Jeśli m = const. to 0 P 1 P 2

Transkrypt

1 1 PRAWA NEWTONA Prawo perwse. Każde cało trwa w spocnku lub ruchu jednostajn prostolnow, dopók sł nań dałające tego stanu ne eną. Prawo druge. Zana lośc ruchu (pędu) jest proporcjonalna wględe sł dałającej a kerunek prostej, wdłuż której ta sła dała. P V d V P d Jeśl = const. to dv a P Prawo trece Każdeu dałanu towars równe wprost precwne oddałwane, cl wajene dałane dwóch cał są awse równe skerowane precwne. cało 1 cało P 1 P P 1 = - P Prawo cwarte prawe superpocj Jeśl na punkt ateraln o ase dała jednoceśne klka sł, to każda nch dała neależne od poostałch, a wsstke rae dałają tak, jak jedna tlko sła równa wektorowej sue wektorów danch sł. d n V1 V... Vn P1 P... Pn P 1 P P P 1 P 1 P 1

2 Prawo pąte Każde dwa punkt ateralne prcągają sę wajene słą wprost proporcjonalną do locnu as ( 1, ) odwrotne proporcjonalne do kwadratu odległośc r ęd n. Kerunek sł leż na prostej łącącej te punkt. Prawo to nawa prawe grawtacj 1 k a 1 r P r k stała grawtacj P Dnacne równane różnckowe punktu ateralneg we współrędnch prostokątnch a a a n P 1 n P 1 n P 1 we współrędnch naturalnch V n an Pn 1 na oś noralną dv n a t P t na oś stcną n b P b 1 1 a na oś bnoralną

3 3 Ruch punktu pod dałane sł stałej co do wartośc kerunku Z drugego prawa Newtona P V V P r r Vt t 4 Ruch punktu pod dałane sł ależnej od casu 1 Równane a postać r dv 1 Pt, Pt całkując otra prędkość V w funkcj casu t dr 1 1 V V P t całkując otra wektor położena punktu r (t) r 1 t1t t 1 1 t dr Vt Pt, r r V t Pt r o

4 5 Ruch punktu pod dałane sł ależnej od prędkośc =const. 1 V P( V ) 1 t r r t,v 6 Ruch punktu pod dałane sł ależnej od połażena 1 = f(t) 7 Dnaka ruchu wględnego punktu ateralnego gd neruchoe XYZ to a b P b prśpesene w ruchu wględn a postać a a a a w b u c równana ruchu wględnego w układe rucho aw ab au ac Pb a b sła bewględna Pu au sła unosena Pc a c sła orolsa otra a w Pb Pu Pc Dnacne równana ruchu punktu ateralnego w rucho układe odnesena są take, jak gdb układ bł nercjaln pod warunke, że do sł bewględnej P b dałającej na punkt doda słę unosena P u słę orolsa P c.

5 8 Zasada pędu oentu pędu (krętu) loścą ruchu lub pędu nawa wektor H V V Pochodna pędu wględe casu punktu ateralnego równa sę sue sł dałającch na ten punkt dv P asadę achowana pędu Jeżel na punkt ateraln dała saorównoważon układ sł, to pęd jest wektore stał V const

6 9 Moent pędu (kret) K V k 9 r j Pochodna wględe casu krętu K punktu ateralnego wględe neruchoego beguna jest równa oentow wględe tegoż beguna wpadkowej sł dałającch na dk dan punkt ateraln. r P M dk dk M, M, dk M Jeżel oent wględe dowolnego beguna wpadkowej sł dałającch na punkt ateraln jest równ ero, to kręt punktu ateralnego wnacon wględe tegoż beguna dk jest stał M to stąd K const

7 11 Drgana swobodne netłuone Drgane ruch drgając punktu ateralnego jest to ruch w dostatecne ał otocenu położena swojej równowag stałej A B A, B położena krańcowe punktu ateralnego punkt położena równowag stałej Drgana swobodne drgana achodące pod dałane sł sprężstch Drgana swobodne netłuone drgana swobodne be dałana sł oporu (np. tarca, oporu powetra td.) Drga asa awesona na sprężne o stwnośc k. W położenu równowag na punkt ateraln dałają sł: Q sła cężkośc, S = k st reakcja sprężn wdłużene sprężn st = S /k = Q/k =g/k Pocątek układu współrędnch prjęto w położenu równowag punktu ateralnego. S Q S Q A- apltuda drga T A k V Okres drgań określa a cęstotlwość g st 1 T 1 k H

8 1 Drgana swobodne tłuone Prpadek gd na punkt ateraln dałają sł: S = k R = -cv proporcjonalna do wchlena opór którego wartość jest proporcjonaln do perwsej potęg prędkośc k c n k c Tr ożlwośc Po a. Prpadek tłuena nadkrtcnego (n> ) Wróżnk równana charakterstcnego jest węks od era, perwastk równana charakterstcnego są recwste oba ujene. Jest to prpadek slnego tłuena, ruch aperodcn. b. Prpadek tłuena krtcnego (n = ) Wróżnk równana charakterstcnego jest równ eru r n r1 nt e 1 t c. Prpadek tłuena podkrtcnego (n < ) Wróżnk równana charakterstcnego jest nejs od era, a wted dwa perwastk espolone. Ruch a charakter o apltude stale alejącej t 1 t t T = t t 1 T

9 13 Drgana wusone netłuone Jeśl poa słą cężkośc słą sprężstą na punkt ateraln dała okresowo enna w case sła wusająca, to powstające wted drgana nawa wuson. Na punkt ateraln S dała sła ewnętrna g P P 1 A Wkres A w funkcj / A P /( ) 1 3 /

10 14 DYNAMKA UKŁADU PUNKTÓW MATERALNYH Układ punktów ateralnch bór punktów ateralnch, w któr położene każdego punktu jest ależne od położena nnch punktów. Układ punktów swobodnch układ punktów ateralnch, którch ruch ne jest ograncon żadn węa. Układ punktów neswobodnch układ punktów ateralnch, którch ruch jest ograncon nałożon na te punkt węa. W układe punktów ateralnch wstępują sł wewnętrne ewnętrne. 3 P 3 S,1 S j S j S 1, S 1,4 S 4,1 1 4 P 4 P 1 Rs. 3 P sł ewnętrne S j sł wewnętrne S j = -S j n S j = -S j węc 1 jn j1 S j Podobne sua oentów sł wewnętrnch wględe dowolnego punktu wnos ero, gdż sł te para sę równoważą.

11 15 Zasad ruchu środka as, pędu krętu Środke as punktów ateralnch nawa punkt którego położene w prestren określa proeń wektor r 1 n r r 1 n gde n 1 r r 3 1 We współrędnch kartejańskch 1 n 1 n 1 n Zasad ruchu środka as, pędu krętu r a P gde P jest suą geoetrcną wsstkch sł n P 1 ewnętrnch dałającch na układ P, P, P Zasada ruchu środka as Środek as każdego układu punktów ateralnch porusa sę tak, jakb bła w n skupona cała asa układu jakb do tego punktu prłożone bł wsstke sł ewnętrne.

12 Zasadę achowana ruchu środka as Jeśl sua geoetrcna sł ewnętrnch dałającch na dan układ punktów ateralnch jest równa eru, to środek as poostaje w spocnku lub porusa sę ruche jednostajn prostolnow Zasada achowana pędu dh Jeżel P = to a stąd H V const 16 Pęd układu punktów ateralnch Pęde układu punktów ateralnch nawa wektorową suę pędów wsstkch punktów ateralnch tego układu n n H V H 1 1 n r 1 H V Pochodna pędu układu punktów ateralnch wględe casu jest równa sue geoetrcnej wsstkch sł ewnętrnch dałającch na punkt tego układu. Prrost pędu układu punktów ateralnch jest równ popędow t su geoetrcnej sł ewnętrnch H H H1 P r V V Zasada achowana pędu dh Jeżel P = to a stąd H V const t1

13 17 Moent pędu (kręt) Kręt układu punktów ateralnch wględe dowolnego punktu (beguna), jest to wektor równ sue geoetrcnej krętów wsstkch punktów ateralnch układu wględe beguna (rs.9). n r 1 V K K V K K n K r n V 1 1 Wartośc rutów wektora krętu K na ose są K K K n K 1 n K 1 n K 1 Pochodna wględe casu krętu punktów ateralnch wględe dowolnego punktu równa jest sue geoetrcnej oentów sł ewnętrnch, jeżel punkte jest punkt nerucho lub środek as układu.

14 18 Zasada d Aleberta j S j S j P a B B - sła bewładnośc d Aleberta Zasada d Aleberta- sua sł ewnętrnch wewnętrnch ora sł bewładnośc danego układu punktów ateralnch, jak równeż sua oentów tch sł wględe punktu stałego lub środka as równają sę eru. a P n 1 n 1 n 1 n 1 n a P a 1 n a a P P 1 n a a P P 1 n a a P P 1 19 Moent bewładnośc dewacj Moent bewładnośc wględe punktu d A r d r Moent bewładnośc wględe os l l h d V P 9 l h V d

15 Moent bewładnośc wględe płascn h d h d V 9 d A r d d d Moent bewładnośc wględe punktu r d d Moent dewacj lub oent bocena d ; d ; d

16 Twerdene Stenera Moent bewładnośc wględe os równoległch d = + d = + Moent bewładnośc wględe os twerdene Stenera d Twerdene Stenera odnos sę równeż do oentów dewacj

17 1 Praca sł A r dr B r 1 P t W t1 P P P Praca sł prłożonch do cała stwnego Praca sł ewnętrnch w ruchu postępow dr a dr a a = a j = a j j P dr = dr j = dr r j r P j Praca eleentarna sł P dw P dr P dr Praca sł ewnętrnch na presunęcu skońcon AB W dw P dr AB Praca sł ewnętrnch w ruchu obrotow W M d 1 M n Praca sł wewnętrnch W S dr 1 1 j

18 3 Pojęce oc Moc sł praca wkonana pre słę w cągu jednostk casu Moc średna w predale casu t W N śr t Wartość oc chwlowej sł W dw N l t t Moc sł jest to locn skalarn wektora sł P wektora prędkośc V punktu jej prłożena. W prostokątn układe N PV PV PV N PV cos( P,V ) PV cos P V

19 4 Energa knetcna Energa knetcna układu punktów ateralnch jest równa sue energ knetcnej wsstkch punktów ateralnch n n 1 E E V 1 1 dżul (J) jednostka energ knetcnej 1J 1kg 1N s Energa knetcna w ruchu postępow Wsstke punkt ają tę saą prędkość V =V +1 = V 1 n 1 E V V gde n 1 1 Energa knetcna cała stwnego w ruchu obrotow l V = r l V r r d d Energa knetcna eleentu cała d 1 E V d Energa knetcna całego cała E V d r d r d 1 l gde l r d oent bewładnośc wględe os l

20 Energa knetcna w ruchu płask Wkład 15 49dn Ruch płask uskan, traktując ten ruch jako łożon ruchu postępowego unosena prędkoścą środka as V u = V ruchu obrotowego wględnego dookoła prostej prechodącej pre środek as, prostopadłej do płascn kerującej. V w r V r A V r V r A V Rs. 48 V w = w, V = V u = u, V = w +V E V d V u Vw d (V Vw ) d 1 1 V d V V d V w d (a) w V w r, Vw Vw r sn9 r (b) VVwd V Vwd (c) dr d poneważ V w d d rd 1 rd położene środka as wględe środka as równa sę ero. Podstawając (b) (c) do (a) otruje 1 1 E V l gde l r d (61) (61) jest nawane Twerdene Koenga

21 Dnaka ruchu obrotowego cała stwnego Zasada pędu krętu w ruchu obrotow, β, kąt ęd osą obrotu a osa,, (rs.49) l β Rs.49 l Składowe prędkośc prśpesena kątowego są cos (a) cos (b) Pęd ogóln H jego pochodna wględe casu H H V r (c) H a r V a a (d) P t n 5dn r d r Rs.5

22 W ogóln prpadku składowe V a wnaca e worów j k V r V jv kv (e) a t a n j k r a ja ka (f) j k V a ja ka (g) V V V W prpadku gd oś pokrwa sę osą obrotu l wted =, =, = =, =, = (h) ora V = -, V =, V = t a t = -, a t =, a t = () n a n = -, a n = -, a n = Pr t ałożenu składowe pędu ogólnego H wnosą t n t n 51dn H = V = - H = V = H = V = (j)

23 Natoast składowe pochodnej wględe casu pędu ogólnego H są równe H a P H a P (6) H a P gde: P, P, P składowe su geoetrcnej wsstkch sł ewnętrnch dałającch na cało Równana (6) opsują asadę pędu w ruchu obrotow Ogóln oent pędu (kręt) wględe punktu (rs.49) (rs.5) leżącego na os obrotu l wnos j k K r Vd d K jk kk V V V gde K V V d K V V d (63) K V V d Z woru (e) wnka V, V, V (k) Podstawając (k) do (63) wkonując całkowane a 5dn K K K (64)

24 Gd osą obrotu jest oś, wówcas wor (64) 53dn ają postać K = -, K = -, K = (64) Ab otrać równana dnacne dla cała stwnego o nerucho jedn punkce, opre sę na twerdenu dotcąc krętu wględe neruchoego beguna. Oberając jako begun środek ruchu kulstego dk a M gde M sua oentów sł ewnętrnch (J. Msak Mechanka Techncna to strona 18). Reakcje dnacne łożsk os obrotu Prkład Punkt ateraln o ase obraca sę wokół os AB (rs.51) prędkoścą kątową = const. Rowąane l R B ω B h R B R A A R A Rs.51 Sua rutów sł na ose R R R R A B Sua oentów wględe os R B l RBl po rowąanu tch równań otruje RB RB l l A B

25 RA RA l l 54dn Uwag dotcące wważena kół h R A b h h c R B a h Sua rutów sł na oś ponową R A R B - h + h = stąd R A = R B sua oentów wględe punktu M ha hb R c B R A R B h c b a dla a = b R A = R B =