Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Transkrypt

1 Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

2 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych musimy przez chwil ¾e zatrzymać si ¾e nad problem wyznaczania granic funkcji wielu zmiennych. W naszych rozwa zaniach ograniczymy si ¾e tylko do funkcji dwóch zmiennych, bowiem w przypadku wi ¾ekszej liczby zmiennych post ¾epuje si ¾e analogicznie. W pierwszym kroku musimy przypomnieć sobie w jaki sposób mierzy si ¾e odleg ość dwóch punktów w przestrzeni R 2 (lub ogólnie R n ). Do wyznaczania odleg ości dwóch punktów P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) od siebie wykorzystuje si ¾e zazwyczaj metryk ¾e euklidesow ¾a określon ¾a wzorem q d e (P 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

3 W powy zszym zdaniu istotne jest s owo zazwyczaj. Rozwa za si ¾e bowiem inne metryki wśród których nale zy wymienić mi ¾edzy innymi: metryk ¾e taksówkow ¾a (metryk ¾e miasta) d t (P 1, P 2 ) = jx 1 x 2 j + jy 1 y 2 j metryk ¾e maksimum d m (P 1, P 2 ) = max fjx 1 x 2 j, jy 1 y 2 jg Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

4 metryk ¾e kolejow ¾a 8 d e (P 1, P 2 ), jeśli punkty P 1 i P 2 le z ¾a na >< jednej prostej d k (P 1, P 2 ) = przechodz ¾acej przez punkt (0, 0) d >: e (P 1, (0, 0)) + d e ((0, 0, P 2 )) jeśli punkty nie le z ¾a na jednej prostej Wszystkie te metryki maj ¾a pewn ¾a cech ¾e wspóln ¾a, a mianowicie jeśli x n! x 0 oraz y n! y 0 to d ((x n, y n ) ; (x 0, y 0 ))! 0.W zwi ¾azku z t ¾a uwag ¾a przyjmujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e. Mówimy, ze ci ¾ag punktów P n = (x n, y n ) d ¾a zy do punktu P 0 = (x 0, y 0 ) jeśli x n! x 0 oraz y n! y 0. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

5 Powy zsze przyk ady nie wyczerpuj ¾a bardzo zbioru metryk w przestrzeni R 2. Aby lepiej zrozumieć dzia anie tych metryk zobaczmy jak wygl ¾adaj ¾a w tych metrykach kule (tzn. ko a) o środkach powiedzmy w punktach (0, 0) oraz (2, 3) i promieniach 2 oraz 5. Przez kul ¾e domkni ¾et ¾a o środku w punkcie (x 0, y 0 ) i promieniu rozumiemy zbiór punktów spe niaj ¾acych w asność (x, y) 2 R 2 : d ((x, y), (x 0, y 0 )) r. W przypadku kuli otwrtej nie równość agodna w powy zszej de nicji jest zast ¾apiona nierówności ¾a ostr ¾a. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

6 1 Rozwa zmy nast ¾epuj ¾acy przyk ad: niech P n = n, n + 1 n + 3 wspólrz ¾edna tego ci ¾agu d ¾a zy do 0, zaś druga do 1, bowiem St ¾ad P n = 1 lim n! n = 0 oraz 1 n, n + 1! (0, 1). n + 3 lim n + 1 n! n + 3 = 1.. Pierwsza Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

7 Dysponuj ¾ac ju z poj ¾eciem zbie zności punktów w przestrzeni R n mo zemy przejść do badania granicy funkcji dwóch zmiennych. Libzb ¾e g nazywamy granic ¾a funkcji f : R 2! R w punkcie (x 0, y 0 ), je zeli dla ka zdego ci ¾agu punktów (x n, y n ) takich, ze (x n, y n ) 2 D, (x 0, y 0 ) 6= (x n, y n )! (x 0, y 0 ) odpowiadaj ¾acy mu ci ¾ag wartości funkcji f (x n, y n ) jest zbie zny do g, co zapisujemy lim (x n,y n )!(x 0,y 0 ) f (x n, y n ) = g. Dla przyk adu zbadajmy 3x + 2y lim x!1 x + 5y = = 5 6 y!2 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

8 W tym miejscu granic ¾e jest bardzo atwo wyznaczyć poniewa z w punkcie (1, 2) funkcja jest dobrze określona i jako granic ¾e nale zy obrać jej wartość. Zastanówmy co si ¾e stanie z t ¾a sam ¾a funkcj ¾a w punkcie (0, 0). Punkt ten nie nale zy do naturalnej dziedziny naszej funkcji w zwi ¾azku z tym nie wystarczy obliczyć wartości funkcji w tym punkcie. Obierzmy ci ¾ag punktów (x n, y n )! (0, 0) i przyjmijmy, ze x n = 0, zaś y n = 1 n. Jest oczywiste, ze ci ¾ag 0, 1 n! (0, 0) oraz, ze dla ka zdego n 1 punkt 0, 1 n 6= (0, 0). Dla danego ci ¾agu punktów obliczmy granic ¾e funkcji wstawiaj ¾ac zamiast x = 0, y = 1 n. Mamy wówczas n lim n! n = lim n! 2 n 5 n 2 = lim n! n n 5 = 2 5. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

9 Niech teraz x n = 1 n zaś y n = 0. W tym przypadku ci ¾ag punktów równie z d ¾a zy do punktu (0, 0) natomiast granica wynosi 3 1 n lim n! 1 n = lim n! n 3 n 1 n = 3. W tym przypadku wybór ci ¾agu punktów ma znaczenie przy obliczaniu granicy w zwi ¾azku z tym granica funkcji f (x, y) = 3x + 2y x + 5y w punkcie (0, 0) nie istnieje. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

10 Mówimy, ze funkcja f (x, y) jest ci ¾ag a w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) 2 D je zeli ma granic ¾e w punkcie (x 0, y 0 ), która jest równa wartości funkcji w tym punkcie, tzn lim (x,y )!(x 0,y 0 ) f (x, y) = f (x 0, y 0 ). Otoczeniem punktu P 0 = (x 0, y 0 ) o promieniu R > 0 nazywamy zbiór punktów p aszczyzny, których wspó rz ¾edne (x, y) spe niaj ¾a nierówność (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < R 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

11 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a określon ¾a w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ).Je zeli we wzorze f (x, y) jednej zmiennej przypiszemy konkretn ¾awartość liczbow ¾a, np. w miejsce y wstawimy liczb ¾e y 0, to otrzymamy funkcj ¾e jednej zmiennej f (x, y 0 ). Jeśli tak utworzona funkcja ma pochodn ¾a w punkcie x 0, tzn. je zeli istniej granica f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim x!0 x to nazywamy j ¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a pierwszego rz ¾edu funkcji f (x, y) wzgl ¾edem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x lub f 0 x. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

12 Pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f (x, y) wzgl ¾edem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ) de niujemy analogicznie f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) lim y!0 y i oznaczamy f y lub f 0 y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

13 Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej mozna badać pochodne wy zszych rz ¾edów. Pochodne cz ¾astkowe pochodnych f x, f y nazywamy pochodnymi cz ¾astkowymi drugiego rz ¾edu i oznaczamy f = 2 f x x x 2 = f xx 00 f y y f x y y f x = 2 f y 2 = f 00 yy = 2 f x y = f 00 xy = 2 f y x = f 00 yx Pierwsze dwie z nich określa si ¾a mianem pochodnych jednorodnych, zaś dwie ostatnie mianem pochodnych mieszanych drugiego rz ¾edu. Ponadto zachodz nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

14 Theorem (Schwarza) Je zeli funkcja f (x, y) ma w pewnym obszarze D ciag e ¾ pochodne mieszane rzedu ¾ drugiego, to pochodne te sa¾ sobie równe w ka zdym punkcie (x, y) 2 D. 2 f x y = 2 f y x Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

15 Pochodne cz ¾astkowe pierwszego rz ¾edu tworz ¾a wektor zwany gradientem. Zaś pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu tworz ¾a macierz kwadratow ¾a zwan ¾a Hesjanem. Macierz ta z uwagi na powy zsze twierdzenie w przypadku ci ¾ag ych pochodnych drugiego rz ¾edu w otoczeniu pewnego punktu jest macierz ¾a symetryczn ¾a. Dla przyk adu rozwa zmy funkcj ¾e f (x, y) = e x +y + x 2 + y 3 + 5x 2 y 3. Dla tej funkcji wyznaczmy (na tablicy) gradient oraz Hesjan. Jako utrwalenie przeanalizujmy jeszcze jeden przyk ad. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

16 Dla przyk adu rozwa zmy funkcj ¾e f (x, y) = x 2 + 4xy + 7y 3 2x 2 y 2. Obliczmy dla niej wszystkie pochodne cz ¾astkowe pierwszego i drugiego rz ¾edu. Mamy wówczas f x = 2x + 4y + 0 4xy 2 traktujemy w powy zszym wzorze y jako pewn ¾a sta ¾a. W analogiczny sposób wyznaczamy f y = 0 + 4x + 21y 2 4x 2 y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

17 W nast ¾epnym kroku obliczmy pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu. Najpierw pochodn ¾a jednorodn ¾a po xx, tzn. nast ¾epnie dwa razy po y,tj. 2 f x 2 = 2x + 4y 4xy 2 0 x = 2 4y 2 2 f y 2 = 4x + 21y 2 4x 2 y 0 y = 42y 4x 2. Nast ¾epnie obliczmy pochodne mieszane2 oraz 2 f y x = 4x + 21y 2 4x 2 y 0 x = 4 2 f x y = 2x + 4y 4xy 2 0 y = 4 8xy 8xy. Na tym obrazowym przyk ¾adzie widzimy, ze twierdzenie Schwarza pozwla nam zminejszyć nieco ilość obliczeń. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18

18 Dzi ¾ekuj ¾e za uwag ¾e Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj / 18