Przykład 3.2. Zginanie ukośne. Układ współrzędnych (0xy)

Transkrypt

1 Prkład.. Zgnane ukośne. Układ współrędnch (0) Wnac rokład naprężena normalnego w prekroju podporowm belk wspornkowej o długośc L obcążonej na końcu swobodnm ponową słą P. Wmar prekroju poprecnego belk podane są na rsunku amesconm ponżej. Oblc naprężena prjmując następujące wartośc lcbowe: P0kN L00cm a1cm Prekrój poprecn P L a 6a a a Rowąane Oblcm moment gnąc charakterstk prekroju. Prekonam sę c wektor momentu gnącego pokrwa sę jedną głównch os momentów bewładnośc prekroju. Pred prstąpenem do oblceń warto pre chwlę astanowć sę nad adanem. Prglądając sę kstałtow prekroju poprecnego łatwo możem prewdeć że ose główne są ustawone skośne. Poneważ wektor momentu jest poom (prostopadł do sł P) prewdujem że mam odcnena e gnanem ukośnm. Wnacm wektor momentu gnącego w utwerdenu. L PPL000[kNcm] α P α -α α L PL

2 Oblcm moment bewładnośc prekroju poprecnego. Podelm fgurę na dwa prostokąt wnacm środek cężkośc wartość momentów bewładnośc wględem os centralnch. a Współrędne środka cężkośc wnacam e worów: a a 6a Σ S c Σ F Σ S c. Σ F F -onaca pole powerchn -tej fgur na które podelono cał prekrój. S F - jest momentem statcnm -tej fgur na które podelono cał prekrój wględem os. oment statcn wględem os równ jest locnow pola powerchn tej fgur pre współrędną jej środka cężkośc. S F - jest momentem statcnm -tej fgur na które podelono cał prekrój wględem os. oment statcn wględem os równ jest locnow pola powerchn tej fgur pre współrędną jej środka cężkośc. Oblcena możem sbko preprowadć wkorstując arkus kalkulacjn. nr fgur F pole powerchn S moment statcn S moment statcn 1 [a] [a] 6 [a] 7 [a] 8 [a] 1 [a] 5 [a] 60 [a] [a] 6 [a] [a] [a] 96 [a] 5 [a] 10 [a] Σ S 96a Σ S 10a a a c 5 Σ F a Σ F a c

3 Oblcm tera korstając e worów Stenera wartośc momentów bewładnośc wględem os centralnch.nech ose 1 1 onacają ose centralne dla poscególnch fgur na które podelono cał prekrój a 1a 5a a a 6a (a) 1 a (6a) 1 + (a) 1a + + (a) 1a 16a a (6a) 1 6a (a) 1 + ( a) 1a + + a 1a 6a 0 + a ( a) 1a ( a) a 1a 8a Dalsą cęść adana możem rowąać na dwa sposob. ożna wnacć ose główne centralne naleźć współrędne wektora momentu gnącego w osach głównch centralnch wkorstać wór na naprężena pr gnanu dla os głównch centralnch. Drug sposób polega na wkorstanu woru na naprężena pr gnanu wprowadonego dla os centralnch. etoda druga jest krótsa ale daje mnej możlwośc sprawdena poprawnośc nasego rowąana. Rowąując metodą perwsą nam ustawene os głównch możem sprawdć c wnacona pre nas oś obojętna dla gnana ukośnego jest odchlona od kerunku wektora momentu w stronę os głównej wględem której moment bewładnośc jest mnejs. Predstawm węc obdwa rowąana.

4 etoda rowąane w osach głównch centralnch. Wnacm ose główne centralne główne centralne moment bewładnośc. ( + ) ( + ) + 0a 0 0 tg β β n π / [ rad] β n5 ' Poneważ moment dewacjn ma wartość ujemną węc oś główna wględem której moment bewładnośc osąga maksmum prechod pre perwsą ćwartkę układu (0). Zmeńm układ os na tak jak tradcjne stosuje sę w adanach na gnane belek. Zamast układu (01) wprowadm układ (0). Zapsm moment bewładnośc wględem os nowego układu: 1 0a

5 Oblcm współrędne momentu gnącego w układe (0). sn(6 0 5 )0.7 cos(6 0 5 )0.89 Rokład naprężena normalnego od gnana wnacm e woru: Podstawając wartośc PL 0a otrmujem: 0.7PL 0.89PL 0a Równane os obojętnej (boru punktów prekroju dla którch naprężene równe jest eru) otrmujem podstawając a wartość ero. 0.7PL 0.89PL a Wnacm naprężena w punktach położonch najdalej od os obojętnej. Onacm te punkt lteram wnacm współrędne tch punktów w osach głównch centralnch (0) Zapsem współrędne punktów w osach (0) dokonam transformacj układu pre obrót o kąt α6 o 5. 5

6 cosα + snα snα + cosα podstawając dla punktu a a dla punktu 0-5a otrmam odpowedno współrędne punktów w układe prmam. Dla punktu : a cosα + a snα. 105a a snα + a cosα a Dla punktu : 0a cosα + ( 5a) snα. 61a 0a snα + ( 5a) cosα. 71a Wróćm do układu (0) w którm wnacalśm naprężene od gnana. Współrędne punktów w tm układe wnosą: Dla punktu : a.105a Dla punktu : -.71a -.61a Podstawm tera wnacone współrędne punktów do wprowadonego wceśnej równana na naprężene normalne pr gnanu: 0.7PL 0.89PL 0a Dla punktu : a.105a 0.7PL 0.89PL 1.PL 1.6PL 7.PL.105a ( a) + 0a 0a dla PL000 [kncm] a1 [cm] otrmam: 180 [ kn / cm ] 1.8 [ GPa]. Dla punktu : -.71a 6

7 -.61a 0.7PL 0.89PL ( 1) PL PL 8PL (.61a). 71a 0a 0a dla PL000 [kncm] a1 [cm] otrmam: 00 [ kn / cm ].0 [ GPa]. etoda rowąane w osach centralnch. Rokład naprężena normalnego od gnana apsan dla układu centralnego wraża wór: + + J Prejdźm układu (0) w którm sukalśm momentów bewładnośc prekroju poprecnego do układu (0) w którm wprowadon bł wór na naprężena normalne od gnana 16 a 6 a 8 a 16 a 6 a 8 a 7

8 Zauważm że nasm adanu wektor momentu gnącego pokrwa sę osą. Wartośc składowch momentu wnosą węc: PL 0. Wór na naprężena normalne od gnana uprasca sę do postac: Równane os obojętnej otrmujem podstawając a wartość ero a 8 a Wnacm naprężena w punktach położonch najdalej od os obojętnej. Onacm te punkt lteram wnacm współrędne tch punktów w osach centralnch (0). 8

9 Współrędne punktów wnosą: Punktu -a a Punktu 5a 0 Podstawm tera współrędne punktów wartośc momentów bewładnośc do wprowadonego wceśnej równana na naprężene normalne pr gnanu. Otrmam naprężena normalne w punktach leżącch najdalej od os obojętnej. dla punktu PL 8 a PL 6 a PL a ( a) a 6 a (8 a ) 16 a 6 a (8 a ) a Po podstawenu wartośc lcbowch dla P L otrmujem: 000kNcm [ / ] 1.8 [ ] kn cm GPa cm dla punktu PL 6 a (5a) 16 a 6 a (8 a ) PL 0.05 a Po podstawenu wartośc lcbowch dla P L otrmujem: 000kNcm [ / ].0 [ ] kn cm GPa cm 9