Laboratorium wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 Poltechnka ubelska MECHNK aboratorum wytrymałośc materałów Ćwcene - Wynacane momentu bewładnośc prekroju gnanej belk defncj woru Gegera Prygotował: ndrej Teter (do użytku wewnętrnego)

2 Wynacane momentu bewładnośc prekroju gnanej belk defncj woru Gegera Metoda Gegera Do wynacena ywnośc układu mechancnego możemy aosować nany mechank wór Gegera. Dla najprosego mechancnego układu drgającego o 1 opnu swobody budowanego e sprężyny o ywnośc k masy skuponej m (rys. 1) równane ruchu poępowego ma poać: d y m + ky 0 (1) dt lub Rys. 1 d y + ω y 0 dt gde k ω () m gde: y ugęce, t cas, ω - cęość kołowa drgań własnych. W położenu równowag (rys. ) sła cężkośc je równoważona pre słę sprężyośc. Możemy apsać warunek: Py ky + mg 0 ()

3 Poltechnka ubelska, ubln 008 gde: y ugęce atycne wywołane cężarem Qmg. Prekałcając ależność () otrymujemy: k g ω () m y Rys. tw. wór Gegera. Równane () je dokładne tylko dla układów o 1 opnu swobody, ale można go uogólnć na konrukcje cągłe take jak ropatrywana belka. Cała procedura polega na tym, że masę cągłą del sę na klka mas skuponych. Na rys. predawono jednorodne pręsło o długośc podelone na try równe elementy o cężare mg/ każdy. Cały cężar elementu umesca sę w odpowadającym środku cężkośc (rys. a). W ten sposób element cągły oał dyskretyowany (rys. b). (a) (b) Rys. W mejscach pryłożena redukowanych sł cężkośc określa sę powające premescena atycne: y 1, y, y. Wór () dla układu dyskretnego ma poać: ω k m g ( y ) (5)

4 Poltechnka ubelska, ubln 008 Ugęce atycne y określamy w ten sposób, że je to premescene punktu pryłożena cężaru Q m g wywołane pre ten cężar. W skrajnym prypadku możemy cały cężar podelć na wele skońcene małych cężarów dq: mg dq dx q dx (6) W tym prypadku skupony mały cężar dq pryłożony w punkce x powoduje ugęce atycne: y dq x ( x) E q x ( x) E dx (7) węc mamy: aś: q x ( x) q ( y ) dx (8) E 90E ω g 90E g E 9, 87 ( y ) q m Warto wedeć, że ścsłe rowąane dla poac podawowej drgań własnych gnanej belk w teor drgań ma poać: (9) E E ω π 9,8696 (10) m m Drugą skrajnoścą je prypadek, gdy układ cągły podelmy na jeden element o cężare Qmg pryłożony w punkce o najwęksym ugęcu. W analowanym prypadku belk mamy: g ω (11) y max Poneważ rałka ugęca pręsła obcążonego w środku słą Q wynos: Otrymujemy pryblżoną wartość: Q ymax (1) 8E 8E E ω 6, 9 (1) m m

5 Poltechnka ubelska, ubln Błąd osacowana wynos: 6,9 9,8696 δω 100% 0% (1) 9,8696 Wynk poprawmy deląc belkę na n,,, 5 mas lub dorajając układ popre korekcję masy. Dla prykładu sprawdźmy wynk dla podału belk na dwe cęśc (rys. ). Rys. W tym prypadku skupony cężar 0,5mg pryłożony w punkce x/ powoduje ugęce atycne, które oblcymy podawając dane do równana ln ugęca (9.9): ( y mg (15) 51E ) x 0, 5 1 a P 0 0,,5 5 mg nalogcne lcymy dla drugej cęśc belk: ( y ) x 0, 75 a P 0 0,,5 75 mg mg (16) 51E Podawamy (15) ora (16) do warunku (5) otrymujemy: ω g g 56E E 9, ( y ) ( y ) + ( y ) m m W tym prypadku błąd osacowana wynos: 1 (17) 9, 9,8696 δω 100% 6,% (18) 9,8696

6 6 Poltechnka ubelska, ubln 008 Kolejne pryblżene dla podału belk na try cęśc (rys. ): mg 50 ( y ) x / 6 1 (19) a / 6 E 7776 P mg / mg 1 ( y ) x / (0) a / E 8 P mg / mg 50 ( y ) x 5 / 6 (1) a 5 / E 7776 P mg / 6 Podawamy (19), (0), (1) do warunku (5) otrymujemy: ora: ( ) ( y 1 ) + ( y ) + ( y y ) ( y ) mg E mg + E 1 8 mg + E mg ( y ) 0,011 () E ω g E E 9, 6 ( y ) 0,011 m m W tym prypadku błąd osacowana wynos: () 9,6 9,8696 δω 100%,% () 9,8696 Pry podale na cęśc otrymujemy praktycne dentycny wynk jak pry podale na skońcene wele mas (9). Dalsy podał praktycne ne wpływa na poprawę wynków. W celu wynacena ywnośc układu porównamy cęośc kołowe drgań własnych otrymane rowąana ścsłego (10) worem Gegera (5): Prekałcając: π π E m E m g ( y ) g ( y ) (5) (6)

7 Poltechnka ubelska, ubln E π gm ( y ) Dla ualonej w badanach dośwadcalnych wartośc modułu Younga E mamy: (7) π E gm ( y ) (8) Momenty bewładnośc Wartośc momentów bewładnośc prekroju poprecnego możemy oblcyć wpro defncj: momentem bewładnośc pola fgury wględem dowolnej os naywa sę całkę powerchnową lconą locynu kwadratu odległośc r elementu od tej os pola elementu d: r d (9) Dla pryjętego układu współrędnych xy (rys. 5) moment bewładnośc pola fgury wględem można wyrać ależnoścą: y d (0) Rys. 5 Jeżel fgurę płaską o polu można podelć na n fgur proych o odpowednch polach 1,,...,,.., n, (pola pełne mają nak plus, aś pue - mnus) oblcene momentów bewładnośc można preprowadć całkowanem kolejno dla każdego pola:

8 8 Poltechnka ubelska, ubln 008 y d n 1 y d n 1 (1) Moment bewładnośc fgury łożonej równa sę sume momentów bewładnośc fgur składowych dla pryjętej os. Powyżsa procedura oblcenowa bardo uprasca pryspesa oblcena momentów bewładnośc fgur płaskch pod warunkem, że można podelć je na proe cęśc, dla których nane są momenty bewładnośc fgur składowych. Uproscene polega na tym, że ama lcyć całk lcy sę proą sumę seregów. Twerdene Stenera by wynacyć ależność achodącą pomędy momentam bewładnośc wględem os równoległych, pryjmuje sę do roważań fgurę o polu ora dwa dowolne, ale wajemne równoległe układy os współrędnych: y, c y c (rys. 5). Wprowadając ależnośc pomędy współrędnym: Podawając () do (0) otrymuje sę: c +b y y c +a () yc + a) d yc d + a ycd + ( a d () Prekałcając: c + asc + a () gde: c - moment bewładnośc pola fgury wględem os 1, S c - moment atycny wględem os c. W prypadku, gdy pocątek układu współrędnych je środkem cężkośc fgury to S c 0. Momenty atycne wględem os centralnych są równe eru. Zależność () uprasca sę węc do poac: + a (5) c Podane wyżej ależnośc wyrażają twerdene Stenera: moment bewładnośc fgury płaskej wględem os odległej od środka cężkośc o a je równy momentow bewładnośc wględem os równoległej prechodącej pre środek cężkośc, węksonemu o locyn całej powerchn fgury pre kwadrat odległośc a ( a ). Główne momenty bewładnośc. Główne ose bewładnośc Można sformułować naępujące defncje: 1. Głównym osam bewładnośc pola fgury płaskej naywa sę take dwe ose, wględem których osowe momenty bewładnośc osągają

9 Poltechnka ubelska, ubln ekremalne wartośc, aś moment dewacj wględem tych os je równy eru.. Głównym momentam bewładnośc pola fgury płaskej naywa sę momenty bewładnośc wględem głównych os bewładnośc.. Jeśl obe główne ose bewładnośc fgury płaskej prechodą pre środek cężkośc fgury, to naywa sę je głównym centralnym osam bewładnośc. Główny centralny moment bewładnośc trapeu Scegółowe oblcena wartośc głównego centralnego momentu bewładnośc wględem os c preśledmy dla prekroju poprecnego w kałce trapeu. Zarys dane wymary predawono na rys. 6. Tabela 1 Numer pola y c y c 1 a b h a b h h 1 h bh bh 1 a b h a b h h 1 h SUM ( a + b) a b bh h + 6 Rys. 6 Pole powerchn podelono na fgury: prookąt (), ora dwa trójkąty - (), (). Poneważ analowany trape posada ponową oś symetr, węc współrędna środka cężkośc c 0,5a. Drugą współrędną określono ależnośc:

10 10 Poltechnka ubelska, ubln 008 c y n yc 1 (6) Dla ułatwena oblceń eawono tabelę 1. Podawając do (6) wynacone welkośc, oatecne otrymano: c y n y c 1 a b bh h + 6 h ( a + b) h( a + b) ( a + b) (7) W celu oblcena momentu bewładnośc trapeu wględem os c należy skoryać własnośc momentów bewładnośc. Można je sumować, pod warunkem, że momenty fgur składowych oblcano wględem tej samej os. W tym celu kolejno dla każdej wyodrębnonych fgur należy aosować twerdene Stenera, tak aby wynacyć składowe momenty bewładnośc wględem os c : Fgura () () Dla obu trójkątów moment bewładnośc wględem os centralnej (prechodącej pre środek cężkośc trójkątów) równoległej do os c wynos: 1 h( a b) h (8) 6 aś odległość mędy tym osam: h( a + b) h hb ( a + b) ( a + b) Wawając te welkośc do twerdena Stenera otrymano: (9) ( ) ( ) ( a b) h ( a b) h hb c c + (0) 7 ( a + b) Fgura () Dla prookąta moment bewładnośc wględem os centralnej równoległej do c wynos: bh /1 aś odległość mędy osam: h h( a + b) h( a b) (1) ( a + b) 6( a + b) Wawając te welkośc do twerdena Stenera otrymano: ( ) bh h( a b) c + bh () 1 6( a + b)

11 Poltechnka ubelska, ubln Centralny moment bewładnośc wględem os Ox dla trapeu wynos: c ( ) ( ) ( ) c + c c + () Po podawenu wynaconych wartośc wykonanu konecnych prekałceń oatecne otrymano: h a + ab + b c () 6 a + b

12 1 Poltechnka ubelska, ubln 008 Poltechnka ubelska, Wydał Mechancny Katedra Mechank Stosowanej aboratorum Wytrymałośc Materałów mę nawsko Grupa Data wykonana Prowadący Ocena aboratorum Wytrymałośc Materałów Wynacane momentu bewładnośc prekroju gnanej belk defncj metodą Gegera 1. Cel ćwcena Celem ćwcena je dośwadcalne wynacene momentu bewładnośc prekroju belk gnanej metodą Gegera ora porównane otrymanych wynków oblcenam teoretycnym.. Schemat ops anowska Badana dośwadcalne prowadmy na anowsku (rys. 1) składającym sę belk (C) alowej o ałej ywnośc na gnane Econ. Belka je swobodne podparta na końcach obcążona w wybranym punkce odważnkem awesonym na wesaku (B). Wesak oparty na rolce może premescać sę wdłuż belk. W nnym punkce na atywe magnetycnym amocowano cujnk premescena ().. Prebeg ćwcena Rys Skcujemy arys prekroju poprecnego belk jednonacne wymarujemy go. W tabel beramy konecne wymary. Dodatkowo belkę

13 Poltechnka ubelska, ubln ważymy. Pomary powtaramy, a w sprawodanu amescamy wartośc średne.. Na powerchn belk anacamy jej środek onacamy go (1).. W punkce (1) umescamy cujnk premesceń erujemy go.. Salkę dowolnym obcążenem P umescamy możlwe blsko punktu (1) cujnka odcytujemy premescena punktu (1) - y Pomar godne alecenam prowadącego powtaramy, deląc belkę na,, cęśc. W kolejnych punktach (1), (), () powtaramy cynnośc. 6. Otrymane ugęca delmy pre wartość obcążena P wynacamy jednokowe ugęce odpowadające jednokowemu obcążenu.. Opracowane wynków wykonane sprawodana 1) W celu wynacena ywnośc układu należy: a) prypadek cała masa belk najduje sę w środku ropętośc. Wynacyć atycne ugęce tego punktu wywołane pre cężar P - y 1 (P) oblcyć ugęce atycne wywołane cężarem belk Qm g według woru y mg y P) / P. 1 1 ( b) Podawć do woru (17) wartość ugęca y 1 : P E π y Dla ualonej w badanach dośwadcalnych wartośc modułu Young a E mamy: 1 P Eπ y c) prypadek - całą masę belk podelć na równe masy: m 1 m m/.masa 1 - x 1 0,5, masa - x 0,75. W punktach (1) () należy wynacyć atycne ugęce: y (P)dla 1,. Dodatkowo oblcyć ugęce atycne wywołane cężarem belk Q m g według woru y m g y ( P) / P. d) Podawć wynacone wartośc: gm P π π E y E y ( P) e) prypadek - całą masę belk podelć na równe masy: m m/. Znajduje sę one odpowedno: masa 1 - x 1 /6, masa - x 0,5, masa - x 5/6. We wsykch punktach wynacyć atycne ugęce: y (P) dla 1,,. Dodatkowo oblcyć atycne ugęce wywołane cężarem belk Q m g: y m g y ( P) P. / 1

14 1 Poltechnka ubelska, ubln 008 f) Podawć powyżse wartośc: gm P π π E y E y ( P) g) Jeżel podał był nny to należy koryać ależnośc: gm m P π π E y Em y ( P) h) W prypadku podału belk na węksą lość cęśc należy poępować dentycne jak w prypadku, punkty: (c), (d). ) Z defncj momentu bewładnośc dla adanej geometr oblcyć wartość teoretycną głównego, centralnego momentu bewładnośc belk. Należy pamętać, że wynk ten będe równeż obarcony nedokładnoścą. Wynka ona błędów pomaru welkośc geometrycnych aokrągleń w case samych oblceń. j) Błąd popełnony oblcyć e woru: δ t t d 100% gde: t teoretycny główny, centralny moment bewładnośc belk, d wartość dośwadcalna. Błąd należy lcyć oddelne dla kolejnych podałów. 5. Skc prekroju poprecnego belk dokładnym wymarowanem: 6. Pooałe dane: p. 1 m E P g [ ] [..] [ ] [..] [ ] Tabela 1

15 Poltechnka ubelska, ubln Pryjęte punkty pomarowe: Tabela Warant Warant Warant Punkt pomarowy Współrędne punktów x [ ] Ugęca y (P) [ ] Wynk oblceń: Warant oblceń Moment bewładnośc dośwadcalny d [ ] Moment bewładnośc teoretycny t [ ] δ y Błąd pomaru d t t Tabela 100% Uwaga. Podać wsyke wory, podawena wynk oblceń teoretycnych błędów. 9. Wnosk uwag końcowe.