Magdalena Sokalska Szkoła Główna Handlowa. Modelowanie zmienności stóp zwrotu danych finansowych o wysokiej częstotliwości

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Szkoła Główna Handlowa Modelowanie zmienności sóp zwrou danych finansowych o wysokiej częsoliwości 1. Wsęp Celem arykułu jes prezenacja nowego modelu wariancji warunkowej dla danych o wysokiej częsoliwości. Model en począkowo zosał zaproponowany w pracy Engle, Sokalska, Chanda (005) i oszacowany na dużej próbie 700 spółek noowanych na głównych giełdach amerykańskich. W niniejszym arykule, oprócz krókiego omówienia modelu, prezenujemy jego empiryczne własności w skali mikro. Poprzednie badania, w szczególności Andersena i Bollersleva (1997), zwróciły uwagę na o, że sandardowe modele GARCH dają niezadowalające wyniki w zasosowaniu do danych o wysokiej częsoliwości. Wahania akywności inwesorów i wariancji warunkowej sóp zwrou w ciągu dnia, określane dalej jako (dzienna) sezonowość, w znaczący sposób wpływają na oszacowanie paramerów modeli GARCH i czynią je nieporównywalnymi dla danych o różnym sopniu agregacji czasowej. Sąd prace Andersena i Bollersleva (1997,1998) budują muliplikaywne modele GARCH. Arykuł Engle, Sokalska, Chanda (005) (ESC) rozwija poprzednie badania, proponując alernaywną specyfikację składników muliplikaywnych wariancji warunkowej.. Model W dalszej części pracy będziemy wykorzysywać nasępujące oznaczenia. Poszczególne dni indeksowane są symbolem ( =1,, T). Każdy dzień dzie-

2 138 limy na 10-minuowe inerwały i (i =0,, N). Cena akcji w okresie {,i}, zn. dniu, inerwale (porze) i o P {,i}. Logarymiczne sopy zwrou wynoszą: r P = ln( ) dla i 1 P{, i 1} P{,1} = ln( ) dla i = 0 P { 1, N}. (1) Engle, Sokalska, Chanda (005) proponują dekompozycję wariancji warunkowej na nieobserwowalne składniki i opisują logarymiczną sopę zwrou za pomocą nasępującego modelu: r ~ (0,1) = hsq i iε{,} ε N. () gdzie: h jes składnikiem dziennym wariancji - sałym w ciągu danego dnia, s i o deerminisyczny składnik sezonowy, q {,i} o sochasyczny składnik inraday, ε {,i} składnik losowy. Choć składnik dzienny może być oszacowany na kilka sposobów, w ym arykule proponujemy model GARCH(1,1) dla danych dziennych: r = hζ ζ ~ N(0,1) h = w + α r + β h 0 d 1 d 1 gdzie: ζ o osobny składnik losowy dla dziennych sóp zwrou r, naomias α d i β d o paramery modelu. Model dla danych dziennych należy esymować na podsawie dłuższej próby niż model dla danych inraday. Składnik sezonowy s i szacujemy jako wariancję sóp zwrou w poszczególnych 10-minuowych inerwałach. T 1 r sˆ i =, = 1,..., T ˆ = 1 h { i, } i N. (4) Wreszcie osani składnik wariancji warunkowej - q {,i} przedsawiamy jako osobny model GARCH(1,1): q = ω+ α( r / hs ˆ ˆ ) + β q, (5) {, i 1} i 1 {, i 1} gdzie α i β o paramery modelu dla danych inraday. (3)

3 Modelowanie zmienności sóp zwrou danych finansowych o wysokiej częsoliwości 139 Zesawiając i porządkując powyższe posępowanie, szacujemy nasępujący model: ( ) z F ~ N 0, q { i, } { i, 1 } { i, } q = ω+ αz + β q {, i 1} { i, } { i, } { i, 1} z = r / hs ˆ ˆ i. (6) ESC wykazują, że esymaory paramerów uzyskane w powyższej sekwencyjnej procedurze są zgodne i asympoycznie normalne. 3. Analiza empiryczna Model omówiony w poprzednim rozdziale zosanie oszacowany dla losowo wybranej spółki noowanej na giełdzie NYSE. Wybrany walor, RGC-Republic Group Inc., jes spółką średniej wielkości. Szereg czasowy pochodzi z pracy Engle i Paon (004). W omawianym półorarocznym okresie, od -go sycznia 1998 r. do 30-go czerwca 1999, dokonano 13 ysięcy ransakcji kupnasprzedaży, co daje średnią 35 ransakcji na dzień. Rys. 1 przedsawia pierwiasek kwadraowy oszacowanego składnika sezonowego (por. równanie 4) czyli odchylenie sandardowe sóp zwrou w poszczególnych porach dnia. Widzimy wyraźnie zwiększoną akywność i zmienność cen w godzinach rannych, spadek zmienności w ciągu dnia i powolny wzros przed końcem sesji giełdowej. Dzienne składniki wariancji warunkowej orzymujemy rekursywnie jako jedno-okresowe prognozy na podsawie równania (3). Dzienny GARCH zosał oszacowany dla danych od począku sierpnia 1985 r. Rys. zesawia rzy składniki wariancji w począkowym okresie ponad 3 miesięcy. Kolejno od góry zesawiono składnik sezonowy, dzienny i inraday wariancji warunkowej. Wyniki oszacowania paramerów modeli GARCH dla danych dziennych i inraday znajdują się w Tabeli 1. Rys. 3 pokazuje iloczyn ych rzech czynników oraz analizowany szereg czasowy sóp zwrou w jednym z podokresów.

4 Rys. 1. Warość wariancji warunkowej w zależności od pory dnia Spółka RGC 3 w y o n S ezo e n y D zi Liczba obserwacji 3 a y d ra In Rys.. Składniki wariancji warunkowej Spółka RGC

5 Modelowanie zmienności sóp zwrou danych finansowych o wysokiej częsoliwości 141 Cakowia wariancja warunkowa (jako iloczyn skladnikow) Logarymiczne sopy zwrou Rys. 3. Wykres logarymicznych sóp zwrou oraz oszacowania wariancji warunkowej Spółka RGC Tabela 1. Wyniki esymacji modelu GARCH(1,1) dla spółki RGC Dane dzienne Paramer Warość Błąd sandard. Sa C K GARCH(1) ARCH(1) Dane inraday Paramer Warość Błąd sandard. Sa C K GARCH(1) ARCH(1) Uwagi: C oznacza sałą w równaniu średniej, podczas gdy K o sała w równaniu wariancji warunkowej

6 14 4. Zakończenie Obecny arykuł prezenuje nowy model dla danych o wysokiej częsoliwości. Dokonujemy dekompozycji wariancji warunkowej na składniki, kóre ławo jes oszacować i inerpreować. W niniejszej pracy, oprócz krókiego omówienia modelu, prezenujemy wyniki jego oszacowania dla reprezenaywnej spółki giełdowej. Lieraura Alexander, C. (001), Risk Managemen and Analysis, Wiley, New York. Andersen, T.G., T. Bollerslev (1997), Inraday Periodiciy and Volailiy Persisence in Financial Markes, Journal of Empirical Finance, vol. 4, Andersen, T.G., T. Bollerslev (1998), DM-Dollar Volailiy: Inraday Aciviy Paerns, Macroeconomic Announcemens, and Longer-Run Dependencies, Journal of Finance, 53, Deo, R., C. Hurvich and Y. Lu (005), Forecasing realized volailiy using a long memory sochasic volailiy model: Esimaion, predicion and seasonal adjusmen, w druku w Journal of Economerics. Engle, R. F., Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica 50(4) (198), Engle, R.F., 00, New Froniers for ARCH Models, Journal of Applied Economerics, 17, Engle, R.F., M.E. Sokalska, A. Chanda (005), High Frequency Muliplicaive Componen GARCH, Sern School of Business, NYU, Working Paper. Engle, R.F. and G.P. Gallo(005), A Muliple Indicaors Model for Volailiy Using Inra-Daily Daa, nieopublikowany maszynopis. Engle R. F. and A. Paon (004), Impacs of Trades in an Error-Correcion Model of Quoe Prices, Journal of Financial Markes, Vol. 7, No. 4. Granger, C. (003), Empirical modeling in economics. Specificaion and Evaluaion, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Paon, A (004), Volailiy Forecas Evaluaion and Comparison Using Imperfec Volailiy Proxies, nieopublikowany maszynopis. Taylor S.J., and X. Xu (1997), The incremenal volailiy informaion in million foreign ex-change quoaions, Journal of Empirical Finance, 4,