8. ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE

Transkrypt

1 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE Ze wględu na seroke astosowane konstrukcj płtowch powłokowch w udownctwe prace nad formułowanem cora to efektwnejsch elementów skońconch płtowo-powłokowch są cągle kontnuowane. Ponżej predstawm tlko nektóre element skońcone, wkorstwane do anal płt powłok. Skoncentrujem nasą uwagę na podstawowch krokach pr formułowanu takch elementów. Na wstępe prpomnm równana teor płt, ułatwć Ctelnkow studowane tego rodału. Na konec aproponujem pewen sposó anal powłok a pomocą płaskch elementów tarcowo-płtowch. 8. Naprężena odkstałcena płt cenkch (Krchhoffa) Płta cenka jest oektem dwuwmarowm, takm że jej wmar w kerunku os są welokrotne wękse nż jej gruość. Rsunek 8. predstawa neskońcene mał element płt gnanej, dla której płascna o jest równoceśne płascną oojętną (neutralną). Wsokość prekroju pokrwa sę pełną gruoścą płt t, podcas gd nne wmar wnosą d d. Płta cenka najduje sę w stane gnana, gd ocążena dałają w kerunku normalnm do jej płascn.,w,v,u Q Rs. 8.. Elementarn wcnek płt Odkstałcena w płascźne warstw płt są defnowane, jak w płaskm stane naprężena, a pomocą równań: u u u ε, ε, ε, (8.) Z podstawowego ałożena gnana płt cenkch, według którego normalne do powerchn oojętnej poostają proste normalne w procese deformacj wnka, że w w u, v, (8.) skąd po podstawenu do (8.) otrmujem ależnośc: odkstałcene premescene w postac omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

2 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE w w w ε, ε, γ, (8.) Zależność naprężene - odkstałcena dla warstw płt jest dentcna, jak dla płaskego stanu naprężena. Dla materału otropowego mam węc: σ D ε (8.) gde prjęto następujące onacena: E ν D ν ν, ν, Dla materału ortotropowego operator D ma postać: E E D E E, (8.5) E Wprowadźm wektor naprężeń uogólnonch, odpowadającch wartoścom momentów gnającch, prpadającch na jednostkę długośc płt: Jeżel [ (8.),, ] E σ ( ε + ν ε ), (8.7) ν to uogólnone naprężene wnka całkowana wrażena + t / t / + t / E w w + σ d ν d (8.8) ν t / Podone otrmam poostałe składowe wektora uogólnonch naprężeń: E ν t w w + ν (8.9) Et w ( ν ) (8.) Prjmjm wektor uogólnonch odkstałceń Ф w postac: φ [ φ, φ, φ ] [ w,w,w ], (8.) wówcas uogólnon operator dla naprężeń odkstałceń, onacon pre D, wnos: omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

3 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE t D D (8.) Otrmujem węc relację macerową: Dφ (8.) Relacje wnkające transformacj os współrędnch dla welkośc uogólnonch są dentcne wstępującm w płaskm stane naprężena. oże to ć ademonstrowane pre całkowane po gruośc płt w postac następującej sekwencj prekstałceń: ' + t / t / σ' d ale poneważ ε -Ф, węc dalej: + t / + t / t / + t / σ d σ D ε d (8.) t / t ' σ D φ d σ D φ σ (8.5) t / Wdać węc, że relacja męd ' jest taka sama, jak męd σ' a σ. B ustalć podone ależnośc męd Ф' a Ф, możem porównać podcałkowe wrażena określające wrtualn stan energ odkstałcena. Otrmam cąg prekstałceń: ( δ' ) φ' δ φ, ( δ' ) φ' δ φ, δ φ' δ φ, φ' φ, ε σ gde δ φ' φ, φ' δ ε σ φ, (8.) ożna także wkaać, że σ D' D, (8.7) σ Q+ Q d + + d d Q + d + d Q Q+ Q d Rs. 8.. Defncja sł wewnętrnch Jeśl ropatrm równowagę wcętego neskońcene małego fragmentu płt (rs. 8.) uwględnenem sł poprecnch Q Q ora ocążena, to otrmam: równana równowag P : omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

4 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE Q dd Q d + ( Q Q + + Q + d )d Q d + ( Q Q + d )d (8.8) równana równowag wględem os pr pomnęcu efektów drugego rędu: + + Q (8.9) podone równana równowag : + + Q (8.) Ostatne dwa równana powalają olcć sł poprecne pochodnch momentów gnającch. 8. Wrane element płtowe Naskcujem ponżej podstawowe ałożena prjęte podcas defnowana elementów płtowch w lokalnm układe współrędnch. Pamętajm, że pr formułowanu adana regowego awse stanem pred prolemem transformacj współrędnch macer stwnośc c wektora ocążeń układu lokalnego do gloalnego. 8.. Nedostosowan element prostokątn Predstawm tera jeden najprostsch elementów płtowch, jakm jest nedostosowan element prostokątn. Element ten, cęsto wan ZC od nawsk jego twórców (elosh, Zenkewc, Cheung), ne spełna warunków godnośc pochodnch na regach elementu. Jest węc elementem nedostosowanm. Rsunek 8. pokauje prjętą geometrę elementu ora defncję stopn swood węłów. W elemence tm wektor premesceń dowolnego punktu ma tlko jedną składową u [w]. (8.) a) ) d d d w w w a omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

5 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE 5 Rs. 8.. Element płtow defncja stopn swood Prjmjm tr stopne swood w każdm cterech węłów: d w w (8.) [ d d d ] [ w ] odpowedne aś ocążene węłowe wnos: p dla,,, (8.) [ p p p ] [ p ] Funkcję aproksmującą premescena w prjęto w postac w c 8 ξη 9 ξ ξη η η ξ 5 ξη ξ η η ξη 7 ξ + (8.) Prpsane funkcje kstałtu mają węc postać: gde : N [ N N N ] (8.5) gde: N N N (+ ξ )( + η )( + ξ + η ξ 8 η (+ ξ )(η )(η ), 8 ξ (ξ )(+ η )(ξ ). 8 η ), (8.) ξ ξ, η η, dla,,, ξ η Operator L, wnkając (8.), w którm opuscono cłon -, ma postać: L (8.7) defnuje macer B w postac N, N, N, B LN N, N, N, (8.8) N, N, N, W scególnośc dla węła perwsego macer H wnos omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

6 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE B a ξ (η ) ( ξ ) ηa ( ξ η )a (ξ )( η )a (η )(+ η )a ( ξ )(η )a (ξ )(+ η )a (8.9) Uogólnone naprężena wnosą węc Dφ D B d (8.) Dla materałów otropowch locn D B jest macerą prostokątną o wmare. Fragment tej macer (perwsa kolumna) jest następując: Et DB 8a (ν ξ (η ) + ν (ξ ) ηa K ( ) ( ) a ) νξ η + ξ η K ( )a ξ η K ( ) (8.) acer stwnośc elementu skońconego w układe lokalnm otrmam K e B D B da a B A D B dξdη (8.) a równoważne ocążena węłowe od ocążeń lu pocątkowch odkstałceń wrażone są w postac : P P A A B B da a D φ da a N B dξdη D φ dξdη (8.) Jawną postać macer stwnośc (8.) dla tego elementu można predstawć w postac sum Et K e ( K + K + K + K ( ν ) Postac macer K. podano ponżej : ) (8.) omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

7 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE sm. 8 a K 8a a a a a a a a a a a 8a a a a a a a a 8a a a a sm. a 8a a a K omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

8 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE 8 K a ν a a a a a a a a a a sm. a a K a a 5a a a 8 8 8a a a a a 8a a a a 8 8a a 8a a a a a 8 8 8a a a sm. a 8 8a Uogólnone naprężena w wranch punktach wnosą: Naprężena od gnana płt są wrażone w postac aś sł ścnające w postac: D( B d φ ) (8.5) [ σ σ ], σ τ (8.) t omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

9 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE 9 Q Q,. (8.7) 8.. Dostosowan element prostokątn Element ten wan jest cęsto BFS od perwsch lter nawsk autorów (Bogner, Fo, Schmt). en cterowęłow element ma cter stopne swood w każdm węźle: d w w w (8.8) [ d d d ] [ w ] Rsunek 8. predstawa prjęte onacena ora stopne swood węła. a) ) d d d d Rs. 8.. Cworokątn dostosowan element płtow Prjęte sł węłowe określa wektor p. : p (8.9) [ p X ] gde X. jest uogólnoną reakcją (drug moment sł) odpowadającą uogólnonemu premescenu w,. m samm funkcja premesceń wrana ostała welomanu sesnasto składnkowego w następując sposó: w C (8.) Prjęta funkcja jest upełną desęco składnkową funkcją, awerającą wrażena stopna (nad lną prerwaną), uupełnoną seścoma składnkam pod tą lną. W talc 8. predstawono estawene funkcj kstałtu odpowadającch wsstkm sesnastu stopnom swood tego elementu. Dalse roważana preegają podone jak w rodale poprednm, dotcącm elementu nedostosowanego. omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

10 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE alca 8. Funkcje kstałtu dla elementu BFS J N j j N j (-ξ +ξ )(- η +η ) (-ξ +ξ )(η-η +η ) -(ξ-ξ +ξ )(-η +η )a (ξ-ξ +ξ )(η-η +η )a (ξ -ξ )(-η +η ) (ξ -ξ )(η-η +η ) (ξ -ξ )(-η +η )a -(ξ -ξ )(η-η +η )a 9 5 (ξ -ξ )(η -η ) -(ξ -ξ )(η -η ) -(ξ -ξ ) (η -η )a -(ξ -ξ )(η -η )a (-ξ +ξ )(η -η ) -(-ξ +ξ )(η -η ) -(ξ-ξ +ξ )(η -η )a -(ξ-ξ +ξ )(η -η )a Element BFS charakteruje sę lepsą eżnoścą w olcenach płt cenkch nż nedostosowan element ZC. Ponadto astosowane w nm weloman wżsego stopna w funkcjach kstałtu umożlwają paraolcn rokład sł wewnętrnch (momentów). Zauważm jednak, że wprowadon w nm stopeń swood jako druga mesana pochodna funkcj ugęca powoduje pewne ograncena jego astosowań. Wmagana jest owem cągłość tego parametru, co w prpadku płt o skokowo mennej gruośc ne może ć spełnone element ten ne nadaje sę do tego tpu agadneń. 8.. Element trójkątn Na konec tego krótkego preglądu elementów płtowch wspomnjm jesce o elemence trójkątnm CKZ (Cheung, Kng, Zenkewc). Prjmuje sę w nm tr węł po tr uogólnone premescena w każdm tch węłów (rs. 8.5). Stopne swood węła są następujące: d [ ] w w d d d [ w ], dla,, (8.) W talc 8. estawono ałożone funkcje kstałtu. Funkcje te wraża sę we współrędnch naturalnch (polowch): alca 8. Funkcje kstałtu dla elementu trójkątnego CKZ N j ξ +ξ ξ +ξ ξ -ξ ξ -ξ ξ (ξ ξ +α)- (ξ ξ +α) a (ξ ξ +α)-a (ξ ξ +α) ξ +ξ ξ +ξ ξ -ξ ξ -ξ ξ (ξ ξ +α)- (ξ ξ +α) a (ξ ξ +α)-a (ξ ξ +α) ξ +ξ ξ +ξ ξ -ξ ξ -ξ ξ (ξ ξ +α)- (ξ ξ +α) a (ξ ξ +α)-a (ξ ξ +α) gde onacono ξ ξξ α, a, a, a,,, omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch,

11 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE a) ) d d d Rs rójkątn element płtow A olcć współcnnk macer B, należ różnckować wrażena na N. powżsej talc. Odpowedn operator różnckow L ma naną już postać (8.7). Informacje na temat całkowana numercnego po powerchn trójkąta (wór punktów prónch wag kwadratur Gaussa) można naleźć w Dodatku B. 8. Element trójkątn powłokow Zamast roważań nad klascnm teoram powłok cenkch spróujem uproścć roumowane analować dowolne powłok a pomocą elementów predstawonch wżej w poprednch rodałach. Prlżając powłokę prenosącą arówno gnane, jak sł memranowe a pomocą płaskch elementów trójkątnch, możem posłużć sę superpocją nanch już elementów: płaskego CS płtowego CKZ. Składowe memranowe składowe pochodące od gnana dla ou elementów anacono na rsunku 8.. Prjmując tę komnację w każdm węźle mam pęć stopn swood w lokalnm układe współrędnch. Rsunek 8.7 pred stawa podał powerchn powłok na płaske element trójkątne ora defnuje premescena wrażone w lokalnm gloalnm układe współrędnch. Zauważm, że w gloalnm układe w każdm węźle mam po seść stopn swood ( tego faktu wnkają pewne komplkacje, które omówm dalej). Zanm węc dokonam agregacj elementów trójkątnch (rs.8.7), musm dokonać transformacj składowch macer, wrażając je w gloalnm układe XYZ. Prawo transformacj dla składowch w węźle ma postać d ' Rˆ d (,,) (8.) omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

12 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE v j d d u d w j d5 d Rs. 8.. rójkątn element powłokow jako łożene elementu płaskego płtowego Wektor d', ma pęć składowch wraża premescena węła w układe lokalnm: d [ d d d d d 5 ], (8.) aś d. ma ch seść są one wrażone w układe gloalnm w następująco: d [ d d d d d 5 ] (8.) Wdm węc, że macer transformacj R o wmarach 5 mus meć następującą postać: ˆ R (5) (8.5) acer ta awera cosnus kerunkowe os lokalnch (ponowch) w układe gloalnm. Znając współrędne węłów, umem określć składowe wektora jednostkowego e' w układe gloalnm jako:,,, (8.) L L L Podone współrędne punktów umożlwają wnacene wektora jednostkowego e (rs.8.7), określonego w kerunku regu - C, C, C. (8.7) L L L omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

13 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE Rs Układ współrędnch: lokaln gloaln Współrędne wektora jednostkowego w kerunku prostopadłm do płascn trójkąta, cl w kerunku os (e' ), są określane jako wnk unormowanego locnu wektorowego: e, e e ', snθ (8.8) co określa nam składowe,,. Wresce składowe wektora jednostkowego e, otrmujem jako e ' e, e, (8.9) co kole określa,,. Podone macer transformacj R. służ do wrażena składowch ocążeń w układe gloalnm p. jako funkcj składowch lokalnch p. ˆ p R p ' (8.5) aka podmacer stwnośc elementu K j jest transformowana według następującego prawa: j, ˆ K R K' Rˆ,,; j,, (8.5) j j Prekstałcene to uduje w układe gloalnm macer stwnośc () macer (55). Predstawon wżej sposó anal powłok a pomocą elementów płaskch ma jednak pewne nedogodnośc. Prede wsstkm należ podkreślć, że aproksmacja geometr powerchn akrwonch omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

14 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE elementam płaskm ngd ne może ć adowalająca, nawet gd astosujem ardo gęst podał na element. Sformułowane to ma jesce nną nedogodność, co wceśnej sgnalowalśm. Zauważm owem, że macere stwnośc memranowej gęcowej są udowane w lokalnm układe współrędnch elementu, pokrwającm sę jego płascną. W układe tm ne następuje sprężene ou stanów, poneważ każd nch opswan jest pre nne stopne swood. Pred agregacją macere te są transformowane do układu gloalnego. acer stwnośc w układe tm ma wmar nn, gde n jest lcą węłów elementu. Jeżel sąsedne element (prlegające do see) leżą w jednej płascźne, to macer taka jest osolwa. Jeżel element sąsedne tworć ędą ardo mał kąt (jak np. mało wnosłe prekrca powłokowe), to macer układu ęde źle uwarunkowana. Pojawene sę osolwośc macer stwnośc lu jej łe uwarunkowane prowad ocwśce do trudnośc w rowąwanu układu równań. W celu usunęca osolwośc lu poprawena uwarunkowana macer stosuje sę sereg technk. Ponżej omówm jeden takch sposoów, któr jest łatw do mplementacj komputerowej. W mejscu na głównej prekątnej, gde współcnnk stwnośc jest równ eru (lu jest ardo mał), wpsuje sę fkcjną stwność skręcana K Ф. W ten sposó otrmujem równane tpu K Ф θ. Wartość K Ф mus ć na tle duża, ne pojawł sę wspomnane trudnośc, a pr tm na tle mała, ne wpłnęła na poostałe wnk. W programach komputerowch wkorstującch płaske element powłokowe prjmuje sę cęsto fkcjne współcnnk stwnośc skręcana we wsstkch elementach, neależne od tego, c są one koplanarle, c też ne, lu wmaga sę od użtkownka programu, wskaał w danchte węł, w którch należ te współcnnk umeścć. Pommo trudnośc stosowana tch elementów do anal konstrukcj powłokowch element te są nadal cęsto wkorstwane w welu praktcnch agadnenach dają wnk oarcone małm łędam. Zwracam jednak uwagę Ctelnka na konecność ostrożnego posługwana sę płaskm elementam w anale powłok małownosłch lu w anale fragmentów konstrukcj leżącch w jednej płascźne. Zadana. Wnacć współcnnk macer we wore (8.).. Dla elementu ZC wnacć odpowedne równoważne sł węłowe w punkce od ocążena elementu predstawonego na rsunku ponżej. q. Wkonać adane dla sł skuponej P prłożonej w połowe oku -.. Olcć K dla elementu ZC. 5. Dla elementu BFS olcć równoważne sł węłowe w punkce. omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch

15 8. ELEENY PŁYOWE I POWŁOKOWE 5 q omas Łodgowsk, Wtold Kąkol etoda elementów skońconch w wranch agadnenach mechank konstrukcj nżnerskch