RUCH DRGJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylaor harmoniczny Energia oscylaora harmonicznego Wahadło maemayczne i fizyczne Drgania łumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu
RUCH HRMONICZNY Ruch okresowy (periodyczny - ruch, kóry powarza się w regularnych odsępach czasu. Jeżeli punk maerialny porusza się am i z powroem (ruchem okresowym po ej samej drodze, o aki ruch nazywamy ruchem drgającym lub harmonicznym (wibracyjnym lub oscylacyjnym. Przemieszczenie w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą harmonicznych i ciągłych funkcji us lub inus. y = r y r r α (r.j.o y r
RODZJE DRGŃ y [m] T T [s] - y ( Wysępujące w przyrodzie drgania dzielimy na: swobodne, łumione (obecne są siły oporu ośrodka lub wymuszone (wywołane zewnęrzną, zmienną w czasie siłą.
OSCYLTOR HRMONICZNY Oscylaor harmoniczny (wyidealizowany układ fizyczny - punk maerialny (ciało o masie m, wykonujący ruch pod wpływem proporcjonalnej do chwilowego wychylenia z położenia równowagi siły sprężysej F. d d F ma II ZDN k m F s d d k d m d ( ozn. k k m W ruchu harmonicznym przyspieszenie ciała, podobnie jak działająca na nie siła, jes proporcjonalne i skierowane przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi.
OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. równanie różniczkowe (II rzędu drgań swobodnych, gdzie niewiadomą jes funkcja ( położenia w funkcji czasu: d d d d d d d d d d ( ( ( ( ( UWG!!! w chwili = wszyskie e funkcje zależą ylko od fazy począkowej drgań φ, a ampliuda drgań swobodnych układu nie zależy od czasu i jes sała. (
OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. ( przemieszczenie V ( prędkość a ( przyspieszenie
OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. φ ( - ampliuda drgań (ma. wychylenie z położenia równowagi; φ - faza począkowa drgań; ω - częsość kołowa (kąowa drgań własnych układu; T T - okres drgań (czas jednego pełnego cyklu oscylacji; f T m k k m f - częsoliwość drgań (ilość oscylacji w jednosce czasu, wyrażana w [Hz] lub [/s].
ENERGI OSCYLTOR HRMONICZNEGO W U ( U V K E ( k ma k ( c Fd mv K U k ( k d k ( k E c = ( ( k U m ( k k ( Podczas drgań oscylaora harmonicznego energia kineyczna układu jes cyklicznie zamieniana w energię poencjalną. Suma ych energii E c (całkowia energia mechaniczna jes sała i nie zależy od czasu. φ ( K ma E c k ~
WHDŁ maemayczne fizyczne oś d l l l śm T l g punk maerialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l T I mgd bryła szywna o masie m wahająca się pod wpływem siły ciężkości dookoła osi nie przechodzącej przez środek masy ej bryły
WHDŁO MTEMTYCZNE Okres drgań wahadła maemaycznego (prose: 7 o ma s F n s mg mg g L 4 g T L T g ( L g, ( a n F s Przy dużych kąach wychylenia wahadła maemaycznego z położenia równowagi jego ruch nie będzie już ruchem harmonicznym prosym. L ma n
y [m] DRGNI TŁUMIONE y, T = e β T T [s] y, T T T,
DRGNI TŁUMIONE Podczas drgań łumionych działają siły niezachowawcze (np. siła arcia, siły oporu ośrodka, a energia mechaniczna układu maleje. Siła łumiąca jes proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie do niej skierowana. b - sała (współczynnik oporu F bv F kbv ma d d m b k d d e b m ( k m b m mpliuda drgań łumionych maleje wykładniczo w czasie ( = e -β
Pulsacja drgań łumionych ω jes mniejsza niż pulsacja drgań swobodnych: β - współczynnik łumienia ω - częsość drgań własnych (a drgania harmoniczne łumione (b łumienie kryyczne (ruch pełzający kryyczny (c aperiodyczny powró do sanu równowagi (ruch pełzający DRGNI TŁUMIONE (c.d. m b m b m k
F F F s kbv F F F ma d d m b k F d d ( Φ DRGNI WYMUSZONE Podczas drgań wymuszonych ubyek energii mechanicznej wskuek arcia jes kompensowany przez cykliczne dosarczanie energii przez zmienną siłę zewnęrzną. Siłę ę nazywamy siłą wymuszającą. m arc g F w w 4 F w rez F β = (Ω = ω, brak łumienia β małe łumienie β duże łumienie
REZONNS β 5 = β > β > β 3 > β 4 > β 5 β 4 rez β β 3 rez F m β (ω - β < Ω r Ω r Ω r Ω r = ω Ω [Hz]
ZJWISKO REZONNSU Rezonans - silny wzros ampliudy przy częsości nawe niewielkiej siły wymuszającej bliskiej częsości drgań własnych układu. Skuki rezonansu mogą być zarówno pozyywne (odbiorniki RTV jak i negaywne (źle wyważone wirujące części maszyn. Wiar wywołujący drgania o częsości zbliżonej do częsości własnej drgań mosu doprowadził do jego zniszczenia (Tacoma Narrows, US 94
DRGNI ZŁOŻONE Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o ej samej częsoliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o różnych częsoliwościach naliza harmoniczna drgań Dudnienia i drgania modulowane Superpozycja drgań harmonicznych wzajemnie prosopadłych Krzywe Lissajous
Drgania są równoległe, gdy zachodzą wzdłuż ej samej prosej. Superpozycja (nakładanie się drgań równoległych - punk maerialny wykonuje jednocześnie dwa (lub więcej drgania harmoniczne równoległe (np. wzdłuż osi o ej samej częsoliwości kołowej (pulsacji, lecz różniące się fazą. Drganie wypadkowe rozważanego punku jes superpozycją jego drgań składowych, a wypadkowe wychylenie jes sumą jego wychyleń składowych. y SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości (, ( ( Δφ φ φ φ g (, p. fazowe
., ( ( ( ( ( ( ( ( g fazowe p SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości
SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych, o jednakowych pulsacjach różniących się fazą, daje w wyniku drganie harmoniczne o ej samej pulsacji. mpliudy drgań składowych dodają się, gdy ich fazy są zgodne, a odejmują się, gdy fazy są przeciwne. y ( f. zgodne ma Δφ φ φ f. przeciwne min φ
SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH W przypadku superpozycji drgań harmonicznych równoległych o różnych częsoliwościach powsaje okresowe drganie wypadkowe, kóre na ogół nie jes harmoniczne. Dowolne drganie okresowe może powsać przez superpozycję skończonej lub nieskończonej liczby drgań harmonicznych o częsoliwościach będących całkowiymi wielokronościami częsoliwości podsawowej (pulsacje poszczególnych drgań worzą posęp arymeyczny: ω, ω, 3ω,, kω. o różnych częsoliwościach ( (... k ( k k k Drgania składowe nazywamy kolejno pierwszym, drugim, id. drganiem harmonicznym. Pierwsze drganie harmoniczne nazywa się akże drganiem podsawowym. Okres drgania wypadkowego jes równy okresowi drgania podsawowego.
NLIZ HRMONICZN DRGŃ Dowolne drganie okresowe (, o okresie T jes superpozycją drgań harmonicznych i można je wyrazić szeregiem Fouriera. k ( k k Bk k, k, B k - ampliudy poszczególnych składowych T ω ω 3ω 4ω 3 4 T T
przeciwfaza faza DUDNIENI Dudnienia - okresowe zmiany ampliudy drgań złożonych w wyniku nałożenia się (superpozycji drgań harmonicznych o niewiele różniących się pulsacjach (np. sruny insrumenu muzycznego nasrojone na niewiele różniące się ony, sacje radiowe pracujące na bliskich częsoliwościach. min T d ma
, ma ', ( ( (, ( ( ( (, ( ' DRGNI MODULOWNE dudnienia drgania modulowane (głębokość modulacji % (głębokość modulacji 5% dudnienie
SUPERPOZYCJ DRGŃ PROSTOPDŁYCH Drgania są prosopadłe, gdy odbywają się wzdłuż kierunków wzajemnie prosopadłych. Drganie powsałe w wyniku nałożenia się (superpozycji drgań wzajemnie prosopadłych jes drganiem złożonym zachodzącym w płaszczyźnie y o orze ruchu punku (przy założeniu, że ω = ω = ω. ( y, y y ( ( ( Jednosajny ruch po okręgu (drganie kołowe - rzu ruchu po okręgu na oś lub y daje ruch harmoniczny i odwronie złożenie drgań harmonicznych, zachodzących wzdłuż osi i y daje ruch po okręgu. Kiedy częsoliwości i ampliudy obydwu drgań są równe ruch wypadkowy zależnie od kszału krzywej nosi nazwę: drgań elipycznych (Δφ = ±/4 π lub ±3/4 π i kołowych (Δφ = ±/ π lub ±3/ π lewo lub prawoskręnych oraz liniowych (Δφ =, π,., r. faz
KRZYWE LISSJOUS Złożenie drgań harmonicznych prosopadłych, daje w wyniku mniej ( =, ω = ω, Δφ π lub bardziej (, ω ω, Δφ π skomplikowane krzywe, zwane krzywymi Lissajous. sosunek częsości ω / ω różnica faz Δφ
KRZYWE LISSJOUS Obrazy złożonych drgań harmonicznych najprościej można orzymać za pomocą oscyloskopu - wiązka elekronów w lampie oscyloskopowej jes odchylana przez dwie pary płyek prosopadłych względem siebie w zależności od przyłożonego napięcia o określonych pulsacjach, ampliudach i fazach.