Analiza Matematyczna 2. Ćwiczenia

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. Szeregi Fouriera FUNKCJE WELU MENNYCH 5. Granica i ci ¾ag ość funkcji dwóch zmiennych Pochodna kierunkowa. Pochodne cz ¾astkowe. Ró zniczka funkcji dwóch zmiennych 7.3 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych Funkcja uwik ana jednej zmiennej. Ekstremum funkcji uwik anej RACHUNEK CA KOWY FUNKCJ WELU MENNYCH. POLE WEKTOROWE 3. Ca ka podwójna. Ca ka potrójna Ca ka krzywoliniowa nieskierowana Pole wektorowe Calka krzywoliniowa skierowana PODSTAWY ANALY ESPOLONEJ 7 4. Wprowadzenie do analizy zespolonej

2 RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA Ćwiczenie. Obliczyć ca ki nieoznaczone R (x 9) dx; R x x 9 dx; R 4 x 9 dx; R p x x 9 dx; R p x 9 dx; R 9 + x dx; R x p x 9 dx; R p dx; 9 x R x 9 x dx; R (x 9) e x dx; R p x 9 dx; R x 9 dx. Ca ka oznaczona Ćwiczenie. Obliczyć ca ki: a) 4 (3x 4) dx b) 4 4 cos x dx c) p 4 x dx d) 3x dx e) 4 x 8 sin x dx f) 5 3p x dx g) e 5 dx h) x p dx i) + x 3 x dx j) ;5 p dx k) p x p x x 6 3 dx l) 4 6 tan x dx m) p) 3 dx n) 9 + x x dx r) + x x 4 p x dx o) 5 3 x + 3 dx s) ( x ) ;5 dx q 9 x 9 4 x dx t) + dx u) q(x + ) 5 4 e p x p x dx w) 4 p x ln x dx x) e x dx y) x + e p x p x dx z) + dx q(x + ) 4 3. Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej.. najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = 4x x oraz prosta¾ y = :.. najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = x + oraz prosta¾ x + y = 3:

3 ..3 najdź pole gury ograniczonej przez krzywe: y = x, y = x x, x =, x = :..4 najdź pole gury ograniczonej przez parabole y = 4 x i y = 3x x :..5 najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = x oraz prosta¾ x + y + = :..6 najdź pole gury ograniczonej hiperbola¾ xy = oraz prostymi y = x i x = :..7 Obliczyć pole gury ograniczonej przez parabol¾e y = x x + oraz proste styczne do niej w punktach A = ; i B = (4; ) :..8 Obliczyć d ugość uku: a) y = x 3 od punktu (; ) do (; ) ; b) b ¾ed acego ¾ funkcja¾ f : ; 3! R, f (x) = ln sin x; c) b ¾ed acego ¾ funkcja¾ g : ; 6! R, g (x) = ln cos x; d) o równaniach parametrycznych e) o równaniach parametrycznych x (t) = 3 t3 t y (t) = t + ; x (t) = e t cos t y (t) = e t sin t; t [; 3] ; t [; ln ] ; f) o równaniach parametrycznych x (t) = p 3 t, y (t) = t t 3, t [ ; ] :..9 Obliczyć d ugość p ¾etli! = t ; t 3 (t 3) R ; t p 3; p 3 :.. Obliczyć d ugość uku krzywej x = 4 y ln y od punktu 4 ; do punktu ln p e ; :.. Obliczyć obj ¾etość bry powsta ych przez obrót gury D wokó ka zdej z osi, gdzie: a) D = (x; y) R ; x ; y sin x ; b) D jest gur a¾ ograniczona¾ osia¾ x, funkcja¾ y = p x 4 i prosta¾ x = 8; c) D = (x; y) R ; x 3 ; y tg x ; d) D = f(x; y) R ; x ; y + cos xg ; e) D = f(x; y) R ; x [; ] ; y e x g :.. Wiedzac, ¾ ze a; h; p sa¾ dodatnimi liczbami rzeczywistymi, obliczyć pole powierzchni obrotowej powsta ej przez obrót wok ó osi x funkcji f, gdzie: a) f : [; h]! R, f (x) = a x (pobocznica sto zka), h b) f : [ a; a]! R, f (x) = p a x (sfera), obacz, ze zbiór! jest odcinkiem: y = 3x ; x [; 3] : 3

4 c) f : [; h]! R, f (x) = p px (paraboloida), d) f : [; ]! R, f (x) = sin x, e) f : [; ]! R, f (x) = x 3 ; f) f : [; ]! R, f (x) = e x ; g) f : ( ; ]! R, f (x) = e x :..3 Wykazać, ze pole powierzchni obrotowej powsta ej przez obrót wok ó osi Ox funkcji f : [ ; +)! R określonej wzorem f (x) = jest skończone. x..4 Obliczyć obj ¾etość bry y powsta ej przez obrót doko a osi Oy gury p askiej ograniczonej prostymi x y =, x 3y =, y = 6:..5 Niech D b ¾edzie gur a¾ p ask a¾ ograniczona¾ osia¾ Ox oraz funkcja¾ f : [ ; +)! R określona¾ wzorem f (x) =. Obliczyć pole gury D oraz pole powierzchni bocznej i obj¾etość x bry y powsta ej przez obrót D wokó osi Ox:.3 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. Szeregi Fouriera.3. Rozwin ać ¾ w szereg Maclaurina funkcj ¾e f oraz podać obszar zbie zności tego szeregu, gdzie: a) f (x) = + x ; b) f (x) = ln + x ; c) f (x) = ( x) ; d) f (x) = 5x x + 5x 6 ; e) f (x) = x ( x) ; f) f (x) = ex; ( + x) g) f (x) = cos x; h) f (x) = p + x; i) f (x) = p + x ; j) f (x) = + x ; k) f (x) = p x ; l) f (x) = x arctan 3x; m) f (x) = x arcsin x; n) f (x) = xe x ; o) f (x) = xr e t dt (funkcja b ¾edu)..3. Rozwinać ¾ w szereg Fouriera w przedziale [ ; ] funkcj¾e f, gdzie: a) f (x) = x; b) f (x) = ; 5 x ; c) f (x) = jxj ; 4

5 d) f (x) = jsin xj ; e) f (x) = e x ; dla x f) f (x) = x dla x < ; x dla x g) f (x) = dla x < :.3.3 Rozwinać ¾ w szereg Fouriera w przedziale [ ; ] funkcj¾e f, gdzie: 8 < dla jxj < a) f (x) = x; b) f = sgn; c) f (x) = ; 5 dla jxj = : dla jxj > :.3.4 Rozwinać ¾ w przedziale [ ; ] funkcj¾e 8 < dla x < f (x) = ; 5 dla x = : dla < x a) w szereg cosinusów, b) w szereg sinusów..3.5 Rozwinać ¾ w przedziale [ ; ] w szereg cosinusów i w szereg sinusów funkcj¾e R 3 x 7! e x R. FUNKCJE WELU MENNYCH. Granica i ci ¾ag ość funkcji dwóch zmiennych.. Wykazać, ze dla funkcji f danej wzorem lim limf (x; y) x! y! (; ). = ; lim y! f (x; y) = x y x + y.. Wykazać, ze dla funkcji f danej wzorem lim limf (x; y) x! y! = = lim y! lim f (x; y) = ; ale nie istnieje granica funkcji f w punkcie x! f (x; y) = x y x y + (x y) lim f (x; y), ale nie istnieje granica funkcji f w punkcie (; ). x! 5

6 ..3 Obliczyć albo wykazać, ze nie istnienieje granica funkcji f w punkcie (; ), gdzie a) f (x; y) = x y xy ; b) f (x; y) = x 3 y3 x + y ; c) f (x; y) = xy p ; xy + d) f (x; y) = sin (xy) ; e) f (x; y) = sin ; f) f (x; y) = x sin ; xy x + y x + y p g) f (x; y) = x3 + y 9 + x + y ; h) f (x; y) = 3 ; i) f (x; y) = (x + y) sin x + y4 x + y sin : x y..4 Obliczyć albo wykazać, ze nie istnienieja¾ granice iterowane lim limf (x; y), x!a y!b lim lim f (x; y) oraz lim f (x; y), gdzie: y!b x!a (x;y)!(a;b) a) f (x; y) = x +y x y, a =, b = b) f (x; y) = y, a =, b =, x+y c) f (x; y) = x + y ; a =, b =, x + y4 d) f (x; y) = sin x, a =, b =, y e) f (x; y) = x + y, a =, b =, x 3 + y3 f) f (x; y) = sin x ; a =, b = : x + y..5 Wykazać, ze funkcja f : R! R, f (x; y) = xy dla (x; y) R n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) jest ciag a ¾ w punkcie (; ), zaś jest ciag a ¾ wzgl ¾edem ka zdej zmiennej oddzielnie, tj. ciag e ¾ sa¾ funkcje h y : R! R, g x : R! R określone wzorami h y (x) = f (x; y), g x (y) = f (x; y) :..6 badać ciag ość ¾ funkcji f : R! R, gdzie: ( x 3 y 3 dla (x; y) R a) f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) ; b) f (x; y) = ( x 4 y 4 x 4 +y 4 dla (x; y) R n f(; )g dla (x; y) = (; ) : nie 6

7 . Pochodna kierunkowa. Pochodne cz ¾astkowe. Ró zniczka funkcji dwóch zmiennych.. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji f i g w punktach (x o ; y o ), ( ; ) R, w kierunku wektora h, gdzie f (x; y) = x, g (x; y) = x y ey oraz: a) h = [ ; ], b) h = 4 ; 3 5 5, c) h = [; ]... Obliczyć pochodna¾ kierunkow a¾ funkcji f w punkcie P, w kierunku wektora h, gdzie: a) f (x; y) = x 3 3x y + 3xy +, P = (3; ), h = [3; 4] ; b) f (x; y) = x a + y, ab 6=, P = (a; b), h = [a; b] ; b c) f (x; y) = ln (e x + e y ), P = (; ), h jest dowolny, d) f (x; y; z) = xyz, P = (; ; ), h = [ ; ; ] ; e) f (x; y; z) = x + y + z, P = (; ; ), h = [; ; ] :..3 Wyznaczyć dziedzin ¾e oraz pierwsze pochodne czastkowe ¾ funkcji f, gdzie: a) f (x; y) = ln (x y) ; b) f (x; y) = ln p xy ; c) f (x; y) = log x y ; d) f (x; y) = log x+y x + y + y; e) f (x; y) = tg (x y) ; f) f (x; y) = y x ; g) f (x; z) = 3 x + z ; h) f (x; y) = p x +y 5 ; i) f (x; y) = y sin x y :..4 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ pierwszego rz ¾edu funkcji f, gdzie: a) f (x; y) = ln x + p q x + y x ; b) f (x; y) = arcsin y ; c) f (x; y) = (e x + xy) x ; x +y d) f (x; y; z) = xz cos (x + y ) ; e) f (x; y) = arctg y x..5 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ drugiego rz ¾edu funkcji f, gdzie: + x; f) f (x; y) = exp x+y : x y a) f (s; t) = ln p s + t ; b) f (r; s) = r s r + s ; x c) f (x; y) = y ; d) f (x; y) = arctg x + y xy ; e) f (x; y; z) = sin (x y) ; f) f (p; q) = p + qe p q : z..6 Udowodnić, ze funkcja f : R! R, xy dla (x; y) R n f(; )g f (x; y) = x +y dla (x; y) = (; ) ma pochodne czastkowe ¾ f jx, f jy w punkcie (; ), mimo ze f nie jest ciag a ¾ w tym punkcie. 7

8 ..7 Wykzać, ze funkcja u : R! R, u (r; s) = arctg (r s) spe nia u = :..8 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ pierwszego i drugiego rz¾edu funkcji f : R! R, ( x y 3 dla (x; y) R f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) w punkcie (; )...9 badać, czy dla funkcji f : R! R, ( x 3 y dla (x; y) R f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) pochodne mieszane f jxy (; ) i f jyx (; ) sa¾ równe... Dana jest funkcja f (x; y) = x ln (xy). x 3... Dana jest funkcja f (x; y) = x 4 y. Obliczyć.. Dana jest funkcja f (x; y) = cos (xy). @x...3 Dana jest funkcja f (x; y) = x y. @x...4 Dana jest funkcja f (x; y; z) = (x y) z. @ @z...5 Dana jest funkcja f (x; y; z) = x y z. x Korzystajac ¾ z ró zniczki funkcji zaleźć przybli zon a¾ wartość liczby: a) ; ;, b) p ; 3 + ; 97 3 c) (3; ) p 3; 95 ; d) (; ) e ; e) (sin 3 ) cos 46 ; f) log ; 3; 9:..7 Wyznaczyć (grad f) (P ) (rf) (P ), gdzie: a) f (x; y) = x xy + 3y, P = (; ) b) f (x; y) = 5x y 3xy 3 + y 4, P = ( ; ), c) f (x; y) = p 4 + x + y, P = (x o ; y o ) : 8

9 ..8 Dane sa¾ funkcje: Wykazać, ze funkcja spe nia równanie na (; +) (; +). g : (; +) (; +)! R ; g (x; y) = y x ; h : R! R ; h (x) = arcctg x ; z : (; +)! R ; z (x) = ln x ; pr : R R! R ; pr (x; y) = x : u = pr (h g) + (z g) =.3 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f określonej wzorem: a) f (x; y) = y p x y x + 6y; b) f (x; y) = x 3 + xy + 5x + y, c) f (x; y) = x xy + y + 9x 6y + ; d) f (x; y) = xy + 5 x + y e) f (x; y) = x 3 + 3xy 6xy + ; f) f (x; y) = x + xy + y 4 ln x y, g) f (x; y) = x 3 + 8y 3 6xy + : w obszarze (; +) (; +) ;.3. Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ wartość funkcji f : T! R określonej wzorem f (x; y) = x y (4 x y), gdzie T jest domkni¾etym trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (6; ), (; 6)..3.3 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ wartość funkcji f : K (O; )! R określonej wzorem f (x; y) = (x + y ) + 3x; gdzie K (O; ) = f(x; y) R ; x + y g..3.4 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ i najmniejsza¾ wartość funkcji f : D! R określonej wzorem f (x; y) = x 3 y 3 6x + 3y; gdzie D jest prostokatem ¾ [ ; ] [ ; ]..3.5 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ i najmniejsza¾ wartość funkcji f : D! R; f (x; y) = ( y) (x + y + ) w obszarze domkni¾etym D = f(x; y) R ; x i y xg..3.6 naleźć wymiary odkrytego basenu w kszta cie prostopad ościanu majacego ¾ najmniejsza¾ powierzchni¾e, je zeli jego obj¾etość równa si¾e V..3.7 Na p aszczyźnie znaleźć punkt, dla którego suma kwadratów jego odleg ości od trzech prostych: x =, y =, x y + = jest najmniejsza..3.8 naleźć odleg ość punktu P = (; ; 4) od powierzchni z = xy. 9

10 .4 Funkcja uwik ana jednej zmiennej. Ekstremum funkcji uwik anej.4. Rozwiazać ¾ wzgl ¾edem y równanie a) x + y =, b) x + y + =, c) x + xy x + y =, d) y + = e y, e) x y + = e x y, f) y x = 4 arctg y x..4. Sprawdzić, ze równanie xy + cos x sin y = określa w pewnym otoczeniu punktu taka¾ funkcj ¾e uwik an a¾ y zmiennej x, ze y () =, a nast¾epnie obliczyć y () i y ()..4.3 Wyznaczyć pierwsza¾ i druga¾ pochodna¾ funkcji uwik anej y zmiennej x danej równaniem a) x xy + y + x y = w otoczeniu punktu P o = ;, b) xy ln y = w otoczeniu punktu P o = e ; e, c) x y e y = w otoczeniu punktu P o = (e; ), d) y e x + e y = w otoczeniu punktu P o = ( ; )..4.4 Wyznaczyć ekstrema funkcji uwik anej y zmiennej x, danej równaniem a) x xy + =, b) x xy + y + x + =, c) x + xy + y 4x + y =, d) x 3 y xy =, e) x y x 4 + y 4 5 =, f) ln p x + y arctg y x =. 3 RACHUNEK CA KOWY FUNKCJ WELU MENNYCH. POLE WEKTOROWE 3. Ca ka podwójna. Ca ka potrójna 3.. Niech D = f(x; y) R ; x ; y eg : Obliczyć: a) (x y) x dx dy; b) dx dy; c) y D D D dx dy: x + y 3.. Niech D b ¾edzie trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (; a) (x + y ) dx dy; b) (x + y + ) dx dy; c) ), (; ). Obliczyć: xy dx dy; d) e x+y dx dy: D D D D 3..3 Korzystajac ¾ z ca ki podwójnej obliczyć pola gur ograniczonych krzywymi: a) y = x, y = p x;

11 b) y = ln x ; y = ln ; x = p e; x c) y = ; y = ; xy = 4; 3y + x = 9; f) xy = ; xy = 4; x = ; x = 4: 3..4 Obliczyć f (x; y) dx dy, gdzie: D a) f (x; y) = y +, D = f(x; y) R ; x + y 9; x g ; b) f (x; y) = y +, D = f(x; y) R ; x + y + x ; y g ; c) f (x; y) = xy, D = f(x; y) R ; x + y 4; x ; y g ; d) f (x; y) = (x y) y +, D = (x; y) R ; x + (y ) 4; x > ; e) f (x; y) = 3..5 Obliczyć mas ¾e: (x + y) x + y, D = f(x; y) R ; x + y 6x; y > g : a) trójkata ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) i g¾estości (x; y) = x ln y; b) rombu o wierzcho kach (; ), p ;, p + ;, (; ) i g¾estości (x; y) = e x y : 3..6 Obliczyć f (x; y; z) dx dy dz, gdzie: V a) f (x; y; z) = y cos (x + z), V = ; 4 [ ; 4] ; ; b) f (x; y; z) = z, V = f(x; y; z) R 3 ; y x; z x y + g ; n c) f (x; y; z) = e z, V = (x; y; z) R 3 ; (x; y) D, x + y z p o x + y jest ko em o środku (; ) i promieniu ; oraz D V d) f (x; y; z) = e x y+z ; V = f (x; y; z) R 3 ; (x; y) D ^ x z y g ; D jest trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) : 3..7 Obliczyć z p x + y dx dy dz, gdzie V jest obszarem przestrzennym ograniczonym powierchniami o równaniach z = 4, z = 3; x + y =, x + y = Korzystajac ¾ z ca ki potrójnej obliczyć obj¾etość bry y V, gdzie: a) V = f(x; y; z) R 3 ; (x; y) D, z 4 x y g i D jest pierścieniem ko owym o środku (; ) i promieniach i ;

12 b) V jest ograniczona powierzchniami o równaniach z = p x y i z = x + y : 3..9 Obliczyć pole powierzchni o równaniu z = xy le z acej ¾ nad kwadratem [ ; 3] [ ; 3] : 3.. Obliczyć pole powierzchni walca parabolicznego o równaniu z = x ; ograniczonego powierzchniami y = x; y = x; x = p : 3. Ca ka krzywoliniowa nieskierowana 3.. Obliczyć ca k¾e krzywoliniow a¾ K f (x; y) dr po krzywej K R, gdzie: a) f (x; y) = x y oraz K jest pó okr¾egiem f(x; y) R ; x + y = ; y g ; b) f (x; y) = B = (4; ), p oraz K jest odcinkiem ¾ x + y acz acym ¾ punkt A = (; c) f (x; y) = xy oraz K jest brzegiem prostokata ¾ [ ; 4] [ ; ] ; d) f (x; y) = xy oraz K jest parabola¾ y = x od punktu (; ) do punktu (; 4) ; x = e) f (x; y) = xy 4 oraz K : t y = t ; t [ ; 3] ; ) z punktem f) f (x; y) = y x oraz K : x = + t y = 3 (t3 3t) ; t [ ; a] ; a > ; g) f (x; y) = xy oraz K = AB, gdzie A = ; 4 ; B = 3 ; 9 ; h) f (x; y) = xy oraz K jest brzegiem kwadratu jxj + jyj : 3.. Obliczyć ca k¾e krzywoliniow a¾ f (x; y; z) dr po krzywej K R 3, gdzie: K a) f (x; y) = x + y + z oraz K jest brzegiem trójkata ¾ o wierzcho kach (; ; ), (; ; ), (; ; ), b) f (x; y; z) = xyz oraz K : śrubowej), 8 < : x = cos t y = sin t z = t 8 < x = e t c) f (x; y; z) = xyz oraz K : y = e t : z = t p ; t ; (czyli K jest cz¾eści a¾ zwoju linii ; t :

13 3..3 Korzystajac ¾ z ca ki krzywoliniowej obliczyć d ugości uków i, i f; ; 3g, gdzie: jest funkcja¾ f : ; 3! R określona¾ wzorem f (x) = ln sin x; = cos 3 t; sin 3 t R ; t t ; 5 5t, 3 = ; t R ; t [ ; ] : 3..4 Wyznaczyć te wartości ( ; ], dla których d ugość uku L : x (t) = t + sin t y (t) = cos t ; t [ ; ] ; jest mniejsza ni z Obliczyć mas¾e jednorodnej (g¾estość liniowa (x; y) = o ) cykloidy t [ ; ] : x = y = t cos t sin t, 3..6 Obliczyć mas¾e krzywej y = ln x, x p 3 ; p, je zeli g¾estość liniowa w ka zdym jej punkcie równa si ¾e kwadratowi pierwszej wspó rz ¾ednej tego punktu Obliczyć f (x; y) dr, gdzie f (x; y) jest kwadratem odleg ości punktu (x; y) od poczatku ¾ K uk adu wspó rz ¾ednych, a K jest odcinkiem ¾ aczacym ¾ punkty A = ( ; ) i B = (3; ) : 3..8 Obliczyć f (x; y; z) dr, gdzie f (x; y; z) jest odwrotnościa¾ odleg ości punktu (x; y; z) K od poczatku ¾ uk adu wspó rz ¾ednych, a K jest odcinkiem ¾ aczacym ¾ punkty A = (; 3; ) i B = (; ; ) : 3.3 Pole wektorowe 3.3. Funkcja f : R 3! R określona jest wzorem f (x; y; z) = x 3 + y 3 + z 3 3xyz. naleźć punkty, w których: a) (rf) (x; y; z) = ; b) (rf) (x; y; z) jest niezerowy i prostopad y do osi Oz naleźć kat ¾ mi¾edzy gradientami funkcji ' określonej wzorem ' (x; y; z) = xp y z odpowiednio w punktach M = (; ; ) i N = (; 4; ) badać w asności poni zszych pól wektorowych w R 3 (obliczyć ich dywergencj¾e i rotacj¾e): a) K (x; y; z) = [y; z; ] ; b) L (x; y; z) = [x 3 ; ; z] ; c) M (x; y; z) = [y; x; ] ; 3

14 d) N (x; y; z) = [sin x; sin z; sin y] : W przypadku, gdy pole wektorowe jest potencjalne wyznaczyć jego potencja Wyznaczyć wspó rz¾edne pola wektorowego X = V (rf), gdzie V =! i +! j +! k z oraz f (x; y; z) = arctg p x + y : Wykazać, ze pole F = [F ; F ] : R! R jest potencjalne oraz wyznaczyć jego potencja, gdzie: a) F (x; y) = 3x y, F (x; y) = x 3 y, b) F (x; y) = x (y + ), F (x; y) = x y; c) F (x; y) = (y + ) e x ; F (x; y) = ye x : Wyznaczyć rot (rot W) dla pola wektorowego W w R 3, gdzie W (x; y; z) = [z y; x z; y x] : Wyznaczyć dywergencj¾e pola wektorowego W w (R n f(; ; )g) 3, gdzie W (x; y; z) = p x + y + z x! i + y! j + z! k : Sprawdzić, ze pole wektorowe W w R 3 ; jest potencjalne. naleźć potencja pola W. W (x; y; z) = e y+z ; xe y+z ; xe y+z ; Sprawdzić, ze pole wektorowe W w R ; jest potencjalne. naleźć potencja pola W. W (x; y) = [cos y + y cos x; sin x x sin y] ; 3.3. Sprawdzić, ze pole wektorowe F w R 3 ; F (x; y; z) = jest potencjalne. naleźć potencja pola F. [yz; xz; xy] ; + (xyz) 3.3. Niech G b ¾edzie obszarem zawartym w R 3. Wykazać, ze dowolnego pola wektorowego X = [X ; X ; X ] : G! R 3 klasy C (G) i dowolnej funkcji f : G! R klasy C (G) zachodzi równość rot (f X) = f rot (X) + (rf) X ; gdzie f X jest polem wektorowym na G zde owanym wzorem dla dowolnego (x; y; z) G. (f X) (x; y; z) = f (x; y; z) X (x; y; z) 4

15 3.4 Calka krzywoliniowa skierowana 3.4. Obliczyć (; e) : 3.4. Obliczyć dx + x dy, gdzie x + jest ukiem y = ex od punktu (; ) do punktu y dx x dy, gdzie = f(ln t; t + ) R ; t eg jest ukiem skierowanym dodatnio Obliczyć y dx, gdzie jest ukiem z zadania 3..4 z Rozdz.. (str. 3) od punktu (; ) do punktu +; Obliczyć [P; Q] [dx; dy], gdzie: a) P (x; y) = 3x y, Q (x; y) = x 3 y, jest odcinkiem od punktu A = ; p 7 do punktu B = (; ) ; x = + t b) P (x; y) = x (y + ), Q (x; y) = x y, gdzie : y = 3 (t3 3t) skierowany jest zgodnie z parametryzacj a, ¾ ; t [ ; 5] ; c) P (x; y) = (y + ) e x ; Q (x; y) = ye x, : jest ukiem zorientowanym ujemnie, x = cos j t j y = + sin 3 t, t ; d) P (x; y) = ln xy; Q (x; y) = x, jest ukiem hiperboli xy = e od punktu (; e) do y (e; ) Obliczyć (x + y ) dx + y dy, gdzie = f(x; y) R ; x + y = 4xg jest p ¾etl a¾ zorientowan a¾ dodatnio Obliczyć x y dx xy dy, gdzie jest okr¾egiem o równaniu x + y = R o : Obliczyć + (x + y) dx (x y) dy, gdzie jest brzegiem obszaru + D = f(x; y) R ; x < y < xg : Obliczyć e x ( cos y) dx e x (y sin y), gdzie uk jest brzegiem obszaru + D = f(x; y) R ; < x < ; < y < sin xg : 5

16 3.4.9 Obliczyć xy dx + (y x) dy wzd u z amanej ABCA, gdzie A = (; ), B = (; ), C = (; 3) Obliczyć za pomoca¾ ca ki krzywoliniowej pole elipsy (x; y) R ; a; b > : x a + x b, 3.4. Niech a ( ; +). Dane sa¾ punkty A = ( a; ) i B = (; a) oraz si a F = [P; Q], gdzie P = pr : R! R, Q (x; y) = y x dla (x; y) R. Obliczyć prac¾e si y F wykonana¾ przy przesuni ¾eciu jednostkowej masy: a) po odcinku AB; b) po amanej AOB, c) po uku AB paraboli y = a x a : 3.4. Obliczyć prac¾e wykonana¾ w polu wektorowym F (x; y) = ; y wzd u z dodatnio x+3 zorientowanej elipsy x + y = Obliczyć prac ¾e wykonana ¾ w polu wektorowym F (x; y) = [3x + xy ; x y + y 3 ] wzd u z brzegu trójkata ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) : Obliczyć prac¾e si y F (x; y; z) = [ x ; y ; cos z] wzd u z linii śrubowej (a cos t; a sin t; t) R 3 ; t 3, a > : Obliczyć prac ¾e wykonana ¾w polu wektorowym F : R! R, F (x; y) = y ; arctg x x + wzd u z uku y = e px od punktu (x o ; ) do punktu (x ; e) : Udowodnić, ze pole wektorowe V : ( ; +)R! R sin y sin y, V (x; y) = y ; x + x x jest potencjalne. Wyznaczyć potencja pola V i za jego pomoca¾ obliczyć R V (x; y)[dx; dy], gdzie jest dowolna¾ droga¾ zawarta¾ w obszarze ( ; +) R prowadzac ¾ a¾ od punktu (; ) do punktu (; ) Wykazać, ze xy dx+x dy = dla ka zdej krzywej zamkni¾etej kawa kami g adkiej zawartej w R Obliczyć jdj = + (; 4 ) (; 6 ) cos y dx x sin y dy: x dy y dx, = Fr D, D jest obszarem jednospójnym y + 6

17 3.4.9 Obliczyć (; 4 ) (; 6 ) xy + y p dx + x + p x + dy: x Obliczyć B A W (x; y; z) [dx; dy; dz], gdzie A = (; ; ), B = (; 3; 5) oraz W (x; y; z) = xz y! i + (yz xy)! j + (y + x) (y x)! k : 3.4. Obliczyć B A F (x; y; z) [dx; dy; dz], gdzie A = (; ; 3), B = (3; ; ) oraz F (x; y; z) = xyz! i + x z! j + x y +! k : 3.4. Obliczyć p (y x) p dx + p x dy, gdzie jest wykresem funkcji log x x od punktu A = (; ) do punktu B = (4; ) : Obliczyć (;) (;) przechodzacego ¾ przez oś Oy. y x dx dy wzd u z ka zdego g adkiego ujemnie zorientowanego uku nie x 4 PODSTAWY ANALY ESPOLONEJ 4. Wprowadzenie do analizy zespolonej 4.. Wyznaczyć cz ¾eść rzeczywista ¾ i urojona¾ liczb: e i, sin i, cos ( + i), e i, e 3 i, sin ( + i). 4.. Wyznaczyć: ln ( i), Ln ( i), ln ( i), Ln ( i) Wykazać, ze modu y liczb cos i i cos 3i sa¾ wi¾eksze od Wykazać, ze fz C ; e z = g = [ k fkig Wykazać, ze sin z + cos z = ; sin z = cos z dla dowolnego z C. 7

18 4..6 Narysować zbiór f z C ; j z j = Re (z + ) g : 4..7 Narysować na p aszczyźnie zespolonej kilka poczatkowych ¾ wyrazów ciagu ¾ (a n ), a nast¾epnie zbadać: a) czy jest on ograniczony, b) czy jest on zbie zny; jeśli tak to do jakiej granicy, wiedzac, ¾ ze: a) a n = i + n ; b) a n = in n ; c) a n = i + ( ) n ; n + i d) a n = + i + i n ; e) a n = ; f) a n = n + ni + in + n + i : 4..8 Obliczyć pochodna¾ funkcji zmiennej rzeczywistej z : R! C określonej wzorem a) z (t) = 5e it ; b) z (t) = t + i sin t; c) z (t) = e it ti: 4..9 Sprawdzić, czy funkcja f : C! C jest holomor czna na C, gdzie: a) f (z) = z z; b) f (z) = z e z ; c) f (z) = z Re z; d) f (z) = sin 3z i; e) f (z) = e z e z z : W przypadku holomor czności f wyznaczyć pochodna¾ f. 4.. Wykazać, ze funkcja f : C! C określona wzorem f (z) = jzj 3 jest holomor czna tylko w punkcie z =. 4.. Wykazać, ze funkcja f : C! C określona wzorem f (z) = e z jest holomor czna na C. 4.. naleźć taka¾ funkcj¾e f = u + iv H (A), ze: a) u (x; y) = e x cos y oraz f () = ; A = C (odp. e z ) b) v (x; y) = y x + y oraz f (i) = i; A = C n fg : (odp. z ) 4..3 badać holomor czność funkcji zespolonej f zmiennej zespolonej, gdzie: a) f (z) = z; 8

19 b) f (z) = z 3 ; c) f (z) = z ; d) f (z) = z z: W punktach, w których f jest holomor czna wyznaczyć jej pochodna. ¾ 4..4 Wykazać, ze je zeli funkcja analityczna f w pewnym obszarze D C przyjmuje wy ¾ acznie wartości rzeczywiste (m f = ), to f jest funkcja¾ sta ¾ a Obliczyć: a) e it dt; b) sin it dt; c) e ikt dt; K R n fg ; d) ( + ti) dt: 4..6 Obliczyć: a) z dz, gdzie C = fe it ; t g ; C b) i jzj dz po prostej, c) i i jzj dz po prostej, d) e) i e z dz po prawym uku elipsy x + 9 y =, x ; Re z dz po konturze jre zj + jm zj = : C 4..7 Obliczyć: e z a) dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie (z ) C i promiemiu ; b) dz, gdzie C jest ujemnie zorientowan ¾ z 4 a elips a ¾ f(3 cos t; sin t) ; t [ ; ]g ; C 9

20 c) z + z + 3 dz po dodatnio zorientowanej p ¾etli fz C; jzj = g ; d) e) f) g) C + C + (i;) C cos z ( + z dz, C (i; ) = fz C ; jz ij = g ; ) dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie z 4 z i promiemiu, z sin z 3 dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie (z ) C i promiemiu, e z dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o o środku w punkcie + z C i promiemiu.