahan i Runkle (1993) podają przykłady, kiedy powyższa zależność może być ujemna. Backus i Gregory (1993) dowodzą eoreycznie, że zależność pomiędzy premią za ryzyko a warunkową wariancją może mieć dowolny kierunek i posać. Harrison i Zhang () pokazują, że zależność między oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem jes dodania, ale ylko w przypadku długiego okresu inwesycji (kwarał, rok, dwa laa). Nie znajdują naomias żadnej isonej zależności dla krókiego okresu inwesycji. Wielu auorów sawia pod znakiem zapyania sałość zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją (np. French, Schwer i Sambaugh, 1987; Chou, Engle i Kane, 1992; Harrison i Zhang, ). Podsawową wersję modelu GARCHM ze zmiennym paramerem (TVP GARCHM, ime varying parameer) wprowadzają Chou, Engle i Kane (1992). Posać ego modelu, rozszerzoną o wysępujące w równaniu dla średniej opóźnione warości zmiennej objaśnianej, można zapisać: r = b h + φ 0 + φ1r φ k r k + ε, (6) ε = z h, z ~ N (0,1), (7) 1/ 2 h = α o + q p 2 αi i + i = 1 j = 1 η β h, (8) j j b = b 1 + v, v ~ N(0, Q), (9) gdzie η = r E ( r ), cov ( ε, ) = 0. 1 v Powyższy model jes nauralnym rozszerzeniem modelu GARCHM, w kórym paramer δ w równaniu (3) jes opisany procesem błądzenia przypadkowego. Taka specyfikacja pozwala modelować nie ylko zmieniającą się w czasie wariancję warunkową, ale również zmieniającą się zależność pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją. Chou, Engle i Kane (1992) nazywają b ceną zmienności. W odróżnieniu od podsawowego modelu GARCHM, w równaniu (8) kolejne kwadray opóźnionych resz ε i zasąpione są

5 kwadraami η uzyskanymi z filru Kalmana. W przesrzeni sanów równanie (6) nazywane jes równaniem wyjścia lub obserwacji, naomias (9) równaniem sanu. W celu znalezienia nieznanych warości paramerów można zaem wykorzysać zmodyfikowaną wersję filru Kalmana, kóra dodakowo uwzględnia zmienność wariancji warunkowej. Oznaczając przez y ( n 1) wymiarowy wekor zmiennych obserwowanych w czasie, ogólny model przesrzeni sanów można zapisać jako: y = A' x + Z ξ + w, (10) = ξ 1 ' ξ F + v, (11) gdzie równanie (10) nazywane jes równaniem wyjścia lub obserwacji, a równanie (11) równaniem sanu, ξ oznacza ( 1) macierzami sanu oraz wyjścia o wymiarach ( r r) i ( n r) r wymiarowy wekor sanu, F i Z ' są odpowiednio. Wekor x jes ( 1) wymiarowym wekorem zmiennych egzogenicznych lub z góry usalonych. Macierz wymiary ( n k). Wekory w i v o wymiarach ( n 1) oraz ( 1) szumów, mianowicie: gdzie E ( w w ' τ ) h = 0 dla = τ dla τ Q E = 0 i ( v v ' τ ) dla = τ, dla τ h i Q są macierzami o wymiarach ( n n) i ( r r) niezależność wekorów w i v. Definiując przez a E[ ψ ] dosępne w chwili 1 = 1 1 k A ' ma r są wekorami białych. Dodakowo zakłada się ξ wekor sanu oszacowany w oparciu o informacje P ' E ξ a ξ a ψ macierz = oraz przez ( )( ) kowariancji ego oszacowania, równania filru Kalmana, kóre służą do esymacji paramerów zawarych w A ', F, Q i h mają posać: a Fa, (12) 1 = 1 P 1 = FP 1F ' + Q, (13) 1 = A' x + Z a 1 ' y, (14) u, (15) = y y 1 W Z + h, (16) = Z P 1 ' a = a P Z W u, (17) 1

6 1 ' ( I P 1Z W Z ) P 1 P. (18) = Uwzględniając efek GARCH (1,1) dopisujemy jeszcze jedno równanie (por. Rockinger i Urga, ), mianowicie: h α α β. (19) 2 = 0 + 1u 1 + 1h 1 Oznaczając przez T liczbę obserwacji, logarym funkcji gęsości dla ej obserwacji można zapisać: n 1 1 ' 1 ln L = ln( 2π ) lnw uw u dla = 1,..., T. (20) Nieznane warości paramerów esymuje się poprzez maksymalizację funkcji wiarygodności L = T = 1 ln L, przyjmując jako warości począkowe punkowe oceny paramerów orzymane dla modelu GARCHM ze sałym paramerem. Chou, Engle i Kane (1992) szacując model GARCHM ze zmiennym paramerem awersji do ryzyka zasosowali meodę największej wiarygodności. Ponieważ rozkład z w równaniu (7) nie jes normalny (posiada grubsze ogony niż e, kóre wysępują w rozkładzie normalnym) proponujemy sosować meodę quasi największej wiarygodności. Orzymane ą meodą esymaory są zgodne i asympoycznie nieobciążone (parz Bollerslev i Wooldridge, 1992). 3. ANALIZA WYBRANYCH PROCESÓW OBSERWOWANYCH NA POLSKIM RYNKU FINANSOWYM Niejednoznaczność wyników prowadzonych doychczas badań skłoniła nas do analizy zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem dla wybranych procesów doyczących polskiego rynku finansowego. W badaniu zasosowano modele GARCHM ze sałym i zmiennym paramerem awersji do ryzyka. Analizowano wybrane indeksy rynku akcji: WIG, WIG 20, MIDWIG, TechWIG, wybrane spółki noowane na GPW w Warszawie: Budopol Wrocław, Energoaparaura (Enap), KGHM Polska Miedź, PKN Orlen, Bank Pekao S.A, Telekomunikacja Polska (TPSA), Wisil oraz kursy złoego w sosunku do wybranych walu obcych (kursy NBP): dolara amerykańskiego, euro, franka szwajcarskiego, funa bryyjskiego i jena japońskiego. Wśród badanych spółek są zarówno zw. blue chipy jak i spółki o małej kapializacji. Ponieważ rozbieżność wyników prowadzonych badań doyczy przede wszyskim krókiego okresu inwesycji (parz Harrison i Zhang, ), do badania przyjęo dzienne sopy zwrou obliczane według formuły: r = 100ln ( y / y 1). W przypadku

7 indeksów giełdowych i spółek analizowano okres od pierwszego dnia noowań do 31 lipca r. Badanie kursów walu zosało przeprowadzone dla okresu: 1 syczeń 1995 r. 31 lipiec r. (dla kursu euro od 1 sycznia r.). Esymowano zarówno model GARCHM opisany równaniami (35), jak i model TVP GARCHM przedsawiony równaniami (69). Do esymacji paramerów sosowano meodę quasi największej wiarygodności. Dla modelu GARCHM wyboru warości k, p i q dokonano na podsawie bayesowskiego kryerium informacyjnego (BIC). Badanie przeprowadzono zarówno dla sóp zwrou, jak i sóp zwrou pomniejszonych o sopę wolną od ryzyka. W ym drugim przypadku w równaniach (3) i (6) pominięo sałą φ 0. Jako sopę wolną od ryzyka przyjęo renowność 52 ygodniowych bonów skarbowych. Ponieważ skorygowanie sóp zwrou o sopę wolną od ryzyka nie wpłynęło isonie na uzyskane wyniki, poniżej zaprezenowano jedynie wyniki badania przeprowadzonego dla sóp zwrou. Oszacowane modele GARCHM zosały przedsawione w ablicy 1. Waro zwrócić uwagę na isone różnice doyczące charakerysyk poszczególnych procesów finansowych. Najsilniejsza auokorelacja wysępuje w przypadku indeksów giełdowych, słabsza w przypadku pojedynczych akcji. Dodania auokorelacja indeksów lub porfeli może wynikać z dodaniej korelacji wzajemnej sóp zwrou, wysępującej pomiędzy akcjami worzącymi indeks lub porfel. Dla kursów waluowych poza kursem euro, w przypadku kórego wysępowała ujemna auokorelacja, zaobserwowano brak isonych zależności pomiędzy kolejnymi sopami zwrou. Kolejna różnica pomiędzy poszczególnymi procesami wysępuje w szacunkach parameru α 1 w równaniu (5). Są one na ogół większe dla kursów waluowych. Zaem zmiana ceny w okresie 1 ma większy wpływ na wariancję warunkową (zmienność) sóp zwrou kursów waluowych niż na wariancję sóp zwrou akcji. W dziesięciu przypadkach na szesnaście badanych szeregów ocena parameru δ w równaniu (3) była ujemna, ale ylko w przypadku kursu dolara i funa była ona isona saysycznie. Przyjęcie w równaniu (3) zamias h warunkowego odchylenia sandardowego h nie wpływa isonie na uzyskane wyniki. Należy podkreślić, że ujemna warość parameru δ nie jes sprzeczna z eorią finansów (parz np. Glosen, Jagannahan i Runkle, 1993; Backus i Gregory, 1993). Tylko dla spółki Energoaparaura zależność między sopą zwrou a warunkową wariancją była dodania i isona saysycznie. Okazuje się jednakże, że ocena parameru δ zależy również od ego czy w równaniu (3) zosanie umieszczona, czy eż pominięa sała φ 0. W wyniku pominięcia sałej φ 0 w równaniu dla sóp zwrou indeksu WIG

8 ocena parameru δ sała się isona, z kolei w przypadku kursu dolara ocena parameru δ przesała być isona. Pominięcie sałej φ 0 w przypadku indeksu WIG20, spółki Energoaparaura oraz kursu funa spowodowało zmianę znaku oceny parameru δ. W większości przypadków uzyskane szacunki paramerów dla modelu GARCHM wskazują na brak isonej zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją badanych procesów finansowych. Nie oznacza o jednak, że aka zależność nie isnieje. Jedną z możliwych przyczyn braku isoności parameru δ może być jego zmienność w czasie. Z ego względu szacujemy model GARCHM ze zmiennym paramerem. Uzyskane wyniki zosały zaprezenowane w ablicy 2. Szacunki paramerów w modelu GARCHM ze zmiennym paramerem są zbliżone do ych, jakie orzymano dla modelu GARCHM (poza paramerem φ 0 ). Duży problem sanowi brak powszechnie znanych w lieraurze narzędzi weryfikacji hipoezy modelowej doyczącej sałości parameru w modelu GARCHM. Tesy sałości paramerów, akie jak np. es Chowa, wymagają normalności składnika reszowego, kóra nie jes zachowana w opisywanych modelach. Podobnie znana w lieraurze przedmiou saysyka F służąca do weryfikacji nakładanych resrykcji na esymowane paramery wymaga niezależnych resz o jednakowym rozkładzie normalnym. Jeżeli warość parameru Q jes równa zero, o model GARCHM ze zmiennym paramerem zmienia się w model o sałym paramerze. Niesey wiadomo, że gdy Q = 0 o jego esymaor nie ma sandardowego rozkładu (parz Harvey, 1989). Nie można więc w radycyjny sposób esować jego isoności. Z ego eż powodu nie podajemy w ablicy błędów dla parameru Q, a jako kryerium sałości parameru wykorzysujemy przedziały ufności. Sała ocena b zawara w przedziale ufności sugeruje sałość parameru w badanym okresie (parz Rockinger i Urga, ). Rysunek 1 przedsawia punkowe oceny b wygładzone przez filr Kalmana wraz z 95% przedziałami ufności dla badanych procesów. Dla większości przypadków proces b charakeryzuje się relaywnie większą zmiennością w począkowym okresie i znacznie mniejszą w późniejszym okresie. W przypadku spółek PKN i TPSA można zaobserwować relaywnie duże oceny b w pierwszych dniach noowań ych spółek na giełdzie i znaczny ich spadek na kolejnych sesjach. Analizując poszczególne procesy finansowe można również zauważyć pewne okresy, w czasie kórych nasąpił znaczny wzros zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a wariancją warunkową: hossa na rynku akcji na GPW w Warszawie w laach (parz

9 indeks WIG), kryzysy finansowe w krajach Dalekiego Wschodu w roku (parz kurs dolara i funa), hossa inerneowa w i na począku roku (parz indeks TechWIG). Dla wszyskich badanych procesów isnieje sała warość parameru b zawierająca się w przedziale ufności co sugeruje, że zmiany ego parameru w badanym okresie nie są isone. Duża rozpięość oszacowanych przedziałów ufności może łumaczyć różnice w punkowych ocenach parameru b uzyskane przez różnych auorów w zależności od badanego okresu. 4. ZAKOŃCZENIE Brak jednoznacznych wyników doychczasowych badań skłoniła nas do analizy zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a ryzykiem dla wybranych procesów doyczących polskiego rynku finansowego. W badaniu zasosowano modele GARCHM ze sałym i zmiennym paramerem. Do esymacji paramerów modelu GARCHM ze zmiennym paramerem proponujemy sosować meodę quasi największej wiarygodności. W większości przypadków uzyskane szacunki paramerów dla modelu GARCHM ze sałym paramerem wskazują na brak isonej zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją badanych procesów finansowych. Jednakże wyniki zależą od przyjęej posaci równania dla warunkowej średniej. Uzyskane szacunki dla modelu GARCHM ze zmiennym paramerem mogą łumaczyć rozbieżność wyników prowadzonych doychczas analiz empirycznych doyczących zależności pomiędzy oczekiwaną sopą zwrou a warunkową wariancją przeprowadzonych z wykorzysaniem modelu GARCHM ze sałym paramerem. Przeprowadzone badanie wykazało, że procesy sóp zwrou kursów waluowych charakeryzują się słabszą auokorelacją niż procesy sóp zwrou cen indeksów i akcji. Zmiana ceny w okresie 1 ma większy wpływ na zmienność sóp zwrou kursów waluowych niż na wariancję sóp zwrou akcji. LITERATURA [1] Backus D. K., Gregory A. W., Theoreical Relaions beween Risk Premiums and Condiional Variances, Journal of Business & Economic Saisics, 11,1993, [2] Baillie R. T., Bollerslev T., A Mulivariae Generalized ARCH Approach o Modeling Risk Premia in Foreign Exchange Markes, Journal of Inernaional Money and Finance, 9, 1990, [3] Bollerslev T., Wooldridge J. M., QuasiMaximum likelihood Esimaion and Inference in Dynamic Models wih TimeVarying Covariances, Economeric Reviews, 11, 1992,

10 [4] Chou R., Engle R. F., Kane A., Measuring Risk Aversion from Excess Reurns on a Sock Index, Journal of Economerics, 52, 1992, [5] Domowiz I., Hakkio C., Condiional Variance and he Risk Premium in he Foreign Exchange Marke, Journal of Inernaional Economics, 19, 1985, [6] Engle R. F., Lilien D. M., Robins R. P., Esimaing Time Varying Risk Premia in he Term Srucure: The ARCHM Model, Economerica, 55, 1987, [7] Fiszeder P., Kwiakowski J., Model GARCHM ze zmiennym paramerem Analiza wybranych spółek i indeksów noowanych na GPW w Warszawie, Przegląd Saysyczny, 2005 (przyjęe do druku). [8] French K. R., Schwer G. W., Sambaugh R., Expeced Sock Reurn and Volailiy, Journal of Financial Economics, 19, 1987, 329. [9] Glosen L. R., Jagannahan R., Runkle D. E., On he Relaion Beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks, Journal of Finance, 48, 1993, [10] Harrison P., Zhang H. H., An Invesigaion of The Risk and Reurn Relaion a Long Horizons, The Review of Economics and Saisics, 81,, [11] Harvey, A.C., Forecasing, Srucural Time Series Models and he Kalman Filer, Cambridge Universiy Press, [12] Rockinger M., Urga G., Evoluion of Sock Markes in Transiion Economies, Journal of Comparaive Economics, 28,, DYNAMIC ANALYSIS OF RELATION BETWEEN EXPECTED RETURN AND CONDITIONAL VARIANCE Summary: Exising empirical work on he expeced reurn and condiional variance relaion has drawn conflicing conclusions. In he paper we analyze his relaion for seleced ime series from Polish financial marke. The GARCHM models wih consan and imevarying parameer are implemened. We sugges o use a quasimaximum likelihood mehod o esimae parameers of he GARCHM model wih imevarying parameer. Esimaes of he GARCHM model wih consan parameer indicae ha he relaion beween expeced reurn and condiional variance is no significan. However he resuls are sensiive o specificaion of condiional mean. Esimaes of he GARCHM model wih imevarying parameer can explain differen empirical resuls concerning he GARCHM model wih consan parameer. Our sudy indicaes ha auocorrelaion of reurns for exchange raes is weaker han for sock reurns. Changes in periods earlier han 1 have greaer impac on volailiy of sock reurns han volailiy of exchange raes reurns.

11 Tablica 1. Wyniki esymacji dla modelu GARCHM ze sałym paramerem Badane procesy WIG WIG20 MIDWIG TechWIG Budopol Enap KGHM PKN Pekao TPSA Wisil Dolar Euro Frank Fun Jen φ 0 φ 1 φ 2 δ α 0 α 1 α 2 β 1 0,0069 (0,0412) 0,0645 (0,0633) 0,0047 (0,0322) 0,0307 (0,1222) 0,1015 (0,1558) 0,6624 (0,2325) 0,0953 (0,1214) 0,2409 (0,3414) 0,0735 (0,1126) 0,0992 (0,2360) 0,0391 (0,1731) 0,0517 (0,0167) 0,0290 (0,0368) 0,0166 (0,0286) 0,0444 (0,0152) 0,0232 (0,0282) 0,2218 (0,0222) 0,0897 (0,0237) 0,1162 (0,0284) 0,0821 (0,0368) 0,1865 (0,0419) 0,0699 (0,0206) 0,0583 (0,0303) 0,0873 (0,0316) 0,0186 (0,0116) 0,0051 (0,0163) 0,0201 (0,0212) 0,0110 (0,0197) 0,0049 (0,0078) 0,0192 (0,0090) 0,0133 (0,0140) 0,0677 (0,0981) 0,0042 (0,0228) 0,0135 (0,0341) 0,0049 (0,0135) 0,1291 (0,0516) 0,0082 (0,0705) 0,0617 (0,0547) 0,0756 (0,0366) 0,0460 (0,0385) 0,1411 (0,0512) 0,1840 (0,0621) 0,0134 (0,0061) 0,0654 (0,0492) 0,3442 (0,2451) 0,1601 (0,1492) 0,3705 (0,1474) 0,5491 (0,6944) 0,1406 (0,06666) 0,1812 (0,1696) 0,1003 (0,1379) 0,0216 (0,0070) 0,0594 (0,0339) 0,0454 (0,0178) 0,0128 (0,0041) 0,0105 (0,0040) W nawiasach pod ocenami paramerów podano średnie błędy szacunku. Źródło: Obliczenia własne. 0,1734 (0,0362) 0,1319 (0,0264) 0,1090 (0,0222) 0,0753 (0,0205) 0,0767 (0,0247) 0,2516 (0,0541) 0,1138 (0,0307) 0,0776 (0,0533) 0,21045 (0,0519) 0,0516 (0,0226) 0,3293 (0,0717) 0,3382 (0,0674) 0,1818 (0,0726) 0,2495 (0,0734) 0,2952 (0,0616) 0,1968 (0,0488) 0,7957 (0,0435) 0,8265 (0,0355) 0,8866 (0,0216) 0,9154 (0,0236) 0,9091 (0,0306) 0,2312 (0,0562) 0,9736 (0,0114) 0,8505 (0,0370) 0,7713 (0,2356) 0,1489 (0,0554) 0,9116 (0,0270) 0,9236 (0,0429) 0,3111 (0,0726) 0,1731 (0,0628) 0,9758 (0,0202) 0,7870 (0,0409) 0,7187 (0,1119) 0,1273 (0,0694) 0,1479 (0,0649) 0,1377 (0,0498) 0,8024 (0,0548) 0,8397 (0,0328) 0,9304 (0,0148)

12 Tablica 2. Wyniki esymacji dla modelu GARCHM ze zmiennym paramerem Badane procesy WIG WIG20 MIDWIG TechWIG Budopol Enap KGHM PKN Pekao TPSA Wisil Dolar Euro Frank Fun Jen φ 0 φ 1 φ 2 α 0 α 1 α 2 β 1 0,0242 (0,0501) 0,0586 (0,0469) 0,0025 (0,0334) 0,0159 (0,1250) 0,1180 (0,1712) 0,7285 (0,1975) 0,0592 (0,1352) 0,2993 (0,3223) 0,0964 (0,1099) 0,0890 (0,2276) 0,0433 (0,1610) 0,0550 (0,0152) 0,0418 (0,0347) 0,0190 (0,0257) 0,0456 (0,0154) 0,0181 (0,0291) 0,2259 (0,0212) 0,0927 (0,0220) 0,1132 (0,0285) 0,0856 (0,0348) 0,1994 (0,0369) 0,0652 (0,0211) 0,0612 (0,0283) 0,0895 (0,0328) 0,1437 (0,0455) 0,2030 (0,0576) 0,0135 (0,0049) 0,0682 (0,0436) 0,3374 (0,3386) 0,1426 (0,0642) 0,3817 (0,1332) 0,4969 (0,3039) 0,0907 (0,0750) 0,1285 (0,1252) 0,0647 (0,0331) 0,0227 (0,0076) 0,0577 (0,0262) 0,0477 (0,0182) 0,0149 (0,0046) 0,0209 (0,0115) 0,1762 (0,0371) 0,1297 (0,0277) 0,1070 (0,0247) 0,0759 (0,0222) 0,0766 (0,0368) 0,2322 (0,0361) 0,1151 (0,0314) 0,0686 (0,0349) 0,2094 (0,1192) 0,0435 (0,0212) 0,2988 (0,0484) 0,3270 (0,0606) 0,1753 (0,0709) 0,2315 (0,0527) 0,2937 (0,0678) 0,1851 (0,0741) W nawiasach pod ocenami paramerów podano średnie błędy szacunku. Źródło: Obliczenia własne. 0,2140 (0,0353) 0,1676 (0,0978) 0,2866 (0,0481) 0,1575 (0,0797) 0,1144 (0,0617) 0,1367 (0,0547) 0,0985 (0,0479) 0,7929 (0,0416) 0,8212 (0,0347) 0,8879 (0,0228) 0,9139 (0,0230) 0,9099 (0,0443) 0,9760 (0,0040) 0,8475 (0,0355) 0,7924 (0,0945) 0,9399 (0,0729) 0,9386 (0,0350) 0,9833 (0,0048) 0,7800 (0,1097) 0,7272 (0,0887) 0,8018 (0,1325) 0,8264 (0,0613) 0,8917 (0,0839) Q 0,0003 0,0008 0,0021 0,0011 0,0022 0,0014

13 Rysunek 1. Punkowe oceny b wygładzone przez filr Kalmana oraz 95% przedziały ufności dla badanych procesów finansowych WIG WIG MIDWIG TechWIG Budopol Enap KGHM PKN

14 Rysunek 1. Punkowe oceny b wygładzone przez filr Kalmana oraz 95% przedziały ufności dla badanych procesów finansowych (ciąg dalszy) 0.10 Pekao TPSA Wisil 0.40 Dolar Euro 0.80 Frank Fun 0.60 Jen Źródło: Opracowanie własne.