Analiza matematyczna I

Anliz mtemtyczn I De nicje, twierdzeni 2 pździernik 202 Litertur K. Dobrowolsk, W. Dyczk, H. Jkuszenkow, Mtemtyk dl studentów studiów technicznych, cz., HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn I, O cyn Wydwnicz GiS, Wroc w 2000 A. Just, Mtemtyk dl studentów politechnik, Wydwnictwo P, ódź 202 K. Kurtowski, Rchunek ró zniczkowy i c kowy, PWN, Wrszw 964 F. Lej, Rchunek ró zniczkowy i c kowy, PWN, Wrszw 963 W. Rudin, Podstwy nlizy mtemtycznej, PWN, Wrszw 976 Zbiory ogrniczone, kresy zbiorów De nicj. Mówimy, ze zbiór A R jest ogrniczony z góry, je zeli istnieje tk liczb M, ze x M; x2a M nzywmy ogrniczeniem górnym zbioru A. De nicj.2 Mówimy, ze zbiór A R jest ogrniczony z do u, je zeli istnieje tk liczb m, ze m x; x2a m nzywmy ogrniczeniem dolnym zbioru A. De nicj.3 Mówimy, ze zbiór A R jest ogrniczony, gdy A jest ogrniczony z góry i z do u, czyli istniej¾ tkie liczby m i M, ze m x M x2a

. ZBIORY OGRANICZONE, KRESY ZBIORÓW Uwg.4 zchodzi. Zbiór A jest ogrniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dl pewnej liczby M jxj M: x2a 2. W powy zszych de nicjch nierówność s b ¾ mo zn zstpić ¾ nierówności¾ ostr. ¾ De nicj.5 Niech A R. Element 2 A nzywmy elementem njmniejszym w A, gdy x: x2a Element njmniejszy w A oznczmy przez min A; = min A: De nicj.6 Niech A R. Element 2 A nzywmy elementem njwi ¾ekszym w A, gdy x : x2a Element njwi ¾ekszy w A oznczmy przez mx A; = mx A: De nicj.7 Mówimy, ze liczb d jest kresem dolnym zbioru A, je zeli V. d x (tzn. d jest ogrniczeniem dolnym zbioru A) 2. x2a V W ">0 x2a x < d + " (tzn. d jest njwi ¾ekszym z ogrniczeń dolnych zbioru A). Kres dolny zbioru A oznczmy symbolem inf A: De nicj.8 Mówimy, ze liczb g jest kresem górnym zbioru A, je zeli V. x g 2. x2a V W ">0 x2a g " < x Kres górny zbioru A oznczmy symbolem sup A. Uwg.9. Je zeli = min A, to = inf A; je zeli = mx A, to = sup A. 2. Je zeli A nie jest zbiorem ogrniczonym z góry, to piszemy sup A = +; jeśli A nie jest ogrniczony z do u, to piszemy inf A = : Twierdzenie.0 (Aksjomt cig ości) ¾ K zdy niepusty zbiór ogrniczony z góry (z do u) m kres górny (dolny). 2

2. CIAGI ¾ LICZBOWE 2 Ci ¾gi liczbowe De nicj 2. Cigiem ¾ (nieskończonym) o wyrzch w zbiorze A nzywmy k zd¾ funkcj ¾e : N! A. Wrto sć funkcji dl liczby nturlnej n oznczmy przez n = (n) 2 A: Element n 2 A nzywmy n-tym wyrzem cigu ¾. Cig ¾ o wyrzch n oznczmy symbolem ( n ) n2n. Zbiór jego wyrzów oznczmy przez f n g n2n, tzn. f n g n2n = f n 2 A : n 2 Ng. De nicj 2.2 Niech : N!A. Je zeli A R, to cig ¾ nzywmy cigiem ¾ liczbowym. Je zeli A jest zbiorem funkcji, to cig ¾ nzywmy cigiem ¾ funkcyjnym. De nicj 2.3 Niech ( n ) b ¾edzie cigiem ¾ liczbowym. Cig ¾ ( n ) nzywmy rosncym, ¾ gdy V n < n+ n2n niemlejcym, ¾ gdy V n n+ n2n mlejcym, ¾ gdy V n > n+ n2n nierosncym, ¾ gdy V n n+ n2n Cigi ¾ te nzywmy cigmi ¾ monotonicznymi. Cigi ¾ mlejce ¾ i rosnce ¾ nzywmy scísle monotonicznymi, z s niemlejce ¾ i nierosnce ¾ monotonicznymi w szerszym sensie. Twierdzenie 2.4 Je sli n > 0, to cig ¾ ( n ) jest rosncy ¾ wtedy i tylko wtedy, gdy n2n n+ n > : De nicj 2.5 Mówimy, ze cig ¾ ( n ) jest ogrniczony z do u, gdy zbiór jego wyrzów f n g jest ogrniczony z do u, tzn _ m n : m2r n2n Mówimy, ze cig ¾ ( n ) jest ogrniczony z góry, gdy zbiór jego wyrzów f n g jest ogrniczony z góry, tzn. _ n M M2R n2n Mówimy, ze cig ¾ ( n ) jest ogrniczony, gdy jest ogrniczony z góry i z do u, czyli _ m n M: m;m2r n2n 3

2. CIAGI ¾ LICZBOWE Stwierdzenie 2.6 Cig ¾ ( n ) jest ogrniczony wtedy i tylko wtedy, gdy _ j n j M: M>0 n2n De nicj 2.7 Liczb ¾e nzywmy grnic ¾(w sciw) ¾ cigu ¾ ( n ), gdy _ j n j < "; ">0 k2n n>k czyli w dowolnym przedzile ( "; + "), " > 0; le z ¾ prwie wszystkie wyrzy cigu ¾ ( n ) (prwie wszystkie = wszystkie poz skończon¾ ilo sci). ¾ Cig ¾ ( n ) nzywmy zbie znym, gdy m grnic ¾e. Grnic ¾e cigu ¾ ( n ) oznczmy przez lim n; lim n = : Twierdzenie 2.8 K zdy cig ¾ zbie zny m dok dnie jedn¾ grnic ¾e. De nicj 2.9 Mówimy, ze cig ¾ ( n ) jest rozbie zny do + (m grnic ¾e niew sciw ¾+), gdy _ n > M; piszemy wtedy lim n = +; rozbie zny do piszemy wtedy lim n = ; M2R k2n n>k (m grnic ¾e niew sciw¾ ), gdy _ n < m; m2r k2n n>k rozbie zny, gdy nie posid grnicy (w sciwej lub niew sciwej) Twierdzenie 2.0 Je zeli lim n = i lim b n = b, ; b 2 R, to. lim ( n + b n ) = + b; 2. lim ( n b n ) = b; 3. lim ( nb n ) = b; 4. lim n bn = b o ile b 6= 0 i b n 6= 0. Uwg 2. Skreślenie lub dodnie do cigu ¾ skończonej ilości wyrzów nie wp yw n jego zbie zność. Twierdzenie 2.2 lim n = 0, lim j nj = 0: 4

2. CIAGI ¾ LICZBOWE Twierdzenie 2.3 Je zeli lim n = + orz lim b n = b > lub lim b n = +, to lim ( n + b n ) = + i std ¾ przyjmujemy umow ¾e + b = ; b 2 R; + = : Twierdzenie 2.4 Je zeli lim n = + orz lim b n > 0, to lim ( nb n ) = +; je zeli lim b n < 0, to lim ( nb n ) = i std ¾ przyjmujemy umow ¾e = ; b = ; b > 0; ( ) = ; b = ; b < 0: Twierdzenie 2.5 Je zeli lim n = + ( ), to lim n = 0. Std ¾ umow Twierdzenie 2.6 Je zeli lim n = 0, to +; lim n = Std ¾ przyjmujemy umow ¾e = 0: gdy n > 0 dl prwie wszystkich n ; gdy n < 0 dl prwie wszystkich n: 0 = ; + 0 = : Twierdzenie 2.7 Twierdzenie 2.8 lim qn = 8 >< >: lim n = + q > q = 0 jqj < nie istnieje q 8 < : 0 < 0 = 0 + > 0 Twierdzenie 2.9 Z ó zmy, ze lim n = +. Je zeli 0 < lim b n +, to lim ( n) bn = +. Je zeli lim b n < 0, to lim ( n) bn = 0: Std ¾ przyjmujemy umow ¾e = b = ; b > 0; = 0 b = 0; b < 0: 5

2. CIAGI ¾ LICZBOWE De nicj 2.20 Poni zsze wyr zeni nzywmy symbolmi nieoznczonymi 0 0 0 0 0 0 Twierdzenie 2.2 Je zeli cigi ¾ ( n ) i (b n ) s¾ zbie zne orz n < b n lub n b n dl prwie wszystkich n, to lim n lim b n: Twierdzenie 2.22 Z ó zmy, ze dl prwie wszystkich wryzów cigów ¾ ( n ) i (b n ) zchodzi nierówno sć n b n : Je sli lim n = +, to lim b n = +: Je sli lim b n =, to lim n = : Twierdzenie 2.23 (o trzech cigch) ¾ Je zeli dl cigów ¾ ( n ), (b n ) i (c n ) zchodzi nierówno sć n b n c n orz lim n = lim c n =, to wówczs lim b n =. Wniosek 2.24 Je zeli lim n = 0 i cig ¾ (b n ) jest ogrniczony, to lim nb n = 0. Twierdzenie 2.25. lim np n = : 2. lim np = ; > 0: 3. Je zeli n 0 i lim n = > 0, to lim np n =. Twierdzenie 2.26 K zdy cig ¾ zbie zny jest ogrniczony. Twierdzenie 2.27 K zdy cig ¾ monotoniczny i ogrniczony jest zbie zny. Dok dniej, je sli ( n ) jest cigiem ¾ rosncym ¾ (niemlejcym) ¾ i ogrniczonym z góry, to lim n = supf n : n 2 Ng; je sli ( n ) jest cigiem ¾ mlejcym ¾ (nierosncym) ¾ i ogrniczonym z do u, to lim n = inff n : n 2 Ng: De nicj 2.28 Mo zn wykzć, ze cig ¾ + n n jest monotoniczny i ogrniczony, wi ¾ec jest zbie zny. Jego grnic ¾e oznczmy przez e Liczb e jest liczb¾ niewymiern¾ e def = lim + n n : e = 2; 78288284::: 6

3. GRANICE FUNKCJI De nicj 2.29 Logrytm przy podstwie e nzywmy logrytmem nturlnym i oznczmy symbolem ln ln x def = log e x; x > 0: Twierdzenie 2.30 Je zeli lim n = + ( ), to lim + n n = e. De nicj 2.3 Niech b ¾edzie dny cig ( n ). Podcigiem ¾ cigu ¾ ( n ) nzywmy k zdy cig ¾ postci ( nk ) ; gdzie (n k ) jest rosncym ¾ cigiem ¾ liczb nturlnych. Twierdzenie 2.32 Je zeli cig ¾ ( n ) jest zbie zny do, to wszystkie podcigi ¾ cigu ¾ ( n ) s¾ zbie zne do. Twierdzenie 2.33 (Bolzno-Weierstrss) Z k zdego cigu ¾ ogrniczonego mo zn wybrć podcig ¾ zbie zny. Z k zdego cigu ¾ nieogrniczonego mo zn wybrć podcig ¾ rozbie zny do + lub. 3 Grnice funkcji 3. Podstwowe de nicje De nicj 3. Otoczeniem punktu x 0 2 R nzywmy k zdy przedzi postci U (x 0 ) = (x 0 ; x 0 + ) ; gdzie > 0: Ssiedztwem ¾ punktu x 0 nzywmy k zdy zbiór postci S (x 0 ) = (x 0 ; x 0 ) [ (x 0 ; x 0 + ) = (x 0 ; x 0 + ) fx 0 g; gdzie > 0: Ssiedztwem ¾ prwostronnym punktu x 0 nzywmy k zdy przedzi z s lewostronnym k zdy przedzi S + (x 0 ) = (x 0 ; x 0 + ) ; S (x 0 ) = (x 0 ; x 0 ) : De nicj 3.2 Niech X R b ¾edzie zbiorem niepustym. Mówimy, ze x 0 2 R jest punktem skupieni zbioru X, je zeli istnieje cig ¾ (x n ) tki, ze fx n g X fx 0 g orz lim x n = x 0 : Zbiór wszystkich punktów skupieni zbioru X oznczmy symbolem X d. Je zeli dodtkowo jest spe niony wrunek x 0 < x n ; (x n < x 0 ) dl wszystkich n, to x 0 nzywmy prwostronnym (lewostronnym) punktem skupieni. Zbiór prwostronnych (lewostronnych) punktów skupieni zbioru X oznczmy przez X+ d (X d ). Punkty x 2 X, które nie s¾ punktmi skupieni zbioru X nzywmy punktmi izolownymi. 7

3. GRANICE FUNKCJI Uwg 3.3 two widć, ze x 0 2 S (x 0 ) d ; x 0 2 S + (x 0 ) d + ; x 0 2 S (x 0 ) d : De nicj 3.4 (Cuchy ego grnicy funkcji w punkcie) Niech f : X! R orz niech x 0 2 X d. Mówimy, ze liczb g jest grnic¾ w sciw¾ funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy przez je zeli _ ">0 >0 x2xnfx 0g lim f (x) = g; (jx x 0 j < ) jf (x) gj < ") : Mówimy, ze funkcj f m grnic ¾e niew sciw ¾+ w punkcie x 0, co zpisujemy jko lim f (x) = +; je zeli _ M>0 >0 x2xnfx 0g (jx x 0 j < ) M < f (x)) : Anlogicznie de niujemy poj¾ecie grnicy niew ściwej w punkcie x 0 : lim f (x) = ozcz, ze _ m<0 >0 x2xnfx 0g (jx x 0 j < ) f (x) < m) : De nicj 3.5 (Heinego grnicy funkcji w punkcie) Niech f : X! R orz niech x 0 2 X d. Mówimy, ze liczb g jest grnic¾ w sciw¾ funkcji f w punkcie x 0, je zeli lim f (x n) = g dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X n fx 0 g i lim m grnic ¾e niew sciw ¾+ ( x n = x 0. Mówimy, ze funkcj f ) w punkcie x 0, je zeli lim f (x n) = + ( ) dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X n fx 0 g i lim x n = x 0. De nicj 3.6 (Cuchy ego grnicy funkcji w ) Niech f : X! R i z ó zmy, ze X nie jest zbiorem ogrniczonym z góry. Mówimy, ze liczb g jest grnic¾ w sciw¾ funkcji f w +, co zpisujemy lim f (x) = g; x!+ 8

3. GRANICE FUNKCJI je zeli jest spe niony wrunek _ ">0 R2R x2x (R < x ) jf (x) gj < ") : Mówimy, ze funkcj f m grnic ¾e niew sciw ¾+ w +, co zpisujemy je zeli jest spe niony wrunek _ M>0 R2R x2x lim f (x) = +; x!+ (R < x ) M < f (x)) : Anlogicznie de niujemy poj ¾ecie grnicy niew ściwej w +: lim f (x) = x!+ ozncz, ze _ m<0 R2R x2x (R < x ) f (x) < m) : Zdnie Zde niowć poj¾eci grnicy w ściwej i niew ściwej funkcji f : X! R w, przy z o zeniu, ze X nie jest ogrniczony z do u. De nicj 3.7 (Heinego grnicy funkcji w +) Niech f : X! R i z ó zmy, ze zbiór X nie jest ogrniczony z góry. Mówimy, ze liczb g jest grnic¾ w sciw¾ funkcji f w +, je zeli lim f (x n) = g dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X orz lim x n = +. Mówimy, ze funkcj f m grnic ¾e niew sciw ¾+ ( ) w +, je zeli lim f (x n) = + ( ) dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X i lim x n = +: Twierdzenie 3.8 De nicje grnic Heinego i Cuchy ego pokrywj¾ si ¾e. De nicj 3.9 (Heinego grnicy prwostronnej) Niech f : X! R i x 0 2 X+. d Mówimy, ze g (g 2 R, g = ) jest grnic¾ prwostronn ¾(w sciw¾ lub nie) funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy przez lim f (x) = g; x!x + 0 je sli jest spe niony wrunek lim f (x n) = g dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X, lim x n = x 0 orz x n > x 0. 9

3. GRANICE FUNKCJI De nicj 3.0 (Heinego grnicy lewostronnej) Niech f : X! R i x 0 2 X_ d. Mówimy, ze g (g 2 R, g = ) jest grnic¾ lewostronn ¾(w sciw¾ lub nie) funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy przez lim f (x) = g; je sli jest spe niony wrunek lim f (x n) = g dl k zdego cigu ¾ (x n ) tkiego, ze fx n g X, lim x n = x 0 orz x n < x 0. Zdnie 2 Sformu owć de nicje grnic jednostronnych w sensie Cuchy ego. Twierdzenie 3. Niech f : X! R orz x 0 2 X+ d \ X d. Wówczs grnic funkcji f w punkcie x 0 jest równ g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¾ grnice jednostronne w x 0 i s¾ równe g, tzn. lim f (x) = g, lim f (x) = g = lim f (x) x!x + 0 Twierdzenie 3.2 (o rytmetyce grnic w ściwych) Je zeli f; g : X! R, x 0 2 X d orz lim f (x) =, lim g (x) = b, przy czym ; b 2 R, to. lim (f (x) g (x)) = b; 2. lim (f (x) g (x)) = b; f(x) 3. lim x!x g(x) = b ; o ile b 6= 0; 0 4. lim (f (x)) g(x) = b, o ile 0; je sli = 0, to zk dmy, ze b 6= 0. Twierdzenie 3.3 (o rytmetyce grnic niew ściwych) + = ; + = ; 2 R; = ; = ; > 0 ( ) = ; = ; < 0 = 0; 2 R; 0 = ; > 0; + 0 = ; > 0; b = 0; 0 b < ; ; < b = 0; < 0; ; 0 < : 0

3. GRANICE FUNKCJI Twierdzenie 3.4 (o grnicy funkcji z o zonej) Niech f : X! Y R i g : Y! R. Je sli spe nione s¾ wrunki:. lim f (x) = y 0 2 Y d ; 2. lim y!y 0 g (y) = ; to lim g (f (x)) =. Twierdzenie 3.5 (o trzech funkcjch) Je zeli funkcje f; g; h : X! R spe nij¾ wrunki: V. f (x) g (x) h (x) dl pewnego ssiedztw ¾ S (x 0 ) ; x2s(x 0) 2. istniej¾ grnice lim f (x) = = lim h (x) ; to lim g (x) =. Twierdzenie 3.6 (o dwóch funkcjch) Niech funkcje f; g : X! R spe nij¾ wrunek f (x) g (x) : Wówczs x2s(x 0) je zeli lim f (x) = +, to lim g (x) = +; je zeli lim g (x) =, to lim f (x) =. Uwg 3.7 Powy zsze twierdzeni pozostj¾ prwdziwe, je zeli zmist grnicy w punkcie x 0 wyst¾epuj¾ grnice jednostronne lub grnice w. Twierdzenie 3.8 sin x lim x!0 x = lim ( + x!0 x)=x = e: 3.2 Asymptoty funkcji De nicj 3.9 Niech f : X! R i x 0 2 X d. Prost¾ o równniu x = x 0 prwostronn¾ symptot¾ pionow¾ wykresu funkcji f, je zeli nzywmy lim f (x) = lbo lim f (x) = +: x!x + 0 x!x + 0 Prost¾ o równniu x = x 0 nzywmy lewostronn¾ symptot¾ pionow¾ wykresu funkcji f, je zeli lim f (x) = lbo lim f (x) = +: Prost¾ o równniu x = x 0 nzywmy obustronn¾ symptot¾ pionow¾ wykresu funkcji f, je zeli jest symptot¾ prwostronn¾ i lewostronn. ¾

4. CIAG OŚĆ ¾ FUNKCJI De nicj 3.20 Niech f : X! R. Je zeli X nie jest zbiorem ogrniczonym z góry, to prost¾ o równniu y = x + b nzywmy symptot¾ uko sn¾ wykresu funkcji f w +, gdy lim (f (x) (x + b)) = 0: x!+ Je zeli X nie jest zbiorem ogrniczonym z do u, to prost¾ o równniu y = x + b nzywmy symptot¾ uko sn¾ wykresu funkcji f w, gdy lim (f (x) (x + b)) = 0: x! Je zeli = 0, to odpowiedni¾ symptot ¾e uko sn¾ nzywmy symptot¾ poziom. ¾ Uwg 3.2 Prost y = b jest sympot¾ poziom¾ wykresu funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = b. lim x! Twierdzenie 3.22 Prost o równniu y = Ax + B jest symptot¾ uko sn¾ wykresu funkcji f w + wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) lim = A i lim (f (x) x!+ x Ax) x!+ = B (o ile te grnice istniej¾ i s¾ skończone). Prost o równniu y = x + b jest symptot¾ uko sn¾ wykresu funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy 4 Ci ¾g ość funkcji f (x) lim = i lim (f (x) x) = b: x! x x! De nicj 4. (Heine) Niech f : X! R, x 0 2 X i z ó zmy, ze U (x 0 ) X. Mówimy, ze funkcj f jest cig ¾ w punkcie x 0, je zeli lim f (x) = f (x 0 ) : Je zeli funkcj f jest cig ¾ w k zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest cig. ¾ Uwg 4.2 Podobnie mo zn zde oniowć cig ość ¾ funkcji w punktch zbioru X, które s¾ punktmi skupieni X. Przyjmujemy wtedy dodtkowo, ze funkcj f jest cig ¾ w punktch izolownych. De nicj 4.3 (Cuchy) Niech f : X! R, x 0 2 X i z ó zmy, ze U (x 0 ) X. Mówimy, ze funkcj f jest cig ¾ w punkcie x 0, je zeli _ (jx x 0 j < ) jf (x) f (x 0 )j < ") : ">0 >0 x2x Twierdzenie 4.4 De nicje Heinego i Cuchy ego cig o sci ¾ funkcji w punkcie pokrywj¾ si ¾e. De nicj 4.5 Niech f : X! R, x 0 2 X i z ó zmy, ze U + (x 0 ) 2 X. Mówimy, ze funkcj f jest cig ¾ prwostronnie w punkcie x 0, je zeli lim f (x) = f (x 0 ) : x!x + 0 Anlogiczne de niujemy lewostronn¾ cig o sć ¾ funkcji w punkcie. 2

4. CIAG OŚĆ ¾ FUNKCJI Uwg 4.6 Powiemy, ze funkcj f jest cig ¾ n przedzile [; b], je zeli jest cig ¾ n przedzile (; b) orz jest prwostonnie cig ¾ w i jest lewostronnie cig ¾ w b. Twierdzenie 4.7 Niech f : X! R, x 0 2 X i U (x 0 ) X. Funkcj f jest cig ¾ w x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest prwostronnie i lewostronnie cig ¾ w x 0. De nicj 4.8 Niech f : X! R, x 0 2 X i U (x 0 ) X. Z ó zmy, ze funkcj f nie jest cig ¾ w x 0. Mówimy, ze funkcj f m w punkcie x 0 niecig o sć ¾ pierwszego rodzju, je zeli istniej¾ skończone grnice lim f (x) i x!x + 0 lim f (x) 6= f (x 0 ) lub lim f (x) 6= f (x 0 ) ; x!x + 0 drugiego rodzju, je zeli jedn z grnic jednostronnych lim f (x) orz lim f (x) ; x!x + 0 lim f (x) jest niew sciw lub nie istnieje. Twierdzenie 4.9 Je zeli funkcje f i g s¾ cig e ¾ w x 0, to. funkcje f g s¾ cig e ¾ w x 0 ; 2. funkcj fg jest cig ¾ w x 0 ; 3. funkcj f g jest ci g ¾ w x 0, o ile g(x 0 ) 6= 0. Twierdzenie 4.0 Je zeli funkcj f jest cig ¾ w x 0 i g jest cig ¾ w f (x 0 ), to g f jest cig ¾ w x 0. De nicj 4. Funkcjmi elementrnymi podstwowymi nzywmy funkcje st e, pot ¾egowe, wyk dnicze, logrytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, które mo zn z nich otrzymć z pomoc¾ skończonej ilo sci dzi ń rytmetycznych orz z o zeni funkcji, nzywmy funkcjmi elementrnymi. Twierdzenie 4.2 Funkcje elementrne s¾ cig e ¾ n swoich dziedzinch. Twierdzenie 4.3 Z ó zmy, ze funkcj f : [; b]! R jest ró znowrto sciow i cig. ¾ Wówczs f jest monotoniczn orz funkcj odwrotn f : f [[; b]]! R jest te z cig ¾ i monotoniczn. Twierdzenie 4.4 (Weierstrss) Je zeli funkcj f : [; b]! R jest cig, ¾ to jest ogrniczon, co wi ¾ecej osig ¾ swoje kresy n przedzile [; b], tzn. f (c) = sup f (x) ; f (d) = inf f (x) : x2[;b] x2[;b] c2[;b] d2[;b] Twierdzenie 4.5 (Drboux) Je zeli funkcj f : [; b]! R jest cig ¾ orz f () < f (b), to _ f (x) = y. y2(f();f(b)) x2(;b) 3

5. POCHODNA FUNKCJI Uwg 4.6 Je zeli w powy zszym twierdzeniu z o zymy, ze f (b) < f (), to _ f (x) = y. y2(f(b);f()) x2(;b) Wniosek 4.7 Je zeli f : [; b]! R jest funkcj¾ cig ¾ ¾ i f () f (b) < 0, to istnieje x 2 (; b), ze f (x) = 0. 5 Pochodn funkcji 5. Podstwowe poj ¾eci i w sności De nicj 5. Niech f b ¾edzie funkcj¾ rzeczywist¾ okre slon¾ n pewnym otoczeniu U (x 0 ; r) = (x 0 r; x 0 + r) punktu x 0. Ilorzem ró znicowym odpowidjcym ¾ przyrostowi h tkiemu, ze 0 < jhj < r, nzywmy f (x 0 + h) f (x 0 ) : h Geometrycznie jest to wspó czynnik kierunkowy prostej przechodzcej ¾ przez punkty (x 0 ; f (x 0 )), (x 0 + h; f (x 0 + h)). De nicj 5.2 Niech f b ¾edzie funkcj¾ rzeczywist¾ okre slon¾ n pewnym otoczeniu U (x 0 ; r). Pochodn ¾(w sciw) ¾ funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic ¾e o ile t grnic istnieje i jest skończon. f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim ; h!0 h De nicj 5.3 Mówimy, ze funkcj f : X! R jest ró zniczkowln, je zeli jest ró zniczkowln w k zdym punkcie swojej dziedziny. Funkcj ¾e X! R x 7! f 0 (x) nzywmy pochodn¾ funkcji f i oznczmy przez f 0. Twierdzenie 5.4 (Pochodne podstwowych funkcji elementrnych). (c) 0 = 0 dl dowolnej funkcji st ej f (x) = c, gdzie c 2 R jest ustlone; 2. (x n ) 0 = nx n dl x 2 R i n 2 N; 3. (x ) 0 = x ; 6= 0; 4. (e x ) 0 = e x ; 5. ( x ) 0 = x ln, > 0, 6= ; 6. (ln x) 0 = x, x > 0; 7. (log x) 0 = x ln, x > 0, > 0, 6= ; 8. (sin x) 0 = cos x; 4

5. POCHODNA FUNKCJI 9. (cos x) 0 = sin x; 0. (tg x) 0 = cos 2 x ;. (ctg x) 0 = sin 2 x ; 2. (rcsin x) 0 = p x, x 2 ( ; ) ; 2 3. (rccos x) 0 = p x, x 2 ( ; ) ; 2 4. (rctg x) 0 = +x 2 ; x 2 R; 5. (rcctg x) 0 = +x 2, x 2 R. Twierdzenie 5.5 (Wrunek konieczny ró zniczkowlności) Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0, to jest cig ¾ w x 0. De nicj 5.6 (Pochodne jednostronne) Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n zbiorze U + (x 0 ; r) = [x 0 ; x 0 + r), gdzie r > 0. Pochodn¾ prwostronn¾ funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic ¾e f+ 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim ; h!0 + h o ile t grnic istnieje i jest skończon. Anlogicznie, je zeli f jest okre slon n zbiorze U (x 0 ; r) = (x 0 r; x 0 ], gdzie r > 0, to pochodn¾ lewostronn¾ funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic ¾e f 0 (x 0 ) = lim h!0 o ile t grnic istnieje i jest skończon. f (x 0 + h) f (x 0 ) ; h Ró zniczkowlność funkcji f : [; b]! R ozncz, ze f m pochodn¾ n przedzile (; b) orz m pochodn¾ prwostronn¾ w i lewostronn¾ w b. Twierdzenie 5.7 Funkcj f m pochodn¾ w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (x 0 ) = f 0 + (x 0 ). Je zeli spe niony jest powy zszy wrunek, to pochodn f w punkcie x 0 jest równ tej wspólnej wrto sci. De nicj 5.8 Niech f : X! R b ¾edzie cig ¾ n pewnym otoczeniu punktu x 0 2 X. Mówimy, ze prost l jest styczn do wykresu funkcji f w punkcie x 0, je zeli przy h! 0 prost przechodzc ¾ przez punkty (x 0 ; f (x 0 )) i (x 0 + h; f (x 0 + h)) m po o zenie grniczne równe l. Twierdzenie 5.9 Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0, to równnie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 m postć y = f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; czyli geometrycznie f 0 (x 0 ) jest wspó czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu f w punkcie x 0. 5

5. POCHODNA FUNKCJI Twierdzenie 5.0 (o rytmetyce pochodnych) Je zeli funkcje f i g s¾ ró zniczkowlne w punkcie x 0, to. (f g) 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) ; 2. (fg) 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g 0 (x 0 ), w szczególno sci (cf) 0 (x 0 ) = cf 0 (x 0 ) ; 3. f g 0 (x0 ) = f 0 (x 0)g(x 0) f(x 0)g 0 (x 0) (g(x 0)) 2, o ile g (x 0 ) 6= 0. Twierdzenie 5. (o pochodnej funkcji z o zonej) Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0 orz g jest ró zniczkowln w punkcie f (x 0 ), to z o zenie gf jest ró zniczkowlne w x 0 przy czym (g f) 0 (x 0 ) = g 0 (f (x 0 )) f 0 (x 0 ). Twierdzenie 5.2 (Rolle ) Je zeli funkcj f jest cig ¾ n przedzile [; b], ró zniczkowln n (; b) orz f () = f (b), to istnieje tki punkt x 0 2 (; b), ze f 0 (x 0 ) = 0. Twierdzenie 5.3 (Lgrnge o przyrostch) Je zeli funkcj f jest cig ¾ n przedzile [; b] i ró zniczkowln n (; b), to istnieje tki punkt x 0 2 (; b), ze f 0 (x 0 ) = f (b) b f () : Wniosek 5.4 Niech f b ¾edzie ró zniczkowln n przedzile (; b). Wówczs je zeli f 0 (x) = 0 dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest st n (; b); je zeli f 0 (x) > 0 (f 0 (x) 0) dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest rosnc ¾ (niemlejc) ¾ n (; b) ; je zeli f 0 (x) < 0 (f 0 (x) 0) dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest mlejc ¾ (nierosnc) ¾ n (; b): Twierdzenie 5.5 (Cuchy ego o przyrostch) Je zeli funkcje f i g s¾ cig e ¾ n przedzile [; b], ró zniczkowlne n (; b) i g 0 (x) 6= 0 dl k zdego x 2 (; b), to istnieje x 0 2 (; b), ze f (b) f () g (b) g () = f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) : Uwg 5.6 Twierdzenie Lgrnge o przyrostch jest szczególnym przypdkiem twierdzeni Cuchy ego, gdy g (x) = x, x 2 [; b]. Twierdzenie 5.7 Je zeli funkcj f. jest ró zniczkowln n przedzile (; b) V 2. f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0); x2(;b) to istnieje funkcj odwrotn f orz f 0 (f (x)) = f 0 (x) dl k zdego x 2 (; b). Twierdzenie 5.8 (regu de l Hospitl) Je zeli funkcje f i g spe nij¾ wrunki: 6

5. POCHODNA FUNKCJI. lim f (x) = lim g (x) = 0 lub lim f (x) = lim g (x) = +; f 2. istnieje grnic lim 0 (x) x!x g 0 (x) 0 (w sciw lub nie) to f (x) lim g (x) = lim f 0 (x) g 0 (x) : Uwg 5.9 Powy zsze twierdzenie jest prwdziwe tk ze dl grnic jednostronnych i grnic w + lub w. Uwg 5.20 Zmin symboli nieoznczonych 0,, 0 0,, 0 n 0 0 lub. Je zeli lim f (x) = 0 i lim g (x) =, to wówczs lim g(x) = 0 i lim f(x) = ; std ¾ Je zeli lim f (x) = lim g (x) = +, to f(x) lim f (x) g (x) = [0 ] = f (x) 0 = lim x!x = 0 0 g(x) g (x) = lim x!x = ; 0 lim (f (x) g (x)) = [ ] = lim x!x 0 f(x) = lim g(x) f(x) f(x)g(x)! g(x) = 0 ; 0 W przypdku, gdy lim f (x) g(x) dje jeden z symboli nieoznczonych ; 0 0 ; 0 stosujemy przekszt cenie 5.2 Bdnie funkcji f (x) g(x) = e ln f(x)g(x) = e g(x) ln(x) ; De nicj 5.2 (Ekstrem loklne) Niech f : X! R, X R orz x 0 2 X. Mówimy, ze funkcj f m w punkcie x 0 minimum loklne, je zeli _ r>0 x2s(x 0;r) f (x) f (x 0 ) 7

5. POCHODNA FUNKCJI mksimum loklne, je zeli _ r>0 x2s(x 0;r) f (x) f (x 0 ) : Je zeli w powy zszych wrunkch zchodz¾ nierówno sci ostre f (x) > f (x 0 ) (f (x) < f (x 0 )), to mówimy o minimum (mksimum) loklnym w sciwym. De nicj 5.22 Niech f : X! R. Mówimy, ze funkcj f m wrto sć njmniejsz¾ m n zbiorze A X, je zeli _ x 02A f (x 0 ) = m i f (x) m; x2a wrto sć njwi ¾eksz¾ M n zbiorze A X, je zeli _ x 02A f (x 0 ) = M i f (x) M: x2a Twierdzenie 5.23 (Fermt wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego) Je zeli funkcj f m ekstermum loklne w punkcie x 0 orz f jest ró zniczkowln w x 0, to f 0 (x 0 ) = 0. Uwg 5.24 Wrunek f 0 (x 0 ) = 0 nie jest wrunkiem wystrczjcym ¾ do istnieni ekstremum loklnego w x 0, np. niech f (x) = x 3 ; wtedy f 0 (x) = 3x 2 orz f 0 (0) = 0, le w x 0 = 0 funkcj f nie m ekstremum loklnego. Twierdzenie 5.25 (I wrunek wystrczjcy ¾ istnieni mksimum loklnego) Niech f : (; b)! R b ¾edzie funkcj¾ ró zniczkowln¾ n (; b) orz x 0 2 (; b). Je zeli f 0 (x 0 ) = 0 i 0 _ @ f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0A ; r>0 x2(x 0 r;x 0) x2(x 0;x 0+r) to funkcj f m mksimum loklne w sciwe w punkcie x 0. Uwg 5.26 Anlogicznie formu ujemy wrunek wystrczjcy ¾ istnieni minimum loklnego w ściwego. Twierdzenie 5.27 (II wrunek wystrczjcy ¾ istnieni ekstremum) Je zeli istnieje liczb przyst n 2 tk, ze. f 0 (x 0 ) = f 00 (x 0 ) = ::: = f (n ) (x 0 ) = 0; 2. f (n) (x 0 ) < 0 f (n) (x 0 ) > 0, to funkcj f m w punkcie x 0 mksimum (minimum) loklne w sciwe. 8

5. POCHODNA FUNKCJI De nicj 5.28 Mówimy, ze funkcj f jest wypuk n przedzile (; b), je zeli f (tx + ( t) x 2 ) tf (x ) + ( t) f (x 2 ) : x ;x 22(;b) t2(0;) Mówimy, ze funkcj f jest wkl ¾es n przedzile (; b), je zeli f (tx + ( t) x 2 ) tf (x ) + ( t) f (x 2 ) : x ;x 22(;b) t2(0;) Je zeli w powy zszych wrunkch zchodz¾ nierówno sci ostre, to mówimy o scis ej wypuk o sci (wkl ¾es o sci). Twierdzenie 5.29 Z ó zmy, ze f jest funkcj¾ ró zniczkowln¾ n przedzile (; b). Funkcj f jest wypuk (wkl ¾es ) n (; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego punktu x 0 2 (; b) f (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; x 2 (; b) (f (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; x 2 (; b)) tzn. wykres funkcji f n przedzile (; b) le zy "powy zej"("poni zej") stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x 0 ). Twierdzenie 5.30 Je zeli f 00 (x) > 0 dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest wypuk n (; b). Je zeli f 00 (x) < 0 dl k zdego x 2 (; b), to f jest wkl ¾es n (; b). De nicj 5.3 Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ) punktu x 0 i f jest cig ¾ w x 0. Mówimy, ze funkcj f m pochodn¾ niew sciw¾ w x 0 je zeli f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = + lub lim =. h!0 h h!0 h De nicj 5.32 Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ) punktu x 0 i ze m pochodn¾ w x 0 (w sciw¾ lub nie). Punkt (x 0 ; f (x 0 )) nzywmy punktem przegi ¾eci wykresu funkcji, je zeli dl pewnego > 0 funkcj f jest scísle wypuk n (x 0 ; x 0 ) i scísle wkl ¾es n (x 0 ; x 0 + ) lub odwrotnie. Twierdzenie 5.33 (Wrunek konieczny istnieni punktu przegi ¾eci) Je zeli (x 0 ; f (x 0 )) jest punktem przegi ¾eci funkcji f orz istnieje f 00 (x 0 ), to f 00 (x 0 ) = 0. Uwg 5.34 Wrunek f 00 (x 0 ) = 0 nie jest wrunkiem wystrczjcym ¾ istnieni punktu przegi¾eci w x 0. Je zeli f (x) = x 4, to f 00 (x) = 2x 2, f 00 (0) = 0, le funkcj f nie m punktu przegi¾eci w (0; 0); f jest wypuk. Twierdzenie 5.35 (I wrunek wystrczjcy ¾ istnieni punktu przegi ¾eci) Je zeli funkcj f m w punkcie x 0 pochodn ¾(w sciw¾ lub nie) orz 0 _ @ f 00 (x) > 0 f 00 (x) < 0A ; >0 x2(x 0 ;x 0) x2(x 0;x 0+) to punkt (x 0 ; f (x 0 )) jest punktem przegi ¾eci wykresu funkcji f. 9

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Uwg 5.36 Powy zsze twierdzenie jest prwdziwe, gdy n zbiorch (x 0 ; x 0 ), (x 0 ; x 0 + ) s¾ nierówności odwrotne. Twierdzenie 5.37 (II wrunek wystrczjcy ¾ istnieni punktu przegi ¾eci) Je zeli istnieje liczb nieprzyst n 3 tk, ze. f 00 (x 0 ) = f 000 (x 0 ) = ::: = f (n ) (x 0 ) = 0; 2. f (n) (x 0 ) 6= 0, to (x 0 ; f (x 0 )) jest punktem przegi ¾eci wykresu funkcji f. 6 C k nieoznczon i oznczon 6. C k nieoznczon De nicj 6. Funkcj ¾e F nzywmy funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f n przedzile I, je zeli F jest ró zniczkowln i dl k zdego x 2 I. F 0 (x) = f (x) Twierdzenie 6.2 Je zeli F jest funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f n przedzile I, to. G (x) = F (x) + c, gdzie c 2 R, jest funkcj¾ pierwotn¾ f n I; 2. k zd funkcj pierwotn funkcji f n przedzile I jest postci F (x) + c dl pewnej st ej c. Twierdzenie 6.3 K zd funkcj cig ¾ n przedzile I m funkcj ¾e pierwotn. ¾ De nicj 6.4 Niech f : I! R b ¾edzie ustlon¾ funkcj. ¾ Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nzywmy c k ¾ nieoznczon¾ funkcji f i oznczmy przez Z f (x) dx: Je sli F jest funkcj¾ pierwotn¾ f n przedzile I, to Z f (x) dx = ff (x) + c : c 2 Rg: Uwg 6.5 Ogólniej, powiemy, ze F jest funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f : X! R je zeli F jest ró zniczkowln n X orz F 0 (x) = f (x) dl k zdego x 2 X (nie wymgmy terz, zeby dziedzin funkcji f by jednym przedzi em). Je zeli f (x) = 0 dl x 6= 0, to funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f jest k zd funkcj postci C ; x < 0; F (x) = C 2 ; x > 0; gdzie C i C 2 s¾ dowolnymi st ymi. 20

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA C ki nieoznczone pewnych funkcji elementrnych. R 0dx = C; x 2 R, 2. R x n dx = n+ xn+ + C; x 2 R, n 2 N [ f0g, w szczególności R dx = x + C; 3. R x p dx = p+ xp+ + C, gdzie p 2 f 2; 3; 4; :::g, x 2 ( ; 0) lub x 2 (0; ), 4. R x dx = + x+ + C, 2 R Z, 5. R xdx = ln jxj + C, gdzie x 2 ( ; 0) lub x 2 (0; ), 6. R e x dx = e x + C 7. R x dx = ln x + C; 8. R sin xdx = cos x + C; 9. R cos xdx = sin x + C; 0. R dx cos 2 x = tg x + C, gdzie x 2. R dx = ctg x + C; sin 2 x 2. R dx +x 2 = rctg x + C; 3. R p dx x = rcsin x + C, jxj < : 2 2 + k; 2 + k i k 2 Z jest ustlone, Twierdzenie 6.6 Je zeli f i g mj¾ funkcje pierwotne n przedzile I, to. R (f (x) g (x)) dx = R f (x) dx R g (x) dx; 2. R f (x) dx = R f (x) dx dl dowolnej liczby 2 R. Twierdzenie 6.7 (o c kowniu przez cz ¾eści) Je zeli funkcje f i g s¾ ró zniczkowlne i jedn z funkcji fg 0 lub f 0 g m funkcj ¾e pierwotn, ¾ to drug z nich te z m, przy czym Z Z f (x) g 0 (x) dx = f (x) g (x) f 0 (x) g (x) dx: Twierdzenie 6.8 (o c kowniu przez podstwienie) Je zeli:. f : I! J jest ró zniczkowln, 2. g : J! R m funkcj ¾e pierwotn¾ G, to wówczs funkcj (g f) f 0 jest c kowln przy czym Z (g (f (t))) f 0 (t) dt = G (f (t)) + C: Twierdzenie 6.9. R f 0 (x) f(x) dx = ln jf (x)j + C; 2. R f 0 (x) p dx = 2 p f (x) + C: f(x) 2

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA 6.2 C k oznczon De nicj 6.0 Podzi em przedzi u [; b] nzywmy zbiór P = fx i 2 [; b] : i = 0; ; :::; ng tki, ze = x 0 < x < ::: < x n = b: Zbiór wszystkich podzi ów przedzi u [; b] oznczmy przez P [; b]. Wrto sciowniem podzi u P nzywmy zbiór T = ft i 2 [; b] : i = ; :::; ng tki, ze t i 2 [x i ; x i ] ; i = ; :::; n: Zbiór wszystkich wrto sciowń podzi u P oznczmy przez T (P ). Średnic¾ podzi u P nzywmy liczb ¾e (P ) = mxfx i x i : i = ; :::; ng: De nicj 6. Niech f : [; b]! R. Sum¾ Riemnn dl funkcji f, podzi u P = fx i : i = 0; :::; ng przedzi u [; b] i jego wrto sciowni T = ft i : i = ; :::; ng nzywmy liczb ¾e S (f; P; T ) = nx f (t i ) (x i x i ) : i= De nicj 6.2 Cig ¾ podzi ów (P k ), k 7! P k 2 P [; b] nzywmy normlnym, je zeli lim (P k) = 0. k! De nicj 6.3 Liczb ¾e S (f) nzywmy c k ¾ Riemnn z funkcji f n przedzile [; b], je zeli dl dowolnego normlnego cigu ¾ podzi ów (P k ) przedzi u [; b] i dowolnego cigu ¾ wrto sciowń (T k ) (T k 2 T (P k )) S (f) = lim k! S (f; P k; T k ) : Liczb ¾e S (f) w dlszym cigu ¾ oznczć b ¾edziemy przez S (f) = f (x) dx: De nicj 6.4 Funkcj ¾e f, dl której istnieje c k Riemnn n przedzile [; b] nzywmy funkcj¾ c kowln¾ n [; b]. Przyjmujemy dodtkowo, ze i dl funkcji c kowlnej f n [; b] Z b Z f (x) dx = f (x) dx = 0 f (x) dx: Interpretcj geometryczn c ki oznczonej. Niech f b ¾edzie c kowln n [; b]. Je zeli f (x) 0 dl x 2 [; b] orz D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] 0 y f (x)g; 22

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA to je zeli f (x) 0 dl x 2 [; b] i f (x) dx = jdj ; D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] f (x) y 0g; to f (x) dx = jdj : Twierdzenie 6.5 Je zeli funkcje f i g s¾ c kowlne n [; b], to wówczs f +g i f, 2 R, s¾ c kowlne, przy czym. R b (f (x) + g (x)) dx = R b f (x) dx + R b 2. R b f (x) dx = R b f (x) dx: g (x) dx; Twierdzenie 6.6 Je zeli funkcj f jest c kowln n przedzile [; b] i c 2 (; b), to f (x) dx = Z c f (x) dx + c f (x) dx: Twierdzenie 6.7 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b], to wówczs jfj jest te z c kowln n [; b] i f (x) dx jf (x)j dx: Twierdzenie 6.8 Je zeli f i g s¾ c kowlne n [; b] i f (x) g (x) dl k zdego x 2 [; b], to f (x) dx g (x) dx: Twierdzenie 6.9 K zd funkcj cig ¾ f : [; b]! R jest c kowln n [; b]. Uwg 6.20 Zchodzi fkt ogólniejszy: je zeli f : [; b]! R jest ogrniczon i m skończon¾ liczb ¾e punktów niecig ości ¾ pierwszego rodzju, to f jest c kowln. Twierdzenie 6.2 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b], to jest ogrniczon. Przyk d 6.22 Funkcj Dirichlet f : [0; ]! R ; x 2 Q; f (x) = 0; x =2 Q jest ogrniczon, le nie jest c kowln w sensie Riemnn. 23

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Twierdzenie 6.23 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b] i istniej¾ liczby m; M tkie, ze m f (x) M; x2[;b] to wówczs m (b ) f (x) dx M (b ) : Twierdzenie 6.24 Niech f b ¾edzie funkcj¾ c kowln¾ n przedzile [; b] i niech x 0 2 [; b] b ¾edzie dowolnym punktem. Wówczs funkcj F (x) = Z x x 0 f (t) dt jest cig. ¾ Je zeli funkcj f jest cig ¾ w x, to F jest ró zniczkowln w x, przy czym F 0 (x) = f (x) : Twierdzenie 6.25 (Newton-Leibniz, zsdnicze tw. rchunku c kowego) Je zeli f : [; b]! R jest funkcj¾ cig ¾ ¾, to f (x) dx = F (b) F () ; gdzie F jest dowoln¾ funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f. Uwg 6.26 Przyjmujemy nst ¾epujce ¾ oznczenie F (x) j b = F (b) F () : Uwg 6.27 Z ó zmy, ze > 0 i f jest c kowln n przedzile [ ; ]. Je zeli f jest przyst, to R f (x) dx = 2 R f (x) dx: 0 Je zeli f jest nieprzyst, to R f (x) dx = 0: Twierdzenie 6.28 (o c kowniu przez cz ¾eści) Je zeli funkcje f i g mj¾ cig e ¾ pochodne n [; b], to f 0 (x) g (x) dx = [f (x) g (x)] b f (x) g 0 (x) dx: Twierdzenie 6.29 (o c kowniu przez podstwienie) Je zeli ' : [; ] cig ¾ ¾ pochodn, ¾ ' () =, ' () = b orz f jest cig ¾ n [; b], to! [; b] m f (x) dx = Z f (' (t)) ' 0 (t) dt: Twierdzenie 6.30 (o wrtości średniej) Je zeli f : [; b]! R jest cig, ¾ to istnieje tki punkt c 2 (; b), ze f (x) dx = f (c) (b ) : 24

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Zstosowni geometryczne c ek Niech dne b ¾ed ¾ funkcje cig e ¾ f; g : [; b]! R. Wówczs pole obszru ogrniczonego wykresmi funkcji f i g n przedzile [; b] wyr z si¾e wzorem jf (x) g (x)j dx Niech (t) = (x (t) ; y (t)), t 2 [; b] b ¾edzie prmetryzcj¾ krzywej. Powiemy, ze jest ukiem zwyk ym, gdy funkcje x i y s¾ cig e ¾ i krzyw nie m punktów wielokrotnych, tzn. (t ) 6= (t 2 ) dl t 6= t 2. Mówimy, ze jest krzyw¾ zmkni¾et, ¾ gdy () = (b). Je zeli jest (zmkni ¾etym) ukiem zwyk ym, przy czym pochodne funkcji x i y s¾ cig e, ¾ to d ugość krzywej jest równ l = q (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 dt: Z ó zmy, ze f : [; b]! R jest funkcj¾ nieujemn. ¾ Niech V ozncz obj ¾etość bry y powst ej przez obrót trpezu krzywoliniowego f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] 0 y f (x)g wokó osi OX. Wówczs obj ¾etość V jest równ jv j = f 2 (x) dx: Pole powierzchni bocznej otrzymnej bry y jest równe 6.3 C ki niew ściwe jsj = 2 q f (x) + (f 0 (x)) 2 dx: De nicj 6.3 Z ó zmy, ze funkcj f jest c kowln n k zdym przedzile [; ] dl k zdej liczby >. Je zeli istnieje grnic w sciw Z lim f (x) dx;!+ to nzywmy j¾ c k ¾ niew sciw¾ funkcji f n przedzile [; +) i oznczmy symbolem Std ¾ Z + Z + f (x) dx: Z f (x) dx def = lim f (x) dx:!+ Je zeli powy zsz grnic istnieje i jest w sciw, to mówimy, ze c k funkcji f n przedzile [; +) jest zbie zn. Je zeli grnic t nie istnieje lub jest niew sciw, to mówimy, ze c k niew sciw jest rozbie zn. C k ¾e niew sciw¾ n przedzile nieogrniczonym nzywmy c k ¾ niew sciw¾ pierwszego rodzju. 25

6. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA W podobny sposób określmy c k¾e niew ściw¾ funkcji f n przedzile ( Z f (x) dx def = lim! Z f (x) dx: ; ]: De nicj 6.32 Je zeli funkcj f jest c kowln n k zdym przedzile [; b], to c k ¾e funkcji f n przedzile ( ; +) de niujemy jko sum ¾e Z + f (x) dx def = lim! Z 0 Mówimy, ze c k funkcji f n przedzile ( R 0 f (x) dx i R f (x) dx. 0 f (x) dx + lim!+ Z 0 f (x) dx: ; +) jest zbie zn, gdy zbie zne s¾ c ki Uwg 6.33 C ki niew ściwej R + f (x) dx nie nle zy mylić z grnic ¾ Z lim! f (x) dx (jest to tzw. wrtość g ówn c ki). Je zeli c k niew ściw R + f (x) dx jest zbie zn, to istnieje skończon wrtość g ówn c ki. Odwrotnie być nie musi. Dl przyk du Z lim!+ sin x dx = 0 (bo funkcj sin jest nieprzyst), le c k R + sin x dx jest rozbie zn. Przyk d 6.34 C k Z + jest rozbie zn dl i zbie zn dl >. Twierdzenie 6.35 (Kryterium porównwcze) Z ó zmy, ze funkcje f; g : [; +)! R s¾ c kowlne n k zdym przedzile [; ] dl > orz 0 f (x) g (x) : x Je zeli c k R + g (x) dx jest zbie zn, to zbie zn jest c k R + f (x) dx. Je zeli c k R + f (x) dx jest rozbie zn, to c k R + g (x) dx jest rozbie zn. De nicj 6.36 Mówimy, ze c k R + f (x) dx jest bezwzgl ¾ednie zbie zn, gdy zbie zn jest c k R + jf (x)j dx. Je zeli c k R + f (x) dx jest zbie zn, le nie bezwgl ¾ednie, to mówimy, ze jest wrunkowo zbie zn. Twierdzenie 6.37 Je zeli dl k zdego > funkcj f jest c kowln n przedzile [; ] i c k R + jf (x)j jest zbie zn, to c k R + f (x) dx jest zbie zn, przy czym Z + Z + f (x) dx jf (x)j : dx x 26

7. SZEREGI De nicj 6.38 Niech f : [; b)! R b ¾edzie funkcj¾ nieogrniczon¾ i c kowln¾ n k zdym przedzile [; ], gdzie < < b. Je zeli istnieje grnic w sciw lim!b Z f (x) dx; to nzywmy j¾ c k ¾ niew sciw¾ funkcji f n przedzile [; b]. Oznczmy j¾ symbolem f (x) dx i st d ¾ R b f (x) dx = lim!b Z f (x) dx: Podobnie, je zeli f : (; b]! R jest funkcj¾ nieogrniczon¾ i c kowln¾ n k zdym przedzile [; b], gdzie < < b, to c k ¾ niew ściw¾ funkcji f n przedzile [; b] nzywmy grnic ¾e f (x) dx def = lim!+ f (x) dx; przy z o zeniu, ze powy zsz grnic istnieje i jest skończon. C k¾e niew ściw¾ z funkcji nieogrniczonej n przedzile ogrniczonym nzywmy c k ¾ niew ściw¾ drugiego rodzju. Je zeli c k t istnieje, to mówimy, ze jest zbie zn, w przeciwnym wypdku mówimy, ze jest rozbie zn. Przyk d 6.39 C k R 0 dx x jest zbie zn dl < i rozbie zn dl. Je zli istniej¾ c ki niew ściwe drugiego rodzju funkcji f n przedzi ch [ 0 ; ], [ ; 2 ],:::,[ n ; n ], to przyjmujemy Z n nx Z i f (x) dx = f (x) dx: 0 i 7 Szeregi i= De nicj 7. Niech b ¾edzie dny cig ¾ ( n ) liczb rzeczywistych. Cigiem ¾ sum cz ¾e sciowych odpowidjcych ¾ cigowi ¾ ( n ) nzywmy cig ¾ (s n ), gdzie s n = + ::: + n : Szeregiem o wyrzie ogólnym n nzywmy pr ¾e uporzdkown ¾ ¾(( n ) ; (s n )) i oznczmy przez X n : n= De nicj 7.2 Mówimy, ze szereg P n= n jest zbie zny, je zeli zbie zny jest cig ¾ sum cz ¾e sciowych (s n ) dl cigu ¾ ( n ). Je zeli s = lim s n, to s nzywmy sum¾ szeregu P n= n i piszemy X s = n. n= Mówimy, ze szereg P n= n jest rozbie zny, je zeli cig ¾ sum cz ¾e sciowych (s n ) dl cigu ¾ ( n ) jest rozbie zny. 27

7. SZEREGI P Twierdzenie 7.3 (Wrunek konieczny zbie zności szeregów) Je zeli szereg n jest zbie zny, to lim n = 0. Twierdzenie 7.4 Je zeli szereg b, to wówczs szeregi czym P n= P P ( n + b n ) orz n= n jest zbie zny do orz szereg n= X ( n + b n ) = + b; n= P n= n= b n jest zbie zny do n s¾ zbie zne ( 2 R jest dowoln¾ liczb) ¾ przy X n = : Twierdzenie 7.5 (kryterium porównwcze) Z ó zmy, ze dl prwie wszystkich n zchodzi nierówno sć 0 n b n : n= Je zeli szereg P b n jest zbie zny, to szereg P n jest zbie zny. Je zeli szereg P n jest rozbie zny, to szereg P b n jest rozbie zny. De nicj 7.6 Szeregiem hrmonicznym rz ¾edu nzywmy szereg postci Twierdzenie 7.7 Szereg hrmoniczny P zbie zny, gdy > ; rozbie zny, gdy : n= X n= n Twierdzenie 7.8 (kryterium d Alembert) Z ó zmy, ze n > 0 dl k zdego n i niech n : jest: n+ g = lim : n P Je zeli g <, to szereg n jest zbie zny. n= P Je zeli g >, to szereg n jest rozbie zny. n= Twierdzenie 7.9 (kryterium Cuchy ego) Z ó zmy, ze n 0 dl k zdego n i niech g = lim np n : Je zeli g <, to szereg P n= n jest zbie zny. Je zeli g >, to szereg P n= n jest rozbie zny. 28

7. SZEREGI Uwg 7.0 Je zeli n > 0 dl k zdego n i lim n+ n = g, to lim np n = g (grnic g mo ze być niew ściw). Przyk d cigu ¾ ; ; 2 ; 2 ; 4 ; 4 ; ::: wskzuje, ze istnieje grnic lim np n (= p 2 2 ) mimo, ze nie istnieje grnic lim : Jeśli wi¾ec szereg spe ni z o zeni kryterim n+ n d Alembert, to spe ni te z z o zeni kryterium Cuchy ego. Twierdzenie 7. (Leibniz) Je zeli cig ¾ ( n ) spe ni wrunki:. 2 3 :::: 0; 2. lim n = 0, P to szereg ( ) n n jest zbie zny. n= Przyk d 7.2 Szereg P n= ( ) n n jest zbie zny (jest to tzw. szereg nhrmoniczny) P De nicj 7.3 Mówimy, ze szereg P n jest bezwzgl ¾ednie zbie zny, gdy szereg j n j n= P jest zbie zny. Mówimy, ze szereg n jest wrunkowo zbie zny, gdy jest zbie zny, le nie jest bezwzgl ¾ednie zbie zny. n= P Twierdzenie 7.4 Je zeli szereg n jest bezwzgl ¾ednie zbie zny, to jest zbie zny. Przyk d 7.5 Szereg P n= n= ( ) n n jest wrunkowo zbie zny. Twierdzenie 7.6 (o mno zeniu szeregów) Je zeli szereg P n jest bezwzgl ¾ednie zbie zny i szereg P b n jest zbie zny, to szereg P c n, gdzie c = b ; c 2 = 2 b + b 2 ; c 3 = 3 b + 2 b 2 + b 3 ; ::: c n = n b + n b 2 + ::: + 2 b n + b n :: n= jest te z zbie zny, przy czym X n X b n = X c n : Uwg 7.7 Wyst¾epujcy ¾ powy zej szereg P c n nzywmy iloczynem szeregów P P n i bn. Twierdzenie 7.8 (Cuchy Mclurin) Niech f : [; )! R b ¾edzie funkcj¾ nieujemn, ¾ nierosnc ¾¾ i c kowln¾ n k zdym przedzile [; ], dl >. C k R f (x) jest zbie zn wtedy i tylko wtedy, gdy szereg P n= f ( + n) jest zbie zny. 29

8. CIAGI ¾ I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POTEGOWE ¾ 8 Ci ¾gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot ¾egowe 8. Ci ¾gi funkcyjne Niech F ozncz zbiór funkcji f : X! R, gdzie X R. Cigiem ¾ funkcyjnym nzywmy k zdy cig ¾ (f n ) funkcji ze zbioru F, tzn. dl k zdego n 2 N jest przyporzdkown ¾ pewn funkcj f n : X! R. Dl przyk du f n (x) = nx; g n (x) = + x n ; h n (x) = p x sin nx: De nicj 8. Mówimy, ze cig ¾ funkcyjny (f n ), f n : X! R, jest zbie zny punktowo do funkcji f : X! R, je zeli dl k zdego x 2 X zchodzi równo sć Piszemy wtedy f n! f. lim f n (x) = f (x) : De nicj 8.2 Mówimy, ze cig ¾ (f n ) funkcji f : X! R jest jednostjnie zbie zny do funkcji f : X! R, je zeli _ jf n (x) f (x)j < ": Piszemy wówczs f n f. ">0 k2n n>k x2x Uwg 8.3 Zuw zmy, ze je zeli cig ¾ (f n ) jest zbie zny jednostjnie do funkcji f, to jest te z zbie zny punktowo do f. Odwrotnie być nie musi. Cig ¾ f n (x) = nx jest zbie zny punktowo do funkcji st ej f (x) = 0 dl x 2 R, le nie jest to zbie zność jednostjn. Niech " =. Wówczs dl dowolnego n 2 N mmy f n ((" + ) n) = (" + ) n = " + ": n Twierdzenie 8.4 Je zeli cig ¾ (f n ) funkcji cig ych ¾ f n : X! R jest jednostjnie zbie zny do funkcji f : X! R, to f jest funkcj¾ cig ¾ ¾. De nicj 8.5 Niech (f n ) b ¾edzie cigiem ¾ funkcyjnym f n : X! R. Cigiem ¾ sum cz ¾e sciowych dl cigu ¾ (f n ) nzywmy cig ¾ funkcyjny (u n ) u n (x) = f (x) + ::: + f n (x) : Szeregiem funkcyjnym P f n o wyrzie ogólnym f n nzywmy pr ¾e uporzdkown ¾ ¾((f n ) ; (u n )), gdzie (u n ) jest cigiem ¾ sum cz ¾e sciowych dl cigu ¾ (f n ). Mówimy, ze szereg funkcyjny P f n jest zbie zny, je zeli dl k zdego x 2 X cig ¾ (u n (x)) jest zbie zny do pewnej liczby f (x). Funkcj ¾e f nzywmy wtedy sum¾ szeregu P f n i piszemy X fn (x) = f (x) : Mówimy, ze szereg funkcyjny P f n jest zbie zny jednostjnie do funkcji f : X! R, je zeli cig ¾ sum cz ¾e sciowych (u n ) jest jednostjnie zbie zny n X do funkcji f. Twierdzenie 8.6 Sum jednostjnie zbie znego szeregu funkcji cig ych ¾ jest funkcj¾ cig ¾ ¾. 30

8. CIAGI ¾ I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POTEGOWE ¾ Twierdzenie 8.7 (Weierstrss) Je zeli szereg P n jest zbie zny i dl (prwie) k zdego n spe nion jest nierówno sć jf n (x)j n ; x2x to szereg funkcyjny P f n jest zbie zny jednostjnie i bezwzgl ¾ednie. 8.2 Szeregi pot ¾egowe De nicj 8.8 Szeregiem pot ¾egowym o wyrzie ogólnym n nzywmy szereg postci przy czym przyjmujemy, ze 0 0 =. 0 + x + 2 x 2 + ::: + n x n + ::: = X n x n ; Uwg 8.9 Szereg pot¾egowy P n x n jest zwsze zbie zny dl x = 0 jego sum równ si¾e wtedy 0. Twierdzenie 8.0 Je zeli szereg pot ¾egowy P n x n jest zbie zny dl pewnego x 0 2 R, to jest zbie zny dl wszystkich x tkich, ze jxj < jx 0 j. De nicj 8. Promieniem zbie zno sci szeregu pot ¾egowego P n x n nzywmy liczb ¾e r = supfjx 0 j : szereg n=0 X n x n 0 jest zbie znyg n=0 W szczególno sci, je sli r = +, to szereg pot ¾egowy jest zbie zny dl k zdego x; gdy z s r = 0, to jest zbie zny tylko dl x 0 = 0. Przedzi ( r; r) nzywmy przedzi em zbie zno sci szeregu (gdy r = +, to przedzi em zbie zno sci jest R). Twierdzenie 8.2 Szereg pot ¾egowy jest jednostjnie i bezwzgl ¾ednie zbie zny w k zdym przedzile domkni ¾etym po o zonym wewn ¾etrz przedzi u zbie zno sci. Wniosek 8.3 K zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj¾ cig ¾ ¾ w przedzile ( jego promieniem zbie zno sci. r; r), gdzie r jest Twierdzenie 8.4 (Hdmrd-Cuchy ego) Je zeli p n g = lim jn j lub g = lim to promień zbie zno sci szeregu pot ¾egowego P n x n jest równy 8 < +; g = 0 r = g : ; 0 < g < + 0; g = +: n+ n Twierdzenie 8.5 K zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj¾ ró zniczkowln¾ wewntrz ¾ przedzi u zbie zno sci, przy czym! 0 X X n x n = n n x n : n=0 n= ; 3

8. CIAGI ¾ I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POTEGOWE ¾ Twierdzenie 8.6 K zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj¾ c kowln¾ wewntrz ¾ przedzi u zbie zno sci, przy czym Z! x X X n t n x n dt = n n 0 n=0 Twierdzenie 8.7 (Abel) Szereg pot ¾egowy zbie zny w jednym z krńców przedzi u zbie zno sci jest funkcj¾ cig ¾ ¾ (jednostronnie) w tym punkcie. 8.3 Szeregi Tylor De nicj 8.8 Z ó zmy, ze funkcj f m w punkcie x 0 pochodn¾ rz ¾edu n 2 N. Wielomin f n;x0 (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 )! ::: + f (n) (x 0 ) n! nx f (k) (x 0 ) = k! k=0 n= (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) n (x x 0 ) k (x x 0 ) 2 + ::: nzywmy wielominem Tylor rz ¾edu n funkcji f w punkcie x 0. Je zeli x 0 = 0, to wielomin ten nzywmy wielominem Mclurin f n;0 (x) = nx k=0 f (k) (0) x k : k! Twierdzenie 8.9 (wzór Tylor z reszt¾ Lgrnge ) Je zeli funkcj f jest n krotnie ró zniczkowln n przedzile [x 0 ; x], to istnieje c 2 (x 0 ; x), ze gdzie f (x) = f n ;x0 (x) + R n;x0 (x) : R n;x0 (x) = f (n) (c) (x x 0 ) n n! jest to tzw. n-t reszt Lgrnge. Ztem f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 )! ::: + f (n ) (x 0 ) (n )! (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) n + f (n) (c) n! (x x 0 ) 2 + ::: (x x 0 ) n : Uwg 8.20 Reszt¾e Lgrnge mo zn zpisć w nst¾epujcej ¾ postci: je zeli h = x x 0, to R n;x0 (x) = f (n) (x 0 + h) h n ; n! gdzie 2 (0; ). Je zeli x 0 = 0, to otrzymujemy tzw. wzór Mclurin f (x) = f (0) + f 0 (0) x + ::: + f (n ) (0) (n )! xn + f (n) (x) x n : n! 32

8. CIAGI ¾ I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POTEGOWE ¾ Uwg 8.2 Je zeli lim R n;x 0 (x) = 0 n pewnym otoczeniu punktu x 0, to wówczs ze wzoru Tylor dostjemy f (x) = X n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n : Jest to tzw. rozwini¾ecie w szereg Tylor funkcji f w otoczeniu punktu x 0. W szczególności, jeśli we wzorze Mclurin lim R n;0 (x) = 0 n otoczeniu 0, to f (x) = X n=0 rozwini ¾ecie funkcji f w szereg Mclurin. f (n) (0) x n n! Przyk d 8.22 Przyk dowe rozwini ¾eci funkcji w szereg Mclurin:. 2. 3. 4. 5. ( + x) = sin x = cos x = ln (x + ) = X n=0 e x = X n=0 X n=0 x n n! ; ( ) n x 2n+ (2n + )! ; X n=0 ( ) n x 2n (2n)! ; X ( ) n+ x n ; jxj < ; n n= ( ) ::: ( n + ) x n ; jxj < : n! 33