Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu owne, le ich sens jest synonimiczny woec schemtu, orz inne odpowiedzi, nieprzewidzine w kluczu, le poprwne. zdni Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz. Dokonnie niewielkiego post pu. Sprowdzenie uk du równƒ do równni z jednà niewidomà. - y x * 6- y + y - y + y- Oliczenie zmiennej y. y H 0 i - y+ y- lu y < 0 i y+ y- y y - Rozwiàznie zdni do koƒc w rozwiàzniu wyst pujà niewielkie usterki. Oliczenie zmiennej x. x - 0 lu x - - x 0 lu x lu x - x 0, y lu x, y - lu x -, y -. Dokonnie niewielkiego post pu. Wykorzystnie zle noêci mi dzy funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kàt. sin x _ + ic cos x - tg xm sin x - _ ic cos sin x x m - Dokonnie istotnego post pu. Sprowdzenie równni do równni z jednà niewidomà. - cos sin x x - cos x cos x - cos x - Pokonne zsdniczych trudnoêci zdni. Uwzgl dnienie z o eƒ i oliczenie sin x. sin x sin x Oliczenie sin x+ cos x. sin x cos x

2 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Prón Mtur z OPERONEM i Gzetà Wyorczà zdni Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz OkreÊlenie znku liczy sin -. 06, > 0 Oliczenie d ugoêci promieni okr gu i wspó rz dnych punktu P. r _ - i + _ - 0i P _-0, i Zpisnie równni okr gu. ( x+ ) + y 4. Dokonnie niewielkiego post pu. Oliczenie log 00 i sprowdzenie logrytmów do tej smej podstwy. log x+ log H x log x log x log x + H log x Dokonnie odpowiedniego podstwieni i sprowdzenie nierównoêci do postci nierównoêci kwdrtowej. k log x k + H k k + H k, gdy k > 0 Wykorzystnie wzoru skróconego mno eni do przekszt ceni nierównoêci. _ k - i H 0 Zuw enie, e dl k dej liczy k spe nijàcej wrunki zdni licz _ k - nieujemn, ztem _ log x 0 - i H. NierównoÊç log x+ log jest ztem prwdziw. x H x+ cos x.. Dokonnie niewielkiego post pu. Zuw enie, e P (, x 0) i zpisnie odpowiednich równoêci. PD k $ PB PC k $ PA PC 74-x, 0Ai PD 76-x, A PA 7-x, 0Ai PB 7-x, A Dokonnie istotnego post pu. Zpisnie równoêci pozwljàcych n wyznczenie k orz x. k$ PA 7k( -x), 0A k$ PB 7k( -x), ka k( - x) 4-x i k( - x) 6-x Rozwiàznie uk du równƒ. k, x - i jest zwsze

3 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Prón Mtur z OPERONEM i Gzetà Wyorczà zdni Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz 5. Dokonnie istotnego post pu. Zpisnie d ugoêci spirli. L rr+ r... r r r Zuw enie, e wyrzy sumy tworzà ciàg geometryczny o ilorzie i pierwszym wyrzie r r. Oliczenie sumy ciàgu geometrycznego. 0 - c m - l rr$ r r r $ 04 0 r Dokonnie niewielkiego post pu. OkreÊlenie dzielników wyrzu wolnego: -,, -,, - 4, 4. Sprwdzenie, e jednym z pierwistków wielominu jest licz. Dokonnie istotnego post pu. Wykonnie dzieleni wielominu przez dwumin x iloczynu. Wx () ( x- )( x+ x-x-4) - i zpisnie wielominu w postci Roz o enie wyr eni x + x -x-4 n czynniki. x + x -x- 4 x ( x+ ) - ( x+ ) ( x+ )( x- )( x+ ) OkreÊlenie pierwistków wielominu:, -,, -. Oliczenie sumy odwrotnoêci pierwistków wielominu licz wymiern 7. Dokonnie niewielkiego post pu. Zpisnie odpowiedniej równoêci, wynikjàcej z fktu, e punkt A (, x y) odleg oêci od prostej i punktu P. y ( 0 x) y c - m 0+ le y w tej smej Podniesienie ou stron równni do kwdrtu i wykonnie redukcji wyrzów podonych. x - y 0 OkreÊlenie wzoru odpowiedniej krzywej. y x Zpisnie wzoru funkcji. fx () x

4 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Prón Mtur z OPERONEM i Gzetà Wyorczà zdni Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz 8. Dokonnie niewielkiego post pu. C A c Wykorzystnie wzoru cosinusów. s d ugoêç Êrodkowej s c c + - $ $ c $ cos m s 4 + c -ccos B Oliczenie cos. c + -ccos cos + c - c Dokonnie odpowiedniego podstwieni i oliczenie s. J N s c c c $ + - K c O L P s c s 05, c Dokonnie niewielkiego post pu. Zpisnie sumy cyfr liczy S Dokonnie istotnego post pu. Pogrupownie sk dników w odpowiedni sposó. S ( ) + 7( ) + 5A + 8_ i + 0B _ i + 45B + Oliczenie sumy cyfr z wykorzystniem wzoru n sum ciàgu rytmetycznego. S 70 + ( 0 + 5) + ( 0 + 0) ( ) A+ 0 $ 0 + ( ) $ 9 46 Oliczenie sumy cyfr liczy 46 i stwierdzenie, e jest to licz podzieln przez, le niepodzieln przez 9. JeÊli licz y y kwdrtem pewnej liczy, musi y dzieliç si przez 9. Licz dzieli si przez, nie dzieli si przez 9, nie jest wi c kwdrtem liczy nturlnej. 4

5 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Prón Mtur z OPERONEM i Gzetà Wyorczà zdni Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz 0. Dokonnie niewielkiego post pu. OkreÊlenie wrunków istnieni dwóch ró nych pierwistków dodtnich. Z ] Δ > 0 [ x + x > 0 ] x $ x > 0 \ Dokonnie istotnego post pu. OkreÊlenie, kiedy wyró nik jest wi kszy od zer Δ k - 9 ( k- )( k+ ) Δ > 0 dl k! (-,-), (, ) OkreÊlenie, kiedy sum i iloczyn pierwistków sà wi ksze od zer wykorzystnie wzorów Vi te. x + x > 0 + -( k+ )> 0 + k< - x $ x H 0 + 0, 5( k+ 5)> 0 + k> -5 Stàd k! (-5,-) OkreÊlenie iloczynu odpowiednich ziorów. k! [(-, -),(, )] + (-5, -) k! _-5, -i k! (-5,-). Dokonnie niewielkiego post pu. D C K E L A F B Uwzgl dnienie w snoêci czworokàt opisnego n okr gu. AD + CB AB + CD Dokonnie istotnego post pu. OkreÊlenie d ugoêci odcink LK. LK AB + DC AD + CB 8 Wykorzystnie zle noêci mi dzy polmi odpowiednich czworokàtów i okmi czworokàt. P P 5 05, `8 + DC j $ DE 05, `8+ AB j $ FE 5 DE EF z twierdzeni Tles AB + DC 6 & DC 6 - AB 5

6 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Prón Mtur z OPERONEM i Gzetà Wyorczà zdni Rozwiàznie cz Êci zdni. Oliczenie d ugoêci jednej z podstw. 05, ( 8+ DC ) $ DE, ( AB ) FE 5 $ $ 6 AB DC AB ( AB ) AB Oliczenie d ugoêci drugiej podstwy. CD 6-4 AB, CD 4 Etpy rozwiàzywni zdƒ Licz 6