I. Elementy analizy matematycznej

Transkrypt

1 WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem tangens kąta pomędzy styczną do wykresu funkcj w danym punkce a osą x ( czyl: f (x) = tgα ): Oto klka przykładów pochodnych podstawowych funkcj: (x 2 )' = 2x (e x )' = e x (ln x)' = 1/x (x>0) (sn x)' = cos x (cos x) = - sn x (x n )' = n x n-1 1

2 Podstawowe własnośc pochodnej : (g + f)' = g ' + f ' (addytywność) (g f)' = gf ' + fg ' (pochodna loczynu dwóch funkcj) (g/f)' = (g ' f f ' g) / f 2 (pochodna lorazu dwóch funkcj) [ f (g(x)) ] ' = f '(u) g '(x) = f ' [g(x)] g'(x) ( gdze: u=g(x) ) Całka neoznaczona (pochodna funkcj złożonej) Całkowane jest operacją odwrotną do różnczkowana (czyl do brana pochodnej). Zapsujemy je następująco: g (x)dx = f (x) (2) Wynk operacj całkowana nterpretujemy następująco: znalezona funkcja f(x) ma taką własność, że po zróżnczkowanu jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x); a zatem: f '(x) = g(x) lub też naczej: f '(x) dx = f(x) lub jeszcze naczej : df dx = f (x). dx Prawdzwa jest też równość uzyskana z powyższej przez zamanę kolejnośc różnczkowana całkowana: d dx f (x)dx = f (x) Klka przykładów całek neoznaczonych: 2x dx = x 2 + C e x dx = e x + C 2

3 (1/x) dx = ln x + C cos x dx = sn x + C Całka oznaczona Ma ona znaczene powerzchn pod krzywą: Zastanówmy sę jak można polczyć pole pod wykresem funkcj g(x) w przedzale x od x=a do x=b. Najproścej jest rozbć to pole na welką lość bardzo cenkch pasków. Ponumerujmy te pask wskaźnkem, całkowta lość tych pasków nech wynos N. Pole -tego paska, o szerokośc x wynos: S = g(x ) x, Zaś całkowte pole pod krzywą (w zakrese x od a do b) wynos: S = S = g(x ) x 3

4 gdy przejdzemy z x do grancy zero: b lm g(x ) x = g(x)dx ( x 0) Zatem ostateczne: a S = b a g(x)dx = f (b) f (a) (3) Zwązek całk oznaczonej z neoznaczoną W analze matematycznej wykazuje sę, że: b g(x)dx a = f (b) f (a) (4) gdze: f. (x) = g(x) dx Często też stosowany jest następujący praktyczny sposób zapsu: b g(x)dx = a b [ f (x)] = [f (b) f (a)] a (5) II. Elementy rachunku wektorowego Układ współrzędnych Geometryczną bazą rozważań w fzyce jest układ współrzędnych. Słynne jest twerdzene z fzyk klasycznej, które mów, że: Wszystke prawa fzyk mają taka samą postać w dowolnym nercjalnym (czyl ne poruszającym sę ruchem przyspeszonym) układze współrzędnych. 4

5 Wektory Welkośc take jak: przemeszczene r prędkość v przyspeszene a pęd p wele, wele nnych są wektoram. Wektory oznaczać będzemy prze pogrubene (ang.: bold ). W welu podręcznkach oznaczane są one także prze dopsane strzałk nad lterką oznaczającą dany wektor. Wektor ma wartość, kerunek zwrot. Składowe wektora są wartoścam jego rzutów na ose układu współrzędnych. Dodawane wektorów: A + B = C 5

6 Zachodz oczywśce: C x =A x +B x, C y =A y +B y, C z =A z +B z. Równość wektorów: A = B Zachodz oczywśce: A x =B x, A y =B y, A z =B z. Iloczyn skalarny wektorów: Iloczyn skalarny defnujemy następująco: A B = A B cosα Wynkem loczynu skalarnego jest lczba. Iloczyn wektorowy: Defnujemy go następująco: 6

7 A x B = C Rezultatem wykonana loczynu wektorowego jest nowy wektor C, który jest prostopadły do A B jego długość wynos: C=A B sn α Wynkowy wektor C możemy przedstawć jako: C=C x + C y j + C z k, gdze, j, k są wersoram (czyl wektram jednostkowym) os układu współrzędnych. Wykazuje sę, że: C x =A y B z - A z B y C y =A z B x A x B z C z =A x B y A y B x Zauważmy, że w obrębe perwszych trzech wektorów występujących w powyższych równanach zauważyć można cyklczność występowana wskaźnków (np. xyz, yzx czy zxy). Ilustruje to ponższy dagram. Wygodne jest także przedstawć wynk loczynu wektorowego w postac wyznacznka: 7

8 C = A B x x j A B y y k A B z z Pochodna wektora: Pochodną tą stosuje sę do wektorów zmenających sę w czase. Jeśl w przedzale czasu t przyrost wektora r(t) wynos r: r = r(t+ t) r(t), to stosunek: r dr t dt (gdy t 0) dr Pochodna wektora r, czyl jest zatem zdefnowana tak samo jak pochodna funkcj skalarnej. dt Pamętać jednak należy, że pochodna wektora jest nowym wektorem, o nnym na ogół kerunku nż wektor, który różnczkujemy. Przykładowo, jeśl cało porusza sę po łuku, to pochodna wektora r (pokazującego położene cała, a węc skerowanego wzdłuż promena krzywzny łuku) jest jego prędkoścą v skerowana jest styczne do łuku. Właśne welkośc take jak prędkość przyspeszene są ścśle zdefnowane poprzez pochodną wektorową. Tak węc: dr Prędkość: v (t) = dt 2 dv d r Przyspeszene: a (t) = = 2 dt dt 8