dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane. POPRECNE GINNIE.. Naprężena odkstałcena Poprecnm gnane wstępuje wówcas, gd do pobocnc pręta prmatcnego o smetrcnm prekroju poprecnm prłożone jest obcążene rołożone smetrcne wględem płascn smetr pręta, które w jego prekroju poprecnm redukuje sę do momentu gnającego M sł poprecnej Q. Płascną dałana obu tch sł prekrojowch arówno Q jak M, jest płascna smetr pręta. agadnene to wstępuje wted, gd moment gnając mena swoją wartość na długośc pręta, gdż - godne e d M ( x) naną ależnoścą różnckową - Q ( x), wówcas sła poprecna Q ( x) dx (patr rs..). q(x) x dx M (x) M (x) Q (x) Q (x) Rs.. W tak obcążonm pręce posukwać będem macer naprężeń, odkstałceń ora wektora premescena w dowolnm jego punkce. Postawone adane, w tm prpadku, ne daje sę rowąać w sposób ścsł ne tlko metodam wtrmałośc materałów ale metodam teor sprężstośc. b uskać ależnośc określające posukwane welkośc, konecne będe prjęce dodatkowch ałożeń uprascającch. Można jednak pokaać popre eksperment dośwadcalne numercne, że otrmane w ten sposób wnk ne odbegają w sposób stotn od ścsłch rowąań dla scególnch prpadków poprecnego gnana, a ch newątplwą aletą jest prostota form. ednakże anm prejdem do ch wnacena, preanalujm deformację gnanego poprecne wspornka o prekroju prostokątnm pokaanego na rs...
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane konfguracja pocątkowa konfguracja aktualna Rs.. Wspornk pokaan w lewej cęśc rsunku składa sę klku położonch na sobe elementów, a w cęśc prawej wspornk wkonan jest jednego elementu. Obra deformacj na rs.. pokauje, że w prpadku poprecnego gnana prekrój płask prostopadł do os pręta w konfguracj pocątkowej ne poostaje płask po prłożenu obcążena, jak to bło w prpadku gnana prostego. Dowod to wstąpena odkstałceń kątowch (w pokaanm prkłade będe toγ x ) włóken równoległch do os układu odnesena, co a tm de naprężeń stcnch w prekroju poprecnm. Mmo tego, pr wprowadanu ależnośc określającch odkstałcene lnowe prjmem spełnene hpote Bernoullego głosącej, że prekrój płask prostopadł do os pręta pred prłożenem obcążena poostaje płask prostopadł do ugętej os po prłożenu obcążena. Można pokaać, że take ałożene uprascające będe skutkowało w wartoścach naprężeń normalnch błędem rędu h/l gde: h jest wsokoścą prekroju pręta, a l jego długoścą. Stąd też należ pamętać, że wprowadone ależnośc mogą bć stosowane w prpadku gnana poprecnego prętów długch. Po tch wstępnch uwagach roważm pokaan na rs.. pręt prmatcn o polu prekroju poprecnego, określon w układe współrędnch (,, ) w którm ose (, ) są głównm centralnm osam bewładnośc prekroju poprecnego, a płascna (, ) jest płascną smetr pręta araem płascną obcążena. Materał pręta jest otropow, lnowo sprężst o stałch materałowch E ora ν. Dalej postępować będem według schematu, któr popredno bł już dwukrotne astosowan. Po dokonanu mślowego prekroju pręta na dwe cęśc w mejscu o odcętej x, odrucenu cęśc II prłożenu do cęśc I układu sł wewnętrnch (rs..) roważm tr komplet równań tn. równana równowag, geometrcne fcne. τ x τ x x M (x) I x Rs.. Q (x)
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Równana równowag wnkające twerdena o równoważnośc odpowednch układów sł wewnętrnch ewnętrnch w tm prpadku prjmą postać: x d, τ x d, τ x d Q ( x ), (.) ( τ x + τ x ) d, x d M ( x ), x d. Równana geometrcne napsem prjmując, że: prekroje płaske prostopadłe do os pręta pred prłożenem obcążeń poostają płaske prostopadłe do ugętej os pręta po prłożenu obcążeń, odkstałcena kątowe włóken równoległch do os układu odnesena są równe ero, odkstałcena lnowe wąane są ależnoścą: ε ε ν ε x, górne włókna uległ wdłużenu, a dolne skrócenu, stneje warstwa włóken - warstwa obojętna, którch długość ne uległa mane, choć prjęł formę krwolnową o ρ x, w konfguracj pocątkowej włókna te leżał na dx+ dx mennm promenu krwn ( ) płascźne (, ). C warstwa obojętna dϕ( x) D C D B dx Rs..4 ρ( x) Odkstałcena lnowe ε x wnacm analując wdłużene odcnka pręta o dowolne małej długośc dx pred prłożenem obcążeń (rs..4). Po deformacj prekroje skrajne obrócą sę utworą dowolne mał kąt dϕ(x). eśl ρ(x) jest promenem krwn warstw obojętnej, to odkstałcena lnowe ε x włóken odległch o od warstw obojętnej wnosą: lm dx ε x dx dx lm dϕ( x) [ ρ ( x) + ] dϕ( x) ρ ( x) dϕ( x) ρ ( x) dϕ( x) ρ ( x) Równana geometrcne apsem w postac: ε x ρ x ( ), x γ, γ. ε ε ν ε x ν, ρ ( x) Podstawene tch odkstałceń do równań fcnch daje ponżse ależnośc wartośc naprężeń: ( ε x + ε + ε ) x E ε x E ν x ε x ν + + ν ( ε + ε + ε ) E ν ε + x +, ν ν,
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane ( ε + ε + ε ) E ν ε + x +, ν ν τ x Gγ x τ x, τ Gγ τ. W wnku podstawena do równań równowag awerającch naprężena normalne otrmujem: x E ε x d d E d ρ x d d E ρ ( x) ( x) x d M d E ρ ( x) M ( x) ależność męd krwną os deformowanego pręta momentem gnającm: ρ M x E ( ) ( x) ( x), (.) co powala napsać wąk wążące moment gnając odkstałcenem lnowm naprężenem normalnm: M ( x) ε x, (.) E M ( x) x. (.4) b wnacć, ostatn, nenan element macer naprężeń τ x, wtnjm długośc pręta dwoma płascnam prostopadłm do jego os odcnek o dowolne małej długośc dx roważm równowagę górnej jego cęśc odcętej płascną const (rs..). x ( x) B D ~ τ x b () C F ( x dx) x + x Rs.. dx 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Sł prłożone do tej odcętej cęśc wnn spełnać ogólne nane warunk równowag. eżel pre ~ τ x onacm średne naprężene stcne na ścance BCDF to jeden warunków równowag a manowce sum rutów sł na oś możem apsać w postac: ; x( x) d+ τ x b( ) dx + x( x + dx) d ~ Wkorstane ależnośc (.4) wążącej naprężena normalne momentem gnającm, a następne twerdena Lagrange a powala prepsać powżse równane w forme: dm ( x + α dx) d+ τ x b( ) dx + M ( x) + dx d M ( x) ~ gde: α. Podstawając do równana wąek różnckow męd momentem gnającm słą poprecną możem otrmać: ~ Q ( x + α dx) τ x ( ) d. b Po obustronnm prejścu do granc dx otrmujem ostatecne ależność określającą posukwane naprężena stcne: Q ( x) S ( ) τ x τ x, (.) b( ) gde: τ x - średne naprężene stcne we włóknach const w prekroju pręta o współrędnej x, S - moment statcn wględem os gnana cęśc prekroju ponad włóknam w ( ) którch wnacam naprężena, b ( ) - serokość prekroju na wsokośc, Q ( x) - sła poprecna w prekroju w którm wnacam naprężena. nak w wprowadonch worach obowąują pr prjętch wrotach os układu odnesena sł prekrojowch. W prpadku nnch wrotów należ dokonać odpowednej korekt naków. atem macere naprężeń odkstałceń w pręce poddanm poprecnemu gnanu w płascźne (, ) mają postać: x τ x T, τ x T ε ε x γ x ν ε x dx γ x ν ε x (.) w którch naprężena wrażone popre sł prekrojowe charakterstk geometrcne określają wor wprowadone wżej a odkstałcena lnowe kątowe wąane są nm równanam Hooke a. Warto jednak w tm mejscu dodać, że jest to najprostsa postać macer naprężeń odkstałceń dla tego prpadku wtrmałośc. Bwają one jesce uupełnone naprężenam τ x ora odpowadającm m odkstałcenam ale wówcas są one
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane prblżone ne spełnają kompletu równań agadnena bregowego cągłego ośrodka lnowo-sprężstego... nala stanu naprężena odkstałcena Macer naprężeń pr poprecnm gnanu pokauje, że w tm prpadku wtrmałośc wstępuje płask, nejednorodn stan naprężena, którego płascną jest płascna (, ). Naprężena główne (ekstremalne wartośc naprężeń normalnch) ch kerunk wnacam e worów wprowadonch pr anale płaskego stanu naprężena podstawając do nch odpowedne element macer naprężeń: x x x x max + + τ x, mn + τ x, tgα max τ x, max tgα mn τ x. mn Naprężena normalne w prekroju poprecnm określone worem (.4) są lnowo ależne od współrędnej, erują sę w punktach na os, jest ona ch osą obojętną osągają swą maksmalną bewględną wartość w punktach od nej najodleglejsch. Poneważ w tm prpadku wtrmałośc moment gnając mena swą wartość na długośc pręta to najwękse naprężena x, w konstrukcj wstąpą w prekroju maksmalnego momentu gnającego są równe: max M max M max x max (.7) W gde: W nan już wskaźnk wtrmałośc pr gnanu wględem os. max nalę rokładu naprężeń stcnch τ x w prekroju poprecnm określonch worem (.) acnem od omówena wstępującego w nm ujemnego naku. Punktem wjśca pr jego określenu jest to, że wrot tch naprężeń jest tak jak wrot sł poprecnej ne ależ od układu odnesena. Prpsane odpowednego naku po ustalonm już wroce naprężena stcnego wąane jest prjętm układem odnesena reguluje to umowa nakowana naprężeń stcnch reguła podwójnej godnośc (wrotów os układu współrędnch wrotów normalnej ewnętrnej do płascn prekroju). Pokaane na rsunkach obok naprężena stcne w obu prpadkach mają wrot w dół (bo tak dała na roważan prekrój sła τ x > poprecna) ale w prpadku po lewej należ Q prpsać m nak mnus (bo achod negodność ch wrotu dodatnm Q kerunkem os układu współrędnch, pr τ x < równocesnej godnośc wrotu normalnej ewnętrnej do prekroju e wrotem os ). W dowolnm ustalonm prekroju poprecnm pręta naprężena stcne są funkcją jednej współrędnej. Powstaje ptane, jaką funkcją?
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane acnjm od prostego prpadku prostokątnego prekroju o wmarach b h, na któr dała sła poprecna Q Q skerowana godne osą. Welkośc wstępujące we wore na naprężena stcne w tm prpadku prjmują wartośc: ( ) b, b h, b S τ x ( ) h h b h b * b * 4 8 h b h Q b h Q * b 8 h bh h h b atem rokład naprężeń stcnch po wsokośc prekroju prostokątnego jest funkcją kwadratową, która osąga ekstremalną wartość na os obojętnej, a eruje sę we włóknach skrajnch. Rsunek ponżej pokauje opsaną stuację w aksonometr ora w płascźne (, ). maxτ x Q/ h/ h/ maxτ x Q/bh Q/ h/ h/ Q b naprężenam stcnm τ x stowarsone są naprężena τ x (patr rsunek obok) właśne te naprężena są prcną rowarstwana sę pręta (ścnana) w płascnach równoległch do płascn (, ). Q τ x Mając w pamęc rokład naprężeń stcnch dla prostokątnego prekroju narsowane kstałtu rokładu naprężeń stcnch dla nnch prostch prekrojów, w którch bocne tworące są odcnkam równoległe do os ne pownno sprawać trudnośc (patr skce obok). Q τ x 7
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Stan odkstałcena pr poprecnm gnanu jest prestrenn. Pr cm odkstałcena lnowe włóken równoległch do os to jedne odkstałceń głównch. Dwa poostałe to odkstałcena odpowadające kerunkom naprężeń głównch dałającch w płascźne (, )... Energa sprężsta pręta gnanego poprecne Po wstawenu do worów (8.8), ależnośc określającch element macer naprężeń dla pręta poddanego poprecnemu gnanu wkonanu całkowana po jego objętośc dostajem wrażene określające welkość energ sprężstej dla tego prpadku wtrmałośc: U Φ dv V V E [ + ( + ν ) τ ] dv x x l l l l M ( x) Q ( x) S ( ) M ( x) Q ( x) dx d + dx d ( ) dx + E G b E G ( ) ( ) d κ dx, S x gde: κ - współcnnk ależn od kstałtu prekroju nawan b energetcnm współcnnkem ścnana (dla prostokąta ma wartość., a dla prekroju kołowego.8). Energę sprężstą układu łożonego welu prętów poddanch poprecnemu gnanu oblcam wkonując sumowane po wsstkch predałach charakterstcnch: U n l M E ( ) n l x Q ( x) dx + κ dx. (.8) G.4. Wmarowane prętów gnanch poprecne Ograncm sę tera tlko do wmarowana e wględu na stan grancn nośnośc prjmując, że będe on osągnęt jeśl prnajmnej w jednm punkce dowolnego prekroju poprecnego pręta, wartośc naprężeń normalnch lub stcnch będą równe ch wtrmałośc oblcenowej. Tak węc stan grancn nośnośc wmaga, w stoce rec, równocesnego spełnena dwóch nerównośc: warunek nośnośc e wględu na naprężena normalne: materał pręta ma różną wtrmałość oblcenową na rocągane R r ścskane R c max max M max M, x r max r Rr max xc max c Rc gde: max x r max x c - najwękse naprężena rocągające ścskające w prekroju poprecnm konstrukcj, max r max c - odległośc od os obojętnej skrajnch punktów prekroju poprecnego, odpowedno, rocąganch ścskanch. materał pręta ma jednakową wtrmałość oblcenową na rocągane ścskane (materał onomcn) R 8
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane max x max M W R warunek nośnośc e wględu na naprężena stcne: Q S ( ) max τ x max R, b ( ) t gde: R t wtrmałość oblcenowa na ścnane. Punkt, w którm wstąpą maksmalne naprężena normalne to najodleglejs od os obojętnej punkt prekroju poprecnego, w którm wstępuje maksmaln moment gnając. Neco trudnej jest określć punkt wstąpena maksmalnch naprężeń stcnch, jeśl prekrój ma skomplkowan kstałt (np. o mennej serokośc). Wmaga to pewnej anal, ale będe to newątplwe punkt w tm prekroju gde wstępuje maksmalna sła poprecna. tch dwóch wżej podanch warunków na ogół wstarca spełnene warunku stanu grancnego nośnośc e wględu na naprężena normalne, gdż te naprężena w prętach są domnujące. b sę o tm prekonać polcm stosunek maksmalnego naprężena normalnego x do maksmalnego naprężena stcnego τ x w belce wolnopodpartej o prekroju prostokątnm b h obcążonej jak rsunku. P l/ l/ Maksmalne naprężena normalne wstąpą w środku ropętośc we włóknach skrajnch będą mał wartość max M P l max x. W 4 b h Maksmalne naprężena stcne wstąpą we włóknach na os obojętnej będą mał wartość max Q P τ. x b h max P l x b h l atem:. max τ x P h 4b h Ropętość belk jest w węksośc prpadków klkanaśce ra węksa od jej wsokośc podobne domnują wartośc naprężeń normalnch nad stcnm, a naprężena oblcenowe pr rocąganu ne są tak dużo mnejse od tch pr ścnanu, gdż np.: stal StS R MPa, R t.8 R beton B R r.7 MPa, R t.7 R drewno sosnowe R r. MPa, R t.4 MPa. Dla pełnego sprawdena stanu grancnego nośnośc należałob oblcć naprężena główne (tn. ekstremalne naprężena normalne) ekstremalne naprężena stcne porównać je wartoścam odpowednch wtrmałośc oblcenowch. reguł jest to jednak btecne gdż dla belek gnanch o powsechne stosowanch ( ne udwnonch ) kstałtach prekroju, najwękse naprężena normalne wstępują we włóknach skrajnch (w płascźne prekroju poprecnego) tam też wstępują ekstremalne naprężena stcne, którch wartość jest równa połowe tch naprężeń normalnch... Trajektore naprężeń głównch w prętach gnanch poprecne 9
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Roważm płaską tarcę w płascźne (, ) w której wstępuje płask stan naprężena określon macerą naprężeń: max I I mn I II III mn III max III x τ x T, τ x której element są funkcjam mennch x ora. W każdm punkce tarc możem wnacć naprężena główne ch kerunk posługując sę nanm woram: x x max ± + τ x, (a) mn τ x tgα. (b) max mn max mn Rs.. Wberm w nej dowoln punkt I (rs..) wnacm w nm naprężene główne jego kerunek określon tgα max, I max, I, a następne presuńm sę po tm kerunku do blskego punktu II. W punkce II wnacm naprężene główne max, II jego kerunek określon tgα max,i nowu presuńm sę po tm kerunku do blskego punktu III, td. Dałana take możem kontnuować startując od dowolnego punktu na bregu tarc końcąc na nnm punkce bregowm a ch wnkem będe krwa łamana, która w prpadku gd odległoścam męd punktam będem merać do era będe krwą cągłą o tej własnośc, że w każdm jej punkce kerunek maksmalnego naprężena głównego max jest do nej stcn. Krwą o takej własnośc nawać będem trajektorą maksmalnego naprężena głównego. Podobne defnujem trajektorę mnmalnego naprężena głównego. W płaskej tarc trajektore maksmalnch mnmalnch naprężeń głównch tworą dwe rodn krwch prostopadłch do sebe w każdm punkce. Odneśm tera to co ostało wżej powedane do prkładu belk wolnopodpartej obcążonej równomerne której prostokątn prekrój ma wmar b * h ( rs..7) q π 4 π l Rs..7
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Funkcja momentów gnającch naprężeń normalnch są następujące: ql x q x M ( x) M ( x), x ( x,), (c) a funkcje sł poprecnch naprężeń stcnch mają postać: q l Q ( x) S ( ) Q ( x) qx, τ x ( x,), (d) b ( ) bh b h b w którch, S ( ), b ( ) b. 8 Trajektore maksmalnch mnmalnch naprężeń głównch to krwe całkowe nżej podanch równań różnckowch: d τ x d τ x tgα max, tgα mn, (e) dx max dx mn do którch treba wstawć ależnośc (a), (c) (d). Rowąane równań (e) daje dwe rodn krwch, którch prebeg jest naskcowan na rs..7. Lną cągłą naskcowana jest trajektora maksmalnego naprężena głównego (rocągającego), a lna prerwana pokauje trajektorę mnmalnego naprężena głównego (ścskającego). Każda tch trajektor precna oś pod kątem 4, bo tam panuje cste ścnane, podchod do odpowednch krawęd (rocąganch lub ścskanch) belk pod kątem prostm. agadnene trajektor naprężeń głównch jest scególne ważne pr kstałtowanu gnanch poprecne belek żelbetowch. Poneważ wtrmałość betonu pr rocąganu jest klkanaśce ra mnejsa nż pr ścskanu, a stal posada duża wtrmałość pr rocąganu, węc w obsarach belk gde wstępują naprężena rocągające prenosą je stalowe pręt powsechne nawane - brojenem. Prebeg brojena w żelbetowej belce wnen w prblżenu odpowadać kstałtow maksmalnch naprężeń głównch, stąd brojene pracujące na rocągane, w belce wżej analowanej, będe mało kstałt naskcowan na rs..8. Rs..8.. Prkład Prkład... Wnacć potrebn prekrój stalowej belk dwuteowej e wględu na stan grancn nośnośc jeśl wtrmałość oblcenowa stal wnos R 7 MPa. Po prjęcu dwuteownka wnacć jego q kn/ m l. m
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane nośność na gnane. Rowąane Maksmaln moment gnając w belce wnos: q l * max M 8. knm. 8 8 Warunek stanu grancnego nośnośc daje: max M max M 8. * R W W. 4* m 4 cm. W R 7* Prjęto I 4, którego W 4 cm. Pr tak prjętch wmarach prekroju poprecnego naprężena normalne w skrajnch włóknach prekroju maksmalnego momentu gnającego (środek ropętośc belk) wnosą: M 8. * górne x x. MPa 4 cm W MPa 4* M 8. knm M. doln e 8. * x. MPa W 4* a ch rokład pokauje rsunek obok. Pre nośność prekroju na gnane roumeć będem najwęks moment gnając, któr prłożon do prekroju ne wwołuje w żadnm jego punkce naprężeń normalnch węksch od wtrmałośc oblcenowej jego materału. Nośność na gnane, prjętego dwuteownka, wnacm warunku stanu grancnego nośnośc: max M R max M WR max M 4*7 9 Nm. W. Prkład... aką dodatkową P słą P można obcążć pokaaną q. kn/ m drewnaną belkę ab naprężena normalne ne prekrocł wtrmałośc oblcenowej R. m. m MPa. l 4. m Rowąane cm Wskaźnk wtrmałośc prekroju poprecnego belk wnos: b h * W 4 cm. Maksmaln moment gnając w belce (wstąp on w środku jej ropętośc) wnos: q l P l max M +. 8 4 Warunek stanu grancnego nośnośc daje: cm
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane max M W R q l 8 P l + W R 4 4 8 P 4 + 4* 4 * * P N. Prkład... Wnacć wmar prekroju poprecnego belk e wględu na stan grancn nośnośc jeśl wtrmałośc oblcenowe stal są równe R 7 MPa ora R t.r. Po prjęcu wmarów wnacć wkres naprężeń normalnch stcnch w prekroju α-α ora naprężena główne ch kerunk w punkce K tego prekroju. α kn/ m kn a 4 m 4 m α a.a K a.a kn/ m 4 kn 4 m 4 m M knm Rowąane acnem od wnacena wartośc sł prekrojowch. Na wkresach pokaanch obok anacone są ch wartośc w punktach charakterstcnch jak ch ekstremalne wartośc. max M. knm, max Q. kn. 4 m 4 Q kn Następne prejdem do wnacena potrebnch charakterstk geometrcnch prekroju poprecnego belk. Potrebujem wnacć główne centralne ose bewładnośc. Oś, jako oś smetr jest jedną nch, druga oś jest do nej prostopadła prechod pre środek cężkośc prekroju. Musm go wnacć. 4 a. a. a Pole prekroju: a* a + *. a* a 7a Moment statcn wględem dowolne prjętej os : a a.89 a ( ) a S *. a. a. Współrędna środka cężkośc w układe (, ): S. a 7a. a. a a. a
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Główna centralna oś w tm adanu jest osą gnana osą obojętną naprężeń normalnch. Moment bewładnośc prekroju poprecnego wględem os obojętnej a* ( a). a* a 4 + a* a* (. a) + +. a* a* ( 4. 889 a) 8. 97 a Wskaźnk wtrmałośc 4 8. 97 a W. 84 a max. a Potrebn wmar e wględu na naprężena normalne. Najwękse (co do bewględnej wartośc) naprężena normalne wstąpą w prekroju maksmalnego momentu gnającego we włóknach górnch. max M W R W max M R. 84 a * 7* a. 7 m.7 cm. Potrebn wmar e wględu na naprężena stcne. Najwękse (co do bewględnej wartośc) naprężena stcne wstąpą w prekroju maksmalnej sł poprecnej (na prawo od lewej podpor) we włóknach na os. Moment statcn cęśc prekroju powżej włóken w którch wnacam naprężena: S. a* a*. a 4. 7 a ( ) maxq b S ( ) ( ) * * 4. 7 a Rt. * 7* a. 8* 4 8. 97 a * a m.8 cm. Prjęto do wkonana a. 8cm. Wnacm tera wkres naprężeń normalnch stcnch w prekroju α-α gde α α moment gnając ma wartość M 4 kn rocąga włókna górne a sła poprecna jest α α dodatna ma wartość Q kn (patr rsunek nżej). wmar w cm x MPa τ x MPa.9 9.8 α α Q α α M.9.97.8 K.7..7 9.7 8.9.87..44 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Moment bewładnośc wględem os obojętnej: 8.97 *.8 4 87.74 cm 4. Wartośc naprężeń normalnch: M α α 4* 87.74* x 8 górne 4 * x.9 *.9 MPa, 87.74* ( 9.7 * ). 87 doln e 4 * x MPa, 87.74* ( 7.9* ) 8. 9 K 4 * x MPa. 87.74* Wartośc naprężeń stcnch: włókna górne dolne:.9 ora ( 9.7 ) cm τ x włókna na os obojętnej: ( ).9 *. *.9 4. 898 S cm ( ) ( ) α α Q S * * 4.898* τ x.97 MPa b 87.74* *. * włókna: - 7.9 cm Moment statcn, wględem os obojętnej, wchodąc do lcnka woru na naprężena stcne można polcć od cęśc prekroju najdującej sę ponżej włóken (tak jest proścej) borąc jednak do dalsch oblceń jego bewględną wartość gdż wrot naprężeń stcnch generuje wrot sł poprecnej pr prjętm układe współrędnch jest on ujemn, co ostało już uwględnone w naku we wore na naprężena. ( 7.9) 9. *.8*8.8 4. S cm Dla tej współrędnej wstępuje skokowa mana serokośc prekroju dlatego też wstąpą dwe wartośc naprężeń stcnch. τ x * 87.74* *4. * *. *. MPa,
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane τ x * 87.74* *4. * *9. *.44 MPa. Oblcene naprężeń głównch ch kerunków w punkce K prekroju α-α. W tm punkce wstępuje płask stan naprężena (wsstke wektor naprężeń prpsane dowolnm płascną precęca leżą w płascźne (, )) określon macerą naprężeń: K T 8.9.. MPa K max mn K K x x ± + τ K 8. 9 8. 9 ( ) ± + (. ) x K max K mn.49 MPa, 8. MPa. tgα tgα K τ x. o ' max. α max 8 4 K max.49 K τ x. o ' mn.748 α mn 4 7 K mn 8.. max.49. 8.9 8.9 mn 8.. max.49. α mn 8. α ' max 8 o 4 ' mn 7 4 o Prkład..4. Wnacć wmar płaskownka, któr należ prspawać do półek dwuteowej stalowej belk I pokaanej na rsunku w celu apewnena jej potrebnej nośnośc. Wtrmałość oblcenowa stal R MPa. Rowąane q kn/ m l. cm cm 9 cm Dane tablc profl walcowanch 4 cm 4 W 4 cm
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Maksmaln moment gnając dałając na belkę: q l * max M 4. knm 8 8 Maksmaln dopuscaln moment gnając, któr dan prekrój dwuteow może preneść: dop M W R 4* * * Nm. knm. Belka ne może preneść adanego obcążena, jej prekrój wmaga wmocnena. Prjęto do wmocnena dwa płaskownk o wmarach 7.*.8 cm prspawane do półek dwuteownka. Moment bewładnośc wmocnonego prekroju wględem os obojętnej: 7*. 8 4 + 7*. 8*. 4 + 4 +. 9 +.. 99 cm 4 Wskaźnk wtrmałośc wmocnonego prekroju: W. 99. 8. 7 cm. Dopuscaln moment gnając któr może preneść wmocnon prekroju na gnane): prekrój (nośność dop M W R. 7* * * 4. Nm 4. knm. Nośność wmocnonego prekroju na gnane jest węksa od maksmalnego momentu gnającego dałającego w prekroju. Płaskownk wmacnające prekrój belk potrebne są tlko na długośc belk gde wstępuje moment gnając węks od. knm. Mejsce wstępowana tego momentu: x M ( x) x. x x +. 4 x. 4 m, x 4. m. Dano ostatecne dwa płaskownk 7*.8 cm na długośc. m. Na rsunku ponżej lną prerwaną narsowano wkres momentów gnającch dałającch na belkę, lna cągła pokauje wartośc momentów, które belka może preneść. Wkres narsowan lną cągłą mus obejmować wkres narsowan lną prerwaną. kn/ m.4. m.4. m.8 cm cm 7 cm.. 4.. M knm.8 9 cm 4... m. 7
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Prkład... Dla spawanej belk o smetrcnm prekroju teowm jak rsunku wnacć najwęksą dopuscalną wartość sł P (nośność belk) e wględu na: naprężena normalne jeśl R 7 MPa naprężena stcne pr ścnanu spon jeśl R ts MPa. cm P cm grubość spon a.4 cm. m. m cm cm P Rowąane pokaanch obok wkresów momentów sł poprecnch wnka, że: Pl max M 4, P max Q. P /. m. m Pl / 4 M Q P / Wnacene os głównch centralnch potrebnch charakterstk geometrcnch ne pownno stanowć trudnośc. Ich położene pokauje rsunek obok a moment bewładnośc wskaźnk wtrmałośc wględem os gnana wnosą:. cm 4, W 44. 9 cm. max Nośność belk e wględu na naprężena normalne: max M P R max M W R 44. 9* W 4 W celu wnacena nośność belk e wględu na ścnane spon polcm wperw słę rowarstwającą męd stopką a środnkem na jednostkę długośc belk. τ x cm cm cm * 7* τ x cm cm cm P. 8kN τ x 8 l b
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane akładając równomern rokład naprężeń stcnch (patr rsunek obok) sła ta jest równa: Q S Q S T τ x * b* b, b gde: Q P, S * * * * m (to moment statcn półk wględem os gnana). Tą słę musą preneść dwe spon, którch powerchna ścnana na jednostkowej długośc wnos: 4 sp * a* *. *. 8* m. Pr ałożenu równomernego rokładu naprężeń ścnającch w sponach, naprężena wnn spełnać warunek: T R. t s sp Stąd nośność belk e wględu na ścnane spon wnos: Q S T R t s sp R t s sp P * S R t s sp * * * * * *. 8* 44. 94 kn. atem najwęksa dopuscalna sła jaką można obcążć analowaną belkę ma wartość.8 kn. Prkład.... Dla belk o schemace prekroju jak na rs. wnacć w prekrojach α α, β β γ γ : rokład naprężeń normalnch stcnch w prekroju poprecnm, naprężena główne ch kerunk ora maksmalne naprężena stcne τ max w anaconch pęcu punktach po wsokośc prekroju, α α Rowąane β β γ γ m m m q kn/m 4* cm 4 cm 9
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Wkres sł prekrojowch wra ch wartoścam w adanch prekrojach pokaane są obok. Potrebne do wnacena naprężeń wartośc charakterstk geometrcnch wnosą: moment bewładnośc wględem os obojętnej * 84. cm 4, moment statcne wchodące do woru na naprężena stcne w adanch kolejnch punktach prekroju S S,,, S,, 4. S, * * 8. cm S * * 4. 8 cm, Prekrój α α (prekrój podporow) M, Q 4. kn Naprężena normalne w prekroju poprecnm x wobec erowana sę momentu gnającego są równe ero. Naprężena stcne w prekroju poprecnm: Q S ( ) τ x b ( ) 4* * 8* τ x, τ x,, τ x, τ x, 4. MPa, 84* * * 4* * 8* τ x,. MPa. 84* * * Naprężena główne ch kerunk W prekroju wstępuje cste ścnane naprężena główne w każdm punkce są równe wstępującm w nm naprężenom ścnającm a ch kerunk nachlone są pod kątem 4 do os (patr rs. nżej na którm opsane są tlko wartośc max ). Maksmalne naprężena stcne są w tm prpadku równe naprężenom stcnm w prekroju poprecnm. α α 4 β β γ 4 γ M knm Q kn x τ x max mn τ max.. 4.... 8. 8. 4 8. 8. 8. 8.. 4. 4.... 4 MPa
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Prekrój β β M. knm, Q. kn, w prekroju wstępuje poprecne gnane w ogólnośc każd punkt tego prekroju ( wjątkem skrajnch) najduje sę w płaskm stane naprężena, którego płascną jest płascna (, ). Naprężena normalne w prekroju poprecnm M x * * x, * 8. MPa, 4 7 x, *. MPa, 84* 84* * x,, x, 4 ( * ) 4. 7 MPa 84* * x, ( * ) 8. MPa 84* Naprężena stcne w prekroju poprecnm Q S ( ) τ x b ( ) * * 8* τ x, τ x,, τ x, τ x, 4. MPa, 84* * * * * 8* τ x, 4. MPa. 84* * * Naprężena główne ch kerunk x x max ± + τ x, mn Punkt max,, tgα max,, max mn τ tgα x max mn α max, 9, o 8 MPa, tgα, mn,. mn, o α mn,. Punkt 4. 7 4. 7 ( ) max, ± +., max,. 9 MPa, mn, 4. MPa, mn,. tgα max, 4. 7 α max, 9 ',. 9. tgα mn,. 7* α mn, '. 4. Punkt 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane max, mn, ( 4. ) ±, 4. MPa, 4. MPa, max, 4. 4. tgα max, α max, 4, tgα mn, α mn, 4. 4. 4. Punkt 4 mn, 4. 7 4. 7 ( ) max, ± +., max, 4. MPa, mn,. 9 MPa, mn,. tgα max,. 7* α max, ', 4.. tgα mn, 4. 7 α mn, 89 '.. 9 Punkt o 8. MPa, tgα max,, α max,, max, mn,, tgα mn,, o α mn, 9. Maksmalne naprężena stcne : max mn τ max Punkt τ τ 4 MPa max, max,. Punkt τ 4 MPa max,. Punkt 4 τ τ 8 MPa max, max, 4. 8. 8. 8. x τ x max 8. mn τ max. 4.7.9 89 4.7..9 4..8 4. 4. 4 4. 4. 4. 4.. 4.7 4 4. 4.7. 4..9.8 8. 8. 8. MPa 8. 4. 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Prekrój γ γ (prekrój w środku ropętośc) M 4. knm, Q w prekroju wstępuje proste gnane wględem os w każd punkce prekroju wstępuje jednoosow stan naprężena, repreentowan pre naprężene x, które jest równoceśne jednm naprężeń głównch. Naprężena normalne w prekroju poprecnm M x 4* 4* x, * 77. 78 MPa, 8 89 x, *. MPa, 84* 84* 4* x,, x, 4 ( * ) 8. 89 MPa, 84* 4* x, ( * ) 77. 78MPa. 84* Naprężena stcne w prekroju poprecnm τ x wobec erowana sę sł poprecnej są równe ero. Wartośc naprężeń głównch, ch kerunk ora maksmalne naprężena stcne pokaane są nżej. 77.78 77.78 x τ x max 77.78 mn τ max 8.89 8.89 8.89 8.89 9.44 8.89 4 8.89 8.89 9.44 77.78 77.78 77.78 MPa 8.89 Prkład..7. Oblcć wartość energetcnego współcnnka ścnana κ dla podanch prekrojów. 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane h b 4 Prostokąt bh bh b bh bh; ; b( ) b; S ( ) 4 8 8 h κ 9 8 9 4 ( u ) du ( u + u ) du. S ( ) d b ( ) bh b h 44 8 h h b h 4 4 4 h b b d 9 4h h h, ( ) Łatwo warto auważć, że energetcn współcnnk ścnana dla kwadratu * będe też mał wartośc. bo jak wdać powżsch oblceń jego welkość ne ależ od b ora h. Lcene powżsej całk po obsare * jest nacne prostse. Prekrój skrnkow dwuteow Wartośc energetcnego współcnnka ścnana dla obu prekrojów będą take same. Oblcena preprowadm dla prekroju skrnkowego. * 4 *, * 4*.7, ; < < b ( ), ; < < h d S **. + **. 8 ; ( ) ** 8 ; < < < <, 44
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane κ S ( ) d b ( ).*.*.*.7 (8 ) d + (4 (8 ) + ( 4 ) d + (9 7 (.7 +. ).4+.4. 447 ) d + d (8 ) + 4 d ) d Wnk oblceń pokauje, że decdując wpłw na welkość κ ma środnk ne półk. W pokaanm prkłade udał środnka stanow.4/.447 99 %. Prkład..8. Oblcć energę sprężstą U dla belk wspornkowej obcążonej jak na rsunku. P P. kn, l. m, l h b b. m, h. m, E GPa, ν. Rowąane Polcm całkowtą energę sprężstą tej belk wkorstując wór wrażając energę sprężstą popre sł prekrojowe: U M ( x) Q ( x) dx dx + E κ. G M(x) P(x-l) ; Q(x) P l ( x l) P P P l U dx +. dx E G E l ( + ν ) ( +. ) 4 P l +. G. *.. *.. * m,. 7* m 4, 9 E * 9 G 78. 84* N/m. 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane *.. * *. U +. 97 +. 8. 98 Nm. 9 9 4 * * *. 7* * 78. 84* *. * Wdocn jest domnując wpłw momentów gnającch w energ sprężstej, udał sł poprecnch w tm prkłade wnos.8/.98.8% reguł jest pomjan w oblcenach..7. Belk espolone.7.. Naprężena normalne w belkach espolonch W konstrukcjach budowlanch bardo cęsto spotkam sę ustrojam prętowm wkonanm materałów o różnch własnoścach fcnch, współpracującm e sobą na powerchn stku w sposób cągł. Take konstrukcje nawać będem belkam espolonm, a tpowe ch prkład jak belka żelbetowa c obetonowana belka drewnana pokaane są na rs..9. beton drewno Rs..9 Wnacm ależnośc podające rokład naprężeń normalnch w belkach espolonch gnanch poprecne. Pr ch wprowadanu prjmem, że: spełnona jest asada płaskch prekrojów Bernoule go materał składowe belk są lnowo sprężste różną sę jedne stałm materałowm obcążene prekrój poprecn belk spełna warunk poprecnego gnana. Roważm prekrój belk espolonej pokaan na rs.., w którm moment gnając M x. Oś jest osą smetr prekroju, a włókna leżące na płascźne (, ) jest równ ( ) ne menają swej długośc po prłożenu obcążena węc oś jest osą obojętną. ej położene, na rae ne nane, wględem włóken dolnch określa współrędna. -t materał x M (x) x Rs.. ałożene płaskch prekrojów powala apsać równane geometrcne określające odkstałcena lnowe dowolnch włóken w postac: 4
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane ε x a( x) gde: - współrędna włóken merona od os obojętnej (os gnana), a ( x) - krwna os belk. Lnowo sprężste fcne własnośc -tego materału powodują, że naprężena normalne w nm wnosą: E ε E a( x). (.9) x x Te naprężena musą spełnać równana równoważnośc odpowednch układów sł wewnętrnch ewnętrnch: x d, ( x) x d M. Podstawając do perwsego nch (.9) po kolejnch prekstałcenach : k x d k k E E a E ( x) d d otrmujem równane do wnacena os obojętnej : k ( ) n S, (.) gde: k - lość materałów składowch belk, E n, a E to moduł ounga materału prjętego a porównawc, E ( ) S d moment statcn wględem os pola prekroju ajmowanego pre -t materał., Podstawając do drugego równana równoważnośc wór (.9) wkonując sereg prekstałceń : k d k k E M E ( x) E a( x) d M ( x) a( x) d M ( x) x otrmujem równane do wnacena krwn os belk: a ( x) gde: ( x) w M (.) E w k n d - tw. ważonm moment bewładnośc. (.) Podstawając (.) do (.9) otrmujem wór podając rokład naprężeń normalnch w prekroju poprecnm gnanej belce espolonej:, 47
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane ( x) M x n. (.) w.7.. Prkład Prkład.7... Wnacć rokład naprężeń normalnch na podpore B espolonej belk drewnano-betonowej, pokaanej na rsunku, prjmując, że moduł ounga betonu E b jest cterokrotne węks od modułu ounga drewna E d. B kn cm cm E b 4*E d 4 m m cm Rowąane 4 4 ako materał porównawc prjmem drewno, stąd welkośc dotcące betonu, pr ałożonm stosunku E b /E d, będą mnożone pre 4. Położene os obojętnej: n S ( ) ; 4 4 7.4 8. wmar w cm ( ) + 4 [ 8* * ( 8 ) * * ( )] 8 * *. Ważon moment bewładnośc wględem os obojętnej : w n * + * *. 8* * + 4 + 8* *. + * *. Wartośc naprężeń normalnch oblcam e woru: M x n w wnosą one w betone: górne * x b 4. 74. 7 MPa, 748* doln e * x b 4 (. 8). 4 MPa. 748* + 748 cm 4. cm. 48
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane w drewne: górne * x d. 74. 4 MPa, 748* doln e * x d (. ). 9MPa. 748*.7.4 x MPa.9.4 Prkład.7... Wnacć położene os obojętnej ważon moment bewładnośc espolonej belk drewnano-stalowej pokaanej na rsunku jeśl moduł ounga stal E s GPa a moduł ounga drewna E d GPa. Rowąane ako materał porównawc prjmem drewno stąd welkośc dotcące stal będą mnożone pre..... wmar w cm. Położene os obojętnej: n S ( ) ;... * ( 7. ) +. * * (. 7 ) +. * * (. ) + * + *. * * * (. ) 78 cm.. Ważon moment bewładnośc wględem os obojętnej: w * *. *. n + * *. 7 + +. * * 9. 97 + * +. * *. + *. * *. 8 + 94. 4 cm 4...78 + 49
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane Prkład.7... Wnacć wartośc naprężeń normalnch w prekroju poprecnm gnanej momentem M knm belk żelbetowej o prekroju prostokątnm x4 cm brojenu 4 Ø mm ( s 4. cm ) jak na rsunku, pr ałożenu, że beton ne prenos naprężeń rocągającch. Moduł ounga betonu E b GPa, stal E s GPa M 4 wmar w cm Rowąane Pr rowąanu adana prjmem, że spełnona jest asada płaskch prekrojów, oba materał składowe tj. beton stal pracują w akrese lnowo sprężstm ora że rokład naprężeń normalnch w stal e wględu na małą średncę prętów jest stał. xb ε xb N b b h h h M s h N s cm ε xs b Newadomm w adanu są: wartośc naprężeń normalnch w betone xb, stal brojenowej xs ora położene os obojętnej (asęg stref ścskanej). Do dspocj mam dwa równana równoważnośc układów sł wewnętrnch ewnętrnch (wnkającch równań równowag) warunek geometrcn w postac ałożonej hpote płaskch prekrojów. Równana równoważnośc: x d xb db + b s xs d s N b + N xb b xs s x d M Nb h M xb b h M równane geometrcne: xb xs h s N b N s (a), (b) ε ε. (c) W powżsch ależnoścach N b N s onacają wpadkową naprężeń ścskającch w betone wpadkową naprężeń rocągającch w stal. ałożone lnowo sprężste własnośc materałów powalają napsać wąk:
dam Bodnar: Wtrmałość Materałów. Poprecne gnane xb Ebε xb, xs Esε xs, które wstawone do równana (c) dają ależność: xs gde: h n xb (d) n E s E. b Wstawene tej ależnośc do równana (a) daje równane kwadratowe h n s n s xb b n xb s + h, b b którego możem wnacć położene os obojętnej w betone: n s b h +, (e) b n s co kole dęk równanom (b) (a), powala wnacć wrażena określające welkość naprężeń normalne w betone stal : M xb, b ( h ) M xs. (f) ( h ) s Podstawając adane welkośc momentu gnającego, stałch materałowch wmarów prekrojów betonu stal otrmujem: n b s b h + n s *. 8* 4. *. 4 *. *. 7 +. 8* 4. * 4. 8 m, M * * xb b ( h ). *. 8(. 7. 8 ). 9 MPa, M * xs 4 s ( h ) 4. * (. 7. 8 ). MPa.