Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych."

Zbigniew Kaczor
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

2 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: x (n) = x n - nty wyraz ci ¾agu x n oraz n a (i) = a (1) a (2)... a (n),ponadto przyjmijmy, ze pusty iloczyn i=1 jest równy jeden. Operatorem przesuni ¾ecia nazywamy operator określony na ci ¾agach wzorem Operator I dany wzorem Ex (n) = x (n + 1). Ix (n) = x (n) nazywamy operatorem identycznościowym. Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

3 atwo spostrzec, ze prawdziwy jest nast ¾epuj ¾acy wzór opisuj ¾acy z o zenie przesuni ¾eć E k x (n) = x (n + k). Je zeli p (λ) = a 0 λ k + a 1 λ k a k jest pewnym wielomianem stopnia k, to mo zna określić operator wielomianowy p (E ) określony za pomoc ¾a wzoru p (E ) = a 0 E k + a 1 E k a k I który na ci ¾agu x(n) przyjmuje wartość p (E ) x (n) = a 0 x (n + k) + a 1 x (n + k 1) +... a k x (n). Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

4 Równaniem liniowym rz ¾edu k nazywamy równanie ró znicowe postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) p k (n) y (n) = g (n) gdzie p i (n), i = 1, 2,..., k oraz g (n) s ¾a ci ¾agami. W powy zszym rówaniu niewiadom ¾a jest ci ¾ag y (n),zaś pozosta e ci ¾agi s ¾a dane. Je zeli g (n) = 0 to rówanie nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku niejednorodnym. Z uwagi na ograniczony czas tego wyk adu ograniczymy nasze rozwa zania do równań liniowych pierwszego rz ¾edu o sta ych wspó czynnikach. Rówaniem liniowym pierwszego rz ¾edu o sta ych wspó czynnikach b ¾edziemy nazywa równanie postaci x(n + 1) = ax (n) + b. Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

5 Rozpisuj ¾ac kilka wyrazów tego ci ¾agu zauwa zamy, ze x (1) = ax (0) + b, x (2) = ax (1) + b = a (ax (0) + b) + b = a 2 x (0) + (a + 1) b x (3) = ax (2) + b = a a 2 x (0) + (a + 1) b + b = a 3 x (0) + a 2 + a + 1 b. x (n) = a n x (0) + a n 1 + a n a + 1 b Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

6 Ostatecznie wykorzystuj ¾ac wzór na sum ¾e ci ¾agu geometrycznego przy a 6= 1 otrzymujemy x (n) = a n x (0) + an 1 a 1 b. Jeśli w naszych rozwa zaniach zast ¾apimy ci ¾agi przez dowolne funkcje, to odpowiednikiem równań ró znicowych s ¾a rówania ró zniczkowe, zaś odpowiednikiem operatora przesuni ¾ecia ca ka. Równania ró zniczkowe s ¾a baaaardzo obszernym dzia em matematyki, na studiach matematycznych s ¾a prowadzone z tego oddzielne wyk ady. my na tym wyk adzie ograniczymy si ¾e tylko do najprostrzych przyk adów takich równań. Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

7 B ¾edziemy mówić, ze równanie postaci x 0 (t) = h (t) g (x (t)) (1) gdzie h : K! R, g : L! R s ¾a funkcjami ci ¾ag ymi na pewnych odcinkach K i L nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych. Theorem (Metoda o rozdzielonych zmiennych) Niech g (x) 6= 0 dla x 2 L.Oznaczmy przez H oraz G funkcje pierwotne odpowiednio funkcji h oraz 1 g. Niech u : K! L b edzie ¾ funkcj a ¾ ró zniczkowalna. ¾ Wówczas u jest rozwiazaniem ¾ rówania (1) wtedy i tylko wtedy gdy: G (u (t)) = H (t) + C dle pewnego C 2 R. Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

8 Rówania ró zniczkowe typu dy dx = f (ac + by + c) gdzie a 6= 0, b 6= 0 a f (u) jest funkcj ¾a ciag ¾a, rozwi ¾azujemy wprowadzaj ¾ac przez podstawienie now ¾a zmienn ¾a zale zn ¾a u (x) dan ¾a zwi ¾azkiem u = ax + by + c gdzie y uwa za si ¾e za funkcj ¾e zmiennej x. Ró zniczkuj ¾ac obie strony du dx = a + b dy dx Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

9 i wyliczeniu otrzymujemy dy dx = 1 du b dx du dx a b = bf (u) + a st ¾ad, przy za o zeniu, ze bf (u) + a 6= 0 otrzymujemy dx du = 1 bf (u) + a. Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

10 St ¾ad Z x = g (u), gdzie g (u) = du bf (u) + a. Ostatecznie otrzymujemy rozwi ¾azanie w postaci uwik anej x = g (ax + by + c). Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

11 Dzi ¾ekuj ¾e za uwag ¾e Adam Kiersztyn (KUL) Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj / 11

Podobne dokumenty

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu