MECHANIKA 2. Teoria uderzenia

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 14 Teoria uderzenia Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami, nazywamy punktem nieswobodnym. Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach rucha dodatkowych sił reakcji więzów. Równanie ruchu przyjmie postać (1)

3 Ruch wahadła matematycznego Rys. 7 Równania ruchu: gdzie: Po podstawieniu:

4 Przy małych wychyleniach wahadła sinϕ = ϕ, wówczas więc równanie ruchu przybiera postać: Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego. Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego prostego ma postać: Zatem dla wahadła:

5 Równanie ruchu ma postać: Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość: Warunek początkowy: = 0 υ dla ω t = ϕmax

6 Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v: Ponieważ to Załóżmy, że dla t = 0, ϕ = 0 wówczas:

7 Przykład 1 W kabinie windy wisi wahadło. Gdy kabina porusza się ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół, to okres drgań wahadła wynosi T = 1 s. Natomiast gdy porusza się ze stałą prędkością, to okres ten wynosi T = 0.3 s. Znaleźć przyspieszenie windy. T = 1s, T = 0.3 s g = Dane: m s Szukane: a =? Zakładamy,że: a < g

8 Rozwiązanie Okres drgań wahadła wyraża się wzorem: Gdy winda porusza się z przyspieszeniem w górę, na wahadło działa siła wypadkowa skierowana w dół. Zatem:

9 W drugim przypadku, zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, siły działające na ciało równoważą się, zatem: Drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła. Wobec powyższego: l = Stąd Ostatecznie:

10 Zderzenie proste środkowe Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu. Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przezśrodki masy tych ciał. Rys. 2

11 Okresy zderzenia W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy: a) - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształcaniu się obu ciał, b) - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas.

12 Pęd zderzających się mas Rys. 2 Pęd przed po zderzeniu jest taki sam Stąd c wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu.

13 Energia kinetyczna W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez (2) Uwzględniając wzór otrzymamy (2a)

14 Pęd układu w drugim okresie zderzenia Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że obowiązuje nadal zasada zachowania pędu badanego układu, czyliże (3)

15 Zderzenie sprężyste i plastyczne Prędkości w 1 oraz zależeć będą od tego, czy strata energii kinetycznej została: w 2 a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale sprężystych), b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie plastycznych), c) pochłonięta częściowo (zderzenie ciał rzeczywistych).

16 Współczynnik zderzenia (4) przy czym oczywiście Wartości graniczne współczynnika k odpowiadają: k k = 1 = 0 dla ciała idealnie sprężystego, dla ciała idealnie plastycznego.

17 Prędkości po zderzeniu Uwzględniając równania (3) i (4) otrzymamy po podstawieniu i przekształceniu (5) Dla zderzenia ciał idealnie sprężystych ( k = 1) (6)

18 Dla zderzenia ciał idealnie plastycznych ( k = 0) (7) Rzeczywista strata energii kinetycznej Rzeczywista strata energii kinetycznej wynosi Po podstawieniu wartości w 1 oraz w 2 ze wzoru (5) otrzymamy

19 Charakterystyczne przypadki: 1. m = k = 1 (ciało doskonale sprężyste). 1 m 2 Ze wzorów (27) otrzymamy: ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana prędkości pomiędzy obiema masami. 2. υ, m = (nieruchoma ściana), k = 1. 2 = 0 Ze wzorów (27) otrzymamy: 2 Masa m 1 odbija się z tą samą prędkością.

20 υ ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE m k 0 3. = 0, = 2 (nieruchoma ściana), (ciało rzeczywiste). 2 Wykorzystując wzory (26) napiszemy: Masa m 2 odbije się z prędkością zmniejszoną o k. Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób wyznaczania współczynnika zderzenia k. Jak wiadomo bowiem z kinematyki, ciało spadające z wysokości H na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia prędkość υ = 1 2gH. Po odbiciu wznosi się na wysokość h, czyli przy końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość w 1 = 2gh. Ponieważ w 1 = kυ 1 (pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko moduł), zatem k =

21 Kucie Podczas kucia materiału plastycznego występuje uderzenie plastyczne. Strata energii kinetycznej jest równa: Ponieważ, więc:

22 Kucie gdzie: m 1 masa bijaka młota; v 1 prędkość bijaka młota przed uderzeniem; m 2 masa kutego materiału wraz z kowadłem; v 2 = 0 prędkość kowadła przed uderzeniem. Ostatecznie:

23 Kucie Podczas kucia strata energii zamienia się na pracę odkształcenia kutego materiału. Strata energii powinna być więc jak największa. Wniosek: Kucie jest tym ekonomiczniejsze, im mniejsza jest masa m 1 bijaka w porównaniu z masą bitego materiału m 2. Sprawność kucia:

24 Wbijanie Podczas wbijania pokonujemy opór gruntu. Zatem strata energii powinna być jak najmniejsza. W tym przypadku m 1 >> m 2. (masa młotka powinna być dostatecznie duża w porównaniu z masą gwoździa lub pala). Sprawność wbijania: gdzie: E 0 energia kinetyczna młota przed uderzeniem; E 1 energia kinetyczna młota i pala po uderzeniu.

25 Przykład 2 Wyznaczyć stosunek mas dwóch kul, które przed uderzeniem toczą się naprzeciw siebie a) z różnymi prędkościami v 1 i v 2 ; b) z równymi prędkościami o wartości v, a po uderzeniu prostym druga kula zatrzymuje się. Współczynnik uderzenia wynosi k.

26 Rozwiązanie a) Dane: v 1, v 2, k Skorzystamy ze wzoru (5): Przyrównujemy w 2 do zera: w 2 = 0

27 Ponieważ prędkość v 2 jest zwrócona w przeciwnym kierunku, więc: Mamy: a zatem:

28 b) Rozwiązanie Dane: k Wystarczy podstawić v 1 = v 2 = v:

29 Przykład 3 Dwie jednakowe kulki z plasteliny (ciało doskonale plastyczne) zawieszono na nitkach o długości l każda. Jedną nitkę odchylono od pionu o kąt α = 60 i puszczono. Po zderzeniu obie kulki zderzyły się i wychyliły na nitkach w drugą stronę. Oblicz ich maksymalny kąt wychyleniaβ.

30 Rozwiązanie Zadanie składa się z trzech etapów: a) ruch jednej kulki po pierwotnym odchyleniu; b) zderzenie obu kulek; c) Ruch obu kulek po zderzeniu. a) Z zasady zachowania energii:

31 Zatem: b) Nastąpiło zderzenie obu kulek. Jest to zderzenie plastyczne. Po zastosowaniu zasady zachowania pędu, zgodnie ze wzorem (7), prędkość obu kulek w chwili zderzenia jest równa:

32 c) Prędkość obu kulek jest od tej chwili wspólna. Zgodnie z zasadą zachowania energii:

33 Zatem: Po podstawieniu:

34 Przykład 4 Punkt materialny o masie m 1 przywiązany do nierozciągliwej nici porusza się po okręgu w płaszczyźnie poziomej. W pewnej chwili punkt ten zderza się z drugim punktem o masie m 2, który przed zderzeniem był nieruchomy. Po zderzeniu oba punkty poruszają się razem po tym samym torze i ze wspólną prędkością. W jakim stosunku zmieni się napięcie nici?

35 Rozwiązanie Korzystamy z zasady zachowania krętu (kręt przed uderzeniem jest równy krętowi w chwili uderzenia): Stąd: gdzie v prędkość początkowa kulki o masie m 1 przed zderzeniem. Siła napięcia linki jest siłą dośrodkową, powodującą ruch, zatem: (wzór ogólny)

36 A więc: Odp.:

37 Przykład 5 Wagon kolejowy o masie m 1 porusza się w prawo z prędkością v 1. Naprzeciw niego porusza się drugi wagon o masie m 2, z prędkością v 2, skierowaną w lewo. Z jaką prędkością poruszają się wagony po złączeniu? Opory ruchu pomijamy. Dane: m 1, v 1, m 2, v 2 Szukane: u =?

38 Rozwiązanie Ponieważ wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, zatem korzystamy z zasady zachowania pędu. Pęd wagonów przed i po zderzeniu jest taki sam: Stąd

39 ZDERZENIE UKOŚNE Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego środkowego (rys. 3). Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku Rys. 3

40 ZDERZENIE UKOŚNE Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości, ewentualnych obrotów mas (przyjęto je jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych wartości składowych stycznych υ oraz (przyjmując idealnie gładkie 1t powierzchnie styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe normalne. Do oceny zmian składowych normalnych wykorzystamy wzory (26), wprowadzając jedynie odpowiednie wskaźniki n, składowe zaś styczne pozostaną bez zmiany, czyli: υ 2 t oraz Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

41 Przykład 6 Kula o masie m porusza się z prędkością v 1 i uderza w nieruchomą kulę o masie 2m w ten sposób, że prędkość v 1 tworzy w chwili uderzenia ze wspólną normalną O 1 x obu kul kątα. Współczynnik zderzenia jest równy k. Obie kule są gładkie! Obliczyć: prędkości obu kul po uderzeniu; kąt wektora prędkości końcowej w 1 z osią O 1 x.

42 Rozwiązanie Wyznaczamy składowe prędkości w ρ i w ρ 1 2 :

43 Wyznaczamy składowe prędkości w ρ i w ρ 1 : 2 Wartości prędkości obu kul wynoszą: Kątβobliczamy z zależności:

44 Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę Do wyznaczenia reakcji padającego pod kątem impulsu według wzoru α R przegrody na działanie strumienia, (rys. 4), wykorzystamy zasadę pędu i Rys. 4 Załóżmy, że dane są ponadto przekrój strumienia A, gęstość ρ (niezmienna w czasie) oraz średnia prędkość strumienia v.

45 Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę W czasie dt wystąpi przemieszczenie przekroju ab w położenie a'b' (rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych strugach z położeń ef w e'f' oraz z położeń cd w c'd' (rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i styczne do przegrody. Rys. 4

46 Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę Zgodnie więc z zasadą pędu i impulsu (19) napiszemy rzutując wektory pędów pulsu na oś x, prostopadłą do przegrody

47 Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę oraz Gdyż wektory pędów tych strug są styczne do przegrody, zatem Stąd ostatecznie otrzymujemy reakcję przegrody w kierunku osi x