Wyznaczanie przemieszczeń

Transkrypt

1 ór Maxwea-Mora

2 δ ynacane premesceń ór Maxwea-Mora: Bea recywsym obcążenem δ MM JE NN E ( ) M d g N o P q P TT κ G ór służy do wynacena premescena od obcążena recywsego. równanu wysępuą weośc, wywołane obcążenem recywsym ednosowym obcążenem wruanym, dałaącym na erunu wynacanego premescena. Bea ednosowym wruanym obcążenem w punce, w órym wynacamy premescene

3 ynacane premesceń ór Maxwea-Mora: δ M ( ) d g N o MM JE NN E TT κ G N sła normana, T sła nąca, M momen gnaący, reace, poe prerou, J momen bewładnośc prerou wgędem os prosopadłe do płascyny gnana, E moduł Younga (odsałcena podłużnego), G moduł Krcoffa (odsałcena posacowego), współcynn roseranośc cepne, wysoość prerou, obcążena geomerycne, o emperaura w os, d g emperaura górna dona eośc nadreśenem są wywołane ednosowym obcążenem wruanym

4 Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora Twerdene Maxwea o waemnośc premesceń: Jeże na onsrucę dałaą dwe neaeżne uogónone sły ednosowe P P, wywołuące odpowedno premescena w (premescene w punce na erunu sły P wywołane słą P ) w (premescene w punce na erunu sły P wywołane słą P ), o e premescena są sobe równe. P P w P w ora P P w w Ugęce be od sły P Ugęce be od sły P P w w w w Praca sły P P P Praca sły P w w w w

5 Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora Twerdene Maxwea o waemnośc premesceń u u Bea recywsym obcążenem P Bea wruanym obcążenem P u u u Praca obcążena wruanego na recywsym premescenu P Praca obcążena recywsego na wruanym premescenu u P u u u u u u

6 Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora Zasada prac wruanyc da cał odsałcanyc: Suma prac sł ewnęrnyc P na premescenac wruanyc u naprężeń recywsyc σ na odsałcenac wruanyc es równa ero. P ε P cy u P u σ σ T T ε ε d d 0 u Da uładów pręowyc u P u σ ε d τ γ d

7 Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora Twerdene Maxwea o waemnośc premesceń u u Zasada prac wruanyc σ ε d u u σ ε d τ γ d u τ γ d ub u σ ε d τ γ d Bea recywsym obcążenem u P u Bea wruanym obcążenem P u u

8 Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora Praca sły wruane na premescenu recywsym es równa pracy naprężeń na odsałcenac wruanyc u σ ε d ub praca sły wruane na premescenu recywsym es równa pracy naprężeń wruanyc na odsałcenac recywsyc Bea recywsym obcążenem u P u u u σ ε d P τ γ d τ γ d Bea wruanym obcążenem u σ, τ, ε, γ naprężena normane sycne ora odsałcena podłużne posacowe od obcążena recywsego σ, τ, ε, γ - naprężena normane sycne ora odsałcena podłużne posacowe od obcążena wruanego

9 δ Twerdena wyorysywane we wore Maxwea-Mora ór Maxwea-Mora MM JE NN E κ G M ( d g ) TT N wyna werdena, że praca sły wruane na premescenu recywsym es równa pracy naprężeń na odsałcenac wruanyc ub praca sły wruane na premescenu recywsym es równa pracy naprężeń wruanyc na odsałcenac recywsyc σ ε d u τ γ d ub u σ ε d τ γ yprowadene woru Maxwea-Mora wymaga naomośc aeżnośc pomędy naprężenam odsałcenam a słam wewnęrnym o d

10 Naprężena odsałcena a sły wewnęrne

11 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Naprężena od ewnęrnyc sł recywsyc: normane od momenu gnaącego P σ(), J Μ M σ ( ) d b ( ) σ M J M momen gnaący, poe prerou, J momen bewładnośc prerou wgędem os prosopadłe do płascyny gnana, b seroość prerou

12 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Naprężena od ewnęrnyc sł recywsyc: normane od sły normane P σ(), J Ν N σ ( ) d b σ N N sła normana, poe prerou, b seroość prerou

13 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Naprężena od ewnęrnyc sł recywsyc: sycne od sły nące pry gnanu, J b Ŝ( ) τ() P T τ ( ) Τ ( ) τ M momen gnaący, poe prerou, J momen bewładnośc prerou wgędem os prosopadłe do płascyny gnana, b seroość prerou, Ŝ( ) momen saycny od rawęd prerou do współrędne T Sˆ bj d ( )

14 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Naprężena od ewnęrnyc sł recywsyc: normane od momenu gnaącego normane od sły normane sycne od sły nące ( ) τ T σ Sˆ bj u ( ) ( ) σ N P u M J, J b Ŝ( ) N sła normana, T sła nąca, M momen gnaący, poe prerou, J momen bewładnośc prerou wgędem os prosopadłe do płascyny gnana, b seroość prerou, Ŝ momen saycny od rawęd prerou do współrędne ( )

15 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Naprężena od ewnęrnyc sł wruanyc: normane od momenu gnaącego normane od sły normane sycne od sły nące P σ ( ) σ N ( ) T M Sˆ bj J ( ), J τ Ŝ( ) b u u N sła normana, T sła nąca, M momen gnaący, poe prerou, J momen bewładnośc prerou wgędem os prosopadłe do płascyny gnana, b seroość prerou, momen saycny od rawęd prerou do współrędne

16 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u w σ ε d τ γ d Odsałcena od ewnęrnyc sł recywsyc: odsałcene nowe od obcążeń saycnyc ( ) ( ) M N ε σ E EJ E odsałcene posacowe od obcążeń saycnyc ( ) ( ) TSˆ ( ) γ τ G bjg od emperaury w os ε od różncy emperaur ε o ( ) ( ) ( ) d g o g d

17 ór Maxwea-Mora - wyprowadene u σ ε d w τ γ d Odsałcena od ewnęrnyc sł wruanyc: odsałcene nowe od obcążeń wruanyc ( ) M N ε ( ) σ E EJ E odsałcene posacowe od obcążeń wruanyc ( ) ( ) TSˆ ( ) γ τ G bjg

18 ór Maxwea-Mora - wyprowadene Uład obcążenem: obcążene geomerycne g, d obcążene emperaurą P obcążene saycne δ? gd P San wruany Praca sł wruanyc na premescenac recywsyc równa es pracy naprężeń recywsyc na odsałcenac wruanyc: u w σ ε d τ γ d σ ε d τ γ d

19 Podpora sprężysa Podpora sprężysa podparce sprężyse, na órym może nasąpć osadane. eor osadana ma erune reac, a wro ego weora es precwny do reac. arość osadana wynos d, gde d es podanoścą ub /, gde es sywnoścą. P d

20 Podpora sprężysa Podpora sprężysa podparce sprężyse, na órym może nasąpć osadane. Podporę mogą caraeryować: d [m/n] podaność, óra mów o e osąde podpora, eże reaca N [N/m] sywność, óra mów e wynos sła, óra spowodue,że osadane wynese m P Osadane wynos co do warośc a weorowo d d

21 odae podpór sprężysyc Podpora sprężysa osadanem podpora presuwna, możwość osadana wdłuż reac Podpora sprężysa obroem nepełna boada obrou M Podporę mogą caraeryować: d [rad/nm] podaność, óra mów o e osąde podpora, eże reaca MNm [Nm/rad] sywność, óra mów e wynos sła, óra spowodue, że osadane wynese ϕ

22 odae podpór sprężysyc Podpora sprężysa obroem nepełna boada obrou P ϕ M M Obró wynos co do warośc ϕ Md a mnus we wore onaca,że obró będe mał wro precwny do reac M Podporę mogą caraeryować: d [rad/nm] podaność, óra mów o e osąde podpora, eże reaca M [Nm/rad] sywność, óra mów e wynos sła, óra spowodue, że osadane wynese ϕ

23 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w ynacene cęśc woru da uładu podporą sprężysą od obcążena saycnego P Uład obcążony recywsym obcążenem osadanem podpory d δ San wruany Praca sł wruanyc na premescenac recywsyc δ δ

24 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w ynacene cęśc woru od obcążena geomerycnego Uład obcążony recywsym obcążenem geomerycnym San wruany δ Praca sł wruanyc na premescenac recywsyc δ δ

25 ór Maxwea-Mora - wyprowadene Uład recywsym obcążenem saycnym San wruany δ? P w σ,τ ε,γ Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam recywsym na odsacenac wruanyc: wp σ ε d wp d d M J τ γ d M JE N N E TSˆ bj ( ) TSˆ ( ) bjg d

26 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam recywsym na odsałcenac wruanyc: wp σ ε d τ γ d - naprężena recywse σ ( ) - odsałcena wruane M J ε ( ) ( ) M N σ γ ( ) E EJ E N σ τ ( ) τ G TSˆ bj ( ) TSˆ ( ) bjg ( ) wp d d M J M JE N N E ( ) TSˆ ( ) TSˆ bj bjg d

27 ór Maxwea-Mora - wyprowadene wp Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od obcążeń saycnyc: M M N N TSˆ ( ) TSˆ ( ) d d d J JE E bj bjg MM NN TT d d J E E b ( ) ( Sˆ ) MM NN TT d d J E E b d d J G d ( ) ( Sˆ ) J ( ) ( ) MM NN Sˆ J E E b J G d d TT G

28 ór Maxwea-Mora - wyprowadene Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od obcążeń saycnyc: ( ˆ( ) ) MM NN S TT d d d J E E b J G wp Poneważ J d o orymuemy wp d MM JE NN E κ κ J TT G Sˆ b d, J b Ŝ( )

29 ór Maxwea-Mora - wyprowadene Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od obcążeń saycnyc: wp gde sała d MM J κ E J aeży od sału np.: Sˆ b d d NN E κ TT G, J prosoą κ.; oło κ3/7 dwueown κ ~/ s ; - poe całowe prerou; - poe środna. b Ŝ( )

30 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Uład obcążenem emperaurą San wruany δ? g d Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od emperaury: w σ ε d w M ( ) d g d J σ N ( ) σ M J N ε ε( ) ( ) o o d ( ) d g

31 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od emperaury: σ ε d w N Naprężena od obcążeń wruanyc σ σ ( ) Odsałcena od emperaury w M ( ) d g d M ( ) d g d J J N N o o d M J ε ε ( ) ( ) d o Spody na bece ( ) d d g o g

32 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Praca sł wewnęrnyc wywołanyc obcążenam wruanym na premescenac od emperaury: w M ( ) d g d J N o d M ( ) d g d J M ( ) d g N o d N o Spody na bece d o g

33 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Praca wruanyc sł ewnęrnyc na premescenac recywsyc δ Praca sł wewnęrnyc, wywołanyc obcążenem wruanym, na odsałcenac od obcążena recywsego wp MM JE w M ( ) d g NN E TT κ G Praca sł wewnęrnyc, wywołanyc obcążenem wruanym, na odsałcenac od emperaury N o

34 ór Maxwea-Mora - wyprowadene w Poneważ praca wruanyc sł ewnęrnyc na premescenac recywsyc równa sę pracy naprężeń wruanyc na odsałcenac recywsyc: wp w o orymuemy wór Maxwea Mora w nasępuące forme: δ MM JE M ( ) d g NN E TT κ G N o

35 ór Maxwea-Mora da ram płasc uładac ramowyc uwgędnamy wpływ momenów gnaącyc ora obu rodaów emperaury: δ P q g d MM JE M ( ) d g N o ama obcążenem ama ednosowym obcążenem wruanym do obceń y

36 ór Maxwea-Mora da ram presrennyc ( ) ( ) δ M M E J m m E J M M E J M M uładac ramowyc uwgędnamy wpływ momenów gnaącyc w dwóc płascynac gnana momen sręcaący ora oba rodae emperaury: ( ) ( ) o g d g d N M M 3 P q ama obcążenem ama ednosowym obcążenem wruanym do obceń x

37 ór Maxwea-Mora da ra uładac raowyc uwgędnamy wpływ sł normanyc ora emperaury w os: NN δ E N Poneważ sły normane są sałe w eemenac raowyc o można wór apsać w forme: δ P N N E o n N n on n o o

38 ór Maxwea-Mora da łuów łuac uwgędnamy wpływ wsysc sł wewnęrnyc ora emperaury: δ q MM JE NN TT κ E G M ( ) d g N o d g

39 ór Maxwea-Mora da łuów Łu wynosły cy sosune srał do ropęośc f/>/5 spełnaące warune /</0: Łu płase cy sosune srał do ropęośc f/</5 spełnaące warune /</30: ( ) M M M d g δ JE N Poosałe łu płase cy sosune srał do ropęośc f/</5 spełnaące warune />/30: f δ MM JE M ( d g ) NN E o N TT κ G o

40 Całowane na pryłade be swobodne podpare ynacene obrou punu B. g d q B x Bea obcążenem ama ednosowym obcążenem wruanym x M M [Nm] [/] M 8 q ównana momenów gnaącyc ( ) x x q M ( ) B x x JE q x x JE q x x x q JE JE M M ϕ JE q JE q B ϕ

41 Całowane na pryłade be swobodne podpare Całowane uproscone da ocynu func nowe dowone yres dowone func yres func nowe ynacane cał S f f S x s ( x) ( x) x x x s ( x) f ( x) M środe cężośc fgury ( x ) ax b M ( ax b) f ( x) af ( x) x bf ( x) M M S a b ( axs b) M ( xs ) - momen saycny fgury, opsane funcą f(x) - poe fgury, opsane funcą f(x) - współrędnaśroda cężośc fgury, opsane funcą f(x) M ( ) x s as b

42 Całowane na pryłade be swobodne podpare ynacene obrou punu B. q g d Bea obcążenem q 8 B x ama ednosowym obcążenem wruanym M [Nm] M[/] M M ϕb JE JE q 8 3 q q JE 3 8 4JE

43 Poa środ cężośc podsawowyc fgur Prosoą ab Tróą ab Paraboa o a/ s a ab 3 b/ b a 3 a s b/3 b a/ s b a Paraboa o s ab 3 a 3 4 a Paraboa o b 5 8 ab 3 a a s b

44 Konec